normal distribution

Percentage Accurate: 99.4% → 99.5%

Time: 13.5s

Alternatives: 5

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(0 \leq u1 \land u1 \leq 1\right) \land \left(0 \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * pow((-2.0 * log(u1)), 0.5)) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * Math.pow((-2.0 * Math.log(u1)), 0.5)) * Math.cos(((2.0 * Math.PI) * u2))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return (((1.0 / 6.0) * math.pow((-2.0 * math.log(u1)), 0.5)) * math.cos(((2.0 * math.pi) * u2))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / 6.0) * (Float64(-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (((1.0 / 6.0) * ((-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(((2.0 * pi) * u2))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / 6.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Initial Program: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * pow((-2.0 * log(u1)), 0.5)) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * Math.pow((-2.0 * Math.log(u1)), 0.5)) * Math.cos(((2.0 * Math.PI) * u2))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return (((1.0 / 6.0) * math.pow((-2.0 * math.log(u1)), 0.5)) * math.cos(((2.0 * math.pi) * u2))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / 6.0) * (Float64(-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (((1.0 / 6.0) * ((-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(((2.0 * pi) * u2))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / 6.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sqrt{0 - \log u1} \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (*
   (* 0.16666666666666666 (* (sqrt (- 0.0 (log u1))) (sqrt 2.0)))
   (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return ((0.16666666666666666 * (sqrt((0.0 - log(u1))) * sqrt(2.0))) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return ((0.16666666666666666 * (Math.sqrt((0.0 - Math.log(u1))) * Math.sqrt(2.0))) * Math.cos(((2.0 * Math.PI) * u2))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return ((0.16666666666666666 * (math.sqrt((0.0 - math.log(u1))) * math.sqrt(2.0))) * math.cos(((2.0 * math.pi) * u2))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(sqrt(Float64(0.0 - log(u1))) * sqrt(2.0))) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = ((0.16666666666666666 * (sqrt((0.0 - log(u1))) * sqrt(2.0))) * cos(((2.0 * pi) * u2))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(0.16666666666666666 * N[(N[Sqrt[N[(0.0 - N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sqrt[2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.4%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, 6\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log \left(\frac{1}{u1}\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   3. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{u1}\right)\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

5. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

6. Taylor expanded in u1 around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log \left(\frac{1}{u1}\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   6. log-rec N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log u1\right)\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   7. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(0 - \log u1\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \log u1\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

8. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sqrt{0 - \log u1} \cdot \sqrt{2}\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.4% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right), 0.16666666666666666, 0.5\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (fma
  (* (sqrt (* (log u1) -2.0)) (cos (* 2.0 (* PI u2))))
  0.16666666666666666
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return fma((sqrt((log(u1) * -2.0)) * cos((2.0 * (((double) M_PI) * u2)))), 0.16666666666666666, 0.5);
}

Julia

function code(u1, u2)
	return fma(Float64(sqrt(Float64(log(u1) * -2.0)) * cos(Float64(2.0 * Float64(pi * u2)))), 0.16666666666666666, 0.5)
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[Sqrt[N[(N[Log[u1], $MachinePrecision] * -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(2.0 * N[(Pi * u2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 0.5), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.4%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{1}{6} \cdot \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{1}{2} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \]

   3. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6}\right)}, \frac{1}{2}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   5. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   8. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   14. metadata-eval 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right), 0.16666666666666666, 0.5\right)} \]

5. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right), 0.16666666666666666, 0.5\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  0.5
  (*
   0.16666666666666666
   (* (sqrt (* (log u1) -2.0)) (cos (* 2.0 (* PI u2)))))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (0.16666666666666666 * (sqrt((log(u1) * -2.0)) * cos((2.0 * (((double) M_PI) * u2)))));
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (0.16666666666666666 * (Math.sqrt((Math.log(u1) * -2.0)) * Math.cos((2.0 * (Math.PI * u2)))));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + (0.16666666666666666 * (math.sqrt((math.log(u1) * -2.0)) * math.cos((2.0 * (math.pi * u2)))))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + Float64(0.16666666666666666 * Float64(sqrt(Float64(log(u1) * -2.0)) * cos(Float64(2.0 * Float64(pi * u2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + (0.16666666666666666 * (sqrt((log(u1) * -2.0)) * cos((2.0 * (pi * u2)))));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[(0.16666666666666666 * N[(N[Sqrt[N[(N[Log[u1], $MachinePrecision] * -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(2.0 * N[(Pi * u2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.4%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   5. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   8. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   14. metadata-eval 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) \cdot 0.16666666666666666} + 0.5 \]

5. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto 0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.8% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + {\left(\log u1 \cdot \left(-0.05555555555555555 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(0.2222222222222222 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  0.5
  (pow
   (*
    (log u1)
    (+ -0.05555555555555555 (* u2 (* u2 (* 0.2222222222222222 (* PI PI))))))
   0.5)))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + pow((log(u1) * (-0.05555555555555555 + (u2 * (u2 * (0.2222222222222222 * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))))))), 0.5);
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + Math.pow((Math.log(u1) * (-0.05555555555555555 + (u2 * (u2 * (0.2222222222222222 * (Math.PI * Math.PI)))))), 0.5);
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + math.pow((math.log(u1) * (-0.05555555555555555 + (u2 * (u2 * (0.2222222222222222 * (math.pi * math.pi)))))), 0.5)

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + (Float64(log(u1) * Float64(-0.05555555555555555 + Float64(u2 * Float64(u2 * Float64(0.2222222222222222 * Float64(pi * pi)))))) ^ 0.5))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + ((log(u1) * (-0.05555555555555555 + (u2 * (u2 * (0.2222222222222222 * (pi * pi)))))) ^ 0.5);
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[Power[N[(N[Log[u1], $MachinePrecision] * N[(-0.05555555555555555 + N[(u2 * N[(u2 * N[(0.2222222222222222 * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.4%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   3. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{4}}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   10. log-lowering-log.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \frac{1}{4}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.25} \cdot \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.25} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)} + 0.5 \]

6. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5}} + 0.5 \]

7. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{18} \cdot \log u1 + \frac{2}{9} \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \log u1\right)\right)\right)}, \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \log u1 + \frac{2}{9} \cdot \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \log u1\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \log u1 + \left(\frac{2}{9} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \log u1\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   3. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\log u1 \cdot \left(\frac{-1}{18} + \frac{2}{9} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\log u1 \cdot \left(\frac{-1}{18} + \left(\frac{2}{9} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\log u1 \cdot \left(\frac{-1}{18} + \left({u2}^{2} \cdot \frac{2}{9}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\log u1 \cdot \left(\frac{-1}{18} + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{2}{9} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\log u1, \left(\frac{-1}{18} + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{2}{9} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   8. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), \left(\frac{-1}{18} + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{2}{9} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{18}, \left({u2}^{2} \cdot \left(\frac{2}{9} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{18}, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\frac{2}{9} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{18}, \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\frac{2}{9} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{18}, \mathsf{*.f64}\left(u2, \left(u2 \cdot \left(\frac{2}{9} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{18}, \mathsf{*.f64}\left(u2, \mathsf{*.f64}\left(u2, \left(\frac{2}{9} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{18}, \mathsf{*.f64}\left(u2, \mathsf{*.f64}\left(u2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{9}, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{18}, \mathsf{*.f64}\left(u2, \mathsf{*.f64}\left(u2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{9}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{18}, \mathsf{*.f64}\left(u2, \mathsf{*.f64}\left(u2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   17. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{18}, \mathsf{*.f64}\left(u2, \mathsf{*.f64}\left(u2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{18}, \mathsf{*.f64}\left(u2, \mathsf{*.f64}\left(u2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

