math.cos on complex, real part

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 17.9s

Alternatives: 18

Speedup: 1.5×

• Could not converge on a ground truth

  1. re = 1.3382468975234219e-154
  2. im = 4.671747134520561e+182

• 49.6% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (+ (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp(-im) + exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp(-im) + exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp(-im) + Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp(-im) + math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) + exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp(-im) + exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] + N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (+ (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp(-im) + exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp(-im) + exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp(-im) + Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp(-im) + math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) + exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp(-im) + exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] + N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.5 \cdot \cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (/ (* 0.5 (cos re)) (/ 1.0 (* 2.0 (cosh im)))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) / (1.0 / (2.0 * cosh(im)));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) / (1.0d0 / (2.0d0 * cosh(im)))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) / (1.0 / (2.0 * Math.cosh(im)));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) / (1.0 / (2.0 * math.cosh(im)))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) / Float64(1.0 / Float64(2.0 * cosh(im))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) / (1.0 / (2.0 * cosh(im)));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[(2.0 * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos re\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - \color{blue}{e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}}\right)\right) \]

   8. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)}\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right)\right) \]

   11. cosh-undef N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(2 \cdot \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

   13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 95.8% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos re \leq 0.999999995:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (cos re) 0.999999995)
   (*
    (cos re)
    (+
     1.0
     (*
      (* im im)
      (+
       0.5
       (*
        im
        (* im (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889))))))))
   (/ 1.0 (/ 1.0 (cosh im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (cos(re) <= 0.999999995) {
		tmp = cos(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 / cosh(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (cos(re) <= 0.999999995d0) then
        tmp = cos(re) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))))
    else
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 / cosh(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.cos(re) <= 0.999999995) {
		tmp = Math.cos(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 / Math.cosh(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.cos(re) <= 0.999999995:
		tmp = math.cos(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))))
	else:
		tmp = 1.0 / (1.0 / math.cosh(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (cos(re) <= 0.999999995)
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 / cosh(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (cos(re) <= 0.999999995)
		tmp = cos(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	else
		tmp = 1.0 / (1.0 / cosh(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[N[Cos[re], $MachinePrecision], 0.999999995], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(1.0 / N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f64 re) < 0.99999999500000003

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \cos re\right) \]

      6. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \cos re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \cos re\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \cos re\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \cos re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 95.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 95.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot \cos re \]

   if 0.99999999500000003 < (cos.f64 re)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos re\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - \color{blue}{e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}}\right)\right) \]

      8. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)}\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right)\right) \]

      11. cosh-undef N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(2 \cdot \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5}}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}{\frac{1}{2}}}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}}}\right)\right) \]

      4. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{2}}{1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \cosh im\right)}}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \left(\color{blue}{2} \cdot \cosh im\right)}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\left(2 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\left(2 \cdot \cosh im\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{2 \cdot \cosh im}{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      9. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{2}}\right)\right) \]

      10. cosh-def N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\cosh im}\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\cosh im}\right)\right) \]

      12. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\cosh im}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos re \leq 0.999999995:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 100.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos re \cdot \cosh im \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (* (cos re) (cosh im)))

C

double code(double re, double im) {
	return cos(re) * cosh(im);
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = cos(re) * cosh(im)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return Math.cos(re) * Math.cosh(im);
}

Python

def code(re, im):
	return math.cos(re) * math.cosh(im)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(cos(re) * cosh(im))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = cos(re) * cosh(im);
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos re\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - \color{blue}{e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}}\right)\right) \]

   8. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)}\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right)\right) \]

   11. cosh-undef N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(2 \cdot \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

   13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \cosh im\right)} \]

   2. /-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\color{blue}{2} \cdot \cosh im\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\cosh im} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2\right) \cdot \cosh im \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(\cos re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right)\right) \cdot \cosh \color{blue}{im} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(\cos re \cdot 1\right) \cdot \cosh im \]

   7. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot \cosh \color{blue}{im} \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \cosh im \cdot \color{blue}{\cos re} \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cosh im, \color{blue}{\cos re}\right) \]

   10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cosh.f64}\left(im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cosh.f64}\left(im\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\cosh im \cdot \cos re} \]

7. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \cos re \cdot \cosh im \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 71.6% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.05 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\cos re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.5 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.4 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(2 + im \cdot im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 2.05e-5)
   (cos re)
   (if (<= im 1.5e+54)
     (/ 1.0 (/ 1.0 (cosh im)))
     (if (<= im 1.4e+154)
       (*
        (+
         2.0
         (*
          (* im im)
          (+
           1.0
           (*
            im
            (*
             im
             (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))))))
        (+ 0.5 (* -0.25 (* re re))))
       (* (* 0.5 (cos re)) (+ 2.0 (* im im)))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2.05e-5) {
		tmp = cos(re);
	} else if (im <= 1.5e+54) {
		tmp = 1.0 / (1.0 / cosh(im));
	} else if (im <= 1.4e+154) {
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (2.0 + (im * im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 2.05d-5) then
        tmp = cos(re)
    else if (im <= 1.5d+54) then
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 / cosh(im))
    else if (im <= 1.4d+154) then
        tmp = (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + (im * (im * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))))))) * (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re)))
    else
        tmp = (0.5d0 * cos(re)) * (2.0d0 + (im * im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2.05e-5) {
		tmp = Math.cos(re);
	} else if (im <= 1.5e+54) {
		tmp = 1.0 / (1.0 / Math.cosh(im));
	} else if (im <= 1.4e+154) {
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.cos(re)) * (2.0 + (im * im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 2.05e-5:
		tmp = math.cos(re)
	elif im <= 1.5e+54:
		tmp = 1.0 / (1.0 / math.cosh(im))
	elif im <= 1.4e+154:
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.cos(re)) * (2.0 + (im * im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 2.05e-5)
		tmp = cos(re);
	elseif (im <= 1.5e+54)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 / cosh(im)));
	elseif (im <= 1.4e+154)
		tmp = Float64(Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778))))))) * Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(2.0 + Float64(im * im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 2.05e-5)
		tmp = cos(re);
	elseif (im <= 1.5e+54)
		tmp = 1.0 / (1.0 / cosh(im));
	elseif (im <= 1.4e+154)
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	else
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (2.0 + (im * im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 2.05e-5], N[Cos[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.5e+54], N[(1.0 / N[(1.0 / N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.4e+154], N[(N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 2.05000000000000002e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 71.6%

         \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 71.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]

   if 2.05000000000000002e-5 < im < 1.4999999999999999e54

   1. Initial program 99.7%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos re\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - \color{blue}{e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}}\right)\right) \]

      8. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)}\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right)\right) \]

      11. cosh-undef N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(2 \cdot \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5}}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}{\frac{1}{2}}}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}}}\right)\right) \]

      4. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{2}}{1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \cosh im\right)}}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \left(\color{blue}{2} \cdot \cosh im\right)}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\left(2 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\left(2 \cdot \cosh im\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{2 \cdot \cosh im}{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      9. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{2}}\right)\right) \]

      10. cosh-def N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\cosh im}\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\cosh im}\right)\right) \]

      12. cosh-lowering-cosh.f64 83.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\cosh im}}} \]

   if 1.4999999999999999e54 < im < 1.4e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

   8. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   if 1.4e154 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 73.1% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4.9 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\cos re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 4.9e-5)
   (cos re)
   (if (<= im 2.5e+77)
     (/ 1.0 (/ 1.0 (cosh im)))
     (* (cos re) (* im (* im (* (* im im) 0.041666666666666664)))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 4.9e-5) {
		tmp = cos(re);
	} else if (im <= 2.5e+77) {
		tmp = 1.0 / (1.0 / cosh(im));
	} else {
		tmp = cos(re) * (im * (im * ((im * im) * 0.041666666666666664)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 4.9d-5) then
        tmp = cos(re)
    else if (im <= 2.5d+77) then
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 / cosh(im))
    else
        tmp = cos(re) * (im * (im * ((im * im) * 0.041666666666666664d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 4.9e-5) {
		tmp = Math.cos(re);
	} else if (im <= 2.5e+77) {
		tmp = 1.0 / (1.0 / Math.cosh(im));
	} else {
		tmp = Math.cos(re) * (im * (im * ((im * im) * 0.041666666666666664)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 4.9e-5:
		tmp = math.cos(re)
	elif im <= 2.5e+77:
		tmp = 1.0 / (1.0 / math.cosh(im))
	else:
		tmp = math.cos(re) * (im * (im * ((im * im) * 0.041666666666666664)))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 4.9e-5)
		tmp = cos(re);
	elseif (im <= 2.5e+77)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 / cosh(im)));
	else
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(im * Float64(im * Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 4.9e-5)
		tmp = cos(re);
	elseif (im <= 2.5e+77)
		tmp = 1.0 / (1.0 / cosh(im));
	else
		tmp = cos(re) * (im * (im * ((im * im) * 0.041666666666666664)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 4.9e-5], N[Cos[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 2.5e+77], N[(1.0 / N[(1.0 / N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(im * N[(im * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 4.9e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 71.6%

