Maksimov and Kolovsky, Equation (32)

Percentage Accurate: 76.2% → 95.0%

Time: 17.1s

Alternatives: 14

Speedup: 3.9×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (*
  (cos (- (/ (* K (+ m n)) 2.0) M))
  (exp (- (- (pow (- (/ (+ m n) 2.0) M) 2.0)) (- l (fabs (- m n)))))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * exp((-pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - fabs((m - n)))));
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = cos((((k * (m + n)) / 2.0d0) - m_1)) * exp((-((((m + n) / 2.0d0) - m_1) ** 2.0d0) - (l - abs((m - n)))))
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return Math.cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * Math.exp((-Math.pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - Math.abs((m - n)))));
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	return math.cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * math.exp((-math.pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - math.fabs((m - n)))))

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	return Float64(cos(Float64(Float64(Float64(K * Float64(m + n)) / 2.0) - M)) * exp(Float64(Float64(-(Float64(Float64(Float64(m + n) / 2.0) - M) ^ 2.0)) - Float64(l - abs(Float64(m - n))))))
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * exp((-((((m + n) / 2.0) - M) ^ 2.0) - (l - abs((m - n)))));
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := N[(N[Cos[N[(N[(N[(K * N[(m + n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Exp[N[((-N[Power[N[(N[(N[(m + n), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]) - N[(l - N[Abs[N[(m - n), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 76.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (*
  (cos (- (/ (* K (+ m n)) 2.0) M))
  (exp (- (- (pow (- (/ (+ m n) 2.0) M) 2.0)) (- l (fabs (- m n)))))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * exp((-pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - fabs((m - n)))));
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = cos((((k * (m + n)) / 2.0d0) - m_1)) * exp((-((((m + n) / 2.0d0) - m_1) ** 2.0d0) - (l - abs((m - n)))))
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return Math.cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * Math.exp((-Math.pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - Math.abs((m - n)))));
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	return math.cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * math.exp((-math.pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - math.fabs((m - n)))))

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	return Float64(cos(Float64(Float64(Float64(K * Float64(m + n)) / 2.0) - M)) * exp(Float64(Float64(-(Float64(Float64(Float64(m + n) / 2.0) - M) ^ 2.0)) - Float64(l - abs(Float64(m - n))))))
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * exp((-((((m + n) / 2.0) - M) ^ 2.0) - (l - abs((m - n)))));
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := N[(N[Cos[N[(N[(N[(K * N[(m + n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Exp[N[((-N[Power[N[(N[(N[(m + n), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]) - N[(l - N[Abs[N[(m - n), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 95.0% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [K, m, n, M, l] = \mathsf{sort}([K, m, n, M, l])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{n + m}{2} - M\\ \mathbf{if}\;m \leq -5.4 \cdot 10^{-35}:\\ \;\;\;\;e^{\left(\left|n - m\right| - 0.25 \cdot \left(\left(n + m\right) \cdot \left(n + m\right)\right)\right) - \ell}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(\frac{1}{\frac{\frac{\frac{n \cdot -2}{m}}{K} + \frac{2}{K}}{m}} - M\right)}{e^{\ell + t\_0 \cdot t\_0}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (/ (+ n m) 2.0) M)))
   (if (<= m -5.4e-35)
     (exp (- (- (fabs (- n m)) (* 0.25 (* (+ n m) (+ n m)))) l))
     (/
      (cos (- (/ 1.0 (/ (+ (/ (/ (* n -2.0) m) K) (/ 2.0 K)) m)) M))
      (exp (+ l (* t_0 t_0)))))))

C

assert(K < m && m < n && n < M && M < l);
double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = ((n + m) / 2.0) - M;
	double tmp;
	if (m <= -5.4e-35) {
		tmp = exp(((fabs((n - m)) - (0.25 * ((n + m) * (n + m)))) - l));
	} else {
		tmp = cos(((1.0 / (((((n * -2.0) / m) / K) + (2.0 / K)) / m)) - M)) / exp((l + (t_0 * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = ((n + m) / 2.0d0) - m_1
    if (m <= (-5.4d-35)) then
        tmp = exp(((abs((n - m)) - (0.25d0 * ((n + m) * (n + m)))) - l))
    else
        tmp = cos(((1.0d0 / (((((n * (-2.0d0)) / m) / k) + (2.0d0 / k)) / m)) - m_1)) / exp((l + (t_0 * t_0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert K < m && m < n && n < M && M < l;
public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = ((n + m) / 2.0) - M;
	double tmp;
	if (m <= -5.4e-35) {
		tmp = Math.exp(((Math.abs((n - m)) - (0.25 * ((n + m) * (n + m)))) - l));
	} else {
		tmp = Math.cos(((1.0 / (((((n * -2.0) / m) / K) + (2.0 / K)) / m)) - M)) / Math.exp((l + (t_0 * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Python

[K, m, n, M, l] = sort([K, m, n, M, l])
def code(K, m, n, M, l):
	t_0 = ((n + m) / 2.0) - M
	tmp = 0
	if m <= -5.4e-35:
		tmp = math.exp(((math.fabs((n - m)) - (0.25 * ((n + m) * (n + m)))) - l))
	else:
		tmp = math.cos(((1.0 / (((((n * -2.0) / m) / K) + (2.0 / K)) / m)) - M)) / math.exp((l + (t_0 * t_0)))
	return tmp

Julia

K, m, n, M, l = sort([K, m, n, M, l])
function code(K, m, n, M, l)
	t_0 = Float64(Float64(Float64(n + m) / 2.0) - M)
	tmp = 0.0
	if (m <= -5.4e-35)
		tmp = exp(Float64(Float64(abs(Float64(n - m)) - Float64(0.25 * Float64(Float64(n + m) * Float64(n + m)))) - l));
	else
		tmp = Float64(cos(Float64(Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(n * -2.0) / m) / K) + Float64(2.0 / K)) / m)) - M)) / exp(Float64(l + Float64(t_0 * t_0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

K, m, n, M, l = num2cell(sort([K, m, n, M, l])){:}
function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	t_0 = ((n + m) / 2.0) - M;
	tmp = 0.0;
	if (m <= -5.4e-35)
		tmp = exp(((abs((n - m)) - (0.25 * ((n + m) * (n + m)))) - l));
	else
		tmp = cos(((1.0 / (((((n * -2.0) / m) / K) + (2.0 / K)) / m)) - M)) / exp((l + (t_0 * t_0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
code[K_, m_, n_, M_, l_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(n + m), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[m, -5.4e-35], N[Exp[N[(N[(N[Abs[N[(n - m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[(0.25 * N[(N[(n + m), $MachinePrecision] * N[(n + m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(N[Cos[N[(N[(1.0 / N[(N[(N[(N[(N[(n * -2.0), $MachinePrecision] / m), $MachinePrecision] / K), $MachinePrecision] + N[(2.0 / K), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Exp[N[(l + N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if m < -5.3999999999999995e-35

   1. Initial program 71.8%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 71.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\ell + \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({\left(m + n\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + -1 \cdot n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + -1 \cdot n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m - n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 97.6%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 97.6%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - \left(\ell + \left(0.25 \cdot \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right) - \left|m - n\right|\right)\right)}} \]

   if -5.3999999999999995e-35 < m

   1. Initial program 72.8%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 72.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{K \cdot \left(m + n\right)}}\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{K \cdot \left(m + n\right)}\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\left(m + n\right) \cdot K}\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{2}{m + n}}{K}\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), \color{blue}{M}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{m + n}\right), K\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), \color{blue}{M}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(m + n\right)\right), K\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 71.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), K\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 71.8%

