Hyperbolic sine

Percentage Accurate: 54.5% → 100.0%

Time: 14.9s

Alternatives: 15

Speedup: 22.9×

• 49.5% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sinh x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (sinh x))

C

double code(double x) {
	return sinh(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sinh(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sinh(x);
}

Python

def code(x):
	return math.sinh(x)

Julia

function code(x)
	return sinh(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sinh(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[Sinh[x], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sinh-def N/A

      \[\leadsto \sinh x \]

   2. sinh-lowering-sinh.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{sinh.f64}\left(x\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sinh x} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 73.6% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot t\_0\\ t_2 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 2.4 \cdot 10^{+39}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.037037037037037035 + t\_2 \cdot \left(t\_2 \cdot \left(t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)\right)\right)\right)}{0.1111111111111111 + t\_1 \cdot \left(t\_1 + -0.3333333333333333\right)}\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.016666666666666666 (* x (* x 0.0003968253968253968))))
        (t_1 (* (* x x) t_0))
        (t_2 (* x (* x x))))
   (if (<= x 2.4e+39)
     (/
      (*
       x
       (+
        2.0
        (/
         (*
          (* x x)
          (+ 0.037037037037037035 (* t_2 (* t_2 (* t_0 (* t_0 t_0))))))
         (+ 0.1111111111111111 (* t_1 (+ t_1 -0.3333333333333333))))))
      2.0)
     (*
      x
      (+
       1.0
       (*
        x
        (*
         x
         (+
          0.16666666666666666
          (*
           x
           (*
            x
            (+
             0.008333333333333333
             (* (* x x) 0.0001984126984126984))))))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968));
	double t_1 = (x * x) * t_0;
	double t_2 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= 2.4e+39) {
		tmp = (x * (2.0 + (((x * x) * (0.037037037037037035 + (t_2 * (t_2 * (t_0 * (t_0 * t_0)))))) / (0.1111111111111111 + (t_1 * (t_1 + -0.3333333333333333)))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984))))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.016666666666666666d0 + (x * (x * 0.0003968253968253968d0))
    t_1 = (x * x) * t_0
    t_2 = x * (x * x)
    if (x <= 2.4d+39) then
        tmp = (x * (2.0d0 + (((x * x) * (0.037037037037037035d0 + (t_2 * (t_2 * (t_0 * (t_0 * t_0)))))) / (0.1111111111111111d0 + (t_1 * (t_1 + (-0.3333333333333333d0))))))) / 2.0d0
    else
        tmp = x * (1.0d0 + (x * (x * (0.16666666666666666d0 + (x * (x * (0.008333333333333333d0 + ((x * x) * 0.0001984126984126984d0))))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968));
	double t_1 = (x * x) * t_0;
	double t_2 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= 2.4e+39) {
		tmp = (x * (2.0 + (((x * x) * (0.037037037037037035 + (t_2 * (t_2 * (t_0 * (t_0 * t_0)))))) / (0.1111111111111111 + (t_1 * (t_1 + -0.3333333333333333)))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984))))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968))
	t_1 = (x * x) * t_0
	t_2 = x * (x * x)
	tmp = 0
	if x <= 2.4e+39:
		tmp = (x * (2.0 + (((x * x) * (0.037037037037037035 + (t_2 * (t_2 * (t_0 * (t_0 * t_0)))))) / (0.1111111111111111 + (t_1 * (t_1 + -0.3333333333333333)))))) / 2.0
	else:
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984))))))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.016666666666666666 + Float64(x * Float64(x * 0.0003968253968253968)))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * t_0)
	t_2 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (x <= 2.4e+39)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.037037037037037035 + Float64(t_2 * Float64(t_2 * Float64(t_0 * Float64(t_0 * t_0)))))) / Float64(0.1111111111111111 + Float64(t_1 * Float64(t_1 + -0.3333333333333333)))))) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.008333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.0001984126984126984)))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968));
	t_1 = (x * x) * t_0;
	t_2 = x * (x * x);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2.4e+39)
		tmp = (x * (2.0 + (((x * x) * (0.037037037037037035 + (t_2 * (t_2 * (t_0 * (t_0 * t_0)))))) / (0.1111111111111111 + (t_1 * (t_1 + -0.3333333333333333)))))) / 2.0;
	else
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.016666666666666666 + N[(x * N[(x * 0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 2.4e+39], N[(N[(x * N[(2.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.037037037037037035 + N[(t$95$2 * N[(t$95$2 * N[(t$95$0 * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.1111111111111111 + N[(t$95$1 * N[(t$95$1 + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(x * N[(x * N[(0.008333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.4000000000000001e39

