math.sin on complex, real part

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 14.9s

Alternatives: 19

Speedup: 1.5×

• Could not converge on a ground truth

  1. re = 1.3382468975234219e-154
  2. im = 4.671747134520561e+182

• 49.6% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (+ (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp((0.0d0 - im)) + exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) + Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp((0.0 - im)) + math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) + exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (+ (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp((0.0d0 - im)) + exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) + Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp((0.0 - im)) + math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) + exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ \mathsf{fma}\left(t\_0, e^{im}, \frac{t\_0}{e^{im}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re)))) (fma t_0 (exp im) (/ t_0 (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	return fma(t_0, exp(im), (t_0 / exp(im)));
}

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	return fma(t_0, exp(im), Float64(t_0 / exp(im)))
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 * N[Exp[im], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 / N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{0 - im} + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{im}} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{im} + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{0 - im}} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{im} + e^{0 - im} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

   4. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(e^{im}\right)}, \left(e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \sin re\right), \left(e^{\color{blue}{im}}\right), \left(e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(e^{im}\right), \left(e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   7. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \left(e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{0 - im}\right)\right) \]

   9. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right) \]

   10. exp-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{e^{im}}\right)\right) \]

   11. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \sin re}{e^{im}}\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right), \left(e^{im}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \sin re\right), \left(e^{im}\right)\right)\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(e^{im}\right)\right)\right) \]

   15. exp-lowering-exp.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sin re, e^{im}, \frac{0.5 \cdot \sin re}{e^{im}}\right)} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 100.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin re}{\frac{1}{\cosh im}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (/ (sin re) (/ 1.0 (cosh im))))

C

double code(double re, double im) {
	return sin(re) / (1.0 / cosh(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = sin(re) / (1.0d0 / cosh(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return Math.sin(re) / (1.0 / Math.cosh(im));
}

Python

def code(re, im):
	return math.sin(re) / (1.0 / math.cosh(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(sin(re) / Float64(1.0 / cosh(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = sin(re) / (1.0 / cosh(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

   7. cosh-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   10. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   12. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

   13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot \cosh im \]

   3. cosh-def N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot \frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{\color{blue}{2}} \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}}} \]

   5. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\sin re}{\color{blue}{\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)}\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{\color{blue}{2}}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right) \]

   8. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{2}}}\right)\right) \]

   9. cosh-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\cosh im}\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{1 \cdot \color{blue}{\cosh im}}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right)\right) \]

   12. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \cosh im\right)\right) \]

   13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin re}{\frac{1}{\cosh im}}} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 3: 100.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin re \cdot \cosh im \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (* (sin re) (cosh im)))

C

double code(double re, double im) {
	return sin(re) * cosh(im);
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = sin(re) * cosh(im)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return Math.sin(re) * Math.cosh(im);
}

Python

def code(re, im):
	return math.sin(re) * math.cosh(im)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(sin(re) * cosh(im))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = sin(re) * cosh(im);
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

   7. cosh-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   10. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   12. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

   13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

   5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 79.1% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 7.6 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{re}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 7.6e-7)
   (/ re (/ 1.0 (cosh im)))
   (*
    (sin re)
    (+
     1.0
     (*
      im
      (*
       im
       (+
        0.5
        (*
         im
         (*
          im
          (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889)))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 7.6e-7) {
		tmp = re / (1.0 / cosh(im));
	} else {
		tmp = sin(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 7.6d-7) then
        tmp = re / (1.0d0 / cosh(im))
    else
        tmp = sin(re) * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + (im * (im * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0))))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 7.6e-7) {
		tmp = re / (1.0 / Math.cosh(im));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 7.6e-7:
		tmp = re / (1.0 / math.cosh(im))
	else:
		tmp = math.sin(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 7.6e-7)
		tmp = Float64(re / Float64(1.0 / cosh(im)));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889)))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 7.6e-7)
		tmp = re / (1.0 / cosh(im));
	else
		tmp = sin(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 7.6e-7], N[(re / N[(1.0 / N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(im * N[(im * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 7.60000000000000029e-7

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \cosh im \]

      3. cosh-def N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{\color{blue}{2}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}}} \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\sin re}{\color{blue}{\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)}\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{\color{blue}{2}}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{2}}}\right)\right) \]

      9. cosh-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\cosh im}\right)\right) \]

      10. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{1 \cdot \color{blue}{\cosh im}}\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right)\right) \]

