math.sin on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 54.5% → 99.8%

Time: 17.2s

Alternatives: 16

Speedup: 15.4×

• 49.6% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ t_1 := -1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\\ t_2 := -0.008333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0001984126984126984\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{0 - im\_m} - e^{im\_m} \leq -200:\\ \;\;\;\;\frac{0.5 \cdot \cos re}{e^{im\_m}} - \cos re \cdot \left(e^{im\_m} \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(im\_m \cdot \cos re\right) \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_2\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right) - t\_1 \cdot t\_1\right)}{t\_2 \cdot t\_0 - t\_1}\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)))
        (t_1 (+ -1.0 (* im_m (* im_m -0.16666666666666666))))
        (t_2
         (+ -0.008333333333333333 (* im_m (* im_m -0.0001984126984126984)))))
   (*
    im_s
    (if (<= (- (exp (- 0.0 im_m)) (exp im_m)) -200.0)
      (- (/ (* 0.5 (cos re)) (exp im_m)) (* (cos re) (* (exp im_m) 0.5)))
      (/
       (* (* im_m (cos re)) (- (* (* t_2 t_2) (* t_0 t_0)) (* t_1 t_1)))
       (- (* t_2 t_0) t_1))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m);
	double t_1 = -1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666));
	double t_2 = -0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984));
	double tmp;
	if ((exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m)) <= -200.0) {
		tmp = ((0.5 * cos(re)) / exp(im_m)) - (cos(re) * (exp(im_m) * 0.5));
	} else {
		tmp = ((im_m * cos(re)) * (((t_2 * t_2) * (t_0 * t_0)) - (t_1 * t_1))) / ((t_2 * t_0) - t_1);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m)
    t_1 = (-1.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0)))
    t_2 = (-0.008333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.0001984126984126984d0)))
    if ((exp((0.0d0 - im_m)) - exp(im_m)) <= (-200.0d0)) then
        tmp = ((0.5d0 * cos(re)) / exp(im_m)) - (cos(re) * (exp(im_m) * 0.5d0))
    else
        tmp = ((im_m * cos(re)) * (((t_2 * t_2) * (t_0 * t_0)) - (t_1 * t_1))) / ((t_2 * t_0) - t_1)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m);
	double t_1 = -1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666));
	double t_2 = -0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984));
	double tmp;
	if ((Math.exp((0.0 - im_m)) - Math.exp(im_m)) <= -200.0) {
		tmp = ((0.5 * Math.cos(re)) / Math.exp(im_m)) - (Math.cos(re) * (Math.exp(im_m) * 0.5));
	} else {
		tmp = ((im_m * Math.cos(re)) * (((t_2 * t_2) * (t_0 * t_0)) - (t_1 * t_1))) / ((t_2 * t_0) - t_1);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m)
	t_1 = -1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))
	t_2 = -0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984))
	tmp = 0
	if (math.exp((0.0 - im_m)) - math.exp(im_m)) <= -200.0:
		tmp = ((0.5 * math.cos(re)) / math.exp(im_m)) - (math.cos(re) * (math.exp(im_m) * 0.5))
	else:
		tmp = ((im_m * math.cos(re)) * (((t_2 * t_2) * (t_0 * t_0)) - (t_1 * t_1))) / ((t_2 * t_0) - t_1)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))
	t_1 = Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666)))
	t_2 = Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0001984126984126984)))
	tmp = 0.0
	if (Float64(exp(Float64(0.0 - im_m)) - exp(im_m)) <= -200.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.5 * cos(re)) / exp(im_m)) - Float64(cos(re) * Float64(exp(im_m) * 0.5)));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(im_m * cos(re)) * Float64(Float64(Float64(t_2 * t_2) * Float64(t_0 * t_0)) - Float64(t_1 * t_1))) / Float64(Float64(t_2 * t_0) - t_1));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m);
	t_1 = -1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666));
	t_2 = -0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984));
	tmp = 0.0;
	if ((exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m)) <= -200.0)
		tmp = ((0.5 * cos(re)) / exp(im_m)) - (cos(re) * (exp(im_m) * 0.5));
	else
		tmp = ((im_m * cos(re)) * (((t_2 * t_2) * (t_0 * t_0)) - (t_1 * t_1))) / ((t_2 * t_0) - t_1);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(-0.008333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[N[(N[Exp[N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -200.0], N[(N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$2 * t$95$2), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (-.f64 #s(literal 0 binary64) im)) (exp.f64 im)) < -200

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)} \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot e^{0 - im}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right)\right) \]

      7. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{e^{im}}\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right)\right) \]