   1. Initial program 44.4%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left(\frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 91.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 91.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{{\frac{1}{3}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}^{3}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) - \frac{1}{3} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left({\frac{1}{3}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) - \frac{1}{3} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left({\frac{1}{3}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) - \frac{1}{3} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   7. Applied egg-rr 66.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\frac{\left(0.037037037037037035 + \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right) \cdot \left(\left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.1111111111111111 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right) + -0.3333333333333333\right)}}\right)}{2} \]

   if 2.4000000000000001e39 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto x \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot x}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.4 \cdot 10^{+39}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.037037037037037035 + \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right) \cdot \left(\left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{0.1111111111111111 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right) + -0.3333333333333333\right)}\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 74.5% accurate, 3.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+40}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(1 - x \cdot \left(\left(x \cdot t\_0\right) \cdot t\_1\right)\right)}{1 - t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.0001984126984126984 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          0.16666666666666666
          (*
           x
           (* x (+ 0.008333333333333333 (* (* x x) 0.0001984126984126984))))))
        (t_1 (* (* x x) t_0)))
   (if (<= x 5e+40)
     (/ (* x (- 1.0 (* x (* (* x t_0) t_1)))) (- 1.0 t_1))
     (*
      x
      (+
       1.0
       (*
        (* x x)
        (+
         0.16666666666666666
         (* 0.0001984126984126984 (* x (* x (* x x)))))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984))));
	double t_1 = (x * x) * t_0;
	double tmp;
	if (x <= 5e+40) {
		tmp = (x * (1.0 - (x * ((x * t_0) * t_1)))) / (1.0 - t_1);
	} else {
		tmp = x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (0.0001984126984126984 * (x * (x * (x * x)))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.16666666666666666d0 + (x * (x * (0.008333333333333333d0 + ((x * x) * 0.0001984126984126984d0))))
    t_1 = (x * x) * t_0
    if (x <= 5d+40) then
        tmp = (x * (1.0d0 - (x * ((x * t_0) * t_1)))) / (1.0d0 - t_1)
    else
        tmp = x * (1.0d0 + ((x * x) * (0.16666666666666666d0 + (0.0001984126984126984d0 * (x * (x * (x * x)))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984))));
	double t_1 = (x * x) * t_0;
	double tmp;
	if (x <= 5e+40) {
		tmp = (x * (1.0 - (x * ((x * t_0) * t_1)))) / (1.0 - t_1);
	} else {
		tmp = x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (0.0001984126984126984 * (x * (x * (x * x)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984))))
	t_1 = (x * x) * t_0
	tmp = 0
	if x <= 5e+40:
		tmp = (x * (1.0 - (x * ((x * t_0) * t_1)))) / (1.0 - t_1)
	else:
		tmp = x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (0.0001984126984126984 * (x * (x * (x * x)))))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.008333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.0001984126984126984)))))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * t_0)
	tmp = 0.0
	if (x <= 5e+40)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(1.0 - Float64(x * Float64(Float64(x * t_0) * t_1)))) / Float64(1.0 - t_1));
	else
		tmp = Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(0.0001984126984126984 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984))));
	t_1 = (x * x) * t_0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5e+40)
		tmp = (x * (1.0 - (x * ((x * t_0) * t_1)))) / (1.0 - t_1);
	else
		tmp = x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (0.0001984126984126984 * (x * (x * (x * x)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.16666666666666666 + N[(x * N[(x * N[(0.008333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 5e+40], N[(N[(x * N[(1.0 - N[(x * N[(N[(x * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(x * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(0.0001984126984126984 * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.00000000000000003e40

