Sample trimmed logistic on [-pi, pi]

Percentage Accurate: 99.0% → 99.0%

Time: 22.0s

Alternatives: 14

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right) \land \left(0 \leq s \land s \leq 1.0651631\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\frac{\pi}{s}}\\ t_1 := \frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \left(\frac{u}{-1 - t\_0} + \frac{1}{1 + t\_0}\right)\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{-1 + {t\_1}^{-3}}{{t\_1}^{-2} + \left(1 + \frac{1}{t\_1}\right)}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (exp (/ PI s)))
        (t_1
         (+
          (/ u (+ 1.0 (exp (/ PI (- s)))))
          (+ (/ u (- -1.0 t_0)) (/ 1.0 (+ 1.0 t_0))))))
   (*
    (- s)
    (log (/ (+ -1.0 (pow t_1 -3.0)) (+ (pow t_1 -2.0) (+ 1.0 (/ 1.0 t_1))))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = expf((((float) M_PI) / s));
	float t_1 = (u / (1.0f + expf((((float) M_PI) / -s)))) + ((u / (-1.0f - t_0)) + (1.0f / (1.0f + t_0)));
	return -s * logf(((-1.0f + powf(t_1, -3.0f)) / (powf(t_1, -2.0f) + (1.0f + (1.0f / t_1)))));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = exp(Float32(Float32(pi) / s))
	t_1 = Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(Float32(u / Float32(Float32(-1.0) - t_0)) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + t_0))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(-1.0) + (t_1 ^ Float32(-3.0))) / Float32((t_1 ^ Float32(-2.0)) + Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) / t_1))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = exp((single(pi) / s));
	t_1 = (u / (single(1.0) + exp((single(pi) / -s)))) + ((u / (single(-1.0) - t_0)) + (single(1.0) / (single(1.0) + t_0)));
	tmp = -s * log(((single(-1.0) + (t_1 ^ single(-3.0))) / ((t_1 ^ single(-2.0)) + (single(1.0) + (single(1.0) / t_1)))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) \cdot \frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\left({\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)\right)}^{2} - {\left(1 + e^{\frac{\pi}{s}}\right)}^{-2}\right) \cdot \frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}}} - 1\right) \]

6. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) \cdot -1}} - 1\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left({\left(e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}\right)}^{-1}\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. unpow-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{1}{e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}}\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{\frac{1}{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}} - 1\right) \]

10. Applied egg-rr 99.1%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \left(\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)\right)}^{-3} + -1}{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \left(\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)\right)}^{-2} + \left(1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \left(\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}\right)}\right)} \]

11. Final simplification 99.1%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{-1 + {\left(\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \left(\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)\right)}^{-3}}{{\left(\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \left(\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)\right)}^{-2} + \left(1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \left(\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}\right)}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\frac{\pi}{s}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1}{1 + t\_0} + \left(\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{u}{-1 - t\_0}\right)}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (exp (/ PI s))))
   (*
    (- s)
    (log
     (+
      -1.0
      (/
       1.0
       (+
        (/ 1.0 (+ 1.0 t_0))
        (+ (/ u (+ 1.0 (exp (/ PI (- s))))) (/ u (- -1.0 t_0))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = expf((((float) M_PI) / s));
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / ((1.0f / (1.0f + t_0)) + ((u / (1.0f + expf((((float) M_PI) / -s)))) + (u / (-1.0f - t_0)))))));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = exp(Float32(Float32(pi) / s))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + t_0)) + Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(u / Float32(Float32(-1.0) - t_0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = exp((single(pi) / s));
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / ((single(1.0) / (single(1.0) + t_0)) + ((u / (single(1.0) + exp((single(pi) / -s)))) + (u / (single(-1.0) - t_0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) \cdot \frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\left({\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)\right)}^{2} - {\left(1 + e^{\frac{\pi}{s}}\right)}^{-2}\right) \cdot \frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}}} - 1\right) \]

6. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) \cdot -1}} - 1\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left({\left(e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}\right)}^{-1}\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. unpow-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{1}{e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}}\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{\frac{1}{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}} - 1\right) \]

9. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \left(\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.1% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \left(\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{u}{-1 + \left(-1 - \frac{\pi + \frac{0.5 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s}}{s}}{s}\right)}\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (+
      (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))
      (+
       (/ u (+ 1.0 (exp (/ PI (- s)))))
       (/
        u
        (+
         -1.0
         (-
          -1.0
          (/
           (+
            PI
            (/
             (+
              (* 0.5 (* PI PI))
              (* 0.16666666666666666 (/ (* PI (* PI PI)) s)))
             s))
           s)))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / ((1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)))) + ((u / (1.0f + expf((((float) M_PI) / -s)))) + (u / (-1.0f + (-1.0f - ((((float) M_PI) + (((0.5f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + (0.16666666666666666f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) / s))) / s)) / s)))))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s)))) + Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(u / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) - Float32(Float32(Float32(pi) + Float32(Float32(Float32(Float32(0.5) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(0.16666666666666666) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) / s))) / s)) / s))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)))) + ((u / (single(1.0) + exp((single(pi) / -s)))) + (u / (single(-1.0) + (single(-1.0) - ((single(pi) + (((single(0.5) * (single(pi) * single(pi))) + (single(0.16666666666666666) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) / s))) / s)) / s)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) \cdot \frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\left({\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)\right)}^{2} - {\left(1 + e^{\frac{\pi}{s}}\right)}^{-2}\right) \cdot \frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}}} - 1\right) \]

6. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) \cdot -1}} - 1\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left({\left(e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}\right)}^{-1}\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. unpow-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{1}{e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}}\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{\frac{1}{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}} - 1\right) \]

9. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(-1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

    2. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(-1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

    3. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(-1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(-1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

11. Simplified 97.8%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{-1 - \color{blue}{\left(1 - \frac{\left(-\pi\right) - \frac{0.5 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s}}{s}}{s}\right)}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

12. Final simplification 97.8%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \left(\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{u}{-1 + \left(-1 - \frac{\pi + \frac{0.5 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s}}{s}}{s}\right)}\right)}\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.5% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1}{-1 + \left(-1 + \frac{\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.5}{s} - \pi}{s}\right)}\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (+
      (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))
      (*
       u
       (+
        (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI (- s)))))
        (/ 1.0 (+ -1.0 (+ -1.0 (/ (- (/ (* (* PI PI) -0.5) s) PI) s))))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / ((1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)))) + (u * ((1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / -s)))) + (1.0f / (-1.0f + (-1.0f + (((((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -0.5f) / s) - ((float) M_PI)) / s))))))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s)))) + Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-0.5)) / s) - Float32(pi)) / s)))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)))) + (u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / -s)))) + (single(1.0) / (single(-1.0) + (single(-1.0) + (((((single(pi) * single(pi)) * single(-0.5)) / s) - single(pi)) / s))))))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)}\right)\right) \]

   2. flip3-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{{0}^{3} - {s}^{3}}{0 \cdot 0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)}\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({0}^{3} - {s}^{3}\right), \left(0 \cdot 0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)}\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 - {s}^{3}\right), \left(0 \cdot 0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left({s}^{3}\right)\right), \left(0 \cdot 0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, 1\right)\right)\right) \]

   6. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right)\right), \left(0 \cdot 0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)}\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \left(s \cdot s\right)\right)\right), \left(0 \cdot 0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)}\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \left(0 \cdot 0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \left(0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\left(s \cdot s\right), \left(0 \cdot s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \left(0 \cdot s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 39.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 39.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0 - s \cdot \left(s \cdot s\right)}{0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)}} \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} - \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 37.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

