Trigonometry B

Percentage Accurate: 99.5% → 99.6%

Time: 11.1s

Alternatives: 6

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan x \cdot \tan x\\ \frac{1 - t\_0}{1 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (tan x) (tan x)))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = tan(x) * tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) * tan(x)
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.tan(x) * Math.tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.tan(x) * math.tan(x)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(tan(x) * tan(x))
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = tan(x) * tan(x);
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan x \cdot \tan x\\ \frac{1 - t\_0}{1 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (tan x) (tan x)))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = tan(x) * tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) * tan(x)
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.tan(x) * Math.tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.tan(x) * math.tan(x)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(tan(x) * tan(x))
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = tan(x) * tan(x);
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(x \cdot 2\right)\\ t_1 := 1 - t\_0\\ \frac{1 + \frac{t\_1}{-1 - t\_0}}{1 + \frac{t\_1}{1 + t\_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (* x 2.0))) (t_1 (- 1.0 t_0)))
   (/ (+ 1.0 (/ t_1 (- -1.0 t_0))) (+ 1.0 (/ t_1 (+ 1.0 t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cos((x * 2.0));
	double t_1 = 1.0 - t_0;
	return (1.0 + (t_1 / (-1.0 - t_0))) / (1.0 + (t_1 / (1.0 + t_0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = cos((x * 2.0d0))
    t_1 = 1.0d0 - t_0
    code = (1.0d0 + (t_1 / ((-1.0d0) - t_0))) / (1.0d0 + (t_1 / (1.0d0 + t_0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cos((x * 2.0));
	double t_1 = 1.0 - t_0;
	return (1.0 + (t_1 / (-1.0 - t_0))) / (1.0 + (t_1 / (1.0 + t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.cos((x * 2.0))
	t_1 = 1.0 - t_0
	return (1.0 + (t_1 / (-1.0 - t_0))) / (1.0 + (t_1 / (1.0 + t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = cos(Float64(x * 2.0))
	t_1 = Float64(1.0 - t_0)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(t_1 / Float64(-1.0 - t_0))) / Float64(1.0 + Float64(t_1 / Float64(1.0 + t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = cos((x * 2.0));
	t_1 = 1.0 - t_0;
	tmp = (1.0 + (t_1 / (-1.0 - t_0))) / (1.0 + (t_1 / (1.0 + t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 + N[(t$95$1 / N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(t$95$1 / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sin x \cdot \sin x\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(x + x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(x + x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-sum N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   14. sqr-cos-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   16. cos-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   17. cos-sum N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(x + x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(x + x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   19. cos-sum N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   20. cos-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   21. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   22. *-lowering-*.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{\frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\color{blue}{\cos x}}\right)\right)\right) \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\color{blue}{\cos x \cdot \cos x}}\right)\right)\right) \]

   4. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\color{blue}{\cos x} \cdot \cos x}\right)\right)\right) \]

   5. sqr-cos-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}\right)\right)\right) \]

   6. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right) + \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(x \cdot 2\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right) + \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \frac{1 - \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}{1 + \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right) + -0.5}{\cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5 + -0.5}}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right) - \frac{1}{2}}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right) - \frac{1}{2}}}} \]

9. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{1 - \cos \left(x \cdot 2\right)}{-1 - \cos \left(x \cdot 2\right)}}{1 + \frac{1 - \cos \left(x \cdot 2\right)}{1 + \cos \left(x \cdot 2\right)}}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ \frac{1 - t\_0}{1 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(\tan x \cdot \tan x + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   2. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\tan x, \color{blue}{\tan x}, 1\right)\right) \]

   3. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \color{blue}{x}, 1\right)\right) \]

   4. tan-lowering-tan.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \color{blue}{\tan x \cdot \tan x}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{\left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)}\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   4. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   6. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(\tan x \cdot \tan x + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\tan x}^{2}\right), 1\right)\right) \]

   10. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right), 1\right)\right) \]

   11. tan-lowering-tan.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), 1\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - {\tan x}^{2}}{{\tan x}^{2} + 1}} \]

7. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 + {\tan x}^{2}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 61.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 - \left(\cos \left(x \cdot 2\right) \cdot 0.5 + -0.5\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (- 1.0 (pow (tan x) 2.0)) (- 1.0 (+ (* (cos (* x 2.0)) 0.5) -0.5))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 - pow(tan(x), 2.0)) / (1.0 - ((cos((x * 2.0)) * 0.5) + -0.5));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 - (tan(x) ** 2.0d0)) / (1.0d0 - ((cos((x * 2.0d0)) * 0.5d0) + (-0.5d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 - Math.pow(Math.tan(x), 2.0)) / (1.0 - ((Math.cos((x * 2.0)) * 0.5) + -0.5));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 - math.pow(math.tan(x), 2.0)) / (1.0 - ((math.cos((x * 2.0)) * 0.5) + -0.5))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 - (tan(x) ^ 2.0)) / Float64(1.0 - Float64(Float64(cos(Float64(x * 2.0)) * 0.5) + -0.5)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 - (tan(x) ^ 2.0)) / (1.0 - ((cos((x * 2.0)) * 0.5) + -0.5));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 - N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[(N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] + -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(\tan x \cdot \tan x + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   2. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\tan x, \color{blue}{\tan x}, 1\right)\right) \]

   3. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \color{blue}{x}, 1\right)\right) \]

   4. tan-lowering-tan.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \color{blue}{\tan x \cdot \tan x}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{\left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)}\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   4. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   6. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(\tan x \cdot \tan x + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\tan x}^{2}\right), 1\right)\right) \]

   10. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right), 1\right)\right) \]