         \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 71.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]

   if 4.9e-5 < im < 2.50000000000000002e77

   1. Initial program 99.8%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos re\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - \color{blue}{e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}}\right)\right) \]

      8. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)}\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right)\right) \]

      11. cosh-undef N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(2 \cdot \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 75.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5}}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}{\frac{1}{2}}}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}}}\right)\right) \]

      4. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{2}}{1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \cosh im\right)}}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \left(\color{blue}{2} \cdot \cosh im\right)}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\left(2 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\left(2 \cdot \cosh im\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{2 \cdot \cosh im}{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      9. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{2}}\right)\right) \]

      10. cosh-def N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\cosh im}\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\cosh im}\right)\right) \]

      12. cosh-lowering-cosh.f64 75.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 75.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\cosh im}}} \]

   if 2.50000000000000002e77 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\frac{1}{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{\color{blue}{2}} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \cos re + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right) \]

      2. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 68.6% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.9 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\cos re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.2 \cdot 10^{+52}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1}{\cosh im}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 2.9e-5)
   (cos re)
   (if (<= im 2.2e+52)
     (/ 1.0 (/ 1.0 (cosh im)))
     (if (<= im 5e+154)
       (*
        (+
         2.0
         (*
          (* im im)
          (+
           1.0
           (*
            im
            (*
             im
             (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))))))
        (+ 0.5 (* -0.25 (* re re))))
       (+ 1.0 (* 0.5 (* im im)))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2.9e-5) {
		tmp = cos(re);
	} else if (im <= 2.2e+52) {
		tmp = 1.0 / (1.0 / cosh(im));
	} else if (im <= 5e+154) {
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 2.9d-5) then
        tmp = cos(re)
    else if (im <= 2.2d+52) then
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 / cosh(im))
    else if (im <= 5d+154) then
        tmp = (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + (im * (im * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))))))) * (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re)))
    else
        tmp = 1.0d0 + (0.5d0 * (im * im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2.9e-5) {
		tmp = Math.cos(re);
	} else if (im <= 2.2e+52) {
		tmp = 1.0 / (1.0 / Math.cosh(im));
	} else if (im <= 5e+154) {
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 2.9e-5:
		tmp = math.cos(re)
	elif im <= 2.2e+52:
		tmp = 1.0 / (1.0 / math.cosh(im))
	elif im <= 5e+154:
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)))
	else:
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 2.9e-5)
		tmp = cos(re);
	elseif (im <= 2.2e+52)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 / cosh(im)));
	elseif (im <= 5e+154)
		tmp = Float64(Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778))))))) * Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(im * im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 2.9e-5)
		tmp = cos(re);
	elseif (im <= 2.2e+52)
		tmp = 1.0 / (1.0 / cosh(im));
	elseif (im <= 5e+154)
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	else
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 2.9e-5], N[Cos[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 2.2e+52], N[(1.0 / N[(1.0 / N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 5e+154], N[(N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(0.5 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 2.9e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 71.6%

         \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 71.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]

   if 2.9e-5 < im < 2.2e52

   1. Initial program 99.7%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos re\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - \color{blue}{e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}}\right)\right) \]

      8. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)}\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right)\right) \]