7. Simplified 37.7%

   \[\leadsto \frac{0 - s \cdot \left(s \cdot s\right)}{0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{-0.5 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s} - \pi}{s}\right)}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{{0}^{3} - s \cdot \left(s \cdot s\right)}{0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)}\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{{0}^{3} - {s}^{3}}{0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)}\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)}\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{{0}^{3} - {s}^{3}}{0 \cdot 0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)}\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. flip3-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)}\right)\right) \]

   5. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)}\right)\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f32 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + \left(1 - \frac{\frac{-0.5 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s} - \pi}{s}\right)}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

10. Final simplification 97.1%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1}{-1 + \left(-1 + \frac{\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.5}{s} - \pi}{s}\right)}\right)}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (+ (/ u (+ 1.0 (exp (/ PI (- s))))) (/ u (- -1.0 (exp (/ PI s))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / ((u / (1.0f + expf((((float) M_PI) / -s)))) + (u / (-1.0f - expf((((float) M_PI) / s))))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(u / Float32(Float32(-1.0) - exp(Float32(Float32(pi) / s)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / ((u / (single(1.0) + exp((single(pi) / -s)))) + (u / (single(-1.0) - exp((single(pi) / s))))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)}\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, \left(1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}} - 1\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot u + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot u\right), \left(u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{-\left(1 + e^{\frac{\pi}{s}}\right)}}} - 1\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(-1 - e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(-1, \left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(-1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(-1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 97.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(-1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{\color{blue}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}}} - 1\right) \]

10. Final simplification 97.0%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{u}{-2 + \frac{\frac{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s} \cdot -0.16666666666666666 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.5}{s} - \pi}{s}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (+
      (/ u (+ 1.0 (exp (/ PI (- s)))))
      (/
       u
       (+
        -2.0
        (/
         (-
          (/
           (+
            (* (/ (* PI (* PI PI)) s) -0.16666666666666666)
            (* (* PI PI) -0.5))
           s)
          PI)
         s)))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / ((u / (1.0f + expf((((float) M_PI) / -s)))) + (u / (-2.0f + (((((((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) / s) * -0.16666666666666666f) + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -0.5f)) / s) - ((float) M_PI)) / s)))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(u / Float32(Float32(-2.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) / s) * Float32(-0.16666666666666666)) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-0.5))) / s) - Float32(pi)) / s))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / ((u / (single(1.0) + exp((single(pi) / -s)))) + (u / (single(-2.0) + (((((((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) / s) * single(-0.16666666666666666)) + ((single(pi) * single(pi)) * single(-0.5))) / s) - single(pi)) / s)))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)}\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, \left(1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}} - 1\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot u + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot u\right), \left(u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{-\left(1 + e^{\frac{\pi}{s}}\right)}}} - 1\right) \]

8. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{-1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} - \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} - -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} - 2\right)}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{-1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} - \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} - -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{-1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} - \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} - -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} + -2\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{-1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} - \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} - -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right), -2\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

10. Simplified 96.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{\color{blue}{\frac{-\left(\frac{-0.16666666666666666 \cdot \frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s} + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.5}{s} - \pi\right)}{-s} + -2}}} - 1\right) \]

