Distance on a great circle

Percentage Accurate: 61.7% → 77.9%

Time: 48.7s

Alternatives: 21

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1}}{\sqrt{1 - t\_1}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1
         (+
          (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)
          (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0) t_0))))
   (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt t_1) (sqrt (- 1.0 t_1)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0)
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0d0 - t_1))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(t_1), Math.sqrt((1.0 - t_1))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0) * t_0)
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(t_1), math.sqrt((1.0 - t_1))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64((sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(t_1), sqrt(Float64(1.0 - t_1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[t$95$1], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Initial Program: 61.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1}}{\sqrt{1 - t\_1}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1
         (+
          (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)
          (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0) t_0))))
   (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt t_1) (sqrt (- 1.0 t_1)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0)
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0d0 - t_1))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(t_1), Math.sqrt((1.0 - t_1))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0) * t_0)
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(t_1), math.sqrt((1.0 - t_1))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64((sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(t_1), sqrt(Float64(1.0 - t_1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[t$95$1], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Alternative 1: 77.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\\ t_1 := \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\\ t_2 := \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\\ t_3 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_4 := t\_3 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_3\right)\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\mathsf{fma}\left(0 - t\_0, t\_1, t\_2\right)\right)}^{2} + t\_4}}{\sqrt{1 - \left(t\_4 + {\left(t\_2 - t\_0 \cdot t\_1\right)}^{2}\right)}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ phi2 2.0)))
        (t_1 (cos (/ phi1 2.0)))
        (t_2 (* (cos (/ phi2 2.0)) (sin (/ phi1 2.0))))
        (t_3 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_4 (* t_3 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_3))))
   (*
    R
    (*
     2.0
     (atan2
      (sqrt (+ (pow (fma (- 0.0 t_0) t_1 t_2) 2.0) t_4))
      (sqrt (- 1.0 (+ t_4 (pow (- t_2 (* t_0 t_1)) 2.0)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((phi2 / 2.0));
	double t_1 = cos((phi1 / 2.0));
	double t_2 = cos((phi2 / 2.0)) * sin((phi1 / 2.0));
	double t_3 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_4 = t_3 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_3);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt((pow(fma((0.0 - t_0), t_1, t_2), 2.0) + t_4)), sqrt((1.0 - (t_4 + pow((t_2 - (t_0 * t_1)), 2.0))))));
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(phi2 / 2.0))
	t_1 = cos(Float64(phi1 / 2.0))
	t_2 = Float64(cos(Float64(phi2 / 2.0)) * sin(Float64(phi1 / 2.0)))
	t_3 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_4 = Float64(t_3 * Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_3))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64((fma(Float64(0.0 - t_0), t_1, t_2) ^ 2.0) + t_4)), sqrt(Float64(1.0 - Float64(t_4 + (Float64(t_2 - Float64(t_0 * t_1)) ^ 2.0)))))))
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(t$95$3 * N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[(N[(0.0 - t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$1 + t$95$2), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + t$95$4), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - N[(t$95$4 + N[Power[N[(t$95$2 - N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Initial program 61.2%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 62.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 62.3%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 78.3%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

7. Final simplification 78.3%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\mathsf{fma}\left(0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)}^{2} + \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 - \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)}^{2}\right)}}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 77.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}\\ \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_0}}{\sqrt{1 - t\_0}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          (pow
           (-
            (* (cos (* phi2 0.5)) (sin (* phi1 0.5)))
            (* (sin (* phi2 0.5)) (cos (* phi1 0.5))))
           2.0)
          (*
           (* (cos phi1) (cos phi2))
           (pow (sin (* -0.5 (- lambda2 lambda1))) 2.0)))))
   (* (atan2 (sqrt t_0) (sqrt (- 1.0 t_0))) (* R 2.0))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = pow(((cos((phi2 * 0.5)) * sin((phi1 * 0.5))) - (sin((phi2 * 0.5)) * cos((phi1 * 0.5)))), 2.0) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * pow(sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0));
	return atan2(sqrt(t_0), sqrt((1.0 - t_0))) * (R * 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    t_0 = (((cos((phi2 * 0.5d0)) * sin((phi1 * 0.5d0))) - (sin((phi2 * 0.5d0)) * cos((phi1 * 0.5d0)))) ** 2.0d0) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin(((-0.5d0) * (lambda2 - lambda1))) ** 2.0d0))
    code = atan2(sqrt(t_0), sqrt((1.0d0 - t_0))) * (r * 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.pow(((Math.cos((phi2 * 0.5)) * Math.sin((phi1 * 0.5))) - (Math.sin((phi2 * 0.5)) * Math.cos((phi1 * 0.5)))), 2.0) + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.pow(Math.sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0));
	return Math.atan2(Math.sqrt(t_0), Math.sqrt((1.0 - t_0))) * (R * 2.0);
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.pow(((math.cos((phi2 * 0.5)) * math.sin((phi1 * 0.5))) - (math.sin((phi2 * 0.5)) * math.cos((phi1 * 0.5)))), 2.0) + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * math.pow(math.sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0))
	return math.atan2(math.sqrt(t_0), math.sqrt((1.0 - t_0))) * (R * 2.0)

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64((Float64(Float64(cos(Float64(phi2 * 0.5)) * sin(Float64(phi1 * 0.5))) - Float64(sin(Float64(phi2 * 0.5)) * cos(Float64(phi1 * 0.5)))) ^ 2.0) + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin(Float64(-0.5 * Float64(lambda2 - lambda1))) ^ 2.0)))
	return Float64(atan(sqrt(t_0), sqrt(Float64(1.0 - t_0))) * Float64(R * 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (((cos((phi2 * 0.5)) * sin((phi1 * 0.5))) - (sin((phi2 * 0.5)) * cos((phi1 * 0.5)))) ^ 2.0) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))) ^ 2.0));
	tmp = atan2(sqrt(t_0), sqrt((1.0 - t_0))) * (R * 2.0);
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(N[(N[Cos[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi1 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi1 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Power[N[Sin[N[(-0.5 * N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[ArcTan[N[Sqrt[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(R * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 61.2%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 62.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 62.3%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 78.3%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-lft-neg-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 78.2%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

9. Taylor expanded in lambda1 around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}}\right)} \]

11. Simplified 78.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - \left({\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}\right)}}} \]

12. Final simplification 78.2%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - \left({\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 62.7% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := t\_0 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right)\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1 + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - \left(t\_1 + {\left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)}^{2}\right)}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1 (* t_0 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0))))
   (*
    R
    (*
     2.0
     (atan2
      (sqrt (+ t_1 (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)))
      (sqrt
       (-
        1.0
        (+
         t_1
         (pow
          (-
           (* (cos (/ phi2 2.0)) (sin (/ phi1 2.0)))
           (* (sin (/ phi2 2.0)) (cos (/ phi1 2.0))))
          2.0)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = t_0 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt((t_1 + pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), sqrt((1.0 - (t_1 + pow(((cos((phi2 / 2.0)) * sin((phi1 / 2.0))) - (sin((phi2 / 2.0)) * cos((phi1 / 2.0)))), 2.0))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = t_0 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt((t_1 + (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0))), sqrt((1.0d0 - (t_1 + (((cos((phi2 / 2.0d0)) * sin((phi1 / 2.0d0))) - (sin((phi2 / 2.0d0)) * cos((phi1 / 2.0d0)))) ** 2.0d0))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = t_0 * ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0);
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt((t_1 + Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), Math.sqrt((1.0 - (t_1 + Math.pow(((Math.cos((phi2 / 2.0)) * Math.sin((phi1 / 2.0))) - (Math.sin((phi2 / 2.0)) * Math.cos((phi1 / 2.0)))), 2.0))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = t_0 * ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0)
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt((t_1 + math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), math.sqrt((1.0 - (t_1 + math.pow(((math.cos((phi2 / 2.0)) * math.sin((phi1 / 2.0))) - (math.sin((phi2 / 2.0)) * math.cos((phi1 / 2.0)))), 2.0))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64(t_0 * Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(t_1 + (sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0))), sqrt(Float64(1.0 - Float64(t_1 + (Float64(Float64(cos(Float64(phi2 / 2.0)) * sin(Float64(phi1 / 2.0))) - Float64(sin(Float64(phi2 / 2.0)) * cos(Float64(phi1 / 2.0)))) ^ 2.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = t_0 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0);
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt((t_1 + (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0))), sqrt((1.0 - (t_1 + (((cos((phi2 / 2.0)) * sin((phi1 / 2.0))) - (sin((phi2 / 2.0)) * cos((phi1 / 2.0)))) ^ 2.0))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 * N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$1 + N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - N[(t$95$1 + N[Power[N[(N[(N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 61.2%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 62.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 62.3%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