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{2}{m + n}}{K}}} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}} \]

   7. Taylor expanded in l around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), K\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 71.5%

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{1}{\frac{\frac{2}{m + n}}{K}} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \color{blue}{\ell}}} \]

   10. Taylor expanded in m around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-2 \cdot \frac{n}{K \cdot m} + 2 \cdot \frac{1}{K}}{m}\right)}\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2 \cdot \frac{1}{K} + -2 \cdot \frac{n}{K \cdot m}}{m}\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2 \cdot \frac{1}{K} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \frac{n}{K \cdot m}}{m}\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       3. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2 \cdot \frac{1}{K} - 2 \cdot \frac{n}{K \cdot m}}{m}\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{K} - 2 \cdot \frac{n}{K \cdot m}\right), m\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), \color{blue}{M}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       5. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{K} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \frac{n}{K \cdot m}\right), m\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{K} + -2 \cdot \frac{n}{K \cdot m}\right), m\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{n}{K \cdot m} + 2 \cdot \frac{1}{K}\right), m\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{n}{K \cdot m}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{K}\right)\right), m\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       9. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-2 \cdot n}{K \cdot m}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{K}\right)\right), m\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-2 \cdot n}{m \cdot K}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{K}\right)\right), m\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       11. associate-/r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2 \cdot n}{m}}{K}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{K}\right)\right), m\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2 \cdot n}{m}\right), K\right), \left(2 \cdot \frac{1}{K}\right)\right), m\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot n\right), m\right), K\right), \left(2 \cdot \frac{1}{K}\right)\right), m\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, n\right), m\right), K\right), \left(2 \cdot \frac{1}{K}\right)\right), m\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       15. associate-*r/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, n\right), m\right), K\right), \left(\frac{2 \cdot 1}{K}\right)\right), m\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       16. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, n\right), m\right), K\right), \left(\frac{2}{K}\right)\right), m\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f64 86.2%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, n\right), m\right), K\right), \mathsf{/.f64}\left(2, K\right)\right), m\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), 2\right), M\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 86.2%

       \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\frac{-2 \cdot n}{m}}{K} + \frac{2}{K}}{m}}} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \ell}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;m \leq -5.4 \cdot 10^{-35}:\\ \;\;\;\;e^{\left(\left|n - m\right| - 0.25 \cdot \left(\left(n + m\right) \cdot \left(n + m\right)\right)\right) - \ell}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(\frac{1}{\frac{\frac{\frac{n \cdot -2}{m}}{K} + \frac{2}{K}}{m}} - M\right)}{e^{\ell + \left(\frac{n + m}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{n + m}{2} - M\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 96.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [K, m, n, M, l] = \mathsf{sort}([K, m, n, M, l])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\\ \frac{\cos M}{e^{\left(\ell + t\_0 \cdot t\_0\right) - \left|n - m\right|}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (* 0.5 (+ n m)) M)))
   (/ (cos M) (exp (- (+ l (* t_0 t_0)) (fabs (- n m)))))))

C

assert(K < m && m < n && n < M && M < l);
double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = (0.5 * (n + m)) - M;
	return cos(M) / exp(((l + (t_0 * t_0)) - fabs((n - m))));
}

Fortran

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: t_0
    t_0 = (0.5d0 * (n + m)) - m_1
    code = cos(m_1) / exp(((l + (t_0 * t_0)) - abs((n - m))))
end function

Java

assert K < m && m < n && n < M && M < l;
public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = (0.5 * (n + m)) - M;
	return Math.cos(M) / Math.exp(((l + (t_0 * t_0)) - Math.abs((n - m))));
}

Python

[K, m, n, M, l] = sort([K, m, n, M, l])
def code(K, m, n, M, l):
	t_0 = (0.5 * (n + m)) - M
	return math.cos(M) / math.exp(((l + (t_0 * t_0)) - math.fabs((n - m))))

Julia

K, m, n, M, l = sort([K, m, n, M, l])
function code(K, m, n, M, l)
	t_0 = Float64(Float64(0.5 * Float64(n + m)) - M)
	return Float64(cos(M) / exp(Float64(Float64(l + Float64(t_0 * t_0)) - abs(Float64(n - m)))))
end

MATLAB

K, m, n, M, l = num2cell(sort([K, m, n, M, l])){:}
function tmp = code(K, m, n, M, l)
	t_0 = (0.5 * (n + m)) - M;
	tmp = cos(M) / exp(((l + (t_0 * t_0)) - abs((n - m))));
end

Wolfram

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
code[K_, m_, n_, M_, l_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.5 * N[(n + m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision]}, N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] / N[Exp[N[(N[(l + N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Abs[N[(n - m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 72.5%

   \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

   2. associate--l- N/A

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

   3. exp-diff N/A

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   5. exp-0 N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   6. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

3. Simplified 72.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in K around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   17. fabs-sub N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 94.9% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [K, m, n, M, l] = \mathsf{sort}([K, m, n, M, l])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\cos M}{e^{M \cdot M}}\\ \mathbf{if}\;M \leq -5.2 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;M \leq 8.5 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;e^{\left(\left|n - m\right| - 0.25 \cdot \left(\left(n + m\right) \cdot \left(n + m\right)\right)\right) - \ell}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (cos M) (exp (* M M)))))
   (if (<= M -5.2e+17)
     t_0
     (if (<= M 8.5e+76)
       (exp (- (- (fabs (- n m)) (* 0.25 (* (+ n m) (+ n m)))) l))
       t_0))))

C

assert(K < m && m < n && n < M && M < l);
double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = cos(M) / exp((M * M));
	double tmp;
	if (M <= -5.2e+17) {
		tmp = t_0;
	} else if (M <= 8.5e+76) {
		tmp = exp(((fabs((n - m)) - (0.25 * ((n + m) * (n + m)))) - l));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(m_1) / exp((m_1 * m_1))
    if (m_1 <= (-5.2d+17)) then
        tmp = t_0
    else if (m_1 <= 8.5d+76) then
        tmp = exp(((abs((n - m)) - (0.25d0 * ((n + m) * (n + m)))) - l))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert K < m && m < n && n < M && M < l;
public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = Math.cos(M) / Math.exp((M * M));
	double tmp;
	if (M <= -5.2e+17) {
		tmp = t_0;
	} else if (M <= 8.5e+76) {
		tmp = Math.exp(((Math.abs((n - m)) - (0.25 * ((n + m) * (n + m)))) - l));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

[K, m, n, M, l] = sort([K, m, n, M, l])
def code(K, m, n, M, l):
	t_0 = math.cos(M) / math.exp((M * M))
	tmp = 0
	if M <= -5.2e+17:
		tmp = t_0
	elif M <= 8.5e+76:
		tmp = math.exp(((math.fabs((n - m)) - (0.25 * ((n + m) * (n + m)))) - l))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

K, m, n, M, l = sort([K, m, n, M, l])
function code(K, m, n, M, l)
	t_0 = Float64(cos(M) / exp(Float64(M * M)))
	tmp = 0.0
	if (M <= -5.2e+17)
		tmp = t_0;
	elseif (M <= 8.5e+76)
		tmp = exp(Float64(Float64(abs(Float64(n - m)) - Float64(0.25 * Float64(Float64(n + m) * Float64(n + m)))) - l));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

K, m, n, M, l = num2cell(sort([K, m, n, M, l])){:}
function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	t_0 = cos(M) / exp((M * M));
	tmp = 0.0;
	if (M <= -5.2e+17)
		tmp = t_0;
	elseif (M <= 8.5e+76)
		tmp = exp(((abs((n - m)) - (0.25 * ((n + m) * (n + m)))) - l));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
code[K_, m_, n_, M_, l_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] / N[Exp[N[(M * M), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[M, -5.2e+17], t$95$0, If[LessEqual[M, 8.5e+76], N[Exp[N[(N[(N[Abs[N[(n - m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[(0.25 * N[(N[(n + m), $MachinePrecision] * N[(n + m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if M < -5.2e17 or 8.49999999999999992e76 < M