      12. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \cosh im\right)\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin re}{\frac{1}{\cosh im}}} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 76.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{re}}{\frac{1}{\cosh im}} \]

   if 7.60000000000000029e-7 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 95.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 95.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin re \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 80.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 7.6 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{re}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 73.1% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.05 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{re}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 2.05e-5)
   (sin re)
   (if (<= im 2.5e+77)
     (/ re (/ 1.0 (cosh im)))
     (* (sin re) (* im (* im (* 0.041666666666666664 (* im im))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2.05e-5) {
		tmp = sin(re);
	} else if (im <= 2.5e+77) {
		tmp = re / (1.0 / cosh(im));
	} else {
		tmp = sin(re) * (im * (im * (0.041666666666666664 * (im * im))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 2.05d-5) then
        tmp = sin(re)
    else if (im <= 2.5d+77) then
        tmp = re / (1.0d0 / cosh(im))
    else
        tmp = sin(re) * (im * (im * (0.041666666666666664d0 * (im * im))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2.05e-5) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else if (im <= 2.5e+77) {
		tmp = re / (1.0 / Math.cosh(im));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (im * (im * (0.041666666666666664 * (im * im))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 2.05e-5:
		tmp = math.sin(re)
	elif im <= 2.5e+77:
		tmp = re / (1.0 / math.cosh(im))
	else:
		tmp = math.sin(re) * (im * (im * (0.041666666666666664 * (im * im))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 2.05e-5)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 2.5e+77)
		tmp = Float64(re / Float64(1.0 / cosh(im)));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(im * Float64(im * Float64(0.041666666666666664 * Float64(im * im)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 2.05e-5)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 2.5e+77)
		tmp = re / (1.0 / cosh(im));
	else
		tmp = sin(re) * (im * (im * (0.041666666666666664 * (im * im))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 2.05e-5], N[Sin[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 2.5e+77], N[(re / N[(1.0 / N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(im * N[(im * N[(0.041666666666666664 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 2.05000000000000002e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 71.5%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 71.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 2.05000000000000002e-5 < im < 2.50000000000000002e77

   1. Initial program 99.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \cosh im \]

      3. cosh-def N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{\color{blue}{2}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}}} \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\sin re}{\color{blue}{\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)}\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{\color{blue}{2}}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{2}}}\right)\right) \]

      9. cosh-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\cosh im}\right)\right) \]

      10. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{1 \cdot \color{blue}{\cosh im}}\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right)\right) \]

      12. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \cosh im\right)\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin re}{\frac{1}{\cosh im}}} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 75.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{re}}{\frac{1}{\cosh im}} \]

   if 2.50000000000000002e77 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\sin re} \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right) + \sin \color{blue}{re} \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) + \sin re\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} + \sin re\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} + \sin re\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left({im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \frac{1}{2}\right) + \sin re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \sin \color{blue}{re}\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\frac{1}{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + \sin \color{blue}{re}\right) \]

      10. distribute-lft1-in N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot im\right) + 1\right) \cdot \sin re \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im + 1\right) \cdot \sin re \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + 1\right) \cdot \sin re \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{4} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)} \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 76.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.05 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{re}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 78.1% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.1 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{re}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 4.1e-7)
   (/ re (/ 1.0 (cosh im)))
   (*
    (sin re)
    (+ 1.0 (* (* im im) (+ 0.5 (* im (* im 0.041666666666666664))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 4.1e-7) {
		tmp = re / (1.0 / cosh(im));
	} else {
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 4.1d-7) then
        tmp = re / (1.0d0 / cosh(im))
    else
        tmp = sin(re) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * 0.041666666666666664d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 4.1e-7) {
		tmp = re / (1.0 / Math.cosh(im));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 4.1e-7:
		tmp = re / (1.0 / math.cosh(im))
	else:
		tmp = math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 4.1e-7)
		tmp = Float64(re / Float64(1.0 / cosh(im)));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * 0.041666666666666664))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4.1e-7)
		tmp = re / (1.0 / cosh(im));
	else
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 4.1e-7], N[(re / N[(1.0 / N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 4.0999999999999999e-7

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \cosh im \]

      3. cosh-def N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{\color{blue}{2}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}}} \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\sin re}{\color{blue}{\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)}\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{\color{blue}{2}}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{2}}}\right)\right) \]

      9. cosh-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\cosh im}\right)\right) \]

      10. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{1 \cdot \color{blue}{\cosh im}}\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right)\right) \]

      12. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \cosh im\right)\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin re}{\frac{1}{\cosh im}}} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 76.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{re}}{\frac{1}{\cosh im}} \]

   if 4.0999999999999999e-7 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\sin re} \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right) + \sin \color{blue}{re} \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) + \sin re\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} + \sin re\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} + \sin re\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left({im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \frac{1}{2}\right) + \sin re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \sin \color{blue}{re}\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\frac{1}{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + \sin \color{blue}{re}\right) \]

      10. distribute-lft1-in N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot im\right) + 1\right) \cdot \sin re \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im + 1\right) \cdot \sin re \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + 1\right) \cdot \sin re \]

