Quadratic roots, wide range

Percentage Accurate: 18.0% → 99.7%

Time: 19.1s

Alternatives: 9

Speedup: 23.2×

Specification

\[\left(\left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < a \land a < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < b \land b < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < c \land c < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 18.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-2 \cdot \frac{a \cdot c}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* -2.0 (/ (* a c) a)) (+ b (sqrt (+ (* b b) (* a (* c -4.0)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * ((a * c) / a)) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((-2.0d0) * ((a * c) / a)) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * (-4.0d0))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * ((a * c) / a)) / (b + Math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-2.0 * ((a * c) / a)) / (b + math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-2.0 * Float64(Float64(a * c) / a)) / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -4.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-2.0 * ((a * c) / a)) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-2.0 * N[(N[(a * c), $MachinePrecision] / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}{\color{blue}{a} \cdot 2} \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right), \color{blue}{\left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)}\right) \]

   4. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right) - b \cdot b\right), \left(\left(\color{blue}{a} \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   5. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot 2\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot 2\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\left(\color{blue}{a} \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{2}\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 17.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-4 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -4\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(a \cdot c\right) \cdot -4}}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{\color{blue}{\left(a \cdot 2\right)} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]

    2. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{a \cdot 2}}{\color{blue}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(a \cdot c\right) \cdot -4}{a \cdot 2}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-4 \cdot \left(a \cdot c\right)}{a \cdot 2}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-4 \cdot \left(a \cdot c\right)}{2 \cdot a}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    7. times-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-4}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{a}\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{a}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \frac{a \cdot c}{a}\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right), \left(\frac{a \cdot c}{a}\right)\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left(\frac{a \cdot c}{a}\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    12. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot c\right), a\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), a\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right) \]

    14. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), a\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right)\right) \]

    15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), a\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), a\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), a\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), a\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f64 99.7%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), a\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2 \cdot \frac{a \cdot c}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := b \cdot \left(b \cdot b\right)\\ t_1 := b \cdot \left(b \cdot t\_0\right)\\ \left(c \cdot \left(\frac{c \cdot -0.25}{\frac{a \cdot b}{\frac{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot 20}{b \cdot t\_1}}} + \frac{a \cdot \left(-2 \cdot a\right)}{t\_1}\right) - \frac{a}{t\_0}\right) \cdot \left(c \cdot c\right) - \frac{c}{b} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* b (* b b))) (t_1 (* b (* b t_0))))
   (-
    (*
     (-
      (*
       c
       (+
        (/ (* c -0.25) (/ (* a b) (/ (* (* (* a a) (* a a)) 20.0) (* b t_1))))
        (/ (* a (* -2.0 a)) t_1)))
      (/ a t_0))
     (* c c))
    (/ c b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = b * (b * b);
	double t_1 = b * (b * t_0);
	return (((c * (((c * -0.25) / ((a * b) / ((((a * a) * (a * a)) * 20.0) / (b * t_1)))) + ((a * (-2.0 * a)) / t_1))) - (a / t_0)) * (c * c)) - (c / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = b * (b * b)
    t_1 = b * (b * t_0)
    code = (((c * (((c * (-0.25d0)) / ((a * b) / ((((a * a) * (a * a)) * 20.0d0) / (b * t_1)))) + ((a * ((-2.0d0) * a)) / t_1))) - (a / t_0)) * (c * c)) - (c / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = b * (b * b);
	double t_1 = b * (b * t_0);
	return (((c * (((c * -0.25) / ((a * b) / ((((a * a) * (a * a)) * 20.0) / (b * t_1)))) + ((a * (-2.0 * a)) / t_1))) - (a / t_0)) * (c * c)) - (c / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	t_0 = b * (b * b)
	t_1 = b * (b * t_0)
	return (((c * (((c * -0.25) / ((a * b) / ((((a * a) * (a * a)) * 20.0) / (b * t_1)))) + ((a * (-2.0 * a)) / t_1))) - (a / t_0)) * (c * c)) - (c / b)