5. Final simplification 62.3%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)}^{2}\right)}}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 62.3% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_0 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - \left({\left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \left(\phi_2 + \phi_1\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}\right)}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))))
   (*
    R
    (*
     2.0
     (atan2
      (sqrt
       (+
        (* t_0 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0))
        (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)))
      (sqrt
       (-
        1.0
        (+
         (pow
          (-
           (* (cos (/ phi2 2.0)) (sin (/ phi1 2.0)))
           (* (sin (/ phi2 2.0)) (cos (/ phi1 2.0))))
          2.0)
         (/
          (*
           (+ (cos (+ phi2 phi1)) (cos (- phi1 phi2)))
           (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- lambda1 lambda2)))))
          2.0)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_0 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)) + pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), sqrt((1.0 - (pow(((cos((phi2 / 2.0)) * sin((phi1 / 2.0))) - (sin((phi2 / 2.0)) * cos((phi1 / 2.0)))), 2.0) + (((cos((phi2 + phi1)) + cos((phi1 - phi2))) * (0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2))))) / 2.0))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(((t_0 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)) + (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0))), sqrt((1.0d0 - ((((cos((phi2 / 2.0d0)) * sin((phi1 / 2.0d0))) - (sin((phi2 / 2.0d0)) * cos((phi1 / 2.0d0)))) ** 2.0d0) + (((cos((phi2 + phi1)) + cos((phi1 - phi2))) * (0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((lambda1 - lambda2))))) / 2.0d0))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(((t_0 * ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0)) + Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), Math.sqrt((1.0 - (Math.pow(((Math.cos((phi2 / 2.0)) * Math.sin((phi1 / 2.0))) - (Math.sin((phi2 / 2.0)) * Math.cos((phi1 / 2.0)))), 2.0) + (((Math.cos((phi2 + phi1)) + Math.cos((phi1 - phi2))) * (0.5 + (-0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2))))) / 2.0))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(((t_0 * ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0)) + math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), math.sqrt((1.0 - (math.pow(((math.cos((phi2 / 2.0)) * math.sin((phi1 / 2.0))) - (math.sin((phi2 / 2.0)) * math.cos((phi1 / 2.0)))), 2.0) + (((math.cos((phi2 + phi1)) + math.cos((phi1 - phi2))) * (0.5 + (-0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2))))) / 2.0))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(t_0 * Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)) + (sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0))), sqrt(Float64(1.0 - Float64((Float64(Float64(cos(Float64(phi2 / 2.0)) * sin(Float64(phi1 / 2.0))) - Float64(sin(Float64(phi2 / 2.0)) * cos(Float64(phi1 / 2.0)))) ^ 2.0) + Float64(Float64(Float64(cos(Float64(phi2 + phi1)) + cos(Float64(phi1 - phi2))) * Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))) / 2.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_0 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)) + (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0))), sqrt((1.0 - ((((cos((phi2 / 2.0)) * sin((phi1 / 2.0))) - (sin((phi2 / 2.0)) * cos((phi1 / 2.0)))) ^ 2.0) + (((cos((phi2 + phi1)) + cos((phi1 - phi2))) * (0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2))))) / 2.0))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$0 * N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - N[(N[Power[N[(N[(N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[N[(phi2 + phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 61.2%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 62.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 62.3%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. cos-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\frac{\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}{2} \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\frac{\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}{2} \cdot {\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\frac{\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}{2} \cdot {\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\frac{\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}{2} \cdot {\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\frac{\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2}}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 62.1%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{\left(\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot \left(0.5 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)}{2}}\right)}}\right) \]

7. Final simplification 62.1%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - \left({\left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \left(\phi_2 + \phi_1\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}\right)}}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 62.7% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1 \cdot \left(t\_0 \cdot t\_1\right) + {\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 0.5\right)}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_1 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))))
   (*
    R
    (*
     2.0
     (atan2
      (sqrt
       (+
        (* t_1 (* t_0 t_1))
        (pow
         (fma
          (sin (/ phi1 2.0))
          (cos (/ phi2 2.0))
          (* (sin (/ phi2 2.0)) (- 0.0 (cos (/ phi1 2.0)))))
         2.0)))
      (sqrt
       (+
        (+ 0.5 (* 0.5 (cos (- phi1 phi2))))
        (* t_0 (- (* 0.5 (cos (- lambda1 lambda2))) 0.5)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_1 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_1 * (t_0 * t_1)) + pow(fma(sin((phi1 / 2.0)), cos((phi2 / 2.0)), (sin((phi2 / 2.0)) * (0.0 - cos((phi1 / 2.0))))), 2.0))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((phi1 - phi2)))) + (t_0 * ((0.5 * cos((lambda1 - lambda2))) - 0.5))))));
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_1 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(t_1 * Float64(t_0 * t_1)) + (fma(sin(Float64(phi1 / 2.0)), cos(Float64(phi2 / 2.0)), Float64(sin(Float64(phi2 / 2.0)) * Float64(0.0 - cos(Float64(phi1 / 2.0))))) ^ 2.0))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2)))) + Float64(t_0 * Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2))) - 0.5)))))))
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$1 * N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 61.2%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 62.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 62.3%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 78.3%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-lft-neg-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 78.2%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

10. Applied egg-rr 62.0%

    \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) - \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}\right) \]

11. Final simplification 62.0%

    \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 0.5\right)}}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 62.2% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_1 := 1 + \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_0\right)\right)\\ t_2 := \sin t\_0\\ t_3 := \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\\ t_4 := \sin t\_3\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_4 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_4\right) + {t\_2}^{2}}}{\sqrt{\frac{2 \cdot \left(1 - {t\_2}^{4}\right) + t\_1 \cdot \left(\left(\cos \left(\phi_2 + \phi_1\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_3\right) - 0.5\right)\right)}{2 \cdot t\_1}}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_1 (+ 1.0 (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_0))))))
        (t_2 (sin t_0))
        (t_3 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
        (t_4 (sin t_3)))
   (*
    R
    (*
     2.0
     (atan2
      (sqrt (+ (* t_4 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_4)) (pow t_2 2.0)))
      (sqrt
       (/
        (+
         (* 2.0 (- 1.0 (pow t_2 4.0)))
         (*
          t_1
          (*
           (+ (cos (+ phi2 phi1)) (cos (- phi1 phi2)))
           (- (* 0.5 (cos (* 2.0 t_3))) 0.5))))
        (* 2.0 t_1))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_1 = 1.0 + (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * t_0))));
	double t_2 = sin(t_0);
	double t_3 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_4 = sin(t_3);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_4 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_4)) + pow(t_2, 2.0))), sqrt((((2.0 * (1.0 - pow(t_2, 4.0))) + (t_1 * ((cos((phi2 + phi1)) + cos((phi1 - phi2))) * ((0.5 * cos((2.0 * t_3))) - 0.5)))) / (2.0 * t_1)))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    t_1 = 1.0d0 + (0.5d0 - (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_0))))
    t_2 = sin(t_0)
    t_3 = (lambda1 - lambda2) / 2.0d0
    t_4 = sin(t_3)
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(((t_4 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_4)) + (t_2 ** 2.0d0))), sqrt((((2.0d0 * (1.0d0 - (t_2 ** 4.0d0))) + (t_1 * ((cos((phi2 + phi1)) + cos((phi1 - phi2))) * ((0.5d0 * cos((2.0d0 * t_3))) - 0.5d0)))) / (2.0d0 * t_1)))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_1 = 1.0 + (0.5 - (0.5 * Math.cos((2.0 * t_0))));
	double t_2 = Math.sin(t_0);
	double t_3 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_4 = Math.sin(t_3);
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(((t_4 * ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_4)) + Math.pow(t_2, 2.0))), Math.sqrt((((2.0 * (1.0 - Math.pow(t_2, 4.0))) + (t_1 * ((Math.cos((phi2 + phi1)) + Math.cos((phi1 - phi2))) * ((0.5 * Math.cos((2.0 * t_3))) - 0.5)))) / (2.0 * t_1)))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0
	t_1 = 1.0 + (0.5 - (0.5 * math.cos((2.0 * t_0))))
	t_2 = math.sin(t_0)
	t_3 = (lambda1 - lambda2) / 2.0
	t_4 = math.sin(t_3)
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(((t_4 * ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_4)) + math.pow(t_2, 2.0))), math.sqrt((((2.0 * (1.0 - math.pow(t_2, 4.0))) + (t_1 * ((math.cos((phi2 + phi1)) + math.cos((phi1 - phi2))) * ((0.5 * math.cos((2.0 * t_3))) - 0.5)))) / (2.0 * t_1)))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_1 = Float64(1.0 + Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_0)))))
	t_2 = sin(t_0)
	t_3 = Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)
	t_4 = sin(t_3)
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(t_4 * Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_4)) + (t_2 ^ 2.0))), sqrt(Float64(Float64(Float64(2.0 * Float64(1.0 - (t_2 ^ 4.0))) + Float64(t_1 * Float64(Float64(cos(Float64(phi2 + phi1)) + cos(Float64(phi1 - phi2))) * Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_3))) - 0.5)))) / Float64(2.0 * t_1))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	t_1 = 1.0 + (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * t_0))));
	t_2 = sin(t_0);
	t_3 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	t_4 = sin(t_3);
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_4 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_4)) + (t_2 ^ 2.0))), sqrt((((2.0 * (1.0 - (t_2 ^ 4.0))) + (t_1 * ((cos((phi2 + phi1)) + cos((phi1 - phi2))) * ((0.5 * cos((2.0 * t_3))) - 0.5)))) / (2.0 * t_1)))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(1.0 + N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Sin[t$95$3], $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$4 * N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$2, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(N[(2.0 * N[(1.0 - N[Power[t$95$2, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * N[(N[(N[Cos[N[(phi2 + phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$3), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Initial program 61.2%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 61.9%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\frac{\left(1 - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{4}\right) \cdot 2 - \left(1 + \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}{\left(1 + \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot 2}}}}\right) \]