   5. Simplified 90.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + 1\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 79.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.1 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{re}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 71.7% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.05 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.4 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{re}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 2.05e-5)
   (sin re)
   (if (<= im 1.4e+154)
     (/ re (/ 1.0 (cosh im)))
     (* (* 0.5 (sin re)) (+ (* im im) 2.0)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2.05e-5) {
		tmp = sin(re);
	} else if (im <= 1.4e+154) {
		tmp = re / (1.0 / cosh(im));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * ((im * im) + 2.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 2.05d-5) then
        tmp = sin(re)
    else if (im <= 1.4d+154) then
        tmp = re / (1.0d0 / cosh(im))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * ((im * im) + 2.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2.05e-5) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else if (im <= 1.4e+154) {
		tmp = re / (1.0 / Math.cosh(im));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * ((im * im) + 2.0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 2.05e-5:
		tmp = math.sin(re)
	elif im <= 1.4e+154:
		tmp = re / (1.0 / math.cosh(im))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * ((im * im) + 2.0)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 2.05e-5)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 1.4e+154)
		tmp = Float64(re / Float64(1.0 / cosh(im)));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(Float64(im * im) + 2.0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 2.05e-5)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 1.4e+154)
		tmp = re / (1.0 / cosh(im));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * ((im * im) + 2.0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 2.05e-5], N[Sin[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.4e+154], N[(re / N[(1.0 / N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 2.05000000000000002e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 71.5%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 71.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 2.05000000000000002e-5 < im < 1.4e154

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \cosh im \]

      3. cosh-def N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{\color{blue}{2}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}}} \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\sin re}{\color{blue}{\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)}\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{\color{blue}{2}}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{2}}}\right)\right) \]

      9. cosh-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\cosh im}\right)\right) \]

      10. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{1 \cdot \color{blue}{\cosh im}}\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right)\right) \]

      12. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \cosh im\right)\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin re}{\frac{1}{\cosh im}}} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 79.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{re}}{\frac{1}{\cosh im}} \]

   if 1.4e154 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 75.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.05 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.4 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{re}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 78.0% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{re}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 1.5e-7)
   (/ re (/ 1.0 (cosh im)))
   (* (sin re) (+ 1.0 (* im (* im (* 0.041666666666666664 (* im im))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.5e-7) {
		tmp = re / (1.0 / cosh(im));
	} else {
		tmp = sin(re) * (1.0 + (im * (im * (0.041666666666666664 * (im * im)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 1.5d-7) then
        tmp = re / (1.0d0 / cosh(im))
    else
        tmp = sin(re) * (1.0d0 + (im * (im * (0.041666666666666664d0 * (im * im)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.5e-7) {
		tmp = re / (1.0 / Math.cosh(im));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (1.0 + (im * (im * (0.041666666666666664 * (im * im)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 1.5e-7:
		tmp = re / (1.0 / math.cosh(im))
	else:
		tmp = math.sin(re) * (1.0 + (im * (im * (0.041666666666666664 * (im * im)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.5e-7)
		tmp = Float64(re / Float64(1.0 / cosh(im)));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.041666666666666664 * Float64(im * im))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.5e-7)
		tmp = re / (1.0 / cosh(im));
	else
		tmp = sin(re) * (1.0 + (im * (im * (0.041666666666666664 * (im * im)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 1.5e-7], N[(re / N[(1.0 / N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.041666666666666664 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 1.4999999999999999e-7

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \cosh im \]

      3. cosh-def N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{\color{blue}{2}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}}} \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\sin re}{\color{blue}{\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)}\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{\color{blue}{2}}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{2}}}\right)\right) \]

      9. cosh-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\cosh im}\right)\right) \]

      10. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{1 \cdot \color{blue}{\cosh im}}\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right)\right) \]

      12. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \cosh im\right)\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin re}{\frac{1}{\cosh im}}} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 76.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{re}}{\frac{1}{\cosh im}} \]

   if 1.4999999999999999e-7 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\sin re} \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right) + \sin \color{blue}{re} \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) + \sin re\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} + \sin re\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} + \sin re\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left({im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \frac{1}{2}\right) + \sin re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \sin \color{blue}{re}\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\frac{1}{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + \sin \color{blue}{re}\right) \]

      10. distribute-lft1-in N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot im\right) + 1\right) \cdot \sin re \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im + 1\right) \cdot \sin re \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + 1\right) \cdot \sin re \]

   5. Simplified 90.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)}, 1\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), 1\right)\right) \]

      2. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right)\right), 1\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot {im}^{2}\right), 1\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right), 1\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right), 1\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), 1\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), 1\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), 1\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), 1\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 90.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), 1\right)\right) \]