11. Final simplification 96.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{u}{-2 + \frac{\frac{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s} \cdot -0.16666666666666666 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.5}{s} - \pi}{s}}}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}}\\ \mathbf{if}\;s \leq 4.999999987376214 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{t\_0 + \frac{u}{-2 - \frac{\pi}{s}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{s \cdot \left(s \cdot s\right)}{s \cdot 0 - s \cdot s} \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{t\_0}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ u (+ 1.0 (exp (/ PI (- s)))))))
   (if (<= s 4.999999987376214e-7)
     (* (- s) (log (+ -1.0 (/ 1.0 (+ t_0 (/ u (- -2.0 (/ PI s))))))))
     (* (/ (* s (* s s)) (- (* s 0.0) (* s s))) (log (+ -1.0 (/ 1.0 t_0)))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = u / (1.0f + expf((((float) M_PI) / -s)));
	float tmp;
	if (s <= 4.999999987376214e-7f) {
		tmp = -s * logf((-1.0f + (1.0f / (t_0 + (u / (-2.0f - (((float) M_PI) / s)))))));
	} else {
		tmp = ((s * (s * s)) / ((s * 0.0f) - (s * s))) * logf((-1.0f + (1.0f / t_0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s)))))
	tmp = Float32(0.0)
	if (s <= Float32(4.999999987376214e-7))
		tmp = Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(t_0 + Float32(u / Float32(Float32(-2.0) - Float32(Float32(pi) / s))))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(s * Float32(s * s)) / Float32(Float32(s * Float32(0.0)) - Float32(s * s))) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / t_0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(u, s)
	t_0 = u / (single(1.0) + exp((single(pi) / -s)));
	tmp = single(0.0);
	if (s <= single(4.999999987376214e-7))
		tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / (t_0 + (u / (single(-2.0) - (single(pi) / s)))))));
	else
		tmp = ((s * (s * s)) / ((s * single(0.0)) - (s * s))) * log((single(-1.0) + (single(1.0) / t_0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if s < 4.99999999e-7

   1. Initial program 99.1%

      \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)}\right), 1\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      8. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      12. distribute-neg-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, \left(1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}} - 1\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      2. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      3. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      4. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      5. rec-exp N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot u + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot u\right), \left(u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{-\left(1 + e^{\frac{\pi}{s}}\right)}}} - 1\right) \]

   8. Taylor expanded in s around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} - 2\right)}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      2. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      3. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} + 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(\mathsf{neg}\left(\left(2 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      5. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(-2 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      7. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(-2 + -1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(-2, \left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      9. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(-2, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(-2, \left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(-2, \mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(-2, \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 99.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(-2, \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 99.1%

       \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{\color{blue}{-2 + \left(0 - \frac{\pi}{s}\right)}}} - 1\right) \]

   if 4.99999999e-7 < s

   1. Initial program 98.8%

      \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)}\right)\right) \]

      2. flip3-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{{0}^{3} - {s}^{3}}{0 \cdot 0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)}\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({0}^{3} - {s}^{3}\right), \left(0 \cdot 0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)}\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 - {s}^{3}\right), \left(0 \cdot 0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left({s}^{3}\right)\right), \left(0 \cdot 0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, 1\right)\right)\right) \]

      6. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right)\right), \left(0 \cdot 0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)}\right), 1\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \left(s \cdot s\right)\right)\right), \left(0 \cdot 0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)}\right), 1\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \left(0 \cdot 0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \left(0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\left(s \cdot s\right), \left(0 \cdot s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \left(0 \cdot s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0 - s \cdot \left(s \cdot s\right)}{0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)}} \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

   5. Taylor expanded in s around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      2. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} - \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      16. PI-lowering-PI.f32 87.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 87.6%

      \[\leadsto \frac{0 - s \cdot \left(s \cdot s\right)}{0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{-0.5 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s} - \pi}{s}\right)}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

   8. Taylor expanded in s around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      2. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 62.9%

       \[\leadsto \frac{0 - s \cdot \left(s \cdot s\right)}{0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + \left(1 - \frac{\frac{-0.5 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s} - \pi}{s}\right)}\right) + \frac{1}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.5}{s} - \pi}{s}\right)}}} - 1\right) \]

   11. Taylor expanded in s around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{u}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}\right), 1\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(u, \left(1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