      8. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos re\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\left(\cos re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{e^{im}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      16. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      18. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(0 - \color{blue}{e^{im}}\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      20. exp-lowering-exp.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos re}{e^{im}} + \cos re \cdot \left(0.5 \cdot \left(0 - e^{im}\right)\right)} \]

   if -200 < (-.f64 (exp.f64 (-.f64 #s(literal 0 binary64) im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 34.6%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(\color{blue}{-1 \cdot \cos re} + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \frac{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}} \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 72.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{0 - im} - e^{im} \leq -200:\\ \;\;\;\;\frac{0.5 \cdot \cos re}{e^{im}} - \cos re \cdot \left(e^{im} \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\\ t_1 := e^{0 - im\_m} - e^{im\_m}\\ t_2 := -0.008333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0001984126984126984\right)\\ t_3 := \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_1 \leq -200:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(0.5 \cdot \cos re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(im\_m \cdot \cos re\right) \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_2\right) \cdot \left(t\_3 \cdot t\_3\right) - t\_0 \cdot t\_0\right)}{t\_2 \cdot t\_3 - t\_0}\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ -1.0 (* im_m (* im_m -0.16666666666666666))))
        (t_1 (- (exp (- 0.0 im_m)) (exp im_m)))
        (t_2
         (+ -0.008333333333333333 (* im_m (* im_m -0.0001984126984126984))))
        (t_3 (* (* im_m im_m) (* im_m im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_1 -200.0)
      (* t_1 (* 0.5 (cos re)))
      (/
       (* (* im_m (cos re)) (- (* (* t_2 t_2) (* t_3 t_3)) (* t_0 t_0)))
       (- (* t_2 t_3) t_0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666));
	double t_1 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	double t_2 = -0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984));
	double t_3 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (t_1 <= -200.0) {
		tmp = t_1 * (0.5 * cos(re));
	} else {
		tmp = ((im_m * cos(re)) * (((t_2 * t_2) * (t_3 * t_3)) - (t_0 * t_0))) / ((t_2 * t_3) - t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-1.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0)))
    t_1 = exp((0.0d0 - im_m)) - exp(im_m)
    t_2 = (-0.008333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.0001984126984126984d0)))
    t_3 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m)
    if (t_1 <= (-200.0d0)) then
        tmp = t_1 * (0.5d0 * cos(re))
    else
        tmp = ((im_m * cos(re)) * (((t_2 * t_2) * (t_3 * t_3)) - (t_0 * t_0))) / ((t_2 * t_3) - t_0)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666));
	double t_1 = Math.exp((0.0 - im_m)) - Math.exp(im_m);
	double t_2 = -0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984));
	double t_3 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (t_1 <= -200.0) {
		tmp = t_1 * (0.5 * Math.cos(re));
	} else {
		tmp = ((im_m * Math.cos(re)) * (((t_2 * t_2) * (t_3 * t_3)) - (t_0 * t_0))) / ((t_2 * t_3) - t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))
	t_1 = math.exp((0.0 - im_m)) - math.exp(im_m)
	t_2 = -0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984))
	t_3 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m)
	tmp = 0
	if t_1 <= -200.0:
		tmp = t_1 * (0.5 * math.cos(re))
	else:
		tmp = ((im_m * math.cos(re)) * (((t_2 * t_2) * (t_3 * t_3)) - (t_0 * t_0))) / ((t_2 * t_3) - t_0)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666)))
	t_1 = Float64(exp(Float64(0.0 - im_m)) - exp(im_m))
	t_2 = Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0001984126984126984)))
	t_3 = Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= -200.0)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(0.5 * cos(re)));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(im_m * cos(re)) * Float64(Float64(Float64(t_2 * t_2) * Float64(t_3 * t_3)) - Float64(t_0 * t_0))) / Float64(Float64(t_2 * t_3) - t_0));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666));
	t_1 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	t_2 = -0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984));
	t_3 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_1 <= -200.0)
		tmp = t_1 * (0.5 * cos(re));
	else
		tmp = ((im_m * cos(re)) * (((t_2 * t_2) * (t_3 * t_3)) - (t_0 * t_0))) / ((t_2 * t_3) - t_0);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Exp[N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(-0.008333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$1, -200.0], N[(t$95$1 * N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$2 * t$95$2), $MachinePrecision] * N[(t$95$3 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(t$95$2 * t$95$3), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (-.f64 #s(literal 0 binary64) im)) (exp.f64 im)) < -200