   8. Simplified 90.4%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} + 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 79.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{re}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 68.6% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4.9 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{re}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot im + 2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 4.9e-5)
   (sin re)
   (if (<= im 5e+154)
     (/ re (/ 1.0 (cosh im)))
     (* (+ (* im im) 2.0) (* re (+ 0.5 (* -0.08333333333333333 (* re re))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 4.9e-5) {
		tmp = sin(re);
	} else if (im <= 5e+154) {
		tmp = re / (1.0 / cosh(im));
	} else {
		tmp = ((im * im) + 2.0) * (re * (0.5 + (-0.08333333333333333 * (re * re))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 4.9d-5) then
        tmp = sin(re)
    else if (im <= 5d+154) then
        tmp = re / (1.0d0 / cosh(im))
    else
        tmp = ((im * im) + 2.0d0) * (re * (0.5d0 + ((-0.08333333333333333d0) * (re * re))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 4.9e-5) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else if (im <= 5e+154) {
		tmp = re / (1.0 / Math.cosh(im));
	} else {
		tmp = ((im * im) + 2.0) * (re * (0.5 + (-0.08333333333333333 * (re * re))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 4.9e-5:
		tmp = math.sin(re)
	elif im <= 5e+154:
		tmp = re / (1.0 / math.cosh(im))
	else:
		tmp = ((im * im) + 2.0) * (re * (0.5 + (-0.08333333333333333 * (re * re))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 4.9e-5)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 5e+154)
		tmp = Float64(re / Float64(1.0 / cosh(im)));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(im * im) + 2.0) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(-0.08333333333333333 * Float64(re * re)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 4.9e-5)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 5e+154)
		tmp = re / (1.0 / cosh(im));
	else
		tmp = ((im * im) + 2.0) * (re * (0.5 + (-0.08333333333333333 * (re * re))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 4.9e-5], N[Sin[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 5e+154], N[(re / N[(1.0 / N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(-0.08333333333333333 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 4.9e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 71.5%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 71.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 4.9e-5 < im < 5.00000000000000004e154

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \cosh im \]

      3. cosh-def N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{\color{blue}{2}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}}} \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\sin re}{\color{blue}{\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(\frac{2}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)}\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{\color{blue}{2}}{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{2}}}\right)\right) \]

      9. cosh-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\cosh im}\right)\right) \]

      10. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{1 \cdot \color{blue}{\cosh im}}\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right)\right) \]

      12. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \cosh im\right)\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin re}{\frac{1}{\cosh im}}} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 79.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{re}}{\frac{1}{\cosh im}} \]

   if 5.00000000000000004e154 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 73.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(2 \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(2 \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)} \]

       3. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re + {im}^{2} \cdot re\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot re + {im}^{2} \cdot re\right)}\right) \]

   11. Simplified 73.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(2 + im \cdot im\right)\right)} \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

       2. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)\right)} \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(2 + {im}^{2}\right) + \color{blue}{re} \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(2 + {im}^{2}\right) + re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(2 + {im}^{2}\right) + re \cdot \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(2 + {im}^{2}\right) + \left(re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)} \]

       7. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \left(2 + {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re + re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(2 + {im}^{2}\right) \cdot \left(re \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{re} \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

       9. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \left(2 + {im}^{2}\right) \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(2 + {im}^{2}\right), \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{re} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot im\right)\right), \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       15. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{12}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 73.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 73.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 72.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4.9 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{re}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot im + 2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 68.6% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.5 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.02 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot im + 2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 3.5e-5)
   (sin re)
   (if (<= im 1.02e+155)
     (* re (cosh im))
     (* (+ (* im im) 2.0) (* re (+ 0.5 (* -0.08333333333333333 (* re re))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 3.5e-5) {
		tmp = sin(re);
	} else if (im <= 1.02e+155) {
		tmp = re * cosh(im);
	} else {
		tmp = ((im * im) + 2.0) * (re * (0.5 + (-0.08333333333333333 * (re * re))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 3.5d-5) then
        tmp = sin(re)
    else if (im <= 1.02d+155) then
        tmp = re * cosh(im)
    else
        tmp = ((im * im) + 2.0d0) * (re * (0.5d0 + ((-0.08333333333333333d0) * (re * re))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 3.5e-5) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else if (im <= 1.02e+155) {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	} else {
		tmp = ((im * im) + 2.0) * (re * (0.5 + (-0.08333333333333333 * (re * re))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 3.5e-5:
		tmp = math.sin(re)
	elif im <= 1.02e+155:
		tmp = re * math.cosh(im)
	else:
		tmp = ((im * im) + 2.0) * (re * (0.5 + (-0.08333333333333333 * (re * re))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 3.5e-5)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 1.02e+155)
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(im * im) + 2.0) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(-0.08333333333333333 * Float64(re * re)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 3.5e-5)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 1.02e+155)
		tmp = re * cosh(im);
	else
		tmp = ((im * im) + 2.0) * (re * (0.5 + (-0.08333333333333333 * (re * re))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 3.5e-5], N[Sin[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.02e+155], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(-0.08333333333333333 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 3.4999999999999997e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 71.5%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 71.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 3.4999999999999997e-5 < im < 1.02e155

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 99.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 79.1%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   if 1.02e155 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 73.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(2 \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(2 \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)} \]

       3. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re + {im}^{2} \cdot re\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot re + {im}^{2} \cdot re\right)}\right) \]

   11. Simplified 73.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(2 + im \cdot im\right)\right)} \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

       2. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)\right)} \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(2 + {im}^{2}\right) + \color{blue}{re} \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(2 + {im}^{2}\right) + re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(2 + {im}^{2}\right) + re \cdot \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(2 + {im}^{2}\right) + \left(re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)} \]

       7. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \left(2 + {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re + re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(2 + {im}^{2}\right) \cdot \left(re \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{re} \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