   1. Initial program 44.4%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 91.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.2%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x} \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)} \cdot x \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x}{\color{blue}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 68.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - x \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)}} \]

   if 5.00000000000000003e40 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{0.0001984126984126984 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+40}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(1 - x \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.0001984126984126984 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 75.0% accurate, 3.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\\ t_1 := x \cdot \left(t\_0 - 0.3333333333333333\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+61}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + \frac{x \cdot \left(\left(x \cdot \left(t\_0 + 0.3333333333333333\right)\right) \cdot t\_1\right)}{t\_1}\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* x x)
          (+ 0.016666666666666666 (* x (* x 0.0003968253968253968)))))
        (t_1 (* x (- t_0 0.3333333333333333))))
   (if (<= x 5e+61)
     (/
      (* x (+ 2.0 (/ (* x (* (* x (+ t_0 0.3333333333333333)) t_1)) t_1)))
      2.0)
     (* 0.008333333333333333 (* x (* x (* x (* x x))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)));
	double t_1 = x * (t_0 - 0.3333333333333333);
	double tmp;
	if (x <= 5e+61) {
		tmp = (x * (2.0 + ((x * ((x * (t_0 + 0.3333333333333333)) * t_1)) / t_1))) / 2.0;
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x * x) * (0.016666666666666666d0 + (x * (x * 0.0003968253968253968d0)))
    t_1 = x * (t_0 - 0.3333333333333333d0)
    if (x <= 5d+61) then
        tmp = (x * (2.0d0 + ((x * ((x * (t_0 + 0.3333333333333333d0)) * t_1)) / t_1))) / 2.0d0
    else
        tmp = 0.008333333333333333d0 * (x * (x * (x * (x * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)));
	double t_1 = x * (t_0 - 0.3333333333333333);
	double tmp;
	if (x <= 5e+61) {
		tmp = (x * (2.0 + ((x * ((x * (t_0 + 0.3333333333333333)) * t_1)) / t_1))) / 2.0;
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)))
	t_1 = x * (t_0 - 0.3333333333333333)
	tmp = 0
	if x <= 5e+61:
		tmp = (x * (2.0 + ((x * ((x * (t_0 + 0.3333333333333333)) * t_1)) / t_1))) / 2.0
	else:
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(0.016666666666666666 + Float64(x * Float64(x * 0.0003968253968253968))))
	t_1 = Float64(x * Float64(t_0 - 0.3333333333333333))
	tmp = 0.0
	if (x <= 5e+61)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(t_0 + 0.3333333333333333)) * t_1)) / t_1))) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)));
	t_1 = x * (t_0 - 0.3333333333333333);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5e+61)
		tmp = (x * (2.0 + ((x * ((x * (t_0 + 0.3333333333333333)) * t_1)) / t_1))) / 2.0;
	else
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.016666666666666666 + N[(x * N[(x * 0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(t$95$0 - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 5e+61], N[(N[(x * N[(2.0 + N[(N[(x * N[(N[(x * N[(t$95$0 + 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(0.008333333333333333 * N[(x * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.00000000000000018e61

   1. Initial program 45.7%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left(\frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 91.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 91.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{{\frac{1}{60}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)}^{3}}{\frac{1}{60} \cdot \frac{1}{60} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right) - \frac{1}{60} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\left({\frac{1}{60}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)}^{3}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\frac{1}{60} \cdot \frac{1}{60} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right) - \frac{1}{60} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left({\frac{1}{60}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)}^{3}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{60} \cdot \frac{1}{60} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right) - \frac{1}{60} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   7. Applied egg-rr 67.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \color{blue}{\frac{\left(4.6296296296296296 \cdot 10^{-6} + \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 6.248825220858479 \cdot 10^{-11}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.0002777777777777778 + \left(x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right) + -0.016666666666666666\right)}}\right)\right)}{2} \]

   9. Applied egg-rr 67.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right) - 0.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot x}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right) - 0.3333333333333333\right)}}\right)}{2} \]

   if 5.00000000000000018e61 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right)\right)}}{2} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{5}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left({x}^{5}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{\left(4 + \color{blue}{1}\right)}\right)\right) \]

      3. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), x\right)\right) \]

      6. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      10. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), x\right)\right) \]

