Numeric.Log:$clog1p from log-domain-0.10.2.1, B

Percentage Accurate: 99.7% → 99.8%

Time: 13.3s

Alternatives: 8

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x (+ 1.0 (sqrt (+ x 1.0)))))

C

double code(double x) {
	return x / (1.0 + sqrt((x + 1.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / (1.0d0 + sqrt((x + 1.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x / (1.0 + Math.sqrt((x + 1.0)));
}

Python

def code(x):
	return x / (1.0 + math.sqrt((x + 1.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x / Float64(1.0 + sqrt(Float64(x + 1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / (1.0 + sqrt((x + 1.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / N[(1.0 + N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 99.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x (+ 1.0 (sqrt (+ x 1.0)))))

C

double code(double x) {
	return x / (1.0 + sqrt((x + 1.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / (1.0d0 + sqrt((x + 1.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x / (1.0 + Math.sqrt((x + 1.0)));
}

Python

def code(x):
	return x / (1.0 + math.sqrt((x + 1.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x / Float64(1.0 + sqrt(Float64(x + 1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / (1.0 + sqrt((x + 1.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / N[(1.0 + N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 0.0018:\\ \;\;\;\;\frac{1}{8 + \left(x \cdot t\_0\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)\right)} \cdot \frac{x}{0.25 + x \cdot \left(0.0625 + x \cdot \left(-0.015625 + x \cdot 0.00390625\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(x + 1\right)}^{0.5} + -1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625))))))
   (if (<= x 0.0018)
     (*
      (/ 1.0 (+ 8.0 (* (* x t_0) (* (* x x) (* t_0 t_0)))))
      (/ x (+ 0.25 (* x (+ 0.0625 (* x (+ -0.015625 (* x 0.00390625))))))))
     (+ (pow (+ x 1.0) 0.5) -1.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)));
	double tmp;
	if (x <= 0.0018) {
		tmp = (1.0 / (8.0 + ((x * t_0) * ((x * x) * (t_0 * t_0))))) * (x / (0.25 + (x * (0.0625 + (x * (-0.015625 + (x * 0.00390625)))))));
	} else {
		tmp = pow((x + 1.0), 0.5) + -1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))
    if (x <= 0.0018d0) then
        tmp = (1.0d0 / (8.0d0 + ((x * t_0) * ((x * x) * (t_0 * t_0))))) * (x / (0.25d0 + (x * (0.0625d0 + (x * ((-0.015625d0) + (x * 0.00390625d0)))))))
    else
        tmp = ((x + 1.0d0) ** 0.5d0) + (-1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)));
	double tmp;
	if (x <= 0.0018) {
		tmp = (1.0 / (8.0 + ((x * t_0) * ((x * x) * (t_0 * t_0))))) * (x / (0.25 + (x * (0.0625 + (x * (-0.015625 + (x * 0.00390625)))))));
	} else {
		tmp = Math.pow((x + 1.0), 0.5) + -1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))
	tmp = 0
	if x <= 0.0018:
		tmp = (1.0 / (8.0 + ((x * t_0) * ((x * x) * (t_0 * t_0))))) * (x / (0.25 + (x * (0.0625 + (x * (-0.015625 + (x * 0.00390625)))))))
	else:
		tmp = math.pow((x + 1.0), 0.5) + -1.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625))))
	tmp = 0.0
	if (x <= 0.0018)
		tmp = Float64(Float64(1.0 / Float64(8.0 + Float64(Float64(x * t_0) * Float64(Float64(x * x) * Float64(t_0 * t_0))))) * Float64(x / Float64(0.25 + Float64(x * Float64(0.0625 + Float64(x * Float64(-0.015625 + Float64(x * 0.00390625))))))));
	else
		tmp = Float64((Float64(x + 1.0) ^ 0.5) + -1.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 0.0018)
		tmp = (1.0 / (8.0 + ((x * t_0) * ((x * x) * (t_0 * t_0))))) * (x / (0.25 + (x * (0.0625 + (x * (-0.015625 + (x * 0.00390625)))))));
	else
		tmp = ((x + 1.0) ^ 0.5) + -1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 0.0018], N[(N[(1.0 / N[(8.0 + N[(N[(x * t$95$0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x / N[(0.25 + N[(x * N[(0.0625 + N[(x * N[(-0.015625 + N[(x * 0.00390625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.0018