       3. exp-lowering-exp.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

       4. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

       5. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

       6. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

       8. PI-lowering-PI.f32 87.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{*.f32}\left(0, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 87.3%

       \[\leadsto \frac{0 - s \cdot \left(s \cdot s\right)}{0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}}} - 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 4.999999987376214 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{u}{-2 - \frac{\pi}{s}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{s \cdot \left(s \cdot s\right)}{s \cdot 0 - s \cdot s} \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 96.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{u}{-2 - \frac{\pi + 0.5 \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{s}}{s}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (+
      (/ u (+ 1.0 (exp (/ PI (- s)))))
      (/ u (- -2.0 (/ (+ PI (* 0.5 (/ (* PI PI) s))) s)))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / ((u / (1.0f + expf((((float) M_PI) / -s)))) + (u / (-2.0f - ((((float) M_PI) + (0.5f * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) / s))) / s)))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(u / Float32(Float32(-2.0) - Float32(Float32(Float32(pi) + Float32(Float32(0.5) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) / s))) / s))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / ((u / (single(1.0) + exp((single(pi) / -s)))) + (u / (single(-2.0) - ((single(pi) + (single(0.5) * ((single(pi) * single(pi)) / s))) / s)))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)}\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, \left(1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}} - 1\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot u + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot u\right), \left(u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{-\left(1 + e^{\frac{\pi}{s}}\right)}}} - 1\right) \]

8. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} - -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} - 2\right)}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} - -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} - -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} + -2\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} - -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right), -2\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

10. Simplified 95.9%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{\color{blue}{\frac{0.5 \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{s} + \pi}{-s} + -2}}} - 1\right) \]

11. Final simplification 95.9%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{u}{-2 - \frac{\pi + 0.5 \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{s}}{s}}}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 94.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{u}{-2 - \frac{\pi}{s}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/ 1.0 (+ (/ u (+ 1.0 (exp (/ PI (- s))))) (/ u (- -2.0 (/ PI s)))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / ((u / (1.0f + expf((((float) M_PI) / -s)))) + (u / (-2.0f - (((float) M_PI) / s)))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(u / Float32(Float32(-2.0) - Float32(Float32(pi) / s))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / ((u / (single(1.0) + exp((single(pi) / -s)))) + (u / (single(-2.0) - (single(pi) / s)))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)}\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, \left(1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}} - 1\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot u + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot u\right), \left(u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{-\left(1 + e^{\frac{\pi}{s}}\right)}}} - 1\right) \]

8. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} - 2\right)}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} + 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(\mathsf{neg}\left(\left(2 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(-2 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \left(-2 + -1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(-2, \left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   9. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(-2, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   10. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(-2, \left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(-2, \mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(-2, \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(-2, \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

10. Simplified 93.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{\color{blue}{-2 + \left(0 - \frac{\pi}{s}\right)}}} - 1\right) \]

11. Final simplification 93.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{u}{-2 - \frac{\pi}{s}}}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 10: 37.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{u}{-2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log (+ -1.0 (/ 1.0 (+ (/ u (+ 1.0 (exp (/ PI (- s))))) (/ u -2.0)))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / ((u / (1.0f + expf((((float) M_PI) / -s)))) + (u / -2.0f)))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(u / Float32(-2.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / ((u / (single(1.0) + exp((single(pi) / -s)))) + (u / single(-2.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)}\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, \left(1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}} - 1\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot u + u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot u\right), \left(u \cdot \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{-\left(1 + e^{\frac{\pi}{s}}\right)}}} - 1\right) \]

8. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(u, \color{blue}{-2}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 37.3%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{\color{blue}{-2}}} - 1\right) \]

11. Final simplification 37.3%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{u}{-2}}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 24.8% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \left(2 + \frac{4 \cdot \left(u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right) + \pi \cdot 0.25\right)}{s}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log (+ -1.0 (+ 2.0 (/ (* 4.0 (+ (* u (* PI -0.5)) (* PI 0.25))) s))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (2.0f + ((4.0f * ((u * (((float) M_PI) * -0.5f)) + (((float) M_PI) * 0.25f))) / s))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(4.0) * Float32(Float32(u * Float32(Float32(pi) * Float32(-0.5))) + Float32(Float32(pi) * Float32(0.25)))) / s)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(2.0) + ((single(4.0) * ((u * (single(pi) * single(-0.5))) + (single(pi) * single(0.25)))) / s))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) \cdot \frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\left({\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)\right)}^{2} - {\left(1 + e^{\frac{\pi}{s}}\right)}^{-2}\right) \cdot \frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}}} - 1\right) \]

6. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) \cdot -1}} - 1\right) \]

7. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(2 + 4 \cdot \frac{u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}, 1\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(2 + \frac{4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(\frac{4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\left(4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

9. Simplified 25.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{\left(2 + \frac{4 \cdot \left(u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right) + \pi \cdot 0.25\right)}{s}\right)} - 1\right) \]

10. Final simplification 25.4%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \left(2 + \frac{4 \cdot \left(u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right) + \pi \cdot 0.25\right)}{s}\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 12: 11.4% accurate, 25.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{u \cdot \pi}{s}\\ s \cdot \left(t\_0 + \left(t\_0 - \frac{\pi}{s}\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ (* u PI) s))) (* s (+ t_0 (- t_0 (/ PI s))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = (u * ((float) M_PI)) / s;
	return s * (t_0 + (t_0 - (((float) M_PI) / s)));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(u * Float32(pi)) / s)
	return Float32(s * Float32(t_0 + Float32(t_0 - Float32(Float32(pi) / s))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = (u * single(pi)) / s;
	tmp = s * (t_0 + (t_0 - (single(pi) / s)));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) \cdot \frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \cdot \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\left({\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)\right)}^{2} - {\left(1 + e^{\frac{\pi}{s}}\right)}^{-2}\right) \cdot \frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}}} - 1\right) \]

6. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) \cdot -1}} - 1\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left({\left(e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}\right)}^{-1}\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. unpow-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{1}{e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}}\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(e^{\log \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{\frac{1}{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}} - 1\right) \]

9. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\left(\log \left(\frac{1}{\frac{1}{2} + \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{2} \cdot u\right)} - 1\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left({\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{2} \cdot u\right)\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{\frac{1}{2} + \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{2} \cdot u\right)} - 1\right)\right)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left({\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{2} \cdot u\right)\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{\frac{1}{2} + \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{2} \cdot u\right)} - 1\right)\right)}\right)\right) - \frac{1}{4} \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left({\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{2} \cdot u\right)\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{\frac{1}{2} + \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{2} \cdot u\right)} - 1\right)\right)}\right)}\right) \]

11. Simplified 12.1%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{\pi}{s} + -1 \cdot \frac{u \cdot \pi}{s}\right) + 0\right) + -1 \cdot \frac{u \cdot \pi}{s}\right)} \]

12. Final simplification 12.1%

    \[\leadsto s \cdot \left(\frac{u \cdot \pi}{s} + \left(\frac{u \cdot \pi}{s} - \frac{\pi}{s}\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 13: 11.4% accurate, 61.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(u \cdot \pi\right) - \pi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- (* 2.0 (* u PI)) PI))

C

float code(float u, float s) {
	return (2.0f * (u * ((float) M_PI))) - ((float) M_PI);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(u * Float32(pi))) - Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = (single(2.0) * (u * single(pi))) - single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{-4} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{-4}\right) \]

   3. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -4\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -4\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), -4\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), -4\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}\right), \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), -4\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), -4\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), -4\right) \]

   10. distribute-rgt-out-- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{4} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), -4\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right), -4\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \left(u \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), -4\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), -4\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right), -4\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), -4\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 12.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), -4\right) \]

5. Simplified 12.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.25 + u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right) \cdot -4} \]

6. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 12.1%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

8. Simplified 12.1%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\pi \cdot u\right) - \pi} \]

9. Final simplification 12.1%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(u \cdot \pi\right) - \pi \]
10. Add Preprocessing

Alternative 14: 11.2% accurate, 216.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -\pi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- PI))

C

float code(float u, float s) {
	return -((float) M_PI);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(-Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 11.9%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

5. Simplified 11.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-\pi} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (u s)
  :name "Sample trimmed logistic on [-pi, pi]"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)) (and (<= 0.0 s) (<= s 1.0651631)))
  (* (- s) (log (- (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) 1.0))))