5. Final simplification 61.9%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{\frac{2 \cdot \left(1 - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{4}\right) + \left(1 + \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\cos \left(\phi_2 + \phi_1\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}{2 \cdot \left(1 + \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)}}}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 7: 60.6% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_2 := 0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\\ t_3 := \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\\ t_4 := \sin t\_3\\ t_5 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_3\right)\\ t_6 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_7 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_6\right)\\ \mathbf{if}\;t\_4 \leq -5 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(t\_0, t\_1, t\_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + t\_7\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(t\_5 - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;t\_4 \leq 5 \cdot 10^{-62}:\\ \;\;\;\;R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_4 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_4\right) + {\sin t\_6}^{2}}}{\sqrt{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - t\_7\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - t\_5\right)\right)}}{\sqrt{1 - \left(t\_2 + t\_1 \cdot t\_0\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- lambda1 lambda2)))))
        (t_1 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_2 (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- phi1 phi2)))))
        (t_3 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
        (t_4 (sin t_3))
        (t_5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_3))))
        (t_6 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_7 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_6)))))
   (if (<= t_4 -5e-10)
     (*
      (* R 2.0)
      (atan2
       (sqrt (fma t_0 t_1 t_2))
       (sqrt (+ (+ 0.5 t_7) (* (cos phi1) (* (cos phi2) (- t_5 0.5)))))))
     (if (<= t_4 5e-62)
       (*
        R
        (*
         2.0
         (atan2
          (sqrt (+ (* t_4 (* t_1 t_4)) (pow (sin t_6) 2.0)))
          (sqrt (- 1.0 (pow (sin (* 0.5 (- phi1 phi2))) 2.0))))))
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         (sqrt (+ (- 0.5 t_7) (* (cos phi1) (* (cos phi2) (- 0.5 t_5)))))
         (sqrt (- 1.0 (+ t_2 (* t_1 t_0))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_2 = 0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2)));
	double t_3 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_4 = sin(t_3);
	double t_5 = 0.5 * cos((2.0 * t_3));
	double t_6 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_7 = 0.5 * cos((2.0 * t_6));
	double tmp;
	if (t_4 <= -5e-10) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(fma(t_0, t_1, t_2)), sqrt(((0.5 + t_7) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (t_5 - 0.5))))));
	} else if (t_4 <= 5e-62) {
		tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_4 * (t_1 * t_4)) + pow(sin(t_6), 2.0))), sqrt((1.0 - pow(sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0)))));
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((0.5 - t_7) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - t_5))))), sqrt((1.0 - (t_2 + (t_1 * t_0)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_2 = Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2))))
	t_3 = Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)
	t_4 = sin(t_3)
	t_5 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_3)))
	t_6 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_7 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_6)))
	tmp = 0.0
	if (t_4 <= -5e-10)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(fma(t_0, t_1, t_2)), sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_7) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(t_5 - 0.5)))))));
	elseif (t_4 <= 5e-62)
		tmp = Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(t_4 * Float64(t_1 * t_4)) + (sin(t_6) ^ 2.0))), sqrt(Float64(1.0 - (sin(Float64(0.5 * Float64(phi1 - phi2))) ^ 2.0))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(Float64(0.5 - t_7) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(0.5 - t_5))))), sqrt(Float64(1.0 - Float64(t_2 + Float64(t_1 * t_0))))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Sin[t$95$3], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$3), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$7 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$6), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$4, -5e-10], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$0 * t$95$1 + t$95$2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$7), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(t$95$5 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$4, 5e-62], N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$4 * N[(t$95$1 * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[t$95$6], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - N[Power[N[Sin[N[(0.5 * N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(0.5 - t$95$7), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(0.5 - t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - N[(t$95$2 + N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64))) < -5.00000000000000031e-10

   1. Initial program 52.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 52.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   6. Applied egg-rr 52.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5, \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, 0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -5.00000000000000031e-10 < (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64))) < 5.0000000000000002e-62

   1. Initial program 77.4%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right), \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 77.4%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\left(\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)\right) \cdot \lambda_2 - {\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}}}\right) \]

   6. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 77.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 77.4%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}}\right) \]

   if 5.0000000000000002e-62 < (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64)))

   1. Initial program 62.7%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 62.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   6. Applied egg-rr 62.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right) + \left(0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \leq -5 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, 0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \leq 5 \cdot 10^{-62}:\\ \;\;\;\;R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 - \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 61.4% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_2 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_3 := 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_4 := \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1 \cdot \left(0.5 - t\_3\right) + \left(0.5 + -0.5 \cdot t\_0\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot t\_0\right) + t\_1 \cdot \left(t\_3 - 0.5\right)}}\\ \mathbf{if}\;t\_2 \leq -5 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;t\_4\\ \mathbf{elif}\;t\_2 \leq 2 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_2 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_2\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_4\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- phi1 phi2)))
        (t_1 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_2 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_3 (* 0.5 (cos (- lambda1 lambda2))))
        (t_4
         (*
          (* R 2.0)
          (atan2
           (sqrt (+ (* t_1 (- 0.5 t_3)) (+ 0.5 (* -0.5 t_0))))
           (sqrt (+ (+ 0.5 (* 0.5 t_0)) (* t_1 (- t_3 0.5))))))))
   (if (<= t_2 -5e-10)
     t_4
     (if (<= t_2 2e-17)
       (*
        R
        (*
         2.0
         (atan2
          (sqrt (+ (* t_2 (* t_1 t_2)) (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)))
          (sqrt (- 1.0 (pow (sin (* 0.5 (- phi1 phi2))) 2.0))))))
       t_4))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((phi1 - phi2));
	double t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_2 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_3 = 0.5 * cos((lambda1 - lambda2));
	double t_4 = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((t_1 * (0.5 - t_3)) + (0.5 + (-0.5 * t_0)))), sqrt(((0.5 + (0.5 * t_0)) + (t_1 * (t_3 - 0.5)))));
	double tmp;
	if (t_2 <= -5e-10) {
		tmp = t_4;
	} else if (t_2 <= 2e-17) {
		tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_2 * (t_1 * t_2)) + pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), sqrt((1.0 - pow(sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0)))));
	} else {
		tmp = t_4;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((phi1 - phi2))
    t_1 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_2 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_3 = 0.5d0 * cos((lambda1 - lambda2))
    t_4 = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt(((t_1 * (0.5d0 - t_3)) + (0.5d0 + ((-0.5d0) * t_0)))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * t_0)) + (t_1 * (t_3 - 0.5d0)))))
    if (t_2 <= (-5d-10)) then
        tmp = t_4
    else if (t_2 <= 2d-17) then
        tmp = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(((t_2 * (t_1 * t_2)) + (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0))), sqrt((1.0d0 - (sin((0.5d0 * (phi1 - phi2))) ** 2.0d0)))))
    else
        tmp = t_4
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((phi1 - phi2));
	double t_1 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_2 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_3 = 0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_4 = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt(((t_1 * (0.5 - t_3)) + (0.5 + (-0.5 * t_0)))), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * t_0)) + (t_1 * (t_3 - 0.5)))));
	double tmp;
	if (t_2 <= -5e-10) {
		tmp = t_4;
	} else if (t_2 <= 2e-17) {
		tmp = R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(((t_2 * (t_1 * t_2)) + Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), Math.sqrt((1.0 - Math.pow(Math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0)))));
	} else {
		tmp = t_4;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((phi1 - phi2))
	t_1 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_2 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_3 = 0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_4 = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt(((t_1 * (0.5 - t_3)) + (0.5 + (-0.5 * t_0)))), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * t_0)) + (t_1 * (t_3 - 0.5)))))
	tmp = 0
	if t_2 <= -5e-10:
		tmp = t_4
	elif t_2 <= 2e-17:
		tmp = R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(((t_2 * (t_1 * t_2)) + math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), math.sqrt((1.0 - math.pow(math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0)))))
	else:
		tmp = t_4
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(phi1 - phi2))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_2 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_3 = Float64(0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))
	t_4 = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_1 * Float64(0.5 - t_3)) + Float64(0.5 + Float64(-0.5 * t_0)))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * t_0)) + Float64(t_1 * Float64(t_3 - 0.5))))))
	tmp = 0.0
	if (t_2 <= -5e-10)
		tmp = t_4;
	elseif (t_2 <= 2e-17)
		tmp = Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(t_2 * Float64(t_1 * t_2)) + (sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0))), sqrt(Float64(1.0 - (sin(Float64(0.5 * Float64(phi1 - phi2))) ^ 2.0))))));
	else
		tmp = t_4;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((phi1 - phi2));
	t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_2 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_3 = 0.5 * cos((lambda1 - lambda2));
	t_4 = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((t_1 * (0.5 - t_3)) + (0.5 + (-0.5 * t_0)))), sqrt(((0.5 + (0.5 * t_0)) + (t_1 * (t_3 - 0.5)))));
	tmp = 0.0;
	if (t_2 <= -5e-10)
		tmp = t_4;
	elseif (t_2 <= 2e-17)
		tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_2 * (t_1 * t_2)) + (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0))), sqrt((1.0 - (sin((0.5 * (phi1 - phi2))) ^ 2.0)))));
	else
		tmp = t_4;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$1 * N[(0.5 - t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(-0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * N[(t$95$3 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$2, -5e-10], t$95$4, If[LessEqual[t$95$2, 2e-17], N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$2 * N[(t$95$1 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - N[Power[N[Sin[N[(0.5 * N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$4]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64))) < -5.00000000000000031e-10 or 2.00000000000000014e-17 < (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64)))