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \color{blue}{\left(2 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot x\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) + 2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot x}{\color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)} + 2} \]

      2. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot x}{\frac{{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)}^{3} + {2}^{3}}{\color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot x}{\left({\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)}^{3} + {2}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}}} \]

      4. times-frac N/A

         \[\leadsto \frac{1}{{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)}^{3} + {2}^{3}} \cdot \color{blue}{\frac{x}{\frac{1}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}}} \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)}^{3} + {2}^{3}}\right), \color{blue}{\left(\frac{x}{\frac{1}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}}\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{8 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{x}{\frac{1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(4 - x \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) \cdot 2\right)\right)}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} + x \cdot \left(\frac{1}{16} + x \cdot \left(\frac{1}{256} \cdot x - \frac{1}{64}\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{16} + x \cdot \left(\frac{1}{256} \cdot x - \frac{1}{64}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{16} + x \cdot \left(\frac{1}{256} \cdot x - \frac{1}{64}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{256} \cdot x - \frac{1}{64}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{256} \cdot x - \frac{1}{64}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{256} \cdot x + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{64}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{256} \cdot x + \frac{-1}{64}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{64} + \color{blue}{\frac{1}{256} \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{64}, \color{blue}{\left(\frac{1}{256} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{64}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{256}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{64}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{256}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{1}{8 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{x}{\color{blue}{0.25 + x \cdot \left(0.0625 + x \cdot \left(-0.015625 + x \cdot 0.00390625\right)\right)}} \]

   if 0.0018 < x

   1. Initial program 99.3%

      \[\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(x\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \sqrt{x + 1}\right)\right)}} \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \frac{0 - x}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 + \sqrt{x + 1}\right)}\right)} \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\left(1 - 1\right) - x}{\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{1} + \sqrt{x + 1}\right)\right)} \]

      4. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \frac{1 - \left(1 + x\right)}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 + \sqrt{x + 1}\right)}\right)} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(1 + x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{1} + \sqrt{x + 1}\right)\right)} \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(x + 1\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \color{blue}{\sqrt{x + 1}}\right)\right)} \]

      7. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1}}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \color{blue}{\sqrt{x + 1}}\right)\right)} \]

      8. distribute-neg-frac2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{1 \cdot 1 - \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1}}{1 + \sqrt{x + 1}}\right) \]

      9. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\left(1 - \sqrt{x + 1}\right)\right) \]

      10. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(1 - \sqrt{x + 1}\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x + 1}\right)\right)\right) \]

      12. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\left(x + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

      13. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\left(x + 1\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-\left(1 - {\left(x + 1\right)}^{0.5}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.0018:\\ \;\;\;\;\frac{1}{8 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{x}{0.25 + x \cdot \left(0.0625 + x \cdot \left(-0.015625 + x \cdot 0.00390625\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(x + 1\right)}^{0.5} + -1\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{1 + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x + 1}}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x (+ 1.0 (/ 1.0 (sqrt (/ 1.0 (+ x 1.0)))))))

C

double code(double x) {
	return x / (1.0 + (1.0 / sqrt((1.0 / (x + 1.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / (1.0d0 + (1.0d0 / sqrt((1.0d0 / (x + 1.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x / (1.0 + (1.0 / Math.sqrt((1.0 / (x + 1.0)))));
}