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -200 < (-.f64 (exp.f64 (-.f64 #s(literal 0 binary64) im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 34.6%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(\color{blue}{-1 \cdot \cos re} + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \frac{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}} \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 72.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{0 - im} - e^{im} \leq -200:\\ \;\;\;\;\left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.9% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 2.65:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.18 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;e^{im\_m} \cdot -0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 2.65)
    (* im_m (* (cos re) (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666))))
    (if (<= im_m 1.18e+62)
      (* (exp im_m) -0.5)
      (*
       im_m
       (*
        (cos re)
        (+
         -1.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.16666666666666666
           (* im_m (* im_m -0.008333333333333333)))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 2.65) {
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	} else if (im_m <= 1.18e+62) {
		tmp = exp(im_m) * -0.5;
	} else {
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 2.65d0) then
        tmp = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0))))
    else if (im_m <= 1.18d+62) then
        tmp = exp(im_m) * (-0.5d0)
    else
        tmp = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333d0)))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 2.65) {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	} else if (im_m <= 1.18e+62) {
		tmp = Math.exp(im_m) * -0.5;
	} else {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 2.65:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)))
	elif im_m <= 1.18e+62:
		tmp = math.exp(im_m) * -0.5
	else:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 2.65)
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666))));
	elseif (im_m <= 1.18e+62)
		tmp = Float64(exp(im_m) * -0.5);
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.008333333333333333)))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 2.65)
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	elseif (im_m <= 1.18e+62)
		tmp = exp(im_m) * -0.5;
	else
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 2.65], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.18e+62], N[(N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 2.64999999999999991

   1. Initial program 34.6%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 90.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 2.64999999999999991 < im < 1.18000000000000001e62

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 71.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 71.4%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(1 + im\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im + \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 62.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(im, \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 62.0%

      \[\leadsto e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{\color{blue}{im + 1}} \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot e^{im}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right) \]

       2. exp-lowering-exp.f64 63.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right) \]

   11. Simplified 63.2%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot e^{im}} \]

   if 1.18000000000000001e62 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.65:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.18 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;e^{im} \cdot -0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 92.7% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   im_m
   (*
    (cos re)
    (+
     -1.0
     (*
      (* im_m im_m)
      (+
       -0.16666666666666666
       (*
        (* im_m im_m)
        (+
         -0.008333333333333333
         (* -0.0001984126984126984 (* im_m im_m)))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (-0.0001984126984126984 * (im_m * im_m)))))))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.008333333333333333d0) + ((-0.0001984126984126984d0) * (im_m * im_m)))))))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (-0.0001984126984126984 * (im_m * im_m)))))))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (-0.0001984126984126984 * (im_m * im_m)))))))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(-0.0001984126984126984 * Float64(im_m * im_m))))))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (-0.0001984126984126984 * (im_m * im_m)))))))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(-0.0001984126984126984 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 48.4%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(\color{blue}{-1 \cdot \cos re} + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. *-lowering-*.f64 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 96.7%

   \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)}\right) \]

9. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 95.2% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + t\_0\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4.4 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;e^{im\_m} \cdot -0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \cos re\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666)))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 3.0)
      (* im_m (* (cos re) (+ -1.0 t_0)))
      (if (<= im_m 4.4e+102) (* (exp im_m) -0.5) (* (* im_m (cos re)) t_0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = (im_m * im_m) * -0.16666666666666666;
	double tmp;
	if (im_m <= 3.0) {
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + t_0));
	} else if (im_m <= 4.4e+102) {
		tmp = exp(im_m) * -0.5;
	} else {
		tmp = (im_m * cos(re)) * t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0)
    if (im_m <= 3.0d0) then
        tmp = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + t_0))
    else if (im_m <= 4.4d+102) then
        tmp = exp(im_m) * (-0.5d0)
    else
        tmp = (im_m * cos(re)) * t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = (im_m * im_m) * -0.16666666666666666;
	double tmp;
	if (im_m <= 3.0) {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + t_0));
	} else if (im_m <= 4.4e+102) {
		tmp = Math.exp(im_m) * -0.5;
	} else {
		tmp = (im_m * Math.cos(re)) * t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = (im_m * im_m) * -0.16666666666666666
	tmp = 0
	if im_m <= 3.0:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + t_0))
	elif im_m <= 4.4e+102:
		tmp = math.exp(im_m) * -0.5
	else:
		tmp = (im_m * math.cos(re)) * t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + t_0)));
	elseif (im_m <= 4.4e+102)
		tmp = Float64(exp(im_m) * -0.5);
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * cos(re)) * t_0);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = (im_m * im_m) * -0.16666666666666666;
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.0)
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + t_0));
	elseif (im_m <= 4.4e+102)
		tmp = exp(im_m) * -0.5;
	else
		tmp = (im_m * cos(re)) * t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.0], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 4.4e+102], N[(N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 3

   1. Initial program 34.6%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 90.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 3 < im < 4.40000000000000015e102

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 73.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(1 + im\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im + \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 68.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(im, \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 68.9%

      \[\leadsto e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{\color{blue}{im + 1}} \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot e^{im}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right) \]

       2. exp-lowering-exp.f64 69.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right) \]

   11. Simplified 69.5%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot e^{im}} \]

   if 4.40000000000000015e102 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \cos re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{{im}^{3}}\right) \]