   1. Initial program 57.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 58.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 58.6%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 72.8%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. distribute-lft-neg-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 72.8%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   10. Applied egg-rr 57.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) - \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \cdot \left(2 \cdot R\right)} \]

   if -5.00000000000000031e-10 < (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64))) < 2.00000000000000014e-17

   1. Initial program 76.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right), \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 76.2%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\left(\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)\right) \cdot \lambda_2 - {\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}}}\right) \]

   6. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 76.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 76.2%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 61.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \leq -5 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 0.5\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \leq 2 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 0.5\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 61.8% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_1 := \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\\ t_2 := \sin t\_1\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_2 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_2\right) + {\sin t\_0}^{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_0\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_1\right) - 0.5\right)\right)}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_1 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
        (t_2 (sin t_1)))
   (*
    R
    (*
     2.0
     (atan2
      (sqrt (+ (* t_2 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_2)) (pow (sin t_0) 2.0)))
      (sqrt
       (+
        (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_0))))
        (* (cos phi1) (* (cos phi2) (- (* 0.5 (cos (* 2.0 t_1))) 0.5))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_1 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_2 = sin(t_1);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_2 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_2)) + pow(sin(t_0), 2.0))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_0)))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * t_1))) - 0.5)))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    t_1 = (lambda1 - lambda2) / 2.0d0
    t_2 = sin(t_1)
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(((t_2 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_2)) + (sin(t_0) ** 2.0d0))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_0)))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5d0 * cos((2.0d0 * t_1))) - 0.5d0)))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_1 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_2 = Math.sin(t_1);
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(((t_2 * ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_2)) + Math.pow(Math.sin(t_0), 2.0))), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * t_0)))) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * ((0.5 * Math.cos((2.0 * t_1))) - 0.5)))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0
	t_1 = (lambda1 - lambda2) / 2.0
	t_2 = math.sin(t_1)
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(((t_2 * ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_2)) + math.pow(math.sin(t_0), 2.0))), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * t_0)))) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * ((0.5 * math.cos((2.0 * t_1))) - 0.5)))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_1 = Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)
	t_2 = sin(t_1)
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(t_2 * Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_2)) + (sin(t_0) ^ 2.0))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_0)))) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_1))) - 0.5))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	t_1 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	t_2 = sin(t_1);
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_2 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_2)) + (sin(t_0) ^ 2.0))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_0)))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * t_1))) - 0.5)))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$2 * N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 61.2%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right) - \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \left(\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 61.2%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}}\right) \]

5. Final simplification 61.2%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 10: 59.5% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\\ t_1 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\\ \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - t\_1\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin t\_0}^{2}\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + t\_1\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_0\right) - 0.5\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
        (t_1 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0))))))
   (*
    (atan2
     (sqrt (+ (- 0.5 t_1) (* (cos phi1) (* (cos phi2) (pow (sin t_0) 2.0)))))
     (sqrt
      (+
       (+ 0.5 t_1)
       (* (cos phi1) (* (cos phi2) (- (* 0.5 (cos (* 2.0 t_0))) 0.5))))))
    (* R 2.0))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_1 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	return atan2(sqrt(((0.5 - t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * pow(sin(t_0), 2.0))))), sqrt(((0.5 + t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * t_0))) - 0.5)))))) * (R * 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = (lambda1 - lambda2) / 2.0d0
    t_1 = 0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0)))
    code = atan2(sqrt(((0.5d0 - t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (sin(t_0) ** 2.0d0))))), sqrt(((0.5d0 + t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5d0 * cos((2.0d0 * t_0))) - 0.5d0)))))) * (r * 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_1 = 0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	return Math.atan2(Math.sqrt(((0.5 - t_1) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * Math.pow(Math.sin(t_0), 2.0))))), Math.sqrt(((0.5 + t_1) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * ((0.5 * Math.cos((2.0 * t_0))) - 0.5)))))) * (R * 2.0);
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (lambda1 - lambda2) / 2.0
	t_1 = 0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)))
	return math.atan2(math.sqrt(((0.5 - t_1) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * math.pow(math.sin(t_0), 2.0))))), math.sqrt(((0.5 + t_1) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * ((0.5 * math.cos((2.0 * t_0))) - 0.5)))))) * (R * 2.0)

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)
	t_1 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))
	return Float64(atan(sqrt(Float64(Float64(0.5 - t_1) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * (sin(t_0) ^ 2.0))))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_1) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_0))) - 0.5)))))) * Float64(R * 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	t_1 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	tmp = atan2(sqrt(((0.5 - t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (sin(t_0) ^ 2.0))))), sqrt(((0.5 + t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * t_0))) - 0.5)))))) * (R * 2.0);
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(0.5 - t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Power[N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(R * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 61.2%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 56.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left({\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 59.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 59.4%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}^{2}}\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