   1. Initial program 77.3%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 77.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left({M}^{2}\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(M \cdot M\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 97.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 97.3%

       \[\leadsto \frac{\cos M}{e^{\color{blue}{M \cdot M}}} \]

   if -5.2e17 < M < 8.49999999999999992e76

   1. Initial program 68.9%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 93.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\ell + \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({\left(m + n\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + -1 \cdot n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + -1 \cdot n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m - n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 93.7%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 93.7%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - \left(\ell + \left(0.25 \cdot \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right) - \left|m - n\right|\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;M \leq -5.2 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos M}{e^{M \cdot M}}\\ \mathbf{elif}\;M \leq 8.5 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;e^{\left(\left|n - m\right| - 0.25 \cdot \left(\left(n + m\right) \cdot \left(n + m\right)\right)\right) - \ell}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos M}{e^{M \cdot M}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 86.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [K, m, n, M, l] = \mathsf{sort}([K, m, n, M, l])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;m \leq -56:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + 0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (if (<= m -56.0)
   (exp (* -0.25 (* m m)))
   (exp (- (fabs (- n m)) (+ l (* 0.25 (* n n)))))))

C

assert(K < m && m < n && n < M && M < l);
double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (m <= -56.0) {
		tmp = exp((-0.25 * (m * m)));
	} else {
		tmp = exp((fabs((n - m)) - (l + (0.25 * (n * n)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: tmp
    if (m <= (-56.0d0)) then
        tmp = exp(((-0.25d0) * (m * m)))
    else
        tmp = exp((abs((n - m)) - (l + (0.25d0 * (n * n)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert K < m && m < n && n < M && M < l;
public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (m <= -56.0) {
		tmp = Math.exp((-0.25 * (m * m)));
	} else {
		tmp = Math.exp((Math.abs((n - m)) - (l + (0.25 * (n * n)))));
	}
	return tmp;
}

Python

[K, m, n, M, l] = sort([K, m, n, M, l])
def code(K, m, n, M, l):
	tmp = 0
	if m <= -56.0:
		tmp = math.exp((-0.25 * (m * m)))
	else:
		tmp = math.exp((math.fabs((n - m)) - (l + (0.25 * (n * n)))))
	return tmp

Julia

K, m, n, M, l = sort([K, m, n, M, l])
function code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0
	if (m <= -56.0)
		tmp = exp(Float64(-0.25 * Float64(m * m)));
	else
		tmp = exp(Float64(abs(Float64(n - m)) - Float64(l + Float64(0.25 * Float64(n * n)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

K, m, n, M, l = num2cell(sort([K, m, n, M, l])){:}
function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0;
	if (m <= -56.0)
		tmp = exp((-0.25 * (m * m)));
	else
		tmp = exp((abs((n - m)) - (l + (0.25 * (n * n)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
code[K_, m_, n_, M_, l_] := If[LessEqual[m, -56.0], N[Exp[N[(-0.25 * N[(m * m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Exp[N[(N[Abs[N[(n - m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[(l + N[(0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if m < -56

   1. Initial program 70.8%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 70.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\ell + \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({\left(m + n\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + -1 \cdot n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + -1 \cdot n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m - n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.6%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - \left(\ell + \left(0.25 \cdot \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right) - \left|m - n\right|\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in m around inf

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {m}^{2}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({m}^{2}\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(m \cdot m\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 97.3%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(m, m\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 97.3%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}} \]

   if -56 < m

   1. Initial program 73.2%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 73.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\ell + \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({\left(m + n\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + -1 \cdot n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + -1 \cdot n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m - n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 84.4%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 84.4%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - \left(\ell + \left(0.25 \cdot \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right) - \left|m - n\right|\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in m around 0

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right) \]

       2. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right) \]

       4. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right) \]

       7. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right) \]

       8. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 63.0%

           \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 63.0%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{\left|n - m\right| - \left(\ell + 0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 78.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [K, m, n, M, l] = \mathsf{sort}([K, m, n, M, l])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -1.4 \cdot 10^{-192}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos M}{e^{m \cdot \left(m \cdot 0.25\right)}}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 1.52 \cdot 10^{-74}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos M}{e^{M \cdot M}}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 0.0005:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (if (<= n -1.4e-192)
   (/ (cos M) (exp (* m (* m 0.25))))
   (if (<= n 1.52e-74)
     (/ (cos M) (exp (* M M)))
     (if (<= n 0.0005) (exp (* -0.25 (* m m))) (exp (* -0.25 (* n n)))))))

C

assert(K < m && m < n && n < M && M < l);
double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (n <= -1.4e-192) {
		tmp = cos(M) / exp((m * (m * 0.25)));
	} else if (n <= 1.52e-74) {
		tmp = cos(M) / exp((M * M));
	} else if (n <= 0.0005) {
		tmp = exp((-0.25 * (m * m)));
	} else {
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: tmp
    if (n <= (-1.4d-192)) then
        tmp = cos(m_1) / exp((m * (m * 0.25d0)))
    else if (n <= 1.52d-74) then
        tmp = cos(m_1) / exp((m_1 * m_1))
    else if (n <= 0.0005d0) then
        tmp = exp(((-0.25d0) * (m * m)))
    else
        tmp = exp(((-0.25d0) * (n * n)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert K < m && m < n && n < M && M < l;
public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (n <= -1.4e-192) {
		tmp = Math.cos(M) / Math.exp((m * (m * 0.25)));
	} else if (n <= 1.52e-74) {
		tmp = Math.cos(M) / Math.exp((M * M));
	} else if (n <= 0.0005) {
		tmp = Math.exp((-0.25 * (m * m)));
	} else {
		tmp = Math.exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Python

[K, m, n, M, l] = sort([K, m, n, M, l])
def code(K, m, n, M, l):
	tmp = 0
	if n <= -1.4e-192:
		tmp = math.cos(M) / math.exp((m * (m * 0.25)))
	elif n <= 1.52e-74:
		tmp = math.cos(M) / math.exp((M * M))
	elif n <= 0.0005:
		tmp = math.exp((-0.25 * (m * m)))
	else:
		tmp = math.exp((-0.25 * (n * n)))
	return tmp

Julia

K, m, n, M, l = sort([K, m, n, M, l])
function code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0
	if (n <= -1.4e-192)
		tmp = Float64(cos(M) / exp(Float64(m * Float64(m * 0.25))));
	elseif (n <= 1.52e-74)
		tmp = Float64(cos(M) / exp(Float64(M * M)));
	elseif (n <= 0.0005)
		tmp = exp(Float64(-0.25 * Float64(m * m)));
	else
		tmp = exp(Float64(-0.25 * Float64(n * n)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

K, m, n, M, l = num2cell(sort([K, m, n, M, l])){:}
function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0;
	if (n <= -1.4e-192)
		tmp = cos(M) / exp((m * (m * 0.25)));
	elseif (n <= 1.52e-74)
		tmp = cos(M) / exp((M * M));
	elseif (n <= 0.0005)
		tmp = exp((-0.25 * (m * m)));
	else
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
code[K_, m_, n_, M_, l_] := If[LessEqual[n, -1.4e-192], N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] / N[Exp[N[(m * N[(m * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[n, 1.52e-74], N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] / N[Exp[N[(M * M), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[n, 0.0005], N[Exp[N[(-0.25 * N[(m * m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Exp[N[(-0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if n < -1.40000000000000002e-192