      2. unpow3 N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot im\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot im\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) \cdot im \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot im\right)} \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \cos re\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot im\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 90.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.4 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;e^{im} \cdot -0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 94.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \cos re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.55:\\ \;\;\;\;0 - t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4.4 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;e^{im\_m} \cdot -0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (cos re))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 1.55)
      (- 0.0 t_0)
      (if (<= im_m 4.4e+102)
        (* (exp im_m) -0.5)
        (* t_0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * cos(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 1.55) {
		tmp = 0.0 - t_0;
	} else if (im_m <= 4.4e+102) {
		tmp = exp(im_m) * -0.5;
	} else {
		tmp = t_0 * ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * cos(re)
    if (im_m <= 1.55d0) then
        tmp = 0.0d0 - t_0
    else if (im_m <= 4.4d+102) then
        tmp = exp(im_m) * (-0.5d0)
    else
        tmp = t_0 * ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * Math.cos(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 1.55) {
		tmp = 0.0 - t_0;
	} else if (im_m <= 4.4e+102) {
		tmp = Math.exp(im_m) * -0.5;
	} else {
		tmp = t_0 * ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * math.cos(re)
	tmp = 0
	if im_m <= 1.55:
		tmp = 0.0 - t_0
	elif im_m <= 4.4e+102:
		tmp = math.exp(im_m) * -0.5
	else:
		tmp = t_0 * ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * cos(re))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.55)
		tmp = Float64(0.0 - t_0);
	elseif (im_m <= 4.4e+102)
		tmp = Float64(exp(im_m) * -0.5);
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * cos(re);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.55)
		tmp = 0.0 - t_0;
	elseif (im_m <= 4.4e+102)
		tmp = exp(im_m) * -0.5;
	else
		tmp = t_0 * ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.55], N[(0.0 - t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 4.4e+102], N[(N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 1.55000000000000004

   1. Initial program 34.6%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      2. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot \cos \color{blue}{re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(0 - im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 72.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, im\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   5. Simplified 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0 - im\right) \cdot \cos re} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 72.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \cos re \]

   if 1.55000000000000004 < im < 4.40000000000000015e102

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 73.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(1 + im\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im + \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 68.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(im, \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 68.9%

      \[\leadsto e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{\color{blue}{im + 1}} \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot e^{im}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right) \]

       2. exp-lowering-exp.f64 69.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right) \]

   11. Simplified 69.5%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot e^{im}} \]

   if 4.40000000000000015e102 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \cos re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{{im}^{3}}\right) \]

      2. unpow3 N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot im\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot im\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) \cdot im \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot im\right)} \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \cos re\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot im\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 76.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.55:\\ \;\;\;\;0 - im \cdot \cos re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.4 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;e^{im} \cdot -0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 86.4% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.7:\\ \;\;\;\;0 - im\_m \cdot \cos re\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 2.7 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;e^{im\_m} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.45 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 1.7)
    (- 0.0 (* im_m (cos re)))
    (if (<= im_m 2.7e+54)
      (* (exp im_m) -0.5)
      (if (<= im_m 1.45e+153)
        (*
         (+ 0.5 (* (* re re) -0.25))
         (*
          im_m
          (+
           -2.0
           (*
            (* im_m im_m)
            (+ -0.3333333333333333 (* im_m (* im_m -0.016666666666666666)))))))
        (*
         (+ 0.5 (* re (* re (+ -0.25 (* (* re re) 0.020833333333333332)))))
         (* im_m (+ -2.0 (* (* im_m im_m) -0.3333333333333333)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.7) {
		tmp = 0.0 - (im_m * cos(re));
	} else if (im_m <= 2.7e+54) {
		tmp = exp(im_m) * -0.5;
	} else if (im_m <= 1.45e+153) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))));
	} else {
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 1.7d0) then
        tmp = 0.0d0 - (im_m * cos(re))
    else if (im_m <= 2.7d+54) then
        tmp = exp(im_m) * (-0.5d0)
    else if (im_m <= 1.45d+153) then
        tmp = (0.5d0 + ((re * re) * (-0.25d0))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666d0)))))))
    else
        tmp = (0.5d0 + (re * (re * ((-0.25d0) + ((re * re) * 0.020833333333333332d0))))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333d0))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.7) {
		tmp = 0.0 - (im_m * Math.cos(re));
	} else if (im_m <= 2.7e+54) {
		tmp = Math.exp(im_m) * -0.5;
	} else if (im_m <= 1.45e+153) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))));
	} else {
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 1.7:
		tmp = 0.0 - (im_m * math.cos(re))
	elif im_m <= 2.7e+54:
		tmp = math.exp(im_m) * -0.5
	elif im_m <= 1.45e+153:
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))))
	else:
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.7)
		tmp = Float64(0.0 - Float64(im_m * cos(re)));
	elseif (im_m <= 2.7e+54)
		tmp = Float64(exp(im_m) * -0.5);
	elseif (im_m <= 1.45e+153)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * -0.25)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.016666666666666666)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.25 + Float64(Float64(re * re) * 0.020833333333333332))))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.3333333333333333))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.7)
		tmp = 0.0 - (im_m * cos(re));
	elseif (im_m <= 2.7e+54)
		tmp = exp(im_m) * -0.5;
	elseif (im_m <= 1.45e+153)
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))));
	else
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.7], N[(0.0 - N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 2.7e+54], N[(N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.45e+153], N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.25 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 1.69999999999999996