      11. cosh-undef N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(2 \cdot \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5}}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}{\frac{1}{2}}}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}}}\right)\right) \]

      4. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{2}}{1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \cosh im\right)}}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \left(\color{blue}{2} \cdot \cosh im\right)}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\left(2 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\left(2 \cdot \cosh im\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{2 \cdot \cosh im}{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      9. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{2}}\right)\right) \]

      10. cosh-def N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\cosh im}\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\cosh im}\right)\right) \]

      12. cosh-lowering-cosh.f64 83.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\cosh im}}} \]

   if 2.2e52 < im < 5.00000000000000004e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

   8. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   if 5.00000000000000004e154 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Simplified 86.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left({im}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto 1 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 86.7%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 68.6% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\cos re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.9 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;\cosh im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.2 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 3e-5)
   (cos re)
   (if (<= im 4.9e+53)
     (cosh im)
     (if (<= im 1.2e+155)
       (*
        (+
         2.0
         (*
          (* im im)
          (+
           1.0
           (*
            im
            (*
             im
             (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))))))
        (+ 0.5 (* -0.25 (* re re))))
       (+ 1.0 (* 0.5 (* im im)))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 3e-5) {
		tmp = cos(re);
	} else if (im <= 4.9e+53) {
		tmp = cosh(im);
	} else if (im <= 1.2e+155) {
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 3d-5) then
        tmp = cos(re)
    else if (im <= 4.9d+53) then
        tmp = cosh(im)
    else if (im <= 1.2d+155) then
        tmp = (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + (im * (im * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))))))) * (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re)))
    else
        tmp = 1.0d0 + (0.5d0 * (im * im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 3e-5) {
		tmp = Math.cos(re);
	} else if (im <= 4.9e+53) {
		tmp = Math.cosh(im);
	} else if (im <= 1.2e+155) {
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 3e-5:
		tmp = math.cos(re)
	elif im <= 4.9e+53:
		tmp = math.cosh(im)
	elif im <= 1.2e+155:
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)))
	else:
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 3e-5)
		tmp = cos(re);
	elseif (im <= 4.9e+53)
		tmp = cosh(im);
	elseif (im <= 1.2e+155)
		tmp = Float64(Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778))))))) * Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(im * im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 3e-5)
		tmp = cos(re);
	elseif (im <= 4.9e+53)
		tmp = cosh(im);
	elseif (im <= 1.2e+155)
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	else
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 3e-5], N[Cos[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 4.9e+53], N[Cosh[im], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.2e+155], N[(N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(0.5 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 3.00000000000000008e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 71.6%

         \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 71.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]

   if 3.00000000000000008e-5 < im < 4.90000000000000018e53

   1. Initial program 99.7%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos re\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - \color{blue}{e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}}\right)\right) \]

      8. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)}\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right)\right) \]

      11. cosh-undef N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(2 \cdot \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5}}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\color{blue}{2} \cdot \cosh im\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(2 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(2 \cdot \cosh im\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}} \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{2 \cdot \cosh im}{\color{blue}{2}} \]

      6. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{2} \]

      7. cosh-def N/A

         \[\leadsto \cosh im \]

      8. cosh-lowering-cosh.f64 83.1%

         \[\leadsto \mathsf{cosh.f64}\left(im\right) \]