Python

def code(x):
	return x / (1.0 + (1.0 / math.sqrt((1.0 / (x + 1.0)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x / Float64(1.0 + Float64(1.0 / sqrt(Float64(1.0 / Float64(x + 1.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / (1.0 + (1.0 / sqrt((1.0 / (x + 1.0)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / N[(1.0 + N[(1.0 / N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{\frac{x \cdot x - 1 \cdot 1}{x - 1}}\right)\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{\frac{1}{\frac{x - 1}{x \cdot x - 1 \cdot 1}}}\right)\right)\right) \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{\frac{1}{\frac{\frac{x - 1}{x \cdot x - 1 \cdot 1}}{1}}}\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{x - 1}{x \cdot x - 1 \cdot 1}}{1}}}}\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{x - 1}{x \cdot x - 1 \cdot 1}}{1}}}}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\frac{x - 1}{x \cdot x - 1 \cdot 1}}{1}}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{x - 1}{x \cdot x - 1 \cdot 1}}{1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{x - 1}{x \cdot x - 1 \cdot 1}\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{x \cdot x - 1 \cdot 1}{x - 1}}\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. flip-+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{x + 1}\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x + 1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 99.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \frac{x}{1 + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{1}{x + 1}}{1}}}}} \]

5. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto \frac{x}{1 + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x + 1}}}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 2.6:\\ \;\;\;\;\frac{1}{8 + \left(x \cdot t\_0\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)\right)} \cdot \frac{x}{0.25 + x \cdot \left(0.0625 + x \cdot \left(-0.015625 + x \cdot 0.00390625\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x} + -1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625))))))
   (if (<= x 2.6)
     (*
      (/ 1.0 (+ 8.0 (* (* x t_0) (* (* x x) (* t_0 t_0)))))
      (/ x (+ 0.25 (* x (+ 0.0625 (* x (+ -0.015625 (* x 0.00390625))))))))
     (+ (sqrt x) -1.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)));
	double tmp;
	if (x <= 2.6) {
		tmp = (1.0 / (8.0 + ((x * t_0) * ((x * x) * (t_0 * t_0))))) * (x / (0.25 + (x * (0.0625 + (x * (-0.015625 + (x * 0.00390625)))))));
	} else {
		tmp = sqrt(x) + -1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))
    if (x <= 2.6d0) then
        tmp = (1.0d0 / (8.0d0 + ((x * t_0) * ((x * x) * (t_0 * t_0))))) * (x / (0.25d0 + (x * (0.0625d0 + (x * ((-0.015625d0) + (x * 0.00390625d0)))))))
    else
        tmp = sqrt(x) + (-1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)));
	double tmp;
	if (x <= 2.6) {
		tmp = (1.0 / (8.0 + ((x * t_0) * ((x * x) * (t_0 * t_0))))) * (x / (0.25 + (x * (0.0625 + (x * (-0.015625 + (x * 0.00390625)))))));
	} else {
		tmp = Math.sqrt(x) + -1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))
	tmp = 0
	if x <= 2.6:
		tmp = (1.0 / (8.0 + ((x * t_0) * ((x * x) * (t_0 * t_0))))) * (x / (0.25 + (x * (0.0625 + (x * (-0.015625 + (x * 0.00390625)))))))
	else:
		tmp = math.sqrt(x) + -1.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625))))
	tmp = 0.0
	if (x <= 2.6)
		tmp = Float64(Float64(1.0 / Float64(8.0 + Float64(Float64(x * t_0) * Float64(Float64(x * x) * Float64(t_0 * t_0))))) * Float64(x / Float64(0.25 + Float64(x * Float64(0.0625 + Float64(x * Float64(-0.015625 + Float64(x * 0.00390625))))))));
	else
		tmp = Float64(sqrt(x) + -1.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2.6)
		tmp = (1.0 / (8.0 + ((x * t_0) * ((x * x) * (t_0 * t_0))))) * (x / (0.25 + (x * (0.0625 + (x * (-0.015625 + (x * 0.00390625)))))));
	else
		tmp = sqrt(x) + -1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 2.6], N[(N[(1.0 / N[(8.0 + N[(N[(x * t$95$0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x / N[(0.25 + N[(x * N[(0.0625 + N[(x * N[(-0.015625 + N[(x * 0.00390625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.60000000000000009

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \color{blue}{\left(2 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot x\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) + 2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot x}{\color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)} + 2} \]

      2. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot x}{\frac{{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)}^{3} + {2}^{3}}{\color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot x}{\left({\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)}^{3} + {2}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}}} \]