   1. Initial program 34.6%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      2. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot \cos \color{blue}{re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(0 - im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 72.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, im\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   5. Simplified 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0 - im\right) \cdot \cos re} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 72.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \cos re \]

   if 1.69999999999999996 < im < 2.70000000000000011e54

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 83.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(1 + im\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im + \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 72.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(im, \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 72.3%

      \[\leadsto e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{\color{blue}{im + 1}} \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot e^{im}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right) \]

       2. exp-lowering-exp.f64 73.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right) \]

   11. Simplified 73.7%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot e^{im}} \]

   if 2.70000000000000011e54 < im < 1.45000000000000001e153

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(\frac{-1}{60} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 94.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 94.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right) \]

   if 1.45000000000000001e153 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{4} + \frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 75.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.7:\\ \;\;\;\;0 - im \cdot \cos re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.7 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;e^{im} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.45 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 64.4% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.66:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 2.7 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;e^{im\_m} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 5.2 \cdot 10^{+151}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 1.66)
    (* im_m (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666)))
    (if (<= im_m 2.7e+54)
      (* (exp im_m) -0.5)
      (if (<= im_m 5.2e+151)
        (*
         (+ 0.5 (* (* re re) -0.25))
         (*
          im_m
          (+
           -2.0
           (*
            (* im_m im_m)
            (+ -0.3333333333333333 (* im_m (* im_m -0.016666666666666666)))))))
        (*
         (+ 0.5 (* re (* re (+ -0.25 (* (* re re) 0.020833333333333332)))))
         (* im_m (+ -2.0 (* (* im_m im_m) -0.3333333333333333)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.66) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	} else if (im_m <= 2.7e+54) {
		tmp = exp(im_m) * -0.5;
	} else if (im_m <= 5.2e+151) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))));
	} else {
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 1.66d0) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0)))
    else if (im_m <= 2.7d+54) then
        tmp = exp(im_m) * (-0.5d0)
    else if (im_m <= 5.2d+151) then
        tmp = (0.5d0 + ((re * re) * (-0.25d0))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666d0)))))))
    else
        tmp = (0.5d0 + (re * (re * ((-0.25d0) + ((re * re) * 0.020833333333333332d0))))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333d0))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.66) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	} else if (im_m <= 2.7e+54) {
		tmp = Math.exp(im_m) * -0.5;
	} else if (im_m <= 5.2e+151) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))));
	} else {
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 1.66:
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666))
	elif im_m <= 2.7e+54:
		tmp = math.exp(im_m) * -0.5
	elif im_m <= 5.2e+151:
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))))
	else:
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.66)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	elseif (im_m <= 2.7e+54)
		tmp = Float64(exp(im_m) * -0.5);
	elseif (im_m <= 5.2e+151)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * -0.25)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.016666666666666666)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.25 + Float64(Float64(re * re) * 0.020833333333333332))))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.3333333333333333))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.66)
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	elseif (im_m <= 2.7e+54)
		tmp = exp(im_m) * -0.5;
	elseif (im_m <= 5.2e+151)
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))));
	else
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.66], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 2.7e+54], N[(N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 5.2e+151], N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.25 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 1.65999999999999992

   1. Initial program 34.6%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 25.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 25.5%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 58.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 58.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   if 1.65999999999999992 < im < 2.70000000000000011e54

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 83.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(1 + im\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im + \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 72.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(im, \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 72.3%

      \[\leadsto e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{\color{blue}{im + 1}} \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot e^{im}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right) \]

       2. exp-lowering-exp.f64 73.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right) \]

   11. Simplified 73.7%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot e^{im}} \]

   if 2.70000000000000011e54 < im < 5.20000000000000026e151

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(\frac{-1}{60} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 94.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 94.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right) \]