   1. Initial program 75.2%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 75.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in m around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {m}^{2}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left({m}^{2} \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(m \cdot m\right) \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(m \cdot \left(m \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(m \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot m\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(m, \left(\frac{1}{4} \cdot m\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(m, \left(m \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 39.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(m, \mathsf{*.f64}\left(m, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 39.7%

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{m \cdot \left(m \cdot 0.25\right)}}} \]

   8. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(m, \mathsf{*.f64}\left(m, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(m, \mathsf{*.f64}\left(m, \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 57.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(m, \mathsf{*.f64}\left(m, \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right) \]

   10. Simplified 57.1%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos M}}{e^{m \cdot \left(m \cdot 0.25\right)}} \]

   if -1.40000000000000002e-192 < n < 1.51999999999999997e-74

   1. Initial program 85.1%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 85.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 94.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left({M}^{2}\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(M \cdot M\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 63.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 63.5%

       \[\leadsto \frac{\cos M}{e^{\color{blue}{M \cdot M}}} \]

   if 1.51999999999999997e-74 < n < 5.0000000000000001e-4

   1. Initial program 64.1%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 90.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\ell + \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({\left(m + n\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + -1 \cdot n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + -1 \cdot n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m - n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 90.3%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 90.3%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - \left(\ell + \left(0.25 \cdot \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right) - \left|m - n\right|\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in m around inf

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {m}^{2}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({m}^{2}\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(m \cdot m\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 78.2%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(m, m\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 78.2%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}} \]

   if 5.0000000000000001e-4 < n

   1. Initial program 52.7%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 52.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\ell + \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({\left(m + n\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + -1 \cdot n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + -1 \cdot n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m - n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 96.5%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 96.5%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - \left(\ell + \left(0.25 \cdot \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right) - \left|m - n\right|\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in n around inf

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left({n}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \frac{-1}{4}\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \frac{-1}{4}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 96.5%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \frac{-1}{4}\right)\right) \]

   13. Simplified 96.5%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(n \cdot n\right) \cdot -0.25}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 69.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -1.4 \cdot 10^{-192}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos M}{e^{m \cdot \left(m \cdot 0.25\right)}}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 1.52 \cdot 10^{-74}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos M}{e^{M \cdot M}}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 0.0005:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 78.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [K, m, n, M, l] = \mathsf{sort}([K, m, n, M, l])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{if}\;n \leq -5 \cdot 10^{-186}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;n \leq 2 \cdot 10^{-79}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos M}{e^{M \cdot M}}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 0.0005:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (* -0.25 (* m m)))))
   (if (<= n -5e-186)
     t_0
     (if (<= n 2e-79)
       (/ (cos M) (exp (* M M)))
       (if (<= n 0.0005) t_0 (exp (* -0.25 (* n n))))))))

C

assert(K < m && m < n && n < M && M < l);
double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = exp((-0.25 * (m * m)));
	double tmp;
	if (n <= -5e-186) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 2e-79) {
		tmp = cos(M) / exp((M * M));
	} else if (n <= 0.0005) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(((-0.25d0) * (m * m)))
    if (n <= (-5d-186)) then
        tmp = t_0
    else if (n <= 2d-79) then
        tmp = cos(m_1) / exp((m_1 * m_1))
    else if (n <= 0.0005d0) then
        tmp = t_0
    else
        tmp = exp(((-0.25d0) * (n * n)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert K < m && m < n && n < M && M < l;
public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = Math.exp((-0.25 * (m * m)));
	double tmp;
	if (n <= -5e-186) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 2e-79) {
		tmp = Math.cos(M) / Math.exp((M * M));
	} else if (n <= 0.0005) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = Math.exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Python

[K, m, n, M, l] = sort([K, m, n, M, l])
def code(K, m, n, M, l):
	t_0 = math.exp((-0.25 * (m * m)))
	tmp = 0
	if n <= -5e-186:
		tmp = t_0
	elif n <= 2e-79:
		tmp = math.cos(M) / math.exp((M * M))
	elif n <= 0.0005:
		tmp = t_0
	else:
		tmp = math.exp((-0.25 * (n * n)))
	return tmp

Julia

K, m, n, M, l = sort([K, m, n, M, l])
function code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp(Float64(-0.25 * Float64(m * m)))
	tmp = 0.0
	if (n <= -5e-186)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 2e-79)
		tmp = Float64(cos(M) / exp(Float64(M * M)));
	elseif (n <= 0.0005)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = exp(Float64(-0.25 * Float64(n * n)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

K, m, n, M, l = num2cell(sort([K, m, n, M, l])){:}
function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp((-0.25 * (m * m)));
	tmp = 0.0;
	if (n <= -5e-186)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 2e-79)
		tmp = cos(M) / exp((M * M));
	elseif (n <= 0.0005)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
code[K_, m_, n_, M_, l_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[N[(-0.25 * N[(m * m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[n, -5e-186], t$95$0, If[LessEqual[n, 2e-79], N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] / N[Exp[N[(M * M), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[n, 0.0005], t$95$0, N[Exp[N[(-0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if n < -5e-186 or 2e-79 < n < 5.0000000000000001e-4

   1. Initial program 73.9%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 73.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\ell + \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({\left(m + n\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + -1 \cdot n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + -1 \cdot n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m - n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 92.2%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 92.2%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - \left(\ell + \left(0.25 \cdot \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right) - \left|m - n\right|\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in m around inf

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {m}^{2}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({m}^{2}\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(m \cdot m\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 60.2%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(m, m\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 60.2%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}} \]

   if -5e-186 < n < 2e-79

   1. Initial program 84.9%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 84.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 94.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left({M}^{2}\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(M \cdot M\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 63.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 63.0%

       \[\leadsto \frac{\cos M}{e^{\color{blue}{M \cdot M}}} \]

   if 5.0000000000000001e-4 < n

   1. Initial program 52.7%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 52.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\ell + \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({\left(m + n\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + -1 \cdot n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + -1 \cdot n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m - n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 96.5%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 96.5%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - \left(\ell + \left(0.25 \cdot \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right) - \left|m - n\right|\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in n around inf

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left({n}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \frac{-1}{4}\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \frac{-1}{4}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 96.5%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \frac{-1}{4}\right)\right) \]

   13. Simplified 96.5%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(n \cdot n\right) \cdot -0.25}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 69.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -5 \cdot 10^{-186}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 2 \cdot 10^{-79}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos M}{e^{M \cdot M}}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 0.0005:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 77.1% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [K, m, n, M, l] = \mathsf{sort}([K, m, n, M, l])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;m \leq -54:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{elif}\;m \leq -7.5 \cdot 10^{-88}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos M}{e^{\ell}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (if (<= m -54.0)
   (exp (* -0.25 (* m m)))
   (if (<= m -7.5e-88) (/ (cos M) (exp l)) (exp (* -0.25 (* n n))))))

C

assert(K < m && m < n && n < M && M < l);
double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (m <= -54.0) {
		tmp = exp((-0.25 * (m * m)));
	} else if (m <= -7.5e-88) {
		tmp = cos(M) / exp(l);
	} else {
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: tmp
    if (m <= (-54.0d0)) then
        tmp = exp(((-0.25d0) * (m * m)))
    else if (m <= (-7.5d-88)) then
        tmp = cos(m_1) / exp(l)
    else
        tmp = exp(((-0.25d0) * (n * n)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert K < m && m < n && n < M && M < l;
public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (m <= -54.0) {
		tmp = Math.exp((-0.25 * (m * m)));
	} else if (m <= -7.5e-88) {
		tmp = Math.cos(M) / Math.exp(l);
	} else {
		tmp = Math.exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Python