      12. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+61}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + \frac{x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right) + 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right) - 0.3333333333333333\right)\right)\right)}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right) - 0.3333333333333333\right)}\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 75.8% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+58}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.1111111111111111 - t\_0 \cdot t\_0\right)}{0.3333333333333333 - t\_0}\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* x x)
          (+ 0.016666666666666666 (* x (* x 0.0003968253968253968))))))
   (if (<= x 2e+58)
     (/
      (*
       x
       (+
        2.0
        (/
         (* (* x x) (- 0.1111111111111111 (* t_0 t_0)))
         (- 0.3333333333333333 t_0))))
      2.0)
     (* 0.008333333333333333 (* x (* x (* x (* x x))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)));
	double tmp;
	if (x <= 2e+58) {
		tmp = (x * (2.0 + (((x * x) * (0.1111111111111111 - (t_0 * t_0))) / (0.3333333333333333 - t_0)))) / 2.0;
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x * x) * (0.016666666666666666d0 + (x * (x * 0.0003968253968253968d0)))
    if (x <= 2d+58) then
        tmp = (x * (2.0d0 + (((x * x) * (0.1111111111111111d0 - (t_0 * t_0))) / (0.3333333333333333d0 - t_0)))) / 2.0d0
    else
        tmp = 0.008333333333333333d0 * (x * (x * (x * (x * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)));
	double tmp;
	if (x <= 2e+58) {
		tmp = (x * (2.0 + (((x * x) * (0.1111111111111111 - (t_0 * t_0))) / (0.3333333333333333 - t_0)))) / 2.0;
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)))
	tmp = 0
	if x <= 2e+58:
		tmp = (x * (2.0 + (((x * x) * (0.1111111111111111 - (t_0 * t_0))) / (0.3333333333333333 - t_0)))) / 2.0
	else:
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(0.016666666666666666 + Float64(x * Float64(x * 0.0003968253968253968))))
	tmp = 0.0
	if (x <= 2e+58)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.1111111111111111 - Float64(t_0 * t_0))) / Float64(0.3333333333333333 - t_0)))) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2e+58)
		tmp = (x * (2.0 + (((x * x) * (0.1111111111111111 - (t_0 * t_0))) / (0.3333333333333333 - t_0)))) / 2.0;
	else
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.016666666666666666 + N[(x * N[(x * 0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 2e+58], N[(N[(x * N[(2.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.1111111111111111 - N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.3333333333333333 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(0.008333333333333333 * N[(x * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.99999999999999989e58

   1. Initial program 45.7%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left(\frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 91.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 91.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}{\frac{1}{3} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\frac{1}{3} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)}\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{3} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   7. Applied egg-rr 68.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\frac{\left(0.1111111111111111 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.3333333333333333 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)}}\right)}{2} \]

   if 1.99999999999999989e58 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right)\right)}}{2} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{5}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left({x}^{5}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{\left(4 + \color{blue}{1}\right)}\right)\right) \]

      3. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), x\right)\right) \]

      6. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      10. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), x\right)\right) \]

      12. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+58}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.1111111111111111 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)}{0.3333333333333333 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)}\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 93.3% accurate, 9.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (+
   1.0
   (*
    x
    (*
     x
     (+
      0.16666666666666666
      (*
       x
       (* x (+ 0.008333333333333333 (* (* x x) 0.0001984126984126984))))))))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + (x * (x * (0.16666666666666666d0 + (x * (x * (0.008333333333333333d0 + ((x * x) * 0.0001984126984126984d0))))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984))))))));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984))))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.008333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.0001984126984126984)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984))))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(x * N[(x * N[(0.008333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 93.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 93.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 93.1%

   \[\leadsto x \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot x}\right) \]

8. Final simplification 93.1%

   \[\leadsto x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 93.3% accurate, 9.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (+
   1.0
   (*
    (* x x)
    (+
     0.16666666666666666
     (*
      x
      (* x (+ 0.008333333333333333 (* x (* x 0.0001984126984126984))))))))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + (x * (x * 0.0001984126984126984))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + ((x * x) * (0.16666666666666666d0 + (x * (x * (0.008333333333333333d0 + (x * (x * 0.0001984126984126984d0))))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + (x * (x * 0.0001984126984126984))))))));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + (x * (x * 0.0001984126984126984))))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.008333333333333333 + Float64(x * Float64(x * 0.0001984126984126984)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + (x * (x * 0.0001984126984126984))))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(x * N[(x * N[(0.008333333333333333 + N[(x * N[(x * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 93.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{5040}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left(\left(x \cdot \frac{1}{5040}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{5040}\right), \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 93.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{5040}\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 93.1%

   \[\leadsto x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \color{blue}{\left(x \cdot 0.0001984126984126984\right) \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