      4. times-frac N/A

         \[\leadsto \frac{1}{{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)}^{3} + {2}^{3}} \cdot \color{blue}{\frac{x}{\frac{1}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}}} \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)}^{3} + {2}^{3}}\right), \color{blue}{\left(\frac{x}{\frac{1}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}}\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{8 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{x}{\frac{1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(4 - x \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) \cdot 2\right)\right)}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} + x \cdot \left(\frac{1}{16} + x \cdot \left(\frac{1}{256} \cdot x - \frac{1}{64}\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{16} + x \cdot \left(\frac{1}{256} \cdot x - \frac{1}{64}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{16} + x \cdot \left(\frac{1}{256} \cdot x - \frac{1}{64}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{256} \cdot x - \frac{1}{64}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{256} \cdot x - \frac{1}{64}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{256} \cdot x + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{64}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{256} \cdot x + \frac{-1}{64}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{64} + \color{blue}{\frac{1}{256} \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{64}, \color{blue}{\left(\frac{1}{256} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{64}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{256}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{64}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{256}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{1}{8 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{x}{\color{blue}{0.25 + x \cdot \left(0.0625 + x \cdot \left(-0.015625 + x \cdot 0.00390625\right)\right)}} \]

   if 2.60000000000000009 < x

   1. Initial program 99.3%

      \[\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{x} - 1} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{x} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{x} + -1 \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{-1}\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 96.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), -1\right) \]

   5. Simplified 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{x} + -1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x (+ 1.0 (sqrt (+ x 1.0)))))

C

double code(double x) {
	return x / (1.0 + sqrt((x + 1.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / (1.0d0 + sqrt((x + 1.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x / (1.0 + Math.sqrt((x + 1.0)));
}

Python

def code(x):
	return x / (1.0 + math.sqrt((x + 1.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x / Float64(1.0 + sqrt(Float64(x + 1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / (1.0 + sqrt((x + 1.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / N[(1.0 + N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 2.7:\\ \;\;\;\;\frac{1}{8 + \left(x \cdot t\_0\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)\right)} \cdot \frac{x}{0.25 + x \cdot \left(0.0625 + x \cdot \left(-0.015625 + x \cdot 0.00390625\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625))))))
   (if (<= x 2.7)
     (*
      (/ 1.0 (+ 8.0 (* (* x t_0) (* (* x x) (* t_0 t_0)))))
      (/ x (+ 0.25 (* x (+ 0.0625 (* x (+ -0.015625 (* x 0.00390625))))))))
     (sqrt x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)));
	double tmp;
	if (x <= 2.7) {
		tmp = (1.0 / (8.0 + ((x * t_0) * ((x * x) * (t_0 * t_0))))) * (x / (0.25 + (x * (0.0625 + (x * (-0.015625 + (x * 0.00390625)))))));
	} else {
		tmp = sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0)))
    if (x <= 2.7d0) then
        tmp = (1.0d0 / (8.0d0 + ((x * t_0) * ((x * x) * (t_0 * t_0))))) * (x / (0.25d0 + (x * (0.0625d0 + (x * ((-0.015625d0) + (x * 0.00390625d0)))))))
    else
        tmp = sqrt(x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)));
	double tmp;
	if (x <= 2.7) {
		tmp = (1.0 / (8.0 + ((x * t_0) * ((x * x) * (t_0 * t_0))))) * (x / (0.25 + (x * (0.0625 + (x * (-0.015625 + (x * 0.00390625)))))));
	} else {
		tmp = Math.sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)))
	tmp = 0
	if x <= 2.7:
		tmp = (1.0 / (8.0 + ((x * t_0) * ((x * x) * (t_0 * t_0))))) * (x / (0.25 + (x * (0.0625 + (x * (-0.015625 + (x * 0.00390625)))))))
	else:
		tmp = math.sqrt(x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625))))
	tmp = 0.0
	if (x <= 2.7)
		tmp = Float64(Float64(1.0 / Float64(8.0 + Float64(Float64(x * t_0) * Float64(Float64(x * x) * Float64(t_0 * t_0))))) * Float64(x / Float64(0.25 + Float64(x * Float64(0.0625 + Float64(x * Float64(-0.015625 + Float64(x * 0.00390625))))))));
	else
		tmp = sqrt(x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625)));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2.7)
		tmp = (1.0 / (8.0 + ((x * t_0) * ((x * x) * (t_0 * t_0))))) * (x / (0.25 + (x * (0.0625 + (x * (-0.015625 + (x * 0.00390625)))))));
	else
		tmp = sqrt(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 2.7], N[(N[(1.0 / N[(8.0 + N[(N[(x * t$95$0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x / N[(0.25 + N[(x * N[(0.0625 + N[(x * N[(-0.015625 + N[(x * 0.00390625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Sqrt[x], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.7000000000000002