7. Final simplification 59.4%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}^{2}\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 11: 60.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\\ t_1 := \sin t\_0\\ t_2 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_3 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_4 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_5 := 0.5 \cdot t\_4\\ t_6 := \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\\ t_7 := 0.5 + -0.5 \cdot t\_6\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_2 \cdot \left(0.5 - t\_5\right) + t\_7}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot t\_6\right) + t\_2 \cdot \left(t\_5 - 0.5\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq 10^{-61}:\\ \;\;\;\;R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1 \cdot \left(t\_2 \cdot t\_1\right) + {\sin t\_3}^{2}}}{\sqrt{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_3\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_0\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 - \left(t\_7 + t\_2 \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot t\_4\right)\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
        (t_1 (sin t_0))
        (t_2 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_3 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_4 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_5 (* 0.5 t_4))
        (t_6 (cos (- phi1 phi2)))
        (t_7 (+ 0.5 (* -0.5 t_6))))
   (if (<= (- lambda1 lambda2) -5e-6)
     (*
      (* R 2.0)
      (atan2
       (sqrt (+ (* t_2 (- 0.5 t_5)) t_7))
       (sqrt (+ (+ 0.5 (* 0.5 t_6)) (* t_2 (- t_5 0.5))))))
     (if (<= (- lambda1 lambda2) 1e-61)
       (*
        R
        (*
         2.0
         (atan2
          (sqrt (+ (* t_1 (* t_2 t_1)) (pow (sin t_3) 2.0)))
          (sqrt (- 1.0 (pow (sin (* 0.5 (- phi1 phi2))) 2.0))))))
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         (sqrt
          (+
           (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_3))))
           (* (cos phi1) (* (cos phi2) (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_0))))))))
         (sqrt (- 1.0 (+ t_7 (* t_2 (+ 0.5 (* -0.5 t_4))))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_1 = sin(t_0);
	double t_2 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_4 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_5 = 0.5 * t_4;
	double t_6 = cos((phi1 - phi2));
	double t_7 = 0.5 + (-0.5 * t_6);
	double tmp;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -5e-6) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((t_2 * (0.5 - t_5)) + t_7)), sqrt(((0.5 + (0.5 * t_6)) + (t_2 * (t_5 - 0.5)))));
	} else if ((lambda1 - lambda2) <= 1e-61) {
		tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_1 * (t_2 * t_1)) + pow(sin(t_3), 2.0))), sqrt((1.0 - pow(sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0)))));
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((0.5 - (0.5 * cos((2.0 * t_3)))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * t_0)))))))), sqrt((1.0 - (t_7 + (t_2 * (0.5 + (-0.5 * t_4)))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: t_7
    real(8) :: tmp
    t_0 = (lambda1 - lambda2) / 2.0d0
    t_1 = sin(t_0)
    t_2 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    t_4 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_5 = 0.5d0 * t_4
    t_6 = cos((phi1 - phi2))
    t_7 = 0.5d0 + ((-0.5d0) * t_6)
    if ((lambda1 - lambda2) <= (-5d-6)) then
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt(((t_2 * (0.5d0 - t_5)) + t_7)), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * t_6)) + (t_2 * (t_5 - 0.5d0)))))
    else if ((lambda1 - lambda2) <= 1d-61) then
        tmp = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(((t_1 * (t_2 * t_1)) + (sin(t_3) ** 2.0d0))), sqrt((1.0d0 - (sin((0.5d0 * (phi1 - phi2))) ** 2.0d0)))))
    else
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt(((0.5d0 - (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_3)))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5d0 - (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_0)))))))), sqrt((1.0d0 - (t_7 + (t_2 * (0.5d0 + ((-0.5d0) * t_4)))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_1 = Math.sin(t_0);
	double t_2 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_4 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_5 = 0.5 * t_4;
	double t_6 = Math.cos((phi1 - phi2));
	double t_7 = 0.5 + (-0.5 * t_6);
	double tmp;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -5e-6) {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt(((t_2 * (0.5 - t_5)) + t_7)), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * t_6)) + (t_2 * (t_5 - 0.5)))));
	} else if ((lambda1 - lambda2) <= 1e-61) {
		tmp = R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(((t_1 * (t_2 * t_1)) + Math.pow(Math.sin(t_3), 2.0))), Math.sqrt((1.0 - Math.pow(Math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0)))));
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt(((0.5 - (0.5 * Math.cos((2.0 * t_3)))) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * Math.cos((2.0 * t_0)))))))), Math.sqrt((1.0 - (t_7 + (t_2 * (0.5 + (-0.5 * t_4)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (lambda1 - lambda2) / 2.0
	t_1 = math.sin(t_0)
	t_2 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0
	t_4 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_5 = 0.5 * t_4
	t_6 = math.cos((phi1 - phi2))
	t_7 = 0.5 + (-0.5 * t_6)
	tmp = 0
	if (lambda1 - lambda2) <= -5e-6:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt(((t_2 * (0.5 - t_5)) + t_7)), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * t_6)) + (t_2 * (t_5 - 0.5)))))
	elif (lambda1 - lambda2) <= 1e-61:
		tmp = R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(((t_1 * (t_2 * t_1)) + math.pow(math.sin(t_3), 2.0))), math.sqrt((1.0 - math.pow(math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0)))))
	else:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt(((0.5 - (0.5 * math.cos((2.0 * t_3)))) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * math.cos((2.0 * t_0)))))))), math.sqrt((1.0 - (t_7 + (t_2 * (0.5 + (-0.5 * t_4)))))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)
	t_1 = sin(t_0)
	t_2 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_3 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_4 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_5 = Float64(0.5 * t_4)
	t_6 = cos(Float64(phi1 - phi2))
	t_7 = Float64(0.5 + Float64(-0.5 * t_6))
	tmp = 0.0
	if (Float64(lambda1 - lambda2) <= -5e-6)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_2 * Float64(0.5 - t_5)) + t_7)), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * t_6)) + Float64(t_2 * Float64(t_5 - 0.5))))));
	elseif (Float64(lambda1 - lambda2) <= 1e-61)
		tmp = Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(t_1 * Float64(t_2 * t_1)) + (sin(t_3) ^ 2.0))), sqrt(Float64(1.0 - (sin(Float64(0.5 * Float64(phi1 - phi2))) ^ 2.0))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_3)))) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_0)))))))), sqrt(Float64(1.0 - Float64(t_7 + Float64(t_2 * Float64(0.5 + Float64(-0.5 * t_4))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	t_1 = sin(t_0);
	t_2 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	t_4 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_5 = 0.5 * t_4;
	t_6 = cos((phi1 - phi2));
	t_7 = 0.5 + (-0.5 * t_6);
	tmp = 0.0;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -5e-6)
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((t_2 * (0.5 - t_5)) + t_7)), sqrt(((0.5 + (0.5 * t_6)) + (t_2 * (t_5 - 0.5)))));
	elseif ((lambda1 - lambda2) <= 1e-61)
		tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_1 * (t_2 * t_1)) + (sin(t_3) ^ 2.0))), sqrt((1.0 - (sin((0.5 * (phi1 - phi2))) ^ 2.0)))));
	else
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((0.5 - (0.5 * cos((2.0 * t_3)))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * t_0)))))))), sqrt((1.0 - (t_7 + (t_2 * (0.5 + (-0.5 * t_4)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(0.5 * t$95$4), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$7 = N[(0.5 + N[(-0.5 * t$95$6), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision], -5e-6], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$2 * N[(0.5 - t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$7), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * t$95$6), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$2 * N[(t$95$5 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision], 1e-61], N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$1 * N[(t$95$2 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[t$95$3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - N[Power[N[Sin[N[(0.5 * N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$3), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - N[(t$95$7 + N[(t$95$2 * N[(0.5 + N[(-0.5 * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (-.f64 lambda1 lambda2) < -5.00000000000000041e-6

   1. Initial program 58.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 60.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 60.2%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 74.7%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. distribute-lft-neg-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 74.6%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   10. Applied egg-rr 58.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) - \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \cdot \left(2 \cdot R\right)} \]

   if -5.00000000000000041e-6 < (-.f64 lambda1 lambda2) < 1e-61

   1. Initial program 76.1%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right), \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 76.1%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\left(\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)\right) \cdot \lambda_2 - {\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}}}\right) \]

   6. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 76.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 76.1%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}}\right) \]

   if 1e-61 < (-.f64 lambda1 lambda2)

   1. Initial program 57.6%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 57.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   6. Applied egg-rr 57.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right) + \left(0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 0.5\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq 10^{-61}:\\ \;\;\;\;R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 - \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 58.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := t\_0 - 0.5\\ t_2 := 0.5 + -0.5 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -0.00022:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot t\_1}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - t\_2\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 2.4 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 + \phi_1 \cdot \left(-0.5 \cdot \sin \phi_2\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot t\_1}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(t\_2 - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - t\_0\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- lambda1 lambda2)))))
        (t_1 (- t_0 0.5))
        (t_2
         (+
          0.5
          (*
           -0.5
           (+
            (* (sin lambda1) (sin lambda2))
            (* (cos lambda1) (cos lambda2)))))))
   (if (<= phi1 -0.00022)
     (*
      (* R 2.0)
      (atan2
       (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) t_1)))
       (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) (- 0.5 t_2))))))
     (if (<= phi1 2.4e-6)
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         (sqrt (+ (+ 0.5 (* phi1 (* -0.5 (sin phi2)))) (* (cos phi2) t_1)))
         (sqrt
          (+
           (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
           (*
            (cos phi1)
            (*
             (cos phi2)
             (- (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))) 0.5)))))))
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) (- t_2 0.5))))
         (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) (- 0.5 t_0))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_1 = t_0 - 0.5;
	double t_2 = 0.5 + (-0.5 * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda1) * cos(lambda2))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -0.00022) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * t_1))), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (0.5 - t_2)))));
	} else if (phi1 <= 2.4e-6) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((0.5 + (phi1 * (-0.5 * sin(phi2)))) + (cos(phi2) * t_1))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))));
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (t_2 - 0.5)))), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (0.5 - t_0)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((lambda1 - lambda2)))
    t_1 = t_0 - 0.5d0
    t_2 = 0.5d0 + ((-0.5d0) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda1) * cos(lambda2))))
    if (phi1 <= (-0.00022d0)) then
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * t_1))), sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * (0.5d0 - t_2)))))
    else if (phi1 <= 2.4d-6) then
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt(((0.5d0 + (phi1 * ((-0.5d0) * sin(phi2)))) + (cos(phi2) * t_1))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5d0 * cos((2.0d0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)))) - 0.5d0))))))
    else
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * (t_2 - 0.5d0)))), sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * (0.5d0 - t_0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_1 = t_0 - 0.5;
	double t_2 = 0.5 + (-0.5 * ((Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)) + (Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -0.00022) {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * t_1))), Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * (0.5 - t_2)))));
	} else if (phi1 <= 2.4e-6) {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt(((0.5 + (phi1 * (-0.5 * Math.sin(phi2)))) + (Math.cos(phi2) * t_1))), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * ((0.5 * Math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))));
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * (t_2 - 0.5)))), Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * (0.5 - t_0)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2)))
	t_1 = t_0 - 0.5
	t_2 = 0.5 + (-0.5 * ((math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)) + (math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2))))
	tmp = 0
	if phi1 <= -0.00022:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * t_1))), math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * (0.5 - t_2)))))
	elif phi1 <= 2.4e-6:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt(((0.5 + (phi1 * (-0.5 * math.sin(phi2)))) + (math.cos(phi2) * t_1))), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * ((0.5 * math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))))
	else:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * (t_2 - 0.5)))), math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * (0.5 - t_0)))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	t_1 = Float64(t_0 - 0.5)
	t_2 = Float64(0.5 + Float64(-0.5 * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -0.00022)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * t_1))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * Float64(0.5 - t_2))))));
	elseif (phi1 <= 2.4e-6)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(phi1 * Float64(-0.5 * sin(phi2)))) + Float64(cos(phi2) * t_1))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * Float64(t_2 - 0.5)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * Float64(0.5 - t_0))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)));
	t_1 = t_0 - 0.5;
	t_2 = 0.5 + (-0.5 * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda1) * cos(lambda2))));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -0.00022)
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * t_1))), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (0.5 - t_2)))));
	elseif (phi1 <= 2.4e-6)
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((0.5 + (phi1 * (-0.5 * sin(phi2)))) + (cos(phi2) * t_1))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))));
	else
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (t_2 - 0.5)))), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (0.5 - t_0)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 - 0.5), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 + N[(-0.5 * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -0.00022], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(0.5 - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 2.4e-6], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(phi1 * N[(-0.5 * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(t$95$2 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(0.5 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -2.20000000000000008e-4