   if 5.20000000000000026e151 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{4} + \frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 64.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.66:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.7 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;e^{im} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5.2 \cdot 10^{+151}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 59.3% accurate, 9.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 2.7 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4 \cdot 10^{+151}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 2.7e+54)
    (*
     im_m
     (+
      -1.0
      (*
       (* im_m im_m)
       (+
        -0.16666666666666666
        (*
         (* im_m im_m)
         (+
          -0.008333333333333333
          (* -0.0001984126984126984 (* im_m im_m))))))))
    (if (<= im_m 4e+151)
      (*
       (+ 0.5 (* (* re re) -0.25))
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+ -0.3333333333333333 (* im_m (* im_m -0.016666666666666666)))))))
      (*
       (+ 0.5 (* re (* re (+ -0.25 (* (* re re) 0.020833333333333332)))))
       (* im_m (+ -2.0 (* (* im_m im_m) -0.3333333333333333))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 2.7e+54) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (-0.0001984126984126984 * (im_m * im_m)))))));
	} else if (im_m <= 4e+151) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))));
	} else {
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 2.7d+54) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.008333333333333333d0) + ((-0.0001984126984126984d0) * (im_m * im_m)))))))
    else if (im_m <= 4d+151) then
        tmp = (0.5d0 + ((re * re) * (-0.25d0))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666d0)))))))
    else
        tmp = (0.5d0 + (re * (re * ((-0.25d0) + ((re * re) * 0.020833333333333332d0))))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333d0))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 2.7e+54) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (-0.0001984126984126984 * (im_m * im_m)))))));
	} else if (im_m <= 4e+151) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))));
	} else {
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 2.7e+54:
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (-0.0001984126984126984 * (im_m * im_m)))))))
	elif im_m <= 4e+151:
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))))
	else:
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 2.7e+54)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(-0.0001984126984126984 * Float64(im_m * im_m))))))));
	elseif (im_m <= 4e+151)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * -0.25)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.016666666666666666)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.25 + Float64(Float64(re * re) * 0.020833333333333332))))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.3333333333333333))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 2.7e+54)
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (-0.0001984126984126984 * (im_m * im_m)))))));
	elseif (im_m <= 4e+151)
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))));
	else
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 2.7e+54], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(-0.0001984126984126984 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 4e+151], N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.25 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 2.70000000000000011e54

   1. Initial program 36.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 27.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 27.2%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 62.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 62.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)} \]

   if 2.70000000000000011e54 < im < 4.00000000000000007e151

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(\frac{-1}{60} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 94.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 94.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right) \]

   if 4.00000000000000007e151 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{4} + \frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 67.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.7 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4 \cdot 10^{+151}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 59.0% accurate, 11.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.2 \cdot 10^{+86}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(0.25 + im\_m \cdot \left(-0.5833333333333334 + im\_m \cdot 0.4791666666666667\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 3.2e+86)
    (*
     im_m
     (+
      -1.0
      (*
       (* im_m im_m)
       (+
        -0.16666666666666666
        (*
         (* im_m im_m)
         (+
          -0.008333333333333333
          (* -0.0001984126984126984 (* im_m im_m))))))))
    (*
     im_m
     (+
      -1.0
      (*
       im_m
       (+
        0.25
        (* im_m (+ -0.5833333333333334 (* im_m 0.4791666666666667))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.2e+86) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (-0.0001984126984126984 * (im_m * im_m)))))));
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (0.25 + (im_m * (-0.5833333333333334 + (im_m * 0.4791666666666667))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 3.2d+86) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.008333333333333333d0) + ((-0.0001984126984126984d0) * (im_m * im_m)))))))
    else
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (0.25d0 + (im_m * ((-0.5833333333333334d0) + (im_m * 0.4791666666666667d0))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.2e+86) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (-0.0001984126984126984 * (im_m * im_m)))))));
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (0.25 + (im_m * (-0.5833333333333334 + (im_m * 0.4791666666666667))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 3.2e+86:
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (-0.0001984126984126984 * (im_m * im_m)))))))
	else:
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (0.25 + (im_m * (-0.5833333333333334 + (im_m * 0.4791666666666667))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 3.2e+86)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(-0.0001984126984126984 * Float64(im_m * im_m))))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(0.25 + Float64(im_m * Float64(-0.5833333333333334 + Float64(im_m * 0.4791666666666667)))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 3.2e+86)
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (-0.0001984126984126984 * (im_m * im_m)))))));
	else
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (0.25 + (im_m * (-0.5833333333333334 + (im_m * 0.4791666666666667))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 3.2e+86], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(-0.0001984126984126984 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(0.25 + N[(im$95$m * N[(-0.5833333333333334 + N[(im$95$m * 0.4791666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 3.2e86

   1. Initial program 49.8%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 41.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 41.2%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 75.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 75.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)} \]

   if 3.2e86 < re

   1. Initial program 41.7%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 15.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 15.7%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(1 + im\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im + \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 9.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(im, \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 9.3%

