2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 100.0%

Time: 12.3s

Alternatives: 5

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\\ t_1 := \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\\ 2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos t\_1 - \sin \left(0.6666666666666666 \cdot {\left(t\_0 \cdot t\_0\right)}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \sin t\_1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* PI (* PI PI))) (t_1 (/ (acos (- 0.0 (/ g h))) 3.0)))
   (*
    2.0
    (-
     (* (cos (* PI 0.6666666666666666)) (cos t_1))
     (*
      (sin (* 0.6666666666666666 (pow (* t_0 t_0) 0.16666666666666666)))
      (sin t_1))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = ((double) M_PI) * (((double) M_PI) * ((double) M_PI));
	double t_1 = acos((0.0 - (g / h))) / 3.0;
	return 2.0 * ((cos((((double) M_PI) * 0.6666666666666666)) * cos(t_1)) - (sin((0.6666666666666666 * pow((t_0 * t_0), 0.16666666666666666))) * sin(t_1)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	double t_0 = Math.PI * (Math.PI * Math.PI);
	double t_1 = Math.acos((0.0 - (g / h))) / 3.0;
	return 2.0 * ((Math.cos((Math.PI * 0.6666666666666666)) * Math.cos(t_1)) - (Math.sin((0.6666666666666666 * Math.pow((t_0 * t_0), 0.16666666666666666))) * Math.sin(t_1)));
}

Python

def code(g, h):
	t_0 = math.pi * (math.pi * math.pi)
	t_1 = math.acos((0.0 - (g / h))) / 3.0
	return 2.0 * ((math.cos((math.pi * 0.6666666666666666)) * math.cos(t_1)) - (math.sin((0.6666666666666666 * math.pow((t_0 * t_0), 0.16666666666666666))) * math.sin(t_1)))

Julia

function code(g, h)
	t_0 = Float64(pi * Float64(pi * pi))
	t_1 = Float64(acos(Float64(0.0 - Float64(g / h))) / 3.0)
	return Float64(2.0 * Float64(Float64(cos(Float64(pi * 0.6666666666666666)) * cos(t_1)) - Float64(sin(Float64(0.6666666666666666 * (Float64(t_0 * t_0) ^ 0.16666666666666666))) * sin(t_1))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	t_0 = pi * (pi * pi);
	t_1 = acos((0.0 - (g / h))) / 3.0;
	tmp = 2.0 * ((cos((pi * 0.6666666666666666)) * cos(t_1)) - (sin((0.6666666666666666 * ((t_0 * t_0) ^ 0.16666666666666666))) * sin(t_1)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[(Pi * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[ArcCos[N[(0.0 - N[(g / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[(N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[N[(0.6666666666666666 * N[Power[N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision], 0.16666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   10. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, \left(\mathsf{neg}\left(h\right)\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, \left(0 - h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, \mathsf{\_.f64}\left(0, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right)}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right)\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right) - \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)}\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)}\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), 2\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)}\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), 2\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{0}, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 2\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right) - \sin \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\pi}\right)}^{2}} \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)}\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)}\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. add-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)}\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{0}, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\frac{1}{3}}\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)}\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\right)}\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{6}\right)}\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{g}, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, \color{blue}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-prod-up N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)}\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. pow-prod-down N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)}\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)}\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 100.0%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right) - \sin \left(\color{blue}{{\left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)}^{0.16666666666666666}} \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

11. Final simplification 100.0%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right) - \sin \left(0.6666666666666666 \cdot {\left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)\\ 2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{t\_0}{3}\right) - \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sin \left({\left(\frac{3}{t\_0}\right)}^{-1}\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- 0.0 (/ g h)))))
   (*
    2.0
    (-
     (* (cos (* PI 0.6666666666666666)) (cos (/ t_0 3.0)))
     (* (sin (* PI 0.6666666666666666)) (sin (pow (/ 3.0 t_0) -1.0)))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos((0.0 - (g / h)));
	return 2.0 * ((cos((((double) M_PI) * 0.6666666666666666)) * cos((t_0 / 3.0))) - (sin((((double) M_PI) * 0.6666666666666666)) * sin(pow((3.0 / t_0), -1.0))));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	double t_0 = Math.acos((0.0 - (g / h)));
	return 2.0 * ((Math.cos((Math.PI * 0.6666666666666666)) * Math.cos((t_0 / 3.0))) - (Math.sin((Math.PI * 0.6666666666666666)) * Math.sin(Math.pow((3.0 / t_0), -1.0))));
}