8. Final simplification 93.1%

   \[\leadsto x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 93.1% accurate, 10.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.0001984126984126984 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (+
   1.0
   (*
    (* x x)
    (+ 0.16666666666666666 (* 0.0001984126984126984 (* x (* x (* x x)))))))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (0.0001984126984126984 * (x * (x * (x * x)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + ((x * x) * (0.16666666666666666d0 + (0.0001984126984126984d0 * (x * (x * (x * x)))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (0.0001984126984126984 * (x * (x * (x * x)))))));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (0.0001984126984126984 * (x * (x * (x * x)))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(0.0001984126984126984 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (0.0001984126984126984 * (x * (x * (x * x)))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(0.0001984126984126984 * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 93.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 92.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 92.7%

   \[\leadsto x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{0.0001984126984126984 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 9: 87.3% accurate, 11.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3.3:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 0.3333333333333333}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 3.3)
   (/ (+ (* x 2.0) (* (* x (* x x)) 0.3333333333333333)) 2.0)
   (* x (* (* x x) (+ 0.16666666666666666 (* (* x x) 0.008333333333333333))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 3.3) {
		tmp = ((x * 2.0) + ((x * (x * x)) * 0.3333333333333333)) / 2.0;
	} else {
		tmp = x * ((x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * 0.008333333333333333)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 3.3d0) then
        tmp = ((x * 2.0d0) + ((x * (x * x)) * 0.3333333333333333d0)) / 2.0d0
    else
        tmp = x * ((x * x) * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * 0.008333333333333333d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 3.3) {
		tmp = ((x * 2.0) + ((x * (x * x)) * 0.3333333333333333)) / 2.0;
	} else {
		tmp = x * ((x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * 0.008333333333333333)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 3.3:
		tmp = ((x * 2.0) + ((x * (x * x)) * 0.3333333333333333)) / 2.0
	else:
		tmp = x * ((x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * 0.008333333333333333)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 3.3)
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(Float64(x * Float64(x * x)) * 0.3333333333333333)) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(x * Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 3.3)
		tmp = ((x * 2.0) + ((x * (x * x)) * 0.3333333333333333)) / 2.0;
	else
		tmp = x * ((x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * 0.008333333333333333)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 3.3], N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.2999999999999998

   1. Initial program 40.9%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + \frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + \frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 90.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 90.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \cdot x\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot x\right), \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \cdot x\right)\right), 2\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot 2\right), \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \cdot x\right)\right), 2\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \cdot x\right)\right), 2\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\left(\frac{1}{3} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x\right)\right), 2\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. pow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{1}{3} \cdot {x}^{3}\right)\right), 2\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{3}\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 90.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot 2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   if 3.2999999999999998 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sinh-def N/A

         \[\leadsto \sinh x \]

      2. sinh-lowering-sinh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{sinh.f64}\left(x\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sinh x} \]

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 76.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 76.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \color{blue}{\frac{1}{120}}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{4}}\right)\right) \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{\frac{1}{6} \cdot 1}{{x}^{2}} \cdot {x}^{4} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{\frac{1}{6}}{{x}^{2}} \cdot {x}^{4} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      5. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{\frac{1}{6} \cdot {x}^{4}}{{x}^{2}} + \color{blue}{\frac{1}{120}} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      6. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{{x}^{4}}{{x}^{2}} + \color{blue}{\frac{1}{120}} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}{{x}^{2}} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      8. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{{x}^{2} \cdot {x}^{2}}{{x}^{2}} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      9. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{{x}^{2}}{{x}^{2}}\right) + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      10. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{{x}^{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right) + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      12. rgt-mult-inverse N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot 1\right) + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      13. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right) \]

      15. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      16. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2} + \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \]