9. Simplified 99.2%

   \[\leadsto {\color{blue}{\left(\log u1 \cdot \left(-0.05555555555555555 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(0.2222222222222222 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)}}^{0.5} + 0.5 \]

10. Final simplification 99.2%

    \[\leadsto 0.5 + {\left(\log u1 \cdot \left(-0.05555555555555555 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(0.2222222222222222 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.4% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + \sqrt{\log u1 \cdot -0.05555555555555555} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+ 0.5 (sqrt (* (log u1) -0.05555555555555555))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + sqrt((log(u1) * -0.05555555555555555));
}

Fortran

real(8) function code(u1, u2)
    real(8), intent (in) :: u1
    real(8), intent (in) :: u2
    code = 0.5d0 + sqrt((log(u1) * (-0.05555555555555555d0)))
end function

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + Math.sqrt((Math.log(u1) * -0.05555555555555555));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + math.sqrt((math.log(u1) * -0.05555555555555555))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + sqrt(Float64(log(u1) * -0.05555555555555555)))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + sqrt((log(u1) * -0.05555555555555555));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[Sqrt[N[(N[Log[u1], $MachinePrecision] * -0.05555555555555555), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.4%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)}, \frac{1}{2}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1} \cdot \left(\sqrt{-2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1}\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log u1\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   6. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \left(\sqrt{-2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{-2}\right), \frac{1}{6}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 0.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(-2\right), \frac{1}{6}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

5. Simplified 0.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log u1} \cdot \left(\sqrt{-2} \cdot 0.16666666666666666\right)} + 0.5 \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1} \cdot \left(\sqrt{-2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{-2} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \sqrt{\log u1}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot \sqrt{\log u1}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{-2} \cdot \sqrt{\log u1}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   5. sqrt-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   8. unpow1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{{\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{1}}\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{{\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   10. sqrt-pow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{2}}\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{2}\right)\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   12. sqrt-pow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{2}{2}\right)}\right)\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{1}\right)\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   14. unpow1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   16. log-lowering-log.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

7. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot 0.16666666666666666 + 0.5} \]
8. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6} - \frac{1}{2}}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{1}{4}}{\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}} - \frac{1}{2}} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \frac{-1}{2}}{\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}} - \frac{1}{2}} \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6} - \frac{1}{2}}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \frac{-1}{2}}}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6} - \frac{1}{2}}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \frac{-1}{2}}\right)}\right) \]

   6. remove-double-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6} - \frac{1}{2}}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \frac{-1}{2}}}}}\right)\right) \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \frac{-1}{2}}{\color{blue}{\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6} - \frac{1}{2}}}}\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \frac{-1}{2}}{\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}}}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\log u1 \cdot -2}}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. remove-double-div N/A

       \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{6} \cdot \sqrt{\log u1 \cdot -2}} \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{1}{6} \cdot \sqrt{\log u1 \cdot -2} + \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

    3. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{6} \cdot {\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \]

    4. exp-to-pow N/A

       \[\leadsto \frac{1}{6} \cdot e^{\log \left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto e^{\log \left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{\log \left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{6}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

    7. exp-to-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    8. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot \sqrt{\frac{1}{36}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    10. sqrt-prod N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot \frac{1}{36}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    11. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1 \cdot \left(-2 \cdot \frac{1}{36}\right)}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1 \cdot \frac{-1}{18}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\log u1 \cdot \frac{-1}{18}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\log u1, \frac{-1}{18}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

    15. log-lowering-log.f64 98.7%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), \frac{-1}{18}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

11. Applied egg-rr 98.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log u1 \cdot -0.05555555555555555} + 0.5} \]

12. Final simplification 98.7%

    \[\leadsto 0.5 + \sqrt{\log u1 \cdot -0.05555555555555555} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (u1 u2)
  :name "normal distribution"
  :precision binary64
  :pre (and (and (<= 0.0 u1) (<= u1 1.0)) (and (<= 0.0 u2) (<= u2 1.0)))
  (+ (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2))) 0.5))