   1. Initial program 51.7%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 51.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 52.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 52.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 53.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 53.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. cos-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       8. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 54.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 54.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -2.20000000000000008e-4 < phi1 < 2.3999999999999999e-6

   1. Initial program 74.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 64.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right) + \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 64.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + \left(-0.5 \cdot \sin \phi_2\right) \cdot \phi_1\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 2.3999999999999999e-6 < phi1

   1. Initial program 45.9%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 46.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 46.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 46.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 48.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 48.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. cos-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       8. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 48.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 48.5%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 57.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -0.00022:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 2.4 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 + \phi_1 \cdot \left(-0.5 \cdot \sin \phi_2\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 58.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := 0.5 - t\_0\\ t_2 := 0.5 + -0.5 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -0.00026:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(t\_0 - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - t\_2\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 5.5 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot t\_1}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(t\_2 - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot t\_1}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- lambda1 lambda2)))))
        (t_1 (- 0.5 t_0))
        (t_2
         (+
          0.5
          (*
           -0.5
           (+
            (* (sin lambda1) (sin lambda2))
            (* (cos lambda1) (cos lambda2)))))))
   (if (<= phi1 -0.00026)
     (*
      (* R 2.0)
      (atan2
       (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) (- t_0 0.5))))
       (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) (- 0.5 t_2))))))
     (if (<= phi1 5.5e-5)
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         (sqrt
          (+
           (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
           (*
            (cos phi1)
            (*
             (cos phi2)
             (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))))))))
         (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi2) t_1)))))
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) (- t_2 0.5))))
         (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) t_1)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_1 = 0.5 - t_0;
	double t_2 = 0.5 + (-0.5 * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda1) * cos(lambda2))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -0.00026) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (t_0 - 0.5)))), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (0.5 - t_2)))));
	} else if (phi1 <= 5.5e-5) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((0.5 - (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0))))))))), sqrt((0.5 + (cos(phi2) * t_1))));
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (t_2 - 0.5)))), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((lambda1 - lambda2)))
    t_1 = 0.5d0 - t_0
    t_2 = 0.5d0 + ((-0.5d0) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda1) * cos(lambda2))))
    if (phi1 <= (-0.00026d0)) then
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * (t_0 - 0.5d0)))), sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * (0.5d0 - t_2)))))
    else if (phi1 <= 5.5d-5) then
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt(((0.5d0 - (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5d0 - (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))))))))), sqrt((0.5d0 + (cos(phi2) * t_1))))
    else
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * (t_2 - 0.5d0)))), sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * t_1))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_1 = 0.5 - t_0;
	double t_2 = 0.5 + (-0.5 * ((Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)) + (Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -0.00026) {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * (t_0 - 0.5)))), Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * (0.5 - t_2)))));
	} else if (phi1 <= 5.5e-5) {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt(((0.5 - (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * Math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0))))))))), Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi2) * t_1))));
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * (t_2 - 0.5)))), Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2)))
	t_1 = 0.5 - t_0
	t_2 = 0.5 + (-0.5 * ((math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)) + (math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2))))
	tmp = 0
	if phi1 <= -0.00026:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * (t_0 - 0.5)))), math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * (0.5 - t_2)))))
	elif phi1 <= 5.5e-5:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt(((0.5 - (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0))))))))), math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi2) * t_1))))
	else:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * (t_2 - 0.5)))), math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * t_1))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	t_1 = Float64(0.5 - t_0)
	t_2 = Float64(0.5 + Float64(-0.5 * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -0.00026)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * Float64(t_0 - 0.5)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * Float64(0.5 - t_2))))));
	elseif (phi1 <= 5.5e-5)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))))))))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi2) * t_1)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * Float64(t_2 - 0.5)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * t_1)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)));
	t_1 = 0.5 - t_0;
	t_2 = 0.5 + (-0.5 * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda1) * cos(lambda2))));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -0.00026)
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (t_0 - 0.5)))), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (0.5 - t_2)))));
	elseif (phi1 <= 5.5e-5)
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((0.5 - (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0))))))))), sqrt((0.5 + (cos(phi2) * t_1))));
	else
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (t_2 - 0.5)))), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * t_1))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 - t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 + N[(-0.5 * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -0.00026], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(t$95$0 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(0.5 - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 5.5e-5], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(t$95$2 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -2.59999999999999977e-4

   1. Initial program 51.7%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 51.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 52.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 52.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 53.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 53.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. cos-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       8. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 54.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 54.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -2.59999999999999977e-4 < phi1 < 5.5000000000000002e-5

   1. Initial program 74.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 64.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 64.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 64.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 5.5000000000000002e-5 < phi1

   1. Initial program 45.9%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 46.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 46.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 46.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 48.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 48.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. cos-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       8. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 48.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 48.5%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 57.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -0.00026:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 5.5 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 58.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(t\_0 - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -0.0003:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.9 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - t\_0\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- lambda1 lambda2)))))
        (t_1
         (*
          (* R 2.0)
          (atan2
           (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) (- t_0 0.5))))
           (sqrt
            (+
             0.5
             (*
              (cos phi1)
              (-
               0.5
               (+
                0.5
                (*
                 -0.5
                 (+
                  (* (sin lambda1) (sin lambda2))
                  (* (cos lambda1) (cos lambda2)))))))))))))
   (if (<= phi1 -0.0003)
     t_1
     (if (<= phi1 1.9e-5)
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         (sqrt
          (+
           (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
           (*
            (cos phi1)
            (*
             (cos phi2)
             (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))))))))
         (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi2) (- 0.5 t_0))))))
       t_1))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_1 = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (t_0 - 0.5)))), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (0.5 - (0.5 + (-0.5 * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda1) * cos(lambda2))))))))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -0.0003) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi1 <= 1.9e-5) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((0.5 - (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0))))))))), sqrt((0.5 + (cos(phi2) * (0.5 - t_0)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((lambda1 - lambda2)))
    t_1 = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * (t_0 - 0.5d0)))), sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * (0.5d0 - (0.5d0 + ((-0.5d0) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda1) * cos(lambda2))))))))))
    if (phi1 <= (-0.0003d0)) then
        tmp = t_1
    else if (phi1 <= 1.9d-5) then
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt(((0.5d0 - (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5d0 - (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))))))))), sqrt((0.5d0 + (cos(phi2) * (0.5d0 - t_0)))))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_1 = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * (t_0 - 0.5)))), Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * (0.5 - (0.5 + (-0.5 * ((Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)) + (Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2))))))))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -0.0003) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi1 <= 1.9e-5) {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt(((0.5 - (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * Math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0))))))))), Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi2) * (0.5 - t_0)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2)))
	t_1 = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * (t_0 - 0.5)))), math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * (0.5 - (0.5 + (-0.5 * ((math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)) + (math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2))))))))))
	tmp = 0
	if phi1 <= -0.0003:
		tmp = t_1
	elif phi1 <= 1.9e-5:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt(((0.5 - (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0))))))))), math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi2) * (0.5 - t_0)))))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	t_1 = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * Float64(t_0 - 0.5)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * Float64(0.5 - Float64(0.5 + Float64(-0.5 * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)))))))))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -0.0003)
		tmp = t_1;
	elseif (phi1 <= 1.9e-5)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))))))))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi2) * Float64(0.5 - t_0))))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)));
	t_1 = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (t_0 - 0.5)))), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (0.5 - (0.5 + (-0.5 * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda1) * cos(lambda2))))))))));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -0.0003)
		tmp = t_1;
	elseif (phi1 <= 1.9e-5)
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((0.5 - (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0))))))))), sqrt((0.5 + (cos(phi2) * (0.5 - t_0)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(t$95$0 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(0.5 - N[(0.5 + N[(-0.5 * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -0.0003], t$95$1, If[LessEqual[phi1, 1.9e-5], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(0.5 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -2.99999999999999974e-4 or 1.9000000000000001e-5 < phi1

   1. Initial program 48.6%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 48.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 49.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 49.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 50.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 50.6%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. cos-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       8. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 50.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 50.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -2.99999999999999974e-4 < phi1 < 1.9000000000000001e-5