      \[\leadsto e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{\color{blue}{im + 1}} \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{4} + im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{4} + im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{4} + im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{4} + im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{1}{4} + im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{4} + im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} + im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{23}{48} \cdot im + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{7}{12}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{23}{48} \cdot im + \frac{-7}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-7}{12} + \color{blue}{\frac{23}{48} \cdot im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-7}{12}, \color{blue}{\left(\frac{23}{48} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-7}{12}, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{23}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 20.4%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-7}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{23}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 20.4%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(0.25 + im \cdot \left(-0.5833333333333334 + im \cdot 0.4791666666666667\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 65.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.2 \cdot 10^{+86}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(0.25 + im \cdot \left(-0.5833333333333334 + im \cdot 0.4791666666666667\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 57.2% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.4 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(0.25 + im\_m \cdot \left(-0.5833333333333334 + im\_m \cdot 0.4791666666666667\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 3.4e+75)
    (*
     im_m
     (+
      -1.0
      (*
       im_m
       (*
        im_m
        (+ -0.16666666666666666 (* -0.008333333333333333 (* im_m im_m)))))))
    (*
     im_m
     (+
      -1.0
      (*
       im_m
       (+
        0.25
        (* im_m (+ -0.5833333333333334 (* im_m 0.4791666666666667))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.4e+75) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (-0.008333333333333333 * (im_m * im_m))))));
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (0.25 + (im_m * (-0.5833333333333334 + (im_m * 0.4791666666666667))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 3.4d+75) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((-0.008333333333333333d0) * (im_m * im_m))))))
    else
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (0.25d0 + (im_m * ((-0.5833333333333334d0) + (im_m * 0.4791666666666667d0))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.4e+75) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (-0.008333333333333333 * (im_m * im_m))))));
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (0.25 + (im_m * (-0.5833333333333334 + (im_m * 0.4791666666666667))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 3.4e+75:
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (-0.008333333333333333 * (im_m * im_m))))))
	else:
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (0.25 + (im_m * (-0.5833333333333334 + (im_m * 0.4791666666666667))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 3.4e+75)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(-0.008333333333333333 * Float64(im_m * im_m)))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(0.25 + Float64(im_m * Float64(-0.5833333333333334 + Float64(im_m * 0.4791666666666667)))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 3.4e+75)
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (-0.008333333333333333 * (im_m * im_m))))));
	else
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (0.25 + (im_m * (-0.5833333333333334 + (im_m * 0.4791666666666667))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 3.4e+75], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(-0.008333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(0.25 + N[(im$95$m * N[(-0.5833333333333334 + N[(im$95$m * 0.4791666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 3.40000000000000011e75

   1. Initial program 49.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 41.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 41.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 73.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 73.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   if 3.40000000000000011e75 < re

   1. Initial program 43.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(1 + im\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im + \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 8.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(im, \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 8.8%

      \[\leadsto e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{\color{blue}{im + 1}} \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{4} + im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{4} + im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{4} + im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{4} + im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{1}{4} + im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{4} + im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} + im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{23}{48} \cdot im - \frac{7}{12}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{23}{48} \cdot im + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{7}{12}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{23}{48} \cdot im + \frac{-7}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-7}{12} + \color{blue}{\frac{23}{48} \cdot im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-7}{12}, \color{blue}{\left(\frac{23}{48} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-7}{12}, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{23}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 23.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-7}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{23}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 23.9%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(0.25 + im \cdot \left(-0.5833333333333334 + im \cdot 0.4791666666666667\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.4 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(0.25 + im \cdot \left(-0.5833333333333334 + im \cdot 0.4791666666666667\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 57.2% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.4 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 3.4e+75)
    (*
     im_m
     (+
      -1.0
      (*
       im_m
       (*
        im_m
        (+ -0.16666666666666666 (* -0.008333333333333333 (* im_m im_m)))))))
    (*
     im_m
     (+
      -1.0
      (*
       im_m
       (* im_m (+ -0.16666666666666666 (* im_m 0.020833333333333332)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.4e+75) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (-0.008333333333333333 * (im_m * im_m))))));
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * 0.020833333333333332)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 3.4d+75) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((-0.008333333333333333d0) * (im_m * im_m))))))
    else
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * 0.020833333333333332d0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.4e+75) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (-0.008333333333333333 * (im_m * im_m))))));
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * 0.020833333333333332)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 3.4e+75:
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (-0.008333333333333333 * (im_m * im_m))))))
	else:
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * 0.020833333333333332)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 3.4e+75)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(-0.008333333333333333 * Float64(im_m * im_m)))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * 0.020833333333333332))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 3.4e+75)
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (-0.008333333333333333 * (im_m * im_m))))));
	else
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * 0.020833333333333332)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 3.4e+75], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(-0.008333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 3.40000000000000011e75

   1. Initial program 49.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 41.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 41.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 73.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 73.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   if 3.40000000000000011e75 < re

   1. Initial program 43.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(1 + im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 8.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 8.8%

      \[\leadsto e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{\color{blue}{1 + im \cdot \left(1 + im \cdot \left(0.5 + im \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{48} \cdot im} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{48} \cdot im + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{48} \cdot im + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{1}{48} \cdot im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{1}{48} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{1}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 23.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{1}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 23.9%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.4 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 53.0% accurate, 17.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 9.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 9.5e+77)
    (* im_m (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666)))
    (*
     im_m
     (+
      -1.0
      (*
       im_m
       (* im_m (+ -0.16666666666666666 (* im_m 0.020833333333333332)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 9.5e+77) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * 0.020833333333333332)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 9.5d+77) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0)))
    else
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * 0.020833333333333332d0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 9.5e+77) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * 0.020833333333333332)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 9.5e+77:
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666))
	else:
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * 0.020833333333333332)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 9.5e+77)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * 0.020833333333333332))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 9.5e+77)
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	else
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * 0.020833333333333332)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 9.5e+77], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 9.4999999999999998e77