[K, m, n, M, l] = sort([K, m, n, M, l])
def code(K, m, n, M, l):
	tmp = 0
	if m <= -54.0:
		tmp = math.exp((-0.25 * (m * m)))
	elif m <= -7.5e-88:
		tmp = math.cos(M) / math.exp(l)
	else:
		tmp = math.exp((-0.25 * (n * n)))
	return tmp

Julia

K, m, n, M, l = sort([K, m, n, M, l])
function code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0
	if (m <= -54.0)
		tmp = exp(Float64(-0.25 * Float64(m * m)));
	elseif (m <= -7.5e-88)
		tmp = Float64(cos(M) / exp(l));
	else
		tmp = exp(Float64(-0.25 * Float64(n * n)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

K, m, n, M, l = num2cell(sort([K, m, n, M, l])){:}
function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0;
	if (m <= -54.0)
		tmp = exp((-0.25 * (m * m)));
	elseif (m <= -7.5e-88)
		tmp = cos(M) / exp(l);
	else
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
code[K_, m_, n_, M_, l_] := If[LessEqual[m, -54.0], N[Exp[N[(-0.25 * N[(m * m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[m, -7.5e-88], N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] / N[Exp[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Exp[N[(-0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if m < -54

   1. Initial program 70.8%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 70.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\ell + \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({\left(m + n\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + -1 \cdot n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + -1 \cdot n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m - n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.6%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - \left(\ell + \left(0.25 \cdot \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right) - \left|m - n\right|\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in m around inf

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {m}^{2}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({m}^{2}\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(m \cdot m\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 97.3%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(m, m\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 97.3%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}} \]

   if -54 < m < -7.50000000000000041e-88

   1. Initial program 86.7%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 86.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 89.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in l around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\ell}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 56.5%

       \[\leadsto \frac{\cos M}{e^{\color{blue}{\ell}}} \]

   if -7.50000000000000041e-88 < m

   1. Initial program 72.0%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 72.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\ell + \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({\left(m + n\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + -1 \cdot n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + -1 \cdot n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m - n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 84.6%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 84.6%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - \left(\ell + \left(0.25 \cdot \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right) - \left|m - n\right|\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in n around inf

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left({n}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \frac{-1}{4}\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \frac{-1}{4}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 52.6%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \frac{-1}{4}\right)\right) \]

   13. Simplified 52.6%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(n \cdot n\right) \cdot -0.25}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 65.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;m \leq -54:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{elif}\;m \leq -7.5 \cdot 10^{-88}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos M}{e^{\ell}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 70.2% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [K, m, n, M, l] = \mathsf{sort}([K, m, n, M, l])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;m \leq -54:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{elif}\;m \leq -2.25 \cdot 10^{-261}:\\ \;\;\;\;e^{0 - \ell}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(M \cdot M\right) \cdot -0.5 + 1}{\left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.25 + n \cdot \left(n \cdot \left(0.03125 + \left(n \cdot n\right) \cdot 0.0026041666666666665\right)\right)\right) + 1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (if (<= m -54.0)
   (exp (* -0.25 (* m m)))
   (if (<= m -2.25e-261)
     (exp (- 0.0 l))
     (/
      (+ (* (* M M) -0.5) 1.0)
      (+
       (*
        (* n n)
        (+ 0.25 (* n (* n (+ 0.03125 (* (* n n) 0.0026041666666666665))))))
       1.0)))))

C

assert(K < m && m < n && n < M && M < l);
double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (m <= -54.0) {
		tmp = exp((-0.25 * (m * m)));
	} else if (m <= -2.25e-261) {
		tmp = exp((0.0 - l));
	} else {
		tmp = (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + (n * (n * (0.03125 + ((n * n) * 0.0026041666666666665)))))) + 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: tmp
    if (m <= (-54.0d0)) then
        tmp = exp(((-0.25d0) * (m * m)))
    else if (m <= (-2.25d-261)) then
        tmp = exp((0.0d0 - l))
    else
        tmp = (((m_1 * m_1) * (-0.5d0)) + 1.0d0) / (((n * n) * (0.25d0 + (n * (n * (0.03125d0 + ((n * n) * 0.0026041666666666665d0)))))) + 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert K < m && m < n && n < M && M < l;
public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (m <= -54.0) {
		tmp = Math.exp((-0.25 * (m * m)));
	} else if (m <= -2.25e-261) {
		tmp = Math.exp((0.0 - l));
	} else {
		tmp = (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + (n * (n * (0.03125 + ((n * n) * 0.0026041666666666665)))))) + 1.0);
	}
	return tmp;
}

Python

[K, m, n, M, l] = sort([K, m, n, M, l])
def code(K, m, n, M, l):
	tmp = 0
	if m <= -54.0:
		tmp = math.exp((-0.25 * (m * m)))
	elif m <= -2.25e-261:
		tmp = math.exp((0.0 - l))
	else:
		tmp = (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + (n * (n * (0.03125 + ((n * n) * 0.0026041666666666665)))))) + 1.0)
	return tmp

Julia

K, m, n, M, l = sort([K, m, n, M, l])
function code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0
	if (m <= -54.0)
		tmp = exp(Float64(-0.25 * Float64(m * m)));
	elseif (m <= -2.25e-261)
		tmp = exp(Float64(0.0 - l));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(M * M) * -0.5) + 1.0) / Float64(Float64(Float64(n * n) * Float64(0.25 + Float64(n * Float64(n * Float64(0.03125 + Float64(Float64(n * n) * 0.0026041666666666665)))))) + 1.0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

K, m, n, M, l = num2cell(sort([K, m, n, M, l])){:}
function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0;
	if (m <= -54.0)
		tmp = exp((-0.25 * (m * m)));
	elseif (m <= -2.25e-261)
		tmp = exp((0.0 - l));
	else
		tmp = (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + (n * (n * (0.03125 + ((n * n) * 0.0026041666666666665)))))) + 1.0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
code[K_, m_, n_, M_, l_] := If[LessEqual[m, -54.0], N[Exp[N[(-0.25 * N[(m * m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[m, -2.25e-261], N[Exp[N[(0.0 - l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(M * M), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(n * n), $MachinePrecision] * N[(0.25 + N[(n * N[(n * N[(0.03125 + N[(N[(n * n), $MachinePrecision] * 0.0026041666666666665), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if m < -54

   1. Initial program 70.8%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 70.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\ell + \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({\left(m + n\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + -1 \cdot n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + -1 \cdot n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m - n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.6%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - \left(\ell + \left(0.25 \cdot \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right) - \left|m - n\right|\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in m around inf

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {m}^{2}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({m}^{2}\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(m \cdot m\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 97.3%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(m, m\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 97.3%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}} \]

   if -54 < m < -2.25e-261

   1. Initial program 73.9%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 73.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 89.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\ell + \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({\left(m + n\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + -1 \cdot n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + -1 \cdot n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m - n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 82.6%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 82.6%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - \left(\ell + \left(0.25 \cdot \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right) - \left|m - n\right|\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in l around inf

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \ell\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)\right) \]

       2. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \ell\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 49.7%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right)\right) \]

   13. Simplified 49.7%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{0 - \ell}} \]

   if -2.25e-261 < m

   1. Initial program 72.8%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 72.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 51.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 51.3%

       \[\leadsto \frac{\cos M}{e^{\color{blue}{0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}}} \]