   1. Initial program 74.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 64.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 64.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 64.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 57.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -0.0003:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.9 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 57.9% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := -0.5 \cdot t\_0\\ t_2 := 0.5 - \left(0.5 + t\_1\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -0.0024:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(t\_1, \cos \phi_1, 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot t\_2}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 5 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot t\_2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + t\_0 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + t\_0 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (* -0.5 t_0))
        (t_2 (- 0.5 (+ 0.5 t_1))))
   (if (<= phi1 -0.0024)
     (*
      (* R 2.0)
      (atan2
       (sqrt (fma t_1 (cos phi1) 0.5))
       (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) t_2)))))
     (if (<= phi1 5e-5)
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         (sqrt
          (+
           (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
           (*
            (cos phi1)
            (*
             (cos phi2)
             (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))))))))
         (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi2) t_2)))))
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         (sqrt (+ 0.5 (* t_0 (* (cos phi1) -0.5))))
         (sqrt (+ 0.5 (* t_0 (* (cos phi1) 0.5))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = -0.5 * t_0;
	double t_2 = 0.5 - (0.5 + t_1);
	double tmp;
	if (phi1 <= -0.0024) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(fma(t_1, cos(phi1), 0.5)), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * t_2))));
	} else if (phi1 <= 5e-5) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((0.5 - (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0))))))))), sqrt((0.5 + (cos(phi2) * t_2))));
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (t_0 * (cos(phi1) * -0.5)))), sqrt((0.5 + (t_0 * (cos(phi1) * 0.5)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(-0.5 * t_0)
	t_2 = Float64(0.5 - Float64(0.5 + t_1))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -0.0024)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(fma(t_1, cos(phi1), 0.5)), sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * t_2)))));
	elseif (phi1 <= 5e-5)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))))))))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi2) * t_2)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(t_0 * Float64(cos(phi1) * -0.5)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(t_0 * Float64(cos(phi1) * 0.5))))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(-0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 - N[(0.5 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -0.0024], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$1 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 5e-5], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(t$95$0 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(t$95$0 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -0.00239999999999999979

   1. Initial program 51.7%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 51.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 52.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 52.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 53.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 53.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2}\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 0\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), 0\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), 0\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 0\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       10. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 0\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       11. cos-lowering-cos.f64 53.8%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 0\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 53.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 0, \cos \phi_1, 0.5\right)}}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -0.00239999999999999979 < phi1 < 5.00000000000000024e-5

   1. Initial program 74.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 64.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 64.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 64.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 5.00000000000000024e-5 < phi1

   1. Initial program 45.9%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 46.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 46.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 46.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 48.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 48.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   11. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{R}, 2\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       7. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       8. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       9. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       15. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       16. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. Simplified 48.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(-0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 57.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -0.0024:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_1, 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 5 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 57.9% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := -0.5 \cdot t\_0\\ t_2 := 0.5 + t\_1\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -0.00022:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(t\_1, \cos \phi_1, 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - t\_2\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(t\_2 - 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + t\_0 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + t\_0 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2))) (t_1 (* -0.5 t_0)) (t_2 (+ 0.5 t_1)))
   (if (<= phi1 -0.00022)
     (*
      (* R 2.0)
      (atan2
       (sqrt (fma t_1 (cos phi1) 0.5))
       (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) (- 0.5 t_2))))))
     (if (<= phi1 1.55e-5)
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi2) (- t_2 0.5))))
         (sqrt
          (+
           (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
           (*
            (cos phi1)
            (*
             (cos phi2)
             (- (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))) 0.5)))))))
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         (sqrt (+ 0.5 (* t_0 (* (cos phi1) -0.5))))
         (sqrt (+ 0.5 (* t_0 (* (cos phi1) 0.5))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = -0.5 * t_0;
	double t_2 = 0.5 + t_1;
	double tmp;
	if (phi1 <= -0.00022) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(fma(t_1, cos(phi1), 0.5)), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (0.5 - t_2)))));
	} else if (phi1 <= 1.55e-5) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi2) * (t_2 - 0.5)))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))));
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (t_0 * (cos(phi1) * -0.5)))), sqrt((0.5 + (t_0 * (cos(phi1) * 0.5)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(-0.5 * t_0)
	t_2 = Float64(0.5 + t_1)
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -0.00022)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(fma(t_1, cos(phi1), 0.5)), sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * Float64(0.5 - t_2))))));
	elseif (phi1 <= 1.55e-5)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi2) * Float64(t_2 - 0.5)))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(t_0 * Float64(cos(phi1) * -0.5)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(t_0 * Float64(cos(phi1) * 0.5))))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(-0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 + t$95$1), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -0.00022], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$1 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(0.5 - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 1.55e-5], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(t$95$2 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(t$95$0 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(t$95$0 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -2.20000000000000008e-4

   1. Initial program 51.7%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 51.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 52.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 52.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 53.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 53.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot \cos \phi_1 + \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2}\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 0\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), 0\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), 0\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 0\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       10. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 0\right), \cos \phi_1, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       11. cos-lowering-cos.f64 53.8%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 0\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 53.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 0, \cos \phi_1, 0.5\right)}}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -2.20000000000000008e-4 < phi1 < 1.55000000000000007e-5

   1. Initial program 74.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 64.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 64.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 64.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 1.55000000000000007e-5 < phi1

   1. Initial program 45.9%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 46.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 46.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 46.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 48.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 48.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   11. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{R}, 2\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       7. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       8. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       9. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       15. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       16. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. Simplified 48.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(-0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 57.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -0.00022:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_1, 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.55 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 47.9% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := 0.5 + -0.5 \cdot t\_1\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -0.0001:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + t\_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + t\_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq 2000000000000:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_0}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(t\_2 - 0.5\right)}}{\sqrt{1 - \left(t\_0 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot t\_2\right)\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- phi1 phi2)))))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (+ 0.5 (* -0.5 t_1))))
   (if (<= (- lambda1 lambda2) -0.0001)
     (*
      (* R 2.0)
      (atan2
       (sqrt (+ 0.5 (* t_1 (* (cos phi1) -0.5))))
       (sqrt (+ 0.5 (* t_1 (* (cos phi1) 0.5))))))
     (if (<= (- lambda1 lambda2) 2000000000000.0)
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         (sqrt t_0)
         (sqrt
          (+
           (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
           (*
            (cos phi1)
            (*
             (cos phi2)
             (- (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))) 0.5)))))))
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) (- t_2 0.5))))
         (sqrt (- 1.0 (+ t_0 (* (cos phi1) (* (cos phi2) t_2)))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2)));
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = 0.5 + (-0.5 * t_1);
	double tmp;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -0.0001) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (t_1 * (cos(phi1) * -0.5)))), sqrt((0.5 + (t_1 * (cos(phi1) * 0.5)))));
	} else if ((lambda1 - lambda2) <= 2000000000000.0) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(t_0), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))));
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (t_2 - 0.5)))), sqrt((1.0 - (t_0 + (cos(phi1) * (cos(phi2) * t_2))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((phi1 - phi2)))
    t_1 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_2 = 0.5d0 + ((-0.5d0) * t_1)
    if ((lambda1 - lambda2) <= (-0.0001d0)) then
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (t_1 * (cos(phi1) * (-0.5d0))))), sqrt((0.5d0 + (t_1 * (cos(phi1) * 0.5d0)))))
    else if ((lambda1 - lambda2) <= 2000000000000.0d0) then
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt(t_0), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5d0 * cos((2.0d0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)))) - 0.5d0))))))
    else
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * (t_2 - 0.5d0)))), sqrt((1.0d0 - (t_0 + (cos(phi1) * (cos(phi2) * t_2))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * Math.cos((phi1 - phi2)));
	double t_1 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = 0.5 + (-0.5 * t_1);
	double tmp;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -0.0001) {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (t_1 * (Math.cos(phi1) * -0.5)))), Math.sqrt((0.5 + (t_1 * (Math.cos(phi1) * 0.5)))));
	} else if ((lambda1 - lambda2) <= 2000000000000.0) {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt(t_0), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * ((0.5 * Math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))));
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * (t_2 - 0.5)))), Math.sqrt((1.0 - (t_0 + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * t_2))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * math.cos((phi1 - phi2)))
	t_1 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_2 = 0.5 + (-0.5 * t_1)
	tmp = 0
	if (lambda1 - lambda2) <= -0.0001:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (t_1 * (math.cos(phi1) * -0.5)))), math.sqrt((0.5 + (t_1 * (math.cos(phi1) * 0.5)))))
	elif (lambda1 - lambda2) <= 2000000000000.0:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt(t_0), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * ((0.5 * math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))))
	else:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * (t_2 - 0.5)))), math.sqrt((1.0 - (t_0 + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * t_2))))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2))))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(0.5 + Float64(-0.5 * t_1))
	tmp = 0.0
	if (Float64(lambda1 - lambda2) <= -0.0001)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(t_1 * Float64(cos(phi1) * -0.5)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(t_1 * Float64(cos(phi1) * 0.5))))));
	elseif (Float64(lambda1 - lambda2) <= 2000000000000.0)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(t_0), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * Float64(t_2 - 0.5)))), sqrt(Float64(1.0 - Float64(t_0 + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * t_2)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2)));
	t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_2 = 0.5 + (-0.5 * t_1);
	tmp = 0.0;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -0.0001)
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (t_1 * (cos(phi1) * -0.5)))), sqrt((0.5 + (t_1 * (cos(phi1) * 0.5)))));
	elseif ((lambda1 - lambda2) <= 2000000000000.0)
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(t_0), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))));
	else
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (t_2 - 0.5)))), sqrt((1.0 - (t_0 + (cos(phi1) * (cos(phi2) * t_2))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 + N[(-0.5 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision], -0.0001], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(t$95$1 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(t$95$1 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision], 2000000000000.0], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(t$95$2 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - N[(t$95$0 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (-.f64 lambda1 lambda2) < -1.00000000000000005e-4