Julia

function code(a, b, c)
	t_0 = Float64(b * Float64(b * b))
	t_1 = Float64(b * Float64(b * t_0))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(c * Float64(Float64(Float64(c * -0.25) / Float64(Float64(a * b) / Float64(Float64(Float64(Float64(a * a) * Float64(a * a)) * 20.0) / Float64(b * t_1)))) + Float64(Float64(a * Float64(-2.0 * a)) / t_1))) - Float64(a / t_0)) * Float64(c * c)) - Float64(c / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	t_0 = b * (b * b);
	t_1 = b * (b * t_0);
	tmp = (((c * (((c * -0.25) / ((a * b) / ((((a * a) * (a * a)) * 20.0) / (b * t_1)))) + ((a * (-2.0 * a)) / t_1))) - (a / t_0)) * (c * c)) - (c / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := Block[{t$95$0 = N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(b * N[(b * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(c * N[(N[(N[(c * -0.25), $MachinePrecision] / N[(N[(a * b), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 20.0), $MachinePrecision] / N[(b * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(a * N[(-2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(a / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}} + c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{4} \cdot \frac{c \cdot \left(4 \cdot \frac{{a}^{4}}{{b}^{6}} + 16 \cdot \frac{{a}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{a \cdot b}\right)\right) - \frac{1}{b}\right)} \]

7. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{{b}^{5}} + \left(-0.25 \cdot c\right) \cdot \frac{\frac{{a}^{4} \cdot 20}{{b}^{6}}}{a \cdot b}\right) - \frac{a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) + \frac{-1}{b}\right)} \]

9. Applied egg-rr 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0 - \frac{c}{b}\right) + \left(c \cdot \left(\frac{-0.25 \cdot c}{\frac{b \cdot a}{\frac{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot 20}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}}} + \frac{a \cdot \left(a \cdot -2\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}\right) - \frac{a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(c \cdot c\right)} \]

10. Final simplification 97.7%

    \[\leadsto \left(c \cdot \left(\frac{c \cdot -0.25}{\frac{a \cdot b}{\frac{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot 20}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}}} + \frac{a \cdot \left(-2 \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}\right) - \frac{a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(c \cdot c\right) - \frac{c}{b} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.3% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot \left(a \cdot -4\right)}{a \cdot \left(b \cdot 4 + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(\frac{-8 \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} + \frac{-4 \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (* c (* a -4.0))
  (*
   a
   (+
    (* b 4.0)
    (*
     a
     (+
      (* -4.0 (/ c b))
      (*
       a
       (+
        (/ (* -8.0 (* a (* c (* c c)))) (* b (* (* b b) (* b b))))
        (/ (* -4.0 (* c c)) (* b (* b b)))))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * (a * -4.0)) / (a * ((b * 4.0) + (a * ((-4.0 * (c / b)) + (a * (((-8.0 * (a * (c * (c * c)))) / (b * ((b * b) * (b * b)))) + ((-4.0 * (c * c)) / (b * (b * b)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * (a * (-4.0d0))) / (a * ((b * 4.0d0) + (a * (((-4.0d0) * (c / b)) + (a * ((((-8.0d0) * (a * (c * (c * c)))) / (b * ((b * b) * (b * b)))) + (((-4.0d0) * (c * c)) / (b * (b * b)))))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * (a * -4.0)) / (a * ((b * 4.0) + (a * ((-4.0 * (c / b)) + (a * (((-8.0 * (a * (c * (c * c)))) / (b * ((b * b) * (b * b)))) + ((-4.0 * (c * c)) / (b * (b * b)))))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * (a * -4.0)) / (a * ((b * 4.0) + (a * ((-4.0 * (c / b)) + (a * (((-8.0 * (a * (c * (c * c)))) / (b * ((b * b) * (b * b)))) + ((-4.0 * (c * c)) / (b * (b * b)))))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * Float64(a * -4.0)) / Float64(a * Float64(Float64(b * 4.0) + Float64(a * Float64(Float64(-4.0 * Float64(c / b)) + Float64(a * Float64(Float64(Float64(-8.0 * Float64(a * Float64(c * Float64(c * c)))) / Float64(b * Float64(Float64(b * b) * Float64(b * b)))) + Float64(Float64(-4.0 * Float64(c * c)) / Float64(b * Float64(b * b))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * (a * -4.0)) / (a * ((b * 4.0) + (a * ((-4.0 * (c / b)) + (a * (((-8.0 * (a * (c * (c * c)))) / (b * ((b * b) * (b * b)))) + ((-4.0 * (c * c)) / (b * (b * b)))))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * N[(a * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(a * N[(N[(b * 4.0), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(-4.0 * N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(N[(-8.0 * N[(a * N[(c * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(N[(b * b), $MachinePrecision] * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-4.0 * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}{\color{blue}{a} \cdot 2} \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right), \color{blue}{\left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)}\right) \]

   4. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right) - b \cdot b\right), \left(\left(\color{blue}{a} \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   5. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot 2\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot 2\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\left(\color{blue}{a} \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{2}\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 17.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(4 \cdot b + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(-8 \cdot \frac{a \cdot {c}^{3}}{{b}^{5}} + -4 \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