   11. Taylor expanded in M around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {M}^{2}\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {M}^{2}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({M}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(n, n\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(M \cdot M\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{n}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 39.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{n}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 39.8%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + -0.5 \cdot \left(M \cdot M\right)}}{e^{0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   14. Taylor expanded in n around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{4} + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{4} + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{4} + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{4}} + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{4}} + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(n \cdot n\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{32}} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(n \cdot \color{blue}{\left(n \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{\left(n \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{\left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \color{blue}{\left(\frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \left({n}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{384}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{384}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \frac{1}{384}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 38.3%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \frac{1}{384}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 38.3%

       \[\leadsto \frac{1 + -0.5 \cdot \left(M \cdot M\right)}{\color{blue}{1 + \left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.25 + n \cdot \left(n \cdot \left(0.03125 + \left(n \cdot n\right) \cdot 0.0026041666666666665\right)\right)\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 57.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;m \leq -54:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{elif}\;m \leq -2.25 \cdot 10^{-261}:\\ \;\;\;\;e^{0 - \ell}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(M \cdot M\right) \cdot -0.5 + 1}{\left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.25 + n \cdot \left(n \cdot \left(0.03125 + \left(n \cdot n\right) \cdot 0.0026041666666666665\right)\right)\right) + 1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 54.7% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [K, m, n, M, l] = \mathsf{sort}([K, m, n, M, l])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\left(M \cdot M\right) \cdot -0.5 + 1}{\left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.25 + n \cdot \left(n \cdot \left(0.03125 + \left(n \cdot n\right) \cdot 0.0026041666666666665\right)\right)\right) + 1}\\ \mathbf{if}\;n \leq -350:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;n \leq 6.4 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;e^{0 - \ell}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (/
          (+ (* (* M M) -0.5) 1.0)
          (+
           (*
            (* n n)
            (+ 0.25 (* n (* n (+ 0.03125 (* (* n n) 0.0026041666666666665))))))
           1.0))))
   (if (<= n -350.0) t_0 (if (<= n 6.4e+51) (exp (- 0.0 l)) t_0))))

C

assert(K < m && m < n && n < M && M < l);
double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + (n * (n * (0.03125 + ((n * n) * 0.0026041666666666665)))))) + 1.0);
	double tmp;
	if (n <= -350.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 6.4e+51) {
		tmp = exp((0.0 - l));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (((m_1 * m_1) * (-0.5d0)) + 1.0d0) / (((n * n) * (0.25d0 + (n * (n * (0.03125d0 + ((n * n) * 0.0026041666666666665d0)))))) + 1.0d0)
    if (n <= (-350.0d0)) then
        tmp = t_0
    else if (n <= 6.4d+51) then
        tmp = exp((0.0d0 - l))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert K < m && m < n && n < M && M < l;
public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + (n * (n * (0.03125 + ((n * n) * 0.0026041666666666665)))))) + 1.0);
	double tmp;
	if (n <= -350.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 6.4e+51) {
		tmp = Math.exp((0.0 - l));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

[K, m, n, M, l] = sort([K, m, n, M, l])
def code(K, m, n, M, l):
	t_0 = (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + (n * (n * (0.03125 + ((n * n) * 0.0026041666666666665)))))) + 1.0)
	tmp = 0
	if n <= -350.0:
		tmp = t_0
	elif n <= 6.4e+51:
		tmp = math.exp((0.0 - l))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

K, m, n, M, l = sort([K, m, n, M, l])
function code(K, m, n, M, l)
	t_0 = Float64(Float64(Float64(Float64(M * M) * -0.5) + 1.0) / Float64(Float64(Float64(n * n) * Float64(0.25 + Float64(n * Float64(n * Float64(0.03125 + Float64(Float64(n * n) * 0.0026041666666666665)))))) + 1.0))
	tmp = 0.0
	if (n <= -350.0)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 6.4e+51)
		tmp = exp(Float64(0.0 - l));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

K, m, n, M, l = num2cell(sort([K, m, n, M, l])){:}
function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	t_0 = (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + (n * (n * (0.03125 + ((n * n) * 0.0026041666666666665)))))) + 1.0);
	tmp = 0.0;
	if (n <= -350.0)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 6.4e+51)
		tmp = exp((0.0 - l));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
code[K_, m_, n_, M_, l_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(N[(M * M), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(n * n), $MachinePrecision] * N[(0.25 + N[(n * N[(n * N[(0.03125 + N[(N[(n * n), $MachinePrecision] * 0.0026041666666666665), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[n, -350.0], t$95$0, If[LessEqual[n, 6.4e+51], N[Exp[N[(0.0 - l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if n < -350 or 6.4000000000000005e51 < n

   1. Initial program 61.7%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 61.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 98.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.3%

       \[\leadsto \frac{\cos M}{e^{\color{blue}{0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}}} \]

   11. Taylor expanded in M around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {M}^{2}\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {M}^{2}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({M}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(n, n\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(M \cdot M\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{n}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 75.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{n}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 75.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + -0.5 \cdot \left(M \cdot M\right)}}{e^{0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   14. Taylor expanded in n around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{4} + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{4} + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{4} + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{4}} + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{4}} + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(n \cdot n\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{32}} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(n \cdot \color{blue}{\left(n \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{\left(n \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{\left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \color{blue}{\left(\frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \left({n}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{384}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{384}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \frac{1}{384}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 72.5%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \frac{1}{384}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 72.5%

       \[\leadsto \frac{1 + -0.5 \cdot \left(M \cdot M\right)}{\color{blue}{1 + \left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.25 + n \cdot \left(n \cdot \left(0.03125 + \left(n \cdot n\right) \cdot 0.0026041666666666665\right)\right)\right)}} \]

   if -350 < n < 6.4000000000000005e51

   1. Initial program 81.3%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 93.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\ell + \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({\left(m + n\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + -1 \cdot n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + -1 \cdot n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m - n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 80.4%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 80.4%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - \left(\ell + \left(0.25 \cdot \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right) - \left|m - n\right|\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in l around inf

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \ell\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)\right) \]

       2. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \ell\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 46.3%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right)\right) \]

   13. Simplified 46.3%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{0 - \ell}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -350:\\ \;\;\;\;\frac{\left(M \cdot M\right) \cdot -0.5 + 1}{\left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.25 + n \cdot \left(n \cdot \left(0.03125 + \left(n \cdot n\right) \cdot 0.0026041666666666665\right)\right)\right) + 1}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 6.4 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;e^{0 - \ell}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(M \cdot M\right) \cdot -0.5 + 1}{\left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.25 + n \cdot \left(n \cdot \left(0.03125 + \left(n \cdot n\right) \cdot 0.0026041666666666665\right)\right)\right) + 1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 77.4% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [K, m, n, M, l] = \mathsf{sort}([K, m, n, M, l])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;m \leq -0.0031:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (if (<= m -0.0031) (exp (* -0.25 (* m m))) (exp (* -0.25 (* n n)))))

C

assert(K < m && m < n && n < M && M < l);
double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (m <= -0.0031) {
		tmp = exp((-0.25 * (m * m)));
	} else {
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: tmp
    if (m <= (-0.0031d0)) then
        tmp = exp(((-0.25d0) * (m * m)))
    else
        tmp = exp(((-0.25d0) * (n * n)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert K < m && m < n && n < M && M < l;
public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (m <= -0.0031) {
		tmp = Math.exp((-0.25 * (m * m)));
	} else {
		tmp = Math.exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Python

[K, m, n, M, l] = sort([K, m, n, M, l])
def code(K, m, n, M, l):
	tmp = 0
	if m <= -0.0031:
		tmp = math.exp((-0.25 * (m * m)))
	else:
		tmp = math.exp((-0.25 * (n * n)))
	return tmp