       9. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \left(2 + {im}^{2}\right) \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(2 + {im}^{2}\right), \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{re} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot im\right)\right), \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       15. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{12}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 73.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 73.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 72.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.5 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.02 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot im + 2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 66.9% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\\ t_1 := im \cdot \left(im \cdot \left(1 + t\_0\right)\right)\\ t_2 := im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - t\_0\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 4.8 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.5 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 + t\_1 \cdot t\_2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)}{2 + t\_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 + t\_1\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im
          (* im (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))))
        (t_1 (* im (* im (+ 1.0 t_0))))
        (t_2 (* im (* im (- -1.0 t_0)))))
   (if (<= im 4.8e-5)
     (sin re)
     (if (<= im 6.5e+51)
       (/
        (*
         (+ 4.0 (* t_1 t_2))
         (*
          re
          (+
           0.5
           (*
            (* re re)
            (+ -0.08333333333333333 (* (* re re) 0.004166666666666667))))))
        (+ 2.0 t_2))
       (* (+ 2.0 t_1) (* re (+ 0.5 (* re (* re -0.08333333333333333)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)));
	double t_1 = im * (im * (1.0 + t_0));
	double t_2 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	double tmp;
	if (im <= 4.8e-5) {
		tmp = sin(re);
	} else if (im <= 6.5e+51) {
		tmp = ((4.0 + (t_1 * t_2)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))))) / (2.0 + t_2);
	} else {
		tmp = (2.0 + t_1) * (re * (0.5 + (re * (re * -0.08333333333333333))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = im * (im * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0)))
    t_1 = im * (im * (1.0d0 + t_0))
    t_2 = im * (im * ((-1.0d0) - t_0))
    if (im <= 4.8d-5) then
        tmp = sin(re)
    else if (im <= 6.5d+51) then
        tmp = ((4.0d0 + (t_1 * t_2)) * (re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * 0.004166666666666667d0)))))) / (2.0d0 + t_2)
    else
        tmp = (2.0d0 + t_1) * (re * (0.5d0 + (re * (re * (-0.08333333333333333d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)));
	double t_1 = im * (im * (1.0 + t_0));
	double t_2 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	double tmp;
	if (im <= 4.8e-5) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else if (im <= 6.5e+51) {
		tmp = ((4.0 + (t_1 * t_2)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))))) / (2.0 + t_2);
	} else {
		tmp = (2.0 + t_1) * (re * (0.5 + (re * (re * -0.08333333333333333))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))
	t_1 = im * (im * (1.0 + t_0))
	t_2 = im * (im * (-1.0 - t_0))
	tmp = 0
	if im <= 4.8e-5:
		tmp = math.sin(re)
	elif im <= 6.5e+51:
		tmp = ((4.0 + (t_1 * t_2)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))))) / (2.0 + t_2)
	else:
		tmp = (2.0 + t_1) * (re * (0.5 + (re * (re * -0.08333333333333333))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(im * Float64(im * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778))))
	t_1 = Float64(im * Float64(im * Float64(1.0 + t_0)))
	t_2 = Float64(im * Float64(im * Float64(-1.0 - t_0)))
	tmp = 0.0
	if (im <= 4.8e-5)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 6.5e+51)
		tmp = Float64(Float64(Float64(4.0 + Float64(t_1 * t_2)) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667)))))) / Float64(2.0 + t_2));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 + t_1) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * -0.08333333333333333)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)));
	t_1 = im * (im * (1.0 + t_0));
	t_2 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 4.8e-5)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 6.5e+51)
		tmp = ((4.0 + (t_1 * t_2)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))))) / (2.0 + t_2);
	else
		tmp = (2.0 + t_1) * (re * (0.5 + (re * (re * -0.08333333333333333))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(im * N[(im * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im * N[(im * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(im * N[(im * N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 4.8e-5], N[Sin[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 6.5e+51], N[(N[(N[(4.0 + N[(t$95$1 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 + t$95$1), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(re * N[(re * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 4.8000000000000001e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 71.5%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 71.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 4.8000000000000001e-5 < im < 6.5e51

   1. Initial program 99.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 7.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 7.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 22.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 22.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{-1}{12} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)} \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \frac{2 \cdot 2 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)}{2 - im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \left(\frac{1}{2} + re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{-1}{12} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(2 \cdot 2 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{-1}{12} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{2 - im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(2 \cdot 2 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{-1}{12} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 - im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   10. Applied egg-rr 54.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(4 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)}{2 - im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}} \]

   if 6.5e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 75.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 75.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       2. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \color{blue}{re} \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + re \cdot \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \left(re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]