9. Simplified 15.3%

   \[\leadsto \frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{\color{blue}{a \cdot \left(b \cdot 4 + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(\frac{-8 \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot b} + \frac{\left(c \cdot c\right) \cdot -4}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in b around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-4 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -4\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(c \cdot a\right) \cdot -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \left(-4 \cdot a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(-4 \cdot a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 97.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 97.3%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot \left(a \cdot -4\right)}}{a \cdot \left(b \cdot 4 + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(\frac{-8 \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot b} + \frac{\left(c \cdot c\right) \cdot -4}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)} \]

13. Final simplification 97.3%

    \[\leadsto \frac{c \cdot \left(a \cdot -4\right)}{a \cdot \left(b \cdot 4 + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(\frac{-8 \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} + \frac{-4 \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.9% accurate, 3.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c + \left(\frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b} + 2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \frac{c \cdot \left(c \cdot c\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)}{0 - b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (+
   c
   (+
    (/ (* a (* c c)) (* b b))
    (* 2.0 (* (* a a) (/ (* c (* c c)) (* (* b b) (* b b)))))))
  (- 0.0 b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c + (((a * (c * c)) / (b * b)) + (2.0 * ((a * a) * ((c * (c * c)) / ((b * b) * (b * b))))))) / (0.0 - b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c + (((a * (c * c)) / (b * b)) + (2.0d0 * ((a * a) * ((c * (c * c)) / ((b * b) * (b * b))))))) / (0.0d0 - b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c + (((a * (c * c)) / (b * b)) + (2.0 * ((a * a) * ((c * (c * c)) / ((b * b) * (b * b))))))) / (0.0 - b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c + (((a * (c * c)) / (b * b)) + (2.0 * ((a * a) * ((c * (c * c)) / ((b * b) * (b * b))))))) / (0.0 - b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c + Float64(Float64(Float64(a * Float64(c * c)) / Float64(b * b)) + Float64(2.0 * Float64(Float64(a * a) * Float64(Float64(c * Float64(c * c)) / Float64(Float64(b * b) * Float64(b * b))))))) / Float64(0.0 - b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c + (((a * (c * c)) / (b * b)) + (2.0 * ((a * a) * ((c * (c * c)) / ((b * b) * (b * b))))))) / (0.0 - b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c + N[(N[(N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(2.0 * N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * N[(N[(c * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(b * b), $MachinePrecision] * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.0 - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-4 \cdot \frac{{a}^{3} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-2 \cdot \left(a \cdot c\right) + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)}{b}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-4 \cdot \frac{{a}^{3} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-2 \cdot \left(a \cdot c\right) + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

7. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot a + \frac{c \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b}\right) + \frac{\left(-4 \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}}{b}}}{a \cdot 2} \]

8. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right) + {a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right) + {a}^{2} \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot \left({b}^{2} \cdot c\right)\right), \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left({b}^{2} \cdot c\right)\right), \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left({b}^{2}\right), c\right)\right), \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot b\right), c\right)\right), \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), c\right)\right), \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2}\right), \left({c}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left({c}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left({c}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(c \cdot c\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 96.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

10. Simplified 96.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{-2 \cdot \color{blue}{\frac{a \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot c\right) + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}} + \frac{\left(-4 \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}}{b}}{a \cdot 2} \]

11. Taylor expanded in b around -inf

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c + \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)}{b}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c + \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)}{b}\right) \]

    2. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \frac{c + \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(b\right)}} \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \frac{c + \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)}{-1 \cdot \color{blue}{b}} \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c + \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot b\right)}\right) \]

13. Simplified 97.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c + \left(\frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b} + 2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \frac{c \cdot \left(c \cdot c\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)}{-b}} \]

14. Final simplification 97.1%

    \[\leadsto \frac{c + \left(\frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b} + 2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \frac{c \cdot \left(c \cdot c\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)}{0 - b} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.9% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} - \left(c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (-
   (/ (* (* c (* c c)) (* -2.0 (* a a))) (* (* b b) (* b b)))
   (+ c (/ (* a (* c c)) (* b b))))
  b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((((c * (c * c)) * (-2.0 * (a * a))) / ((b * b) * (b * b))) - (c + ((a * (c * c)) / (b * b)))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((((c * (c * c)) * ((-2.0d0) * (a * a))) / ((b * b) * (b * b))) - (c + ((a * (c * c)) / (b * b)))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((((c * (c * c)) * (-2.0 * (a * a))) / ((b * b) * (b * b))) - (c + ((a * (c * c)) / (b * b)))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((((c * (c * c)) * (-2.0 * (a * a))) / ((b * b) * (b * b))) - (c + ((a * (c * c)) / (b * b)))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(c * Float64(c * c)) * Float64(-2.0 * Float64(a * a))) / Float64(Float64(b * b) * Float64(b * b))) - Float64(c + Float64(Float64(a * Float64(c * c)) / Float64(b * b)))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((((c * (c * c)) * (-2.0 * (a * a))) / ((b * b) * (b * b))) - (c + ((a * (c * c)) / (b * b)))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(N[(N[(c * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-2.0 * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(b * b), $MachinePrecision] * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(c + N[(N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \color{blue}{b}\right) \]