Julia

K, m, n, M, l = sort([K, m, n, M, l])
function code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0
	if (m <= -0.0031)
		tmp = exp(Float64(-0.25 * Float64(m * m)));
	else
		tmp = exp(Float64(-0.25 * Float64(n * n)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

K, m, n, M, l = num2cell(sort([K, m, n, M, l])){:}
function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0;
	if (m <= -0.0031)
		tmp = exp((-0.25 * (m * m)));
	else
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
code[K_, m_, n_, M_, l_] := If[LessEqual[m, -0.0031], N[Exp[N[(-0.25 * N[(m * m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Exp[N[(-0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if m < -0.00309999999999999989

   1. Initial program 70.3%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 70.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\ell + \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({\left(m + n\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + -1 \cdot n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + -1 \cdot n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m - n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 97.5%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 97.5%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - \left(\ell + \left(0.25 \cdot \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right) - \left|m - n\right|\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in m around inf

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {m}^{2}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({m}^{2}\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(m \cdot m\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 94.9%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(m, m\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 94.9%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}} \]

   if -0.00309999999999999989 < m

   1. Initial program 73.4%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

      2. associate--l- N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

      3. exp-diff N/A

         \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

   3. Simplified 73.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

      17. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\left(\ell + \frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right) - \left|n - m\right|\right)\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\ell + \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2} - \left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(m + n\right)}^{2}\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({\left(m + n\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(m + n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \left(m + n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. fabs-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \left(\left|m + -1 \cdot n\right|\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + -1 \cdot n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m + \left(\mathsf{neg}\left(n\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(m - n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 84.7%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(m, n\right), \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 84.7%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - \left(\ell + \left(0.25 \cdot \left(\left(m + n\right) \cdot \left(m + n\right)\right) - \left|m - n\right|\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in n around inf

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left({n}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \frac{-1}{4}\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \frac{-1}{4}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 53.4%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \frac{-1}{4}\right)\right) \]

   13. Simplified 53.4%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(n \cdot n\right) \cdot -0.25}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 65.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;m \leq -0.0031:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 36.5% accurate, 15.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [K, m, n, M, l] = \mathsf{sort}([K, m, n, M, l])\\ \\ \frac{\left(M \cdot M\right) \cdot -0.5 + 1}{\left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.25 + n \cdot \left(n \cdot \left(0.03125 + \left(n \cdot n\right) \cdot 0.0026041666666666665\right)\right)\right) + 1} \end{array} \]

FPCore

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (/
  (+ (* (* M M) -0.5) 1.0)
  (+
   (*
    (* n n)
    (+ 0.25 (* n (* n (+ 0.03125 (* (* n n) 0.0026041666666666665))))))
   1.0)))

C

assert(K < m && m < n && n < M && M < l);
double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + (n * (n * (0.03125 + ((n * n) * 0.0026041666666666665)))))) + 1.0);
}

Fortran

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = (((m_1 * m_1) * (-0.5d0)) + 1.0d0) / (((n * n) * (0.25d0 + (n * (n * (0.03125d0 + ((n * n) * 0.0026041666666666665d0)))))) + 1.0d0)
end function

Java

assert K < m && m < n && n < M && M < l;
public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + (n * (n * (0.03125 + ((n * n) * 0.0026041666666666665)))))) + 1.0);
}

Python

[K, m, n, M, l] = sort([K, m, n, M, l])
def code(K, m, n, M, l):
	return (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + (n * (n * (0.03125 + ((n * n) * 0.0026041666666666665)))))) + 1.0)

Julia

K, m, n, M, l = sort([K, m, n, M, l])
function code(K, m, n, M, l)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(M * M) * -0.5) + 1.0) / Float64(Float64(Float64(n * n) * Float64(0.25 + Float64(n * Float64(n * Float64(0.03125 + Float64(Float64(n * n) * 0.0026041666666666665)))))) + 1.0))
end

MATLAB

K, m, n, M, l = num2cell(sort([K, m, n, M, l])){:}
function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + (n * (n * (0.03125 + ((n * n) * 0.0026041666666666665)))))) + 1.0);
end

Wolfram

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
code[K_, m_, n_, M_, l_] := N[(N[(N[(N[(M * M), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(n * n), $MachinePrecision] * N[(0.25 + N[(n * N[(n * N[(0.03125 + N[(N[(n * n), $MachinePrecision] * 0.0026041666666666665), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.5%

   \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

   2. associate--l- N/A

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

   3. exp-diff N/A

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   5. exp-0 N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   6. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

3. Simplified 72.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in K around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   17. fabs-sub N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

8. Taylor expanded in n around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 52.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 52.5%

    \[\leadsto \frac{\cos M}{e^{\color{blue}{0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}}} \]

11. Taylor expanded in M around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {M}^{2}\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {M}^{2}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({M}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(n, n\right)}\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(M \cdot M\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{n}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 41.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{n}\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 41.3%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + -0.5 \cdot \left(M \cdot M\right)}}{e^{0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

14. Taylor expanded in n around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{4} + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{4} + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{4} + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{4}} + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{4}} + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(n \cdot n\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{32}} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(n \cdot \color{blue}{\left(n \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{\left(n \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{\left(\frac{1}{32} + \frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \color{blue}{\left(\frac{1}{384} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \left({n}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{384}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{384}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \frac{1}{384}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 39.1%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{*.f64}\left(n, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \frac{1}{384}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 39.1%

    \[\leadsto \frac{1 + -0.5 \cdot \left(M \cdot M\right)}{\color{blue}{1 + \left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.25 + n \cdot \left(n \cdot \left(0.03125 + \left(n \cdot n\right) \cdot 0.0026041666666666665\right)\right)\right)}} \]

17. Final simplification 39.1%

    \[\leadsto \frac{\left(M \cdot M\right) \cdot -0.5 + 1}{\left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.25 + n \cdot \left(n \cdot \left(0.03125 + \left(n \cdot n\right) \cdot 0.0026041666666666665\right)\right)\right) + 1} \]
18. Add Preprocessing

Alternative 12: 33.6% accurate, 20.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [K, m, n, M, l] = \mathsf{sort}([K, m, n, M, l])\\ \\ \frac{\left(M \cdot M\right) \cdot -0.5 + 1}{\left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.25 + \left(n \cdot n\right) \cdot 0.03125\right) + 1} \end{array} \]

FPCore

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (/ (+ (* (* M M) -0.5) 1.0) (+ (* (* n n) (+ 0.25 (* (* n n) 0.03125))) 1.0)))

C

assert(K < m && m < n && n < M && M < l);
double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + ((n * n) * 0.03125))) + 1.0);
}

Fortran

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = (((m_1 * m_1) * (-0.5d0)) + 1.0d0) / (((n * n) * (0.25d0 + ((n * n) * 0.03125d0))) + 1.0d0)
end function

Java

assert K < m && m < n && n < M && M < l;
public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + ((n * n) * 0.03125))) + 1.0);
}

Python

[K, m, n, M, l] = sort([K, m, n, M, l])
def code(K, m, n, M, l):
	return (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + ((n * n) * 0.03125))) + 1.0)

Julia

K, m, n, M, l = sort([K, m, n, M, l])
function code(K, m, n, M, l)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(M * M) * -0.5) + 1.0) / Float64(Float64(Float64(n * n) * Float64(0.25 + Float64(Float64(n * n) * 0.03125))) + 1.0))
end

MATLAB

K, m, n, M, l = num2cell(sort([K, m, n, M, l])){:}
function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = (((M * M) * -0.5) + 1.0) / (((n * n) * (0.25 + ((n * n) * 0.03125))) + 1.0);
end