   11. Simplified 77.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 72.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4.8 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.5 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)}{2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 44.0% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\\ t_1 := im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - t\_0\right)\right)\\ t_2 := im \cdot \left(im \cdot \left(1 + t\_0\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 6.5 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 + t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)}{2 + t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 + t\_2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im
          (* im (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))))
        (t_1 (* im (* im (- -1.0 t_0))))
        (t_2 (* im (* im (+ 1.0 t_0)))))
   (if (<= im 6.5e+51)
     (/
      (*
       (+ 4.0 (* t_2 t_1))
       (*
        re
        (+
         0.5
         (*
          (* re re)
          (+ -0.08333333333333333 (* (* re re) 0.004166666666666667))))))
      (+ 2.0 t_1))
     (* (+ 2.0 t_2) (* re (+ 0.5 (* re (* re -0.08333333333333333))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)));
	double t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	double t_2 = im * (im * (1.0 + t_0));
	double tmp;
	if (im <= 6.5e+51) {
		tmp = ((4.0 + (t_2 * t_1)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))))) / (2.0 + t_1);
	} else {
		tmp = (2.0 + t_2) * (re * (0.5 + (re * (re * -0.08333333333333333))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = im * (im * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0)))
    t_1 = im * (im * ((-1.0d0) - t_0))
    t_2 = im * (im * (1.0d0 + t_0))
    if (im <= 6.5d+51) then
        tmp = ((4.0d0 + (t_2 * t_1)) * (re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * 0.004166666666666667d0)))))) / (2.0d0 + t_1)
    else
        tmp = (2.0d0 + t_2) * (re * (0.5d0 + (re * (re * (-0.08333333333333333d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)));
	double t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	double t_2 = im * (im * (1.0 + t_0));
	double tmp;
	if (im <= 6.5e+51) {
		tmp = ((4.0 + (t_2 * t_1)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))))) / (2.0 + t_1);
	} else {
		tmp = (2.0 + t_2) * (re * (0.5 + (re * (re * -0.08333333333333333))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))
	t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0))
	t_2 = im * (im * (1.0 + t_0))
	tmp = 0
	if im <= 6.5e+51:
		tmp = ((4.0 + (t_2 * t_1)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))))) / (2.0 + t_1)
	else:
		tmp = (2.0 + t_2) * (re * (0.5 + (re * (re * -0.08333333333333333))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(im * Float64(im * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778))))
	t_1 = Float64(im * Float64(im * Float64(-1.0 - t_0)))
	t_2 = Float64(im * Float64(im * Float64(1.0 + t_0)))
	tmp = 0.0
	if (im <= 6.5e+51)
		tmp = Float64(Float64(Float64(4.0 + Float64(t_2 * t_1)) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667)))))) / Float64(2.0 + t_1));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 + t_2) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * -0.08333333333333333)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)));
	t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	t_2 = im * (im * (1.0 + t_0));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 6.5e+51)
		tmp = ((4.0 + (t_2 * t_1)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))))) / (2.0 + t_1);
	else
		tmp = (2.0 + t_2) * (re * (0.5 + (re * (re * -0.08333333333333333))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(im * N[(im * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im * N[(im * N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(im * N[(im * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 6.5e+51], N[(N[(N[(4.0 + N[(t$95$2 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 + t$95$2), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(re * N[(re * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 6.5e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 94.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 58.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 58.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{-1}{12} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)} \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \frac{2 \cdot 2 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)}{2 - im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \left(\frac{1}{2} + re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{-1}{12} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(2 \cdot 2 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{-1}{12} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{2 - im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(2 \cdot 2 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{-1}{12} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 - im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   10. Applied egg-rr 44.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(4 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)}{2 - im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}} \]

   if 6.5e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 75.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 75.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       2. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \color{blue}{re} \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + re \cdot \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \left(re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]

   11. Simplified 77.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 50.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 6.5 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)}{2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 57.5% accurate, 9.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.1 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.6 \cdot 10^{+251}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 1.1e+70)
   (*
    (+
     2.0
     (*
      im
      (*
       im
       (+
        1.0
        (*
         im
         (* im (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778))))))))
    (* re (+ 0.5 (* re (* re -0.08333333333333333)))))
   (if (<= re 1.6e+251)
     (*
      (+
       0.5
       (*
        (* re re)
        (+ -0.08333333333333333 (* (* re re) 0.004166666666666667))))
      (* re (+ (* im im) 2.0)))
     (* re (* (* re re) -0.16666666666666666)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.1e+70) {
		tmp = (2.0 + (im * (im * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * -0.08333333333333333))));
	} else if (re <= 1.6e+251) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))) * (re * ((im * im) + 2.0));
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 1.1d+70) then
        tmp = (2.0d0 + (im * (im * (1.0d0 + (im * (im * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0)))))))) * (re * (0.5d0 + (re * (re * (-0.08333333333333333d0)))))
    else if (re <= 1.6d+251) then
        tmp = (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * 0.004166666666666667d0)))) * (re * ((im * im) + 2.0d0))
    else
        tmp = re * ((re * re) * (-0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.1e+70) {
		tmp = (2.0 + (im * (im * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * -0.08333333333333333))));
	} else if (re <= 1.6e+251) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))) * (re * ((im * im) + 2.0));
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 1.1e+70:
		tmp = (2.0 + (im * (im * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * -0.08333333333333333))))
	elif re <= 1.6e+251:
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))) * (re * ((im * im) + 2.0))
	else:
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.1e+70)
		tmp = Float64(Float64(2.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))))))) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * -0.08333333333333333)))));
	elseif (re <= 1.6e+251)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667)))) * Float64(re * Float64(Float64(im * im) + 2.0)));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.1e+70)
		tmp = (2.0 + (im * (im * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * -0.08333333333333333))));
	elseif (re <= 1.6e+251)
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))) * (re * ((im * im) + 2.0));
	else
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 1.1e+70], N[(N[(2.0 + N[(im * N[(im * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(re * N[(re * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.6e+251], N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if re < 1.1e70