7. Simplified 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} - \left(c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)}{b}} \]

8. Final simplification 97.1%

   \[\leadsto \frac{\frac{\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)} - \left(c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)}{b} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.6% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot -4}{a \cdot \left(b \cdot 4 + a \cdot \left(-4 \cdot \left(\frac{c}{b} + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (* (* a c) -4.0)
  (*
   a
   (+ (* b 4.0) (* a (* -4.0 (+ (/ c b) (/ (* a (* c c)) (* b (* b b))))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((a * c) * -4.0) / (a * ((b * 4.0) + (a * (-4.0 * ((c / b) + ((a * (c * c)) / (b * (b * b))))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((a * c) * (-4.0d0)) / (a * ((b * 4.0d0) + (a * ((-4.0d0) * ((c / b) + ((a * (c * c)) / (b * (b * b))))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((a * c) * -4.0) / (a * ((b * 4.0) + (a * (-4.0 * ((c / b) + ((a * (c * c)) / (b * (b * b))))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((a * c) * -4.0) / (a * ((b * 4.0) + (a * (-4.0 * ((c / b) + ((a * (c * c)) / (b * (b * b))))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(a * c) * -4.0) / Float64(a * Float64(Float64(b * 4.0) + Float64(a * Float64(-4.0 * Float64(Float64(c / b) + Float64(Float64(a * Float64(c * c)) / Float64(b * Float64(b * b)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((a * c) * -4.0) / (a * ((b * 4.0) + (a * (-4.0 * ((c / b) + ((a * (c * c)) / (b * (b * b))))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(a * c), $MachinePrecision] * -4.0), $MachinePrecision] / N[(a * N[(N[(b * 4.0), $MachinePrecision] + N[(a * N[(-4.0 * N[(N[(c / b), $MachinePrecision] + N[(N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}{\color{blue}{a} \cdot 2} \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right), \color{blue}{\left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)}\right) \]

   4. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right) - b \cdot b\right), \left(\left(\color{blue}{a} \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   5. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot 2\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot 2\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\left(\color{blue}{a} \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{2}\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 17.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-4 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -4\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(a \cdot c\right) \cdot -4}}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]

10. Taylor expanded in a around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(4 \cdot b + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{c}{b} + -4 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(4 \cdot b + a \cdot \left(-4 \cdot \frac{c}{b} + -4 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot b\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-4 \cdot \frac{c}{b} + -4 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot 4\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-4 \cdot \frac{c}{b} + -4 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-4 \cdot \frac{c}{b} + -4 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(-4 \cdot \frac{c}{b} + -4 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(-4 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}} + \color{blue}{-4 \cdot \frac{c}{b}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(-4 \cdot \color{blue}{\left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}} + \frac{c}{b}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-4, \color{blue}{\left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}} + \frac{c}{b}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right), \color{blue}{\left(\frac{c}{b}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{c}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{c}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{c}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{c}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\frac{c}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right), \left(\frac{c}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{c}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\frac{c}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\frac{c}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. /-lowering-/.f64 96.8%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 96.8%

    \[\leadsto \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot -4}{\color{blue}{a \cdot \left(b \cdot 4 + a \cdot \left(-4 \cdot \left(\frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{c}{b}\right)\right)\right)}} \]

13. Final simplification 96.8%

    \[\leadsto \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot -4}{a \cdot \left(b \cdot 4 + a \cdot \left(-4 \cdot \left(\frac{c}{b} + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 7: 95.2% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(0 - c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (- (- 0.0 c) (/ (* a (* c c)) (* b b))) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((0.0d0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(0.0 - c) - Float64(Float64(a * Float64(c * c)) / Float64(b * b))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(0.0 - c), $MachinePrecision] - N[(N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}} + c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{4} \cdot \frac{c \cdot \left(4 \cdot \frac{{a}^{4}}{{b}^{6}} + 16 \cdot \frac{{a}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{a \cdot b}\right)\right) - \frac{1}{b}\right)} \]

7. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot a\right)}{{b}^{5}} + \left(-0.25 \cdot c\right) \cdot \frac{\frac{{a}^{4} \cdot 20}{{b}^{6}}}{a \cdot b}\right) - \frac{a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) + \frac{-1}{b}\right)} \]

8. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}}{b}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \color{blue}{b}\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right)\right), b\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c - \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), b\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 95.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), b\right) \]

10. Simplified 95.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b}} \]

11. Final simplification 95.6%

    \[\leadsto \frac{\left(0 - c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 94.9% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{-1 - a \cdot \frac{c}{b \cdot b}}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (* c (/ (- -1.0 (* a (/ c (* b b)))) b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-1.0 - (a * (c / (b * b)))) / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * (((-1.0d0) - (a * (c / (b * b)))) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-1.0 - (a * (c / (b * b)))) / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * ((-1.0 - (a * (c / (b * b)))) / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(Float64(-1.0 - Float64(a * Float64(c / Float64(b * b)))) / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * ((-1.0 - (a * (c / (b * b)))) / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(N[(-1.0 - N[(a * N[(c / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-4 \cdot \frac{{a}^{3} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-2 \cdot \left(a \cdot c\right) + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)}{b}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-4 \cdot \frac{{a}^{3} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(-2 \cdot \left(a \cdot c\right) + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

7. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot a + \frac{c \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b}\right) + \frac{\left(-4 \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}}{b}}}{a \cdot 2} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

   2. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(-2 \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left(\frac{a}{b} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{a}{b}\right), \left(\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \left(\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot c\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2}\right), c\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a\right), c\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   10. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 95.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

10. Simplified 95.2%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{\left(a \cdot a\right) \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)}}{a \cdot 2} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-/l* N/A

       \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\frac{-2 \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{\left(a \cdot a\right) \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)}{a \cdot 2}} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{-2 \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{\left(a \cdot a\right) \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)}{a \cdot 2} \cdot \color{blue}{c} \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-2 \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{\left(a \cdot a\right) \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{c}\right) \]

12. Applied egg-rr 95.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{a}{b} + \frac{a \cdot \left(a \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot -1}{a} \cdot c} \]

13. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - 1}{b}\right)}, c\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}{b}\right), c\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + -1}{b}\right), c\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + -1 \cdot 1}{b}\right), c\right) \]

    4. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(\frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + 1\right)}{b}\right), c\right) \]

    5. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(1 + \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)}{b}\right), c\right) \]

    6. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{1 + \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}}{b}\right), c\right) \]

    7. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1 + \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}}{b}\right)\right), c\right) \]

    8. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1 + \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}}{\mathsf{neg}\left(b\right)}\right), c\right) \]

    9. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1 + \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}}{-1 \cdot b}\right), c\right) \]

    10. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 + \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right), \left(-1 \cdot b\right)\right), c\right) \]

    11. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right), \left(-1 \cdot b\right)\right), c\right) \]

    12. associate-/l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(a \cdot \frac{c}{{b}^{2}}\right)\right), \left(-1 \cdot b\right)\right), c\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \left(-1 \cdot b\right)\right), c\right) \]

    14. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(c, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot b\right)\right), c\right) \]

    15. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot b\right)\right), c\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot b\right)\right), c\right) \]

    17. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), c\right) \]

    18. neg-lowering-neg.f64 95.3%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(b\right)\right), c\right) \]

15. Simplified 95.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + a \cdot \frac{c}{b \cdot b}}{-b}} \cdot c \]

16. Final simplification 95.3%

    \[\leadsto c \cdot \frac{-1 - a \cdot \frac{c}{b \cdot b}}{b} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 9: 90.3% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 - \frac{c}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (- 0.0 (/ c b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0 - (c / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.0d0 - (c / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0 - (c / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.0 - (c / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(0.0 - Float64(c / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.0 - (c / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(0.0 - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{\frac{c}{b}} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{c}{b}\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 91.2%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{b}\right)\right) \]

7. Simplified 91.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - \frac{c}{b}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 91.2%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 91.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-\frac{c}{b}} \]

10. Final simplification 91.2%

    \[\leadsto 0 - \frac{c}{b} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, wide range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 4.930380657631324e-32 a) (< a 2.028240960365167e+31)) (and (< 4.930380657631324e-32 b) (< b 2.028240960365167e+31))) (and (< 4.930380657631324e-32 c) (< c 2.028240960365167e+31)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))