   1. Initial program 49.3%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 41.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 41.1%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 68.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   if 9.4999999999999998e77 < re

   1. Initial program 44.3%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 17.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 17.2%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(1 + im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 8.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 8.9%

      \[\leadsto e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{\color{blue}{1 + im \cdot \left(1 + im \cdot \left(0.5 + im \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{48} \cdot im} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{48} \cdot im - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{48} \cdot im + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{48} \cdot im + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{1}{48} \cdot im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{1}{48} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{1}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 23.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{1}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 23.9%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 9.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 52.7% accurate, 25.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.26:\\ \;\;\;\;0 - im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.5833333333333334\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 1.26)
    (- 0.0 im_m)
    (* im_m (* (* im_m im_m) -0.5833333333333334)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.26) {
		tmp = 0.0 - im_m;
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * -0.5833333333333334);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 1.26d0) then
        tmp = 0.0d0 - im_m
    else
        tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (-0.5833333333333334d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.26) {
		tmp = 0.0 - im_m;
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * -0.5833333333333334);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 1.26:
		tmp = 0.0 - im_m
	else:
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * -0.5833333333333334)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.26)
		tmp = Float64(0.0 - im_m);
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.5833333333333334));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.26)
		tmp = 0.0 - im_m;
	else
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * -0.5833333333333334);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.26], N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.5833333333333334), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.26000000000000001

   1. Initial program 34.6%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      2. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot \cos \color{blue}{re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(0 - im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 72.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, im\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   5. Simplified 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0 - im\right) \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im} \]

      3. --lowering--.f64 45.5%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right) \]

   8. Simplified 45.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 45.5%

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(im\right) \]

   10. Applied egg-rr 45.5%

       \[\leadsto \color{blue}{-im} \]

   if 1.26000000000000001 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 79.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 79.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(1 + im\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im + \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 78.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(im, \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 78.4%

      \[\leadsto e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{\color{blue}{im + 1}} \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{-7}{12} \cdot im\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{-7}{12} \cdot im\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{-7}{12} \cdot im\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{-7}{12} \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{-7}{12} \cdot im\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{-7}{12} \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} + \frac{-7}{12} \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(\frac{-7}{12} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-7}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 60.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-7}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 60.8%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(0.25 + im \cdot -0.5833333333333334\right)\right)} \]

   12. Taylor expanded in im around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-7}{12} \cdot {im}^{3}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\frac{-7}{12}} \]

       2. cube-mult N/A

          \[\leadsto \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \frac{-7}{12} \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(im \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-7}{12} \]

       4. associate-*l* N/A

          \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-7}{12}\right)} \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-7}{12}\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-7}{12}\right)}\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-7}{12} \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-7}{12} \cdot im\right)\right)}\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-7}{12}}\right)\right)\right) \]

       10. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\frac{-7}{12}}\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \frac{-7}{12}\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-7}{12}}\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-7}{12}\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 60.8%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-7}{12}\right)\right) \]

   14. Simplified 60.8%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.5833333333333334\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 48.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.26:\\ \;\;\;\;0 - im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.5833333333333334\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 52.8% accurate, 34.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (* im_m (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 48.4%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   7. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   11. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   12. exp-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   13. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

   16. exp-lowering-exp.f64 36.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

5. Simplified 36.9%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

6. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 59.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 59.2%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

9. Final simplification 59.2%

   \[\leadsto im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 16: 29.0% accurate, 103.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(0 - im\_m\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (- 0.0 im_m)))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (0.0 - im_m);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (0.0d0 - im_m)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (0.0 - im_m);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (0.0 - im_m)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(0.0 - im_m))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (0.0 - im_m);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 48.4%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(-1 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

   2. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot \cos \color{blue}{re} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

   4. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(0 - im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 58.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, im\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

5. Simplified 58.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0 - im\right) \cdot \cos re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot im} \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{im} \]

   3. --lowering--.f64 37.1%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right) \]

8. Simplified 37.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - im} \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f64 37.1%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(im\right) \]

10. Applied egg-rr 37.1%

    \[\leadsto \color{blue}{-im} \]

11. Final simplification 37.1%

    \[\leadsto 0 - im \]
12. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (cos re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(cos(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs im) 1) (- (* (cos re) (+ im (* 1/6 im im im) (* 1/120 im im im im im)))) (* (* 1/2 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))