   1. Initial program 58.6%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 58.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 46.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 46.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 47.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 47.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   11. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{R}, 2\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       7. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       8. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       9. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       15. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       16. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. Simplified 47.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(-0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -1.00000000000000005e-4 < (-.f64 lambda1 lambda2) < 2e12

   1. Initial program 74.4%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 54.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 + \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\cos \lambda_1, \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \sin \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 53.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 53.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 + \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)}\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 52.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 52.2%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 2e12 < (-.f64 lambda1 lambda2)

   1. Initial program 55.9%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 56.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 44.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 44.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   9. Applied egg-rr 44.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)\right) + \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 47.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -0.0001:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq 2000000000000:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{1 - \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 48.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + t\_0 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + t\_0 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -0.0001:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq 100:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_1
         (*
          (* R 2.0)
          (atan2
           (sqrt (+ 0.5 (* t_0 (* (cos phi1) -0.5))))
           (sqrt (+ 0.5 (* t_0 (* (cos phi1) 0.5))))))))
   (if (<= (- lambda1 lambda2) -0.0001)
     t_1
     (if (<= (- lambda1 lambda2) 100.0)
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         (sqrt (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- phi1 phi2)))))
         (sqrt
          (+
           (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
           (*
            (cos phi1)
            (*
             (cos phi2)
             (- (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))) 0.5)))))))
       t_1))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (t_0 * (cos(phi1) * -0.5)))), sqrt((0.5 + (t_0 * (cos(phi1) * 0.5)))));
	double tmp;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -0.0001) {
		tmp = t_1;
	} else if ((lambda1 - lambda2) <= 100.0) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2))))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (t_0 * (cos(phi1) * (-0.5d0))))), sqrt((0.5d0 + (t_0 * (cos(phi1) * 0.5d0)))))
    if ((lambda1 - lambda2) <= (-0.0001d0)) then
        tmp = t_1
    else if ((lambda1 - lambda2) <= 100.0d0) then
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((phi1 - phi2))))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5d0 * cos((2.0d0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)))) - 0.5d0))))))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (t_0 * (Math.cos(phi1) * -0.5)))), Math.sqrt((0.5 + (t_0 * (Math.cos(phi1) * 0.5)))));
	double tmp;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -0.0001) {
		tmp = t_1;
	} else if ((lambda1 - lambda2) <= 100.0) {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (-0.5 * Math.cos((phi1 - phi2))))), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * ((0.5 * Math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (t_0 * (math.cos(phi1) * -0.5)))), math.sqrt((0.5 + (t_0 * (math.cos(phi1) * 0.5)))))
	tmp = 0
	if (lambda1 - lambda2) <= -0.0001:
		tmp = t_1
	elif (lambda1 - lambda2) <= 100.0:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (-0.5 * math.cos((phi1 - phi2))))), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * ((0.5 * math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(t_0 * Float64(cos(phi1) * -0.5)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(t_0 * Float64(cos(phi1) * 0.5))))))
	tmp = 0.0
	if (Float64(lambda1 - lambda2) <= -0.0001)
		tmp = t_1;
	elseif (Float64(lambda1 - lambda2) <= 100.0)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2))))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5)))))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (t_0 * (cos(phi1) * -0.5)))), sqrt((0.5 + (t_0 * (cos(phi1) * 0.5)))));
	tmp = 0.0;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -0.0001)
		tmp = t_1;
	elseif ((lambda1 - lambda2) <= 100.0)
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2))))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(t$95$0 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(t$95$0 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision], -0.0001], t$95$1, If[LessEqual[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision], 100.0], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 lambda1 lambda2) < -1.00000000000000005e-4 or 100 < (-.f64 lambda1 lambda2)

   1. Initial program 57.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 57.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 44.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 44.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 45.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 45.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   11. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{R}, 2\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       7. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       8. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       9. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       15. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       16. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. Simplified 45.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(-0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -1.00000000000000005e-4 < (-.f64 lambda1 lambda2) < 100

   1. Initial program 75.0%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 54.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 + \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\cos \lambda_1, \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \sin \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 53.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 53.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 + \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)}\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 53.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 53.3%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 47.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -0.0001:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq 100:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 42.6% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + t\_0 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + t\_0 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2))))
   (*
    (* R 2.0)
    (atan2
     (sqrt (+ 0.5 (* t_0 (* (cos phi1) -0.5))))
     (sqrt (+ 0.5 (* t_0 (* (cos phi1) 0.5))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	return (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (t_0 * (cos(phi1) * -0.5)))), sqrt((0.5 + (t_0 * (cos(phi1) * 0.5)))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    code = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (t_0 * (cos(phi1) * (-0.5d0))))), sqrt((0.5d0 + (t_0 * (cos(phi1) * 0.5d0)))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	return (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (t_0 * (Math.cos(phi1) * -0.5)))), Math.sqrt((0.5 + (t_0 * (Math.cos(phi1) * 0.5)))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	return (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (t_0 * (math.cos(phi1) * -0.5)))), math.sqrt((0.5 + (t_0 * (math.cos(phi1) * 0.5)))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	return Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(t_0 * Float64(cos(phi1) * -0.5)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(t_0 * Float64(cos(phi1) * 0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (t_0 * (cos(phi1) * -0.5)))), sqrt((0.5 + (t_0 * (cos(phi1) * 0.5)))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(t$95$0 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(t$95$0 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 61.2%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 56.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. --lowering--.f64 43.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 43.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 43.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

10. Simplified 43.6%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

11. Taylor expanded in phi1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{R}, 2\right)\right) \]

    2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    7. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    8. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    9. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    12. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    15. cos-lowering-cos.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    16. cos-lowering-cos.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

13. Simplified 43.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(-0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

14. Final simplification 43.7%

    \[\leadsto \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 20: 29.1% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot t\_0\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot t\_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2))))
   (*
    (* R 2.0)
    (atan2
     (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) (- (+ 0.5 (* -0.5 t_0)) 0.5))))
     (sqrt (+ 0.5 (* 0.5 t_0)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	return (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * ((0.5 + (-0.5 * t_0)) - 0.5)))), sqrt((0.5 + (0.5 * t_0))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    code = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * ((0.5d0 + ((-0.5d0) * t_0)) - 0.5d0)))), sqrt((0.5d0 + (0.5d0 * t_0))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	return (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * ((0.5 + (-0.5 * t_0)) - 0.5)))), Math.sqrt((0.5 + (0.5 * t_0))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	return (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * ((0.5 + (-0.5 * t_0)) - 0.5)))), math.sqrt((0.5 + (0.5 * t_0))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	return Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.5 * t_0)) - 0.5)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 * t_0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * ((0.5 + (-0.5 * t_0)) - 0.5)))), sqrt((0.5 + (0.5 * t_0))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(0.5 + N[(-0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 61.2%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 56.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. --lowering--.f64 43.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 43.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 43.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

10. Simplified 43.6%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

11. Taylor expanded in phi1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    3. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    4. --lowering--.f64 29.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

13. Simplified 29.0%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

14. Final simplification 29.0%

    \[\leadsto \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 21: 26.9% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_0}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - t\_0\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- lambda1 lambda2))))))
   (* (* R 2.0) (atan2 (sqrt t_0) (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) (- 0.5 t_0))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)));
	return (R * 2.0) * atan2(sqrt(t_0), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (0.5 - t_0)))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    t_0 = 0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((lambda1 - lambda2)))
    code = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt(t_0), sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * (0.5d0 - t_0)))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2)));
	return (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt(t_0), Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * (0.5 - t_0)))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2)))
	return (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt(t_0), math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * (0.5 - t_0)))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	return Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(t_0), sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * Float64(0.5 - t_0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)));
	tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(t_0), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (0.5 - t_0)))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(0.5 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 61.2%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 56.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. --lowering--.f64 43.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 43.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 43.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

10. Simplified 43.6%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

11. Taylor expanded in phi1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    3. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    4. --lowering--.f64 26.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

13. Simplified 26.9%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

14. Final simplification 26.9%

    \[\leadsto \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
  :name "Distance on a great circle"
  :precision binary64
  (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt (+ (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0) (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))))) (sqrt (- 1.0 (+ (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0) (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))))))))))