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 95.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 71.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 71.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       2. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \color{blue}{re} \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + re \cdot \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \left(re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]

   11. Simplified 72.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\right)} \]

   if 1.1e70 < re < 1.5999999999999999e251

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 22.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 22.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(2 \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(2 \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)} \]

       3. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re + {im}^{2} \cdot re\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot re + {im}^{2} \cdot re\right)}\right) \]

   11. Simplified 22.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(2 + im \cdot im\right)\right)} \]

   if 1.5999999999999999e251 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 56.9%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 45.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 45.6%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {re}^{3}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow3 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 45.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

   11. Simplified 45.6%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 64.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.1 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.6 \cdot 10^{+251}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 55.3% accurate, 10.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\\ \mathbf{if}\;re \leq 1.1 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(1 + t\_0\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.6 \cdot 10^{+251}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* re re) -0.16666666666666666)))
   (if (<= re 1.1e+70)
     (*
      re
      (*
       (+ 1.0 t_0)
       (+ 1.0 (* (* im im) (+ 0.5 (* 0.041666666666666664 (* im im)))))))
     (if (<= re 1.6e+251)
       (*
        (+
         0.5
         (*
          (* re re)
          (+ -0.08333333333333333 (* (* re re) 0.004166666666666667))))
        (* re (+ (* im im) 2.0)))
       (* re t_0)))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (re * re) * -0.16666666666666666;
	double tmp;
	if (re <= 1.1e+70) {
		tmp = re * ((1.0 + t_0) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (0.041666666666666664 * (im * im))))));
	} else if (re <= 1.6e+251) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))) * (re * ((im * im) + 2.0));
	} else {
		tmp = re * t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (re * re) * (-0.16666666666666666d0)
    if (re <= 1.1d+70) then
        tmp = re * ((1.0d0 + t_0) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (0.041666666666666664d0 * (im * im))))))
    else if (re <= 1.6d+251) then
        tmp = (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * 0.004166666666666667d0)))) * (re * ((im * im) + 2.0d0))
    else
        tmp = re * t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (re * re) * -0.16666666666666666;
	double tmp;
	if (re <= 1.1e+70) {
		tmp = re * ((1.0 + t_0) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (0.041666666666666664 * (im * im))))));
	} else if (re <= 1.6e+251) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))) * (re * ((im * im) + 2.0));
	} else {
		tmp = re * t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (re * re) * -0.16666666666666666
	tmp = 0
	if re <= 1.1e+70:
		tmp = re * ((1.0 + t_0) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (0.041666666666666664 * (im * im))))))
	elif re <= 1.6e+251:
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))) * (re * ((im * im) + 2.0))
	else:
		tmp = re * t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666)
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.1e+70)
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(1.0 + t_0) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(0.041666666666666664 * Float64(im * im)))))));
	elseif (re <= 1.6e+251)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667)))) * Float64(re * Float64(Float64(im * im) + 2.0)));
	else
		tmp = Float64(re * t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (re * re) * -0.16666666666666666;
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.1e+70)
		tmp = re * ((1.0 + t_0) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (0.041666666666666664 * (im * im))))));
	elseif (re <= 1.6e+251)
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))) * (re * ((im * im) + 2.0));
	else
		tmp = re * t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[re, 1.1e+70], N[(re * N[(N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(0.041666666666666664 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.6e+251], N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * t$95$0), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if re < 1.1e70

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\sin re} \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right) + \sin \color{blue}{re} \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) + \sin re\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} + \sin re\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} + \sin re\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left({im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \frac{1}{2}\right) + \sin re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \sin \color{blue}{re}\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\frac{1}{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + \sin \color{blue}{re}\right) \]

      10. distribute-lft1-in N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot im\right) + 1\right) \cdot \sin re \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im + 1\right) \cdot \sin re \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + 1\right) \cdot \sin re \]

   5. Simplified 92.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   8. Simplified 70.5%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]

   if 1.1e70 < re < 1.5999999999999999e251

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 22.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 22.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(2 \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(2 \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)} \]

       3. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re + {im}^{2} \cdot re\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot re + {im}^{2} \cdot re\right)}\right) \]

   11. Simplified 22.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(2 + im \cdot im\right)\right)} \]

   if 1.5999999999999999e251 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 56.9%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 45.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 45.6%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {re}^{3}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow3 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 45.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