   11. tan-lowering-tan.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), 1\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - {\tan x}^{2}}{{\tan x}^{2} + 1}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\tan x \cdot \tan x\right), 1\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan x\right), 1\right)\right) \]

   3. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), 1\right)\right) \]

   4. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \cos x}\right), 1\right)\right) \]

   5. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\cos x \cdot \cos x}\right), 1\right)\right) \]

   6. sqr-cos-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right), 1\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \cos \left(2 \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}}\right), 1\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{2}}\right), 1\right)\right) \]

   9. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\left(\cos \left(x \cdot 2\right) + 1\right) \cdot \frac{1}{2}}\right), 1\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\left(\cos \left(x \cdot 2\right) + 1\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right)}\right), 1\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(\cos \left(x \cdot 2\right) + 1\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right), 1\right)\right) \]

   12. distribute-lft1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(\cos \left(x \cdot 2\right) \cdot \frac{-1}{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)}\right), 1\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(\cos \left(x \cdot 2\right) \cdot \frac{-1}{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)}\right), 1\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(\cos \left(x \cdot 2\right) \cdot \frac{-1}{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)}\right), 1\right)\right) \]

   15. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(\cos \left(x \cdot 2\right) \cdot \frac{-1}{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)}\right), 1\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(\cos \left(x \cdot 2\right) \cdot \frac{-1}{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)}\right), 1\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(x \cdot 2\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(\cos \left(x \cdot 2\right) \cdot \frac{-1}{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)}\right), 1\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \frac{1 - {\tan x}^{2}}{\color{blue}{\frac{1}{-0.5 + \cos \left(2 \cdot x\right) \cdot -0.5} \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right) + -0.5\right)} + 1} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), 1\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 57.3%

    \[\leadsto \frac{1 - {\tan x}^{2}}{\color{blue}{-1} \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right) + -0.5\right) + 1} \]

12. Final simplification 57.3%

    \[\leadsto \frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 - \left(\cos \left(x \cdot 2\right) \cdot 0.5 + -0.5\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 4: 59.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\frac{1}{1 - {\tan x}^{2}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (/ 1.0 (- 1.0 (pow (tan x) 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / (1.0 / (1.0 - pow(tan(x), 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 / (1.0d0 / (1.0d0 - (tan(x) ** 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / (1.0 / (1.0 - Math.pow(Math.tan(x), 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / (1.0 / (1.0 - math.pow(math.tan(x), 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(1.0 / Float64(1.0 - (tan(x) ^ 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / (1.0 / (1.0 - (tan(x) ^ 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(1.0 / N[(1.0 - N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(\tan x \cdot \tan x + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   2. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\tan x, \color{blue}{\tan x}, 1\right)\right) \]

   3. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \color{blue}{x}, 1\right)\right) \]

   4. tan-lowering-tan.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \color{blue}{\tan x \cdot \tan x}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{\left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)}\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   4. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   6. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(\tan x \cdot \tan x + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\tan x}^{2}\right), 1\right)\right) \]

   10. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right), 1\right)\right) \]

   11. tan-lowering-tan.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), 1\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - {\tan x}^{2}}{{\tan x}^{2} + 1}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
8. Step-by-step derivation

9. Simplified 55.1%

   \[\leadsto \frac{1 - {\tan x}^{2}}{\color{blue}{1}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. clear-num N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{1 - {\tan x}^{2}}}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{1 - {\tan x}^{2}}\right)}\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 - {\tan x}^{2}\right)}\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 - {\tan x}^{\left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    5. pow-flip N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 - \frac{1}{\color{blue}{{\tan x}^{-2}}}\right)\right)\right) \]

    6. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{{\tan x}^{-2}}\right)}\right)\right)\right) \]

    7. pow-flip N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    9. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

    10. tan-lowering-tan.f64 55.1%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 55.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{1 - {\tan x}^{2}}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 59.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - {\tan x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (pow (tan x) 2.0)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - pow(tan(x), 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 - (tan(x) ** 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - math.pow(math.tan(x), 2.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - (tan(x) ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - (tan(x) ^ 2.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(\tan x \cdot \tan x + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   2. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\tan x, \color{blue}{\tan x}, 1\right)\right) \]

   3. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \color{blue}{x}, 1\right)\right) \]

   4. tan-lowering-tan.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \color{blue}{\tan x \cdot \tan x}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{\left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)}\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   4. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   6. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(\tan x \cdot \tan x + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\tan x}^{2}\right), 1\right)\right) \]

   10. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right), 1\right)\right) \]

   11. tan-lowering-tan.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), 1\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - {\tan x}^{2}}{{\tan x}^{2} + 1}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
8. Step-by-step derivation

9. Simplified 55.1%

   \[\leadsto \frac{1 - {\tan x}^{2}}{\color{blue}{1}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. /-rgt-identity N/A

       \[\leadsto 1 - \color{blue}{{\tan x}^{2}} \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 1 - {\tan x}^{\left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right)} \]

    3. pow-flip N/A

       \[\leadsto 1 - \frac{1}{\color{blue}{{\tan x}^{-2}}} \]

    4. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{{\tan x}^{-2}}\right)}\right) \]

    5. pow-flip N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right)}}\right)\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right) \]

    7. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, \color{blue}{2}\right)\right) \]

    8. tan-lowering-tan.f64 55.1%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 55.1%

    \[\leadsto \color{blue}{1 - {\tan x}^{2}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 55.6% accurate, 411.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 50.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
5. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (x)
  :name "Trigonometry B"
  :precision binary64
  (/ (- 1.0 (* (tan x) (tan x))) (+ 1.0 (* (tan x) (tan x)))))