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \color{blue}{\left(2 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot x\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) + 2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot x}{\color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)} + 2} \]

      2. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot x}{\frac{{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)}^{3} + {2}^{3}}{\color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot x}{\left({\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)}^{3} + {2}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}}} \]

      4. times-frac N/A

         \[\leadsto \frac{1}{{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)}^{3} + {2}^{3}} \cdot \color{blue}{\frac{x}{\frac{1}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}}} \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)}^{3} + {2}^{3}}\right), \color{blue}{\left(\frac{x}{\frac{1}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{8} + x \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}}\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{8 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{x}{\frac{1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) + \left(4 - x \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) \cdot 2\right)\right)}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} + x \cdot \left(\frac{1}{16} + x \cdot \left(\frac{1}{256} \cdot x - \frac{1}{64}\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{16} + x \cdot \left(\frac{1}{256} \cdot x - \frac{1}{64}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{16} + x \cdot \left(\frac{1}{256} \cdot x - \frac{1}{64}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{256} \cdot x - \frac{1}{64}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{256} \cdot x - \frac{1}{64}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{256} \cdot x + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{64}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{256} \cdot x + \frac{-1}{64}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{64} + \color{blue}{\frac{1}{256} \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{64}, \color{blue}{\left(\frac{1}{256} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{64}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{256}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(8, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{64}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{256}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{1}{8 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{x}{\color{blue}{0.25 + x \cdot \left(0.0625 + x \cdot \left(-0.015625 + x \cdot 0.00390625\right)\right)}} \]

   if 2.7000000000000002 < x

   1. Initial program 99.3%

      \[\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 95.4%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right) \]

   5. Simplified 95.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 68.5% accurate, 15.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{x \cdot 0.5 + 2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x (+ (* x 0.5) 2.0)))

C

double code(double x) {
	return x / ((x * 0.5) + 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / ((x * 0.5d0) + 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x / ((x * 0.5) + 2.0);
}

Python

def code(x):
	return x / ((x * 0.5) + 2.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(x / Float64(Float64(x * 0.5) + 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / ((x * 0.5) + 2.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \color{blue}{\left(2 + \frac{1}{2} \cdot x\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \color{blue}{2}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 69.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), 2\right)\right) \]

5. Simplified 69.1%

   \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{0.5 \cdot x + 2}} \]

6. Final simplification 69.1%

   \[\leadsto \frac{x}{x \cdot 0.5 + 2} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 7: 67.9% accurate, 35.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x 2.0))

C

double code(double x) {
	return x / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return x / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(x / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \color{blue}{2}\right) \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 68.5%

   \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{2}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 8: 4.9% accurate, 107.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 2.0)

C

double code(double x) {
	return 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0;
}

Python

def code(x):
	return 2.0

Julia

function code(x)
	return 2.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := 2.0

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \color{blue}{\left(2 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot x\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot x\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot x\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot x\right)\right), 2\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot x\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 67.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

5. Simplified 67.7%

   \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.125\right) + 2}} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)}, 2\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), 2\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 69.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), 2\right)\right) \]

8. Simplified 69.1%

   \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{x \cdot 0.5} + 2} \]

9. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{2} \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 4.7%

    \[\leadsto \color{blue}{2} \]
12. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (x)
  :name "Numeric.Log:$clog1p from log-domain-0.10.2.1, B"
  :precision binary64
  (/ x (+ 1.0 (sqrt (+ x 1.0)))))