Python

def code(g, h):
	t_0 = math.acos((0.0 - (g / h)))
	return 2.0 * ((math.cos((math.pi * 0.6666666666666666)) * math.cos((t_0 / 3.0))) - (math.sin((math.pi * 0.6666666666666666)) * math.sin(math.pow((3.0 / t_0), -1.0))))

Julia

function code(g, h)
	t_0 = acos(Float64(0.0 - Float64(g / h)))
	return Float64(2.0 * Float64(Float64(cos(Float64(pi * 0.6666666666666666)) * cos(Float64(t_0 / 3.0))) - Float64(sin(Float64(pi * 0.6666666666666666)) * sin((Float64(3.0 / t_0) ^ -1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	t_0 = acos((0.0 - (g / h)));
	tmp = 2.0 * ((cos((pi * 0.6666666666666666)) * cos((t_0 / 3.0))) - (sin((pi * 0.6666666666666666)) * sin(((3.0 / t_0) ^ -1.0))));
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[(0.0 - N[(g / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[(N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(t$95$0 / 3.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[Power[N[(3.0 / t$95$0), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   10. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, \left(\mathsf{neg}\left(h\right)\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, \left(0 - h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, \mathsf{\_.f64}\left(0, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right)}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right)\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right) - \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}\right)}^{-1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(3, \cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. acos-lowering-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(3, \mathsf{acos.f64}\left(\left(0 - \frac{g}{h}\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(3, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 99.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(3, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right) - \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sin \color{blue}{\left({\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}\right)}^{-1}\right)}\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos
   (fma
    (cbrt (* PI (* PI PI)))
    0.6666666666666666
    (/ (acos (- 0.0 (/ g h))) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma(cbrt((((double) M_PI) * (((double) M_PI) * ((double) M_PI)))), 0.6666666666666666, (acos((0.0 - (g / h))) / 3.0)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(cbrt(Float64(pi * Float64(pi * pi))), 0.6666666666666666, Float64(acos(Float64(0.0 - Float64(g / h))) / 3.0))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[Power[N[(Pi * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * 0.6666666666666666 + N[(N[ArcCos[N[(0.0 - N[(g / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   10. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, \left(\mathsf{neg}\left(h\right)\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, \left(0 - h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, \mathsf{\_.f64}\left(0, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   4. acos-lowering-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{0 - h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-frac-neg2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   7. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(0 - \frac{g}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 98.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. rem-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   2. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   3. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f64 98.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (fma PI 0.6666666666666666 (/ (acos (- 0.0 (/ g h))) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (acos((0.0 - (g / h))) / 3.0)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(pi, 0.6666666666666666, Float64(acos(Float64(0.0 - Float64(g / h))) / 3.0))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666 + N[(N[ArcCos[N[(0.0 - N[(g / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   10. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, \left(\mathsf{neg}\left(h\right)\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, \left(0 - h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, \mathsf{\_.f64}\left(0, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   4. acos-lowering-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{0 - h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-frac-neg2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   7. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(0 - \frac{g}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 98.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (* PI 0.6666666666666666) (/ (acos (- 0.0 (/ g h))) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((((double) M_PI) * 0.6666666666666666) + (acos((0.0 - (g / h))) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((Math.PI * 0.6666666666666666) + (Math.acos((0.0 - (g / h))) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((math.pi * 0.6666666666666666) + (math.acos((0.0 - (g / h))) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(pi * 0.6666666666666666) + Float64(acos(Float64(0.0 - Float64(g / h))) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((pi * 0.6666666666666666) + (acos((0.0 - (g / h))) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[(0.0 - N[(g / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   10. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, \left(\mathsf{neg}\left(h\right)\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, \left(0 - h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, \mathsf{\_.f64}\left(0, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{0 - h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right) \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))