Wolfram

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
code[K_, m_, n_, M_, l_] := N[(N[(N[(N[(M * M), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(n * n), $MachinePrecision] * N[(0.25 + N[(N[(n * n), $MachinePrecision] * 0.03125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.5%

   \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

   2. associate--l- N/A

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

   3. exp-diff N/A

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   5. exp-0 N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   6. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

3. Simplified 72.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in K around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   17. fabs-sub N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

8. Taylor expanded in n around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 52.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 52.5%

    \[\leadsto \frac{\cos M}{e^{\color{blue}{0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}}} \]

11. Taylor expanded in M around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {M}^{2}\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {M}^{2}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({M}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(n, n\right)}\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(M \cdot M\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{n}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 41.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{n}\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 41.3%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + -0.5 \cdot \left(M \cdot M\right)}}{e^{0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

14. Taylor expanded in n around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{32} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{32} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{32} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{4}} + \frac{1}{32} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{4}} + \frac{1}{32} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(\frac{1}{32} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({n}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{32}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{32}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \frac{1}{32}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 35.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \frac{1}{32}\right)\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 35.1%

    \[\leadsto \frac{1 + -0.5 \cdot \left(M \cdot M\right)}{\color{blue}{1 + \left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.25 + \left(n \cdot n\right) \cdot 0.03125\right)}} \]

17. Final simplification 35.1%

    \[\leadsto \frac{\left(M \cdot M\right) \cdot -0.5 + 1}{\left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.25 + \left(n \cdot n\right) \cdot 0.03125\right) + 1} \]
18. Add Preprocessing

Alternative 13: 25.2% accurate, 28.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [K, m, n, M, l] = \mathsf{sort}([K, m, n, M, l])\\ \\ \frac{\left(M \cdot M\right) \cdot -0.5 + 1}{0.25 \cdot \left(n \cdot n\right) + 1} \end{array} \]

FPCore

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (/ (+ (* (* M M) -0.5) 1.0) (+ (* 0.25 (* n n)) 1.0)))

C

assert(K < m && m < n && n < M && M < l);
double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return (((M * M) * -0.5) + 1.0) / ((0.25 * (n * n)) + 1.0);
}

Fortran

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = (((m_1 * m_1) * (-0.5d0)) + 1.0d0) / ((0.25d0 * (n * n)) + 1.0d0)
end function

Java

assert K < m && m < n && n < M && M < l;
public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return (((M * M) * -0.5) + 1.0) / ((0.25 * (n * n)) + 1.0);
}

Python

[K, m, n, M, l] = sort([K, m, n, M, l])
def code(K, m, n, M, l):
	return (((M * M) * -0.5) + 1.0) / ((0.25 * (n * n)) + 1.0)

Julia

K, m, n, M, l = sort([K, m, n, M, l])
function code(K, m, n, M, l)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(M * M) * -0.5) + 1.0) / Float64(Float64(0.25 * Float64(n * n)) + 1.0))
end

MATLAB

K, m, n, M, l = num2cell(sort([K, m, n, M, l])){:}
function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = (((M * M) * -0.5) + 1.0) / ((0.25 * (n * n)) + 1.0);
end

Wolfram

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
code[K_, m_, n_, M_, l_] := N[(N[(N[(N[(M * M), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[(N[(0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.5%

   \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

   2. associate--l- N/A

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

   3. exp-diff N/A

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   5. exp-0 N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   6. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

3. Simplified 72.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in K around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)}{e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}\right)}\right) \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|}}\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right) - \left|m - n\right|\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|m - n\right|\right)\right)\right)\right) \]

   17. fabs-sub N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right)\right)\right), \left(\left|n - m\right|\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos M}{e^{\left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right) - \left|n - m\right|}}} \]

8. Taylor expanded in n around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 52.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 52.5%

    \[\leadsto \frac{\cos M}{e^{\color{blue}{0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}}} \]

11. Taylor expanded in M around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {M}^{2}\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {M}^{2}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({M}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(n, n\right)}\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(M \cdot M\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{n}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 41.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{n}\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 41.3%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + -0.5 \cdot \left(M \cdot M\right)}}{e^{0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

14. Taylor expanded in n around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left({n}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(n \cdot \color{blue}{n}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 26.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, \color{blue}{n}\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 26.1%

    \[\leadsto \frac{1 + -0.5 \cdot \left(M \cdot M\right)}{\color{blue}{1 + 0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

17. Final simplification 26.1%

    \[\leadsto \frac{\left(M \cdot M\right) \cdot -0.5 + 1}{0.25 \cdot \left(n \cdot n\right) + 1} \]
18. Add Preprocessing

Alternative 14: 6.9% accurate, 425.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [K, m, n, M, l] = \mathsf{sort}([K, m, n, M, l])\\ \\ 1 \end{array} \]

FPCore

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (K m n M l) :precision binary64 1.0)

C

assert(K < m && m < n && n < M && M < l);
double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0;
}

Fortran

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = 1.0d0
end function

Java

assert K < m && m < n && n < M && M < l;
public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0;
}

Python

[K, m, n, M, l] = sort([K, m, n, M, l])
def code(K, m, n, M, l):
	return 1.0

Julia

K, m, n, M, l = sort([K, m, n, M, l])
function code(K, m, n, M, l)
	return 1.0
end

MATLAB

K, m, n, M, l = num2cell(sort([K, m, n, M, l])){:}
function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

NOTE: K, m, n, M, and l should be sorted in increasing order before calling this function.
code[K_, m_, n_, M_, l_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 72.5%

   \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(0 - {\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

   2. associate--l- N/A

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0 - \left({\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)\right)} \]

   3. exp-diff N/A

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot \frac{e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{0}}{\color{blue}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   5. exp-0 N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot 1}{e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \color{blue}{\left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   6. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right), \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2} + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}\right)}\right) \]

3. Simplified 72.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\left(\frac{m + n}{2} - M\right) \cdot \left(\frac{m + n}{2} - M\right) + \left(\ell - \left|m - n\right|\right)}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in m around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {m}^{2}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left({m}^{2} \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(m \cdot m\right) \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(m \cdot \left(m \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(m \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot m\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(m, \left(\frac{1}{4} \cdot m\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(m, \left(m \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 40.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(m, \mathsf{*.f64}\left(m, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 40.2%

   \[\leadsto \frac{\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)}{e^{\color{blue}{m \cdot \left(m \cdot 0.25\right)}}} \]

8. Taylor expanded in m around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \left(K \cdot n\right) - M\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(K \cdot n\right) - M\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(K \cdot n\right)\right), M\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(K \cdot n\right)\right), M\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n \cdot K\right)\right), M\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 7.8%

      \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(n, K\right)\right), M\right)\right) \]

10. Simplified 7.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(0.5 \cdot \left(n \cdot K\right) - M\right)} \]

11. Taylor expanded in n around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. cos-neg N/A

       \[\leadsto \cos M \]

    2. cos-lowering-cos.f64 8.3%

       \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(M\right) \]

13. Simplified 8.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\cos M} \]

14. Taylor expanded in M around 0

    \[\leadsto \color{blue}{1} \]
15. Step-by-step derivation

16. Simplified 8.2%

    \[\leadsto \color{blue}{1} \]
17. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (K m n M l)
  :name "Maksimov and Kolovsky, Equation (32)"
  :precision binary64
  (* (cos (- (/ (* K (+ m n)) 2.0) M)) (exp (- (- (pow (- (/ (+ m n) 2.0) M) 2.0)) (- l (fabs (- m n)))))))