      17. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   10. Simplified 76.0%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3.3:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 0.3333333333333333}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 87.3% accurate, 11.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3.3:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 3.3)
   (* x (+ 1.0 (* x (* x 0.16666666666666666))))
   (* x (* (* x x) (+ 0.16666666666666666 (* (* x x) 0.008333333333333333))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 3.3) {
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = x * ((x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * 0.008333333333333333)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 3.3d0) then
        tmp = x * (1.0d0 + (x * (x * 0.16666666666666666d0)))
    else
        tmp = x * ((x * x) * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * 0.008333333333333333d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 3.3) {
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = x * ((x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * 0.008333333333333333)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 3.3:
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = x * ((x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * 0.008333333333333333)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 3.3)
		tmp = Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))));
	else
		tmp = Float64(x * Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 3.3)
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = x * ((x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * 0.008333333333333333)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 3.3], N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.2999999999999998

   1. Initial program 40.9%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 90.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.2%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if 3.2999999999999998 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sinh-def N/A

         \[\leadsto \sinh x \]

      2. sinh-lowering-sinh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{sinh.f64}\left(x\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sinh x} \]

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 76.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 76.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \color{blue}{\frac{1}{120}}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{4}}\right)\right) \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{\frac{1}{6} \cdot 1}{{x}^{2}} \cdot {x}^{4} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{\frac{1}{6}}{{x}^{2}} \cdot {x}^{4} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      5. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{\frac{1}{6} \cdot {x}^{4}}{{x}^{2}} + \color{blue}{\frac{1}{120}} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      6. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{{x}^{4}}{{x}^{2}} + \color{blue}{\frac{1}{120}} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}{{x}^{2}} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      8. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{{x}^{2} \cdot {x}^{2}}{{x}^{2}} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      9. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{{x}^{2}}{{x}^{2}}\right) + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      10. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{{x}^{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right) + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      12. rgt-mult-inverse N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot 1\right) + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      13. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right) \]

      15. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      16. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2} + \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \]

      17. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   10. Simplified 76.0%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 87.3% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 4.8:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 4.8)
   (* x (+ 1.0 (* x (* x 0.16666666666666666))))
   (* 0.008333333333333333 (* x (* x (* x (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 4.8) {
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 4.8d0) then
        tmp = x * (1.0d0 + (x * (x * 0.16666666666666666d0)))
    else
        tmp = 0.008333333333333333d0 * (x * (x * (x * (x * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 4.8) {
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 4.8:
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 4.8)
		tmp = Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))));
	else
		tmp = Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 4.8)
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 4.8], N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.008333333333333333 * N[(x * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 4.79999999999999982

   1. Initial program 40.9%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 90.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.2%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if 4.79999999999999982 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 76.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 76.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right)\right)}}{2} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{5}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left({x}^{5}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{\left(4 + \color{blue}{1}\right)}\right)\right) \]

      3. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), x\right)\right) \]

      6. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      10. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), x\right)\right) \]

      12. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 76.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   8. Simplified 76.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 4.8:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 90.6% accurate, 13.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (+
   1.0
   (* x (* x (+ 0.16666666666666666 (* x (* x 0.008333333333333333))))))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + (x * (x * (0.16666666666666666d0 + (x * (x * 0.008333333333333333d0))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333))))));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * Float64(x * 0.008333333333333333)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 89.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 13: 67.6% accurate, 17.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.5:\\ \;\;\;\;x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 0.16666666666666666\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 2.5) x (* (* x (* x x)) 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.5) {
		tmp = x;
	} else {
		tmp = (x * (x * x)) * 0.16666666666666666;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 2.5d0) then
        tmp = x
    else
        tmp = (x * (x * x)) * 0.16666666666666666d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.5) {
		tmp = x;
	} else {
		tmp = (x * (x * x)) * 0.16666666666666666;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 2.5:
		tmp = x
	else:
		tmp = (x * (x * x)) * 0.16666666666666666
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 2.5)
		tmp = x;
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(x * x)) * 0.16666666666666666);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2.5)
		tmp = x;
	else
		tmp = (x * (x * x)) * 0.16666666666666666;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 2.5], x, N[(N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.5

   1. Initial program 40.9%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 65.8%

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]

   if 2.5 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + \frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + \frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 67.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 67.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}{2} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{6} \cdot {x}^{3}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right) \]

      2. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 67.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 67.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 66.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.5:\\ \;\;\;\;x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 0.16666666666666666\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 84.3% accurate, 22.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (+ 1.0 (* x (* x 0.16666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + (x * (x * 0.16666666666666666d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 84.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 84.2%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 15: 52.1% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 50.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))