   11. Simplified 45.6%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 62.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.1 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.6 \cdot 10^{+251}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 57.1% accurate, 11.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.6 \cdot 10^{+251}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 1.6e+251)
   (*
    re
    (+
     1.0
     (*
      (* im im)
      (*
       0.5
       (+
        1.0
        (*
         im
         (*
          im
          (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))))))))
   (* re (* (* re re) -0.16666666666666666))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.6e+251) {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))));
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 1.6d+251) then
        tmp = re * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 * (1.0d0 + (im * (im * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))))))))
    else
        tmp = re * ((re * re) * (-0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.6e+251) {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))));
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 1.6e+251:
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))))
	else:
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.6e+251)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))))))));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.6e+251)
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))));
	else
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 1.6e+251], N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 1.5999999999999999e251

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 95.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(re \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{2} + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      5. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(2 \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 63.4%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot 0.5\right)\right)} \]

   if 1.5999999999999999e251 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 56.9%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 45.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 45.6%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {re}^{3}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow3 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 45.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

   11. Simplified 45.6%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.6 \cdot 10^{+251}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 54.6% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.6 \cdot 10^{+251}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 1.6e+251)
   (* re (+ 1.0 (* (* im im) (+ 0.5 (* 0.041666666666666664 (* im im))))))
   (* re (* (* re re) -0.16666666666666666))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.6e+251) {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (0.041666666666666664 * (im * im)))));
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 1.6d+251) then
        tmp = re * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (0.041666666666666664d0 * (im * im)))))
    else
        tmp = re * ((re * re) * (-0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.6e+251) {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (0.041666666666666664 * (im * im)))));
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 1.6e+251:
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (0.041666666666666664 * (im * im)))))
	else:
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.6e+251)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(0.041666666666666664 * Float64(im * im))))));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.6e+251)
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (0.041666666666666664 * (im * im)))));
	else
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 1.6e+251], N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(0.041666666666666664 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 1.5999999999999999e251

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\sin re} \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right) + \sin \color{blue}{re} \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) + \sin re\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} + \sin re\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} + \sin re\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left({im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \frac{1}{2}\right) + \sin re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \sin \color{blue}{re}\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\frac{1}{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + \sin \color{blue}{re}\right) \]

      10. distribute-lft1-in N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot im\right) + 1\right) \cdot \sin re \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im + 1\right) \cdot \sin re \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + 1\right) \cdot \sin re \]

   5. Simplified 92.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 61.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 61.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   if 1.5999999999999999e251 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 56.9%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 45.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 45.6%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {re}^{3}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow3 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 45.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

   11. Simplified 45.6%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 61.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.6 \cdot 10^{+251}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 47.5% accurate, 22.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.6 \cdot 10^{+251}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 1.6e+251)
   (* 0.5 (* re (+ (* im im) 2.0)))
   (* re (* (* re re) -0.16666666666666666))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.6e+251) {
		tmp = 0.5 * (re * ((im * im) + 2.0));
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 1.6d+251) then
        tmp = 0.5d0 * (re * ((im * im) + 2.0d0))
    else
        tmp = re * ((re * re) * (-0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.6e+251) {
		tmp = 0.5 * (re * ((im * im) + 2.0));
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 1.6e+251:
		tmp = 0.5 * (re * ((im * im) + 2.0))
	else:
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.6e+251)
		tmp = Float64(0.5 * Float64(re * Float64(Float64(im * im) + 2.0)));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.6e+251)
		tmp = 0.5 * (re * ((im * im) + 2.0));
	else
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 1.6e+251], N[(0.5 * N[(re * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 1.5999999999999999e251

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 95.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 63.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 63.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(2 \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(2 \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)} \]

       3. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re + {im}^{2} \cdot re\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot re + {im}^{2} \cdot re\right)}\right) \]

   11. Simplified 55.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(2 + im \cdot im\right)\right)} \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(re \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(re \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 53.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 53.3%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(2 + im \cdot im\right)\right)} \]

   if 1.5999999999999999e251 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 56.9%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 45.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 45.6%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {re}^{3}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow3 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 45.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

   11. Simplified 45.6%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 53.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.6 \cdot 10^{+251}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 29.6% accurate, 25.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 250000000000:\\ \;\;\;\;re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 250000000000.0) re (* re (* (* re re) -0.16666666666666666))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 250000000000.0) {
		tmp = re;
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 250000000000.0d0) then
        tmp = re
    else
        tmp = re * ((re * re) * (-0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 250000000000.0) {
		tmp = re;
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 250000000000.0:
		tmp = re
	else:
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 250000000000.0)
		tmp = re;
	else
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 250000000000.0)
		tmp = re;
	else
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 250000000000.0], re, N[(re * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 2.5e11

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 57.5%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 57.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 42.4%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \]

   if 2.5e11 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 55.2%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 55.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 15.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 15.9%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {re}^{3}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow3 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 15.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

   11. Simplified 15.9%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 19: 26.0% accurate, 309.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 re)

C

double code(double re, double im) {
	return re;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re;
}

Python

def code(re, im):
	return re

Julia

function code(re, im)
	return re
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re;
end

Wolfram

code[re_, im_] := re

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 57.0%

      \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

5. Simplified 57.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{re} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 33.7%

   \[\leadsto \color{blue}{re} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, real part"
  :precision binary64
  (* (* 0.5 (sin re)) (+ (exp (- 0.0 im)) (exp im))))