   9. Applied egg-rr 83.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cosh im} \]

   if 4.90000000000000018e53 < im < 1.2000000000000001e155

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

   8. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   if 1.2000000000000001e155 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Simplified 86.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left({im}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto 1 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 86.7%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 67.1% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 4.9 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\cos re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;\left(2 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 - t\_0 \cdot t\_0\right)}{1 - t\_0}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* im im)
          (+ 0.08333333333333333 (* im (* im 0.002777777777777778))))))
   (if (<= im 4.9e-5)
     (cos re)
     (if (<= im 2e+54)
       (*
        (+ 2.0 (/ (* (* im im) (- 1.0 (* t_0 t_0))) (- 1.0 t_0)))
        (+ 0.5 (* re (* re (+ -0.25 (* (* re re) 0.020833333333333332))))))
       (if (<= im 3e+154)
         (*
          (+
           2.0
           (*
            (* im im)
            (+
             1.0
             (*
              im
              (*
               im
               (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))))))
          (+ 0.5 (* -0.25 (* re re))))
         (+ 1.0 (* 0.5 (* im im))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)));
	double tmp;
	if (im <= 4.9e-5) {
		tmp = cos(re);
	} else if (im <= 2e+54) {
		tmp = (2.0 + (((im * im) * (1.0 - (t_0 * t_0))) / (1.0 - t_0))) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))));
	} else if (im <= 3e+154) {
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333d0 + (im * (im * 0.002777777777777778d0)))
    if (im <= 4.9d-5) then
        tmp = cos(re)
    else if (im <= 2d+54) then
        tmp = (2.0d0 + (((im * im) * (1.0d0 - (t_0 * t_0))) / (1.0d0 - t_0))) * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.25d0) + ((re * re) * 0.020833333333333332d0)))))
    else if (im <= 3d+154) then
        tmp = (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + (im * (im * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))))))) * (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re)))
    else
        tmp = 1.0d0 + (0.5d0 * (im * im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)));
	double tmp;
	if (im <= 4.9e-5) {
		tmp = Math.cos(re);
	} else if (im <= 2e+54) {
		tmp = (2.0 + (((im * im) * (1.0 - (t_0 * t_0))) / (1.0 - t_0))) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))));
	} else if (im <= 3e+154) {
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))
	tmp = 0
	if im <= 4.9e-5:
		tmp = math.cos(re)
	elif im <= 2e+54:
		tmp = (2.0 + (((im * im) * (1.0 - (t_0 * t_0))) / (1.0 - t_0))) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))))
	elif im <= 3e+154:
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)))
	else:
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(im * Float64(im * 0.002777777777777778))))
	tmp = 0.0
	if (im <= 4.9e-5)
		tmp = cos(re);
	elseif (im <= 2e+54)
		tmp = Float64(Float64(2.0 + Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 - Float64(t_0 * t_0))) / Float64(1.0 - t_0))) * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.25 + Float64(Float64(re * re) * 0.020833333333333332))))));
	elseif (im <= 3e+154)
		tmp = Float64(Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778))))))) * Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(im * im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 4.9e-5)
		tmp = cos(re);
	elseif (im <= 2e+54)
		tmp = (2.0 + (((im * im) * (1.0 - (t_0 * t_0))) / (1.0 - t_0))) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))));
	elseif (im <= 3e+154)
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	else
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(im * N[(im * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 4.9e-5], N[Cos[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 2e+54], N[(N[(2.0 + N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.25 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 3e+154], N[(N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(0.5 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 4.9e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 71.6%

         \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 71.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]

   if 4.9e-5 < im < 2.0000000000000002e54

   1. Initial program 99.7%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 9.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 9.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Simplified 24.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}{1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 54.4%

       \[\leadsto \left(2 + \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}}\right) \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right) \]

   if 2.0000000000000002e54 < im < 3.00000000000000026e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

   8. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   if 3.00000000000000026e154 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Simplified 86.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left({im}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto 1 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 86.7%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 74.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4.9 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\cos re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;\left(2 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 60.1% accurate, 4.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 240:\\ \;\;\;\;1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;\left(2 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 - t\_0 \cdot t\_0\right)}{1 - t\_0}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.7 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* im im)
          (+ 0.08333333333333333 (* im (* im 0.002777777777777778))))))
   (if (<= im 240.0)
     (+
      1.0
      (*
       (* im im)
       (+
        0.5
        (*
         im
         (* im (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889)))))))
     (if (<= im 9e+53)
       (*
        (+ 2.0 (/ (* (* im im) (- 1.0 (* t_0 t_0))) (- 1.0 t_0)))
        (+ 0.5 (* re (* re (+ -0.25 (* (* re re) 0.020833333333333332))))))
       (if (<= im 1.7e+154)
         (*
          (+
           2.0
           (*
            (* im im)
            (+
             1.0
             (*
              im
              (*
               im
               (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))))))
          (+ 0.5 (* -0.25 (* re re))))
         (+ 1.0 (* 0.5 (* im im))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)));
	double tmp;
	if (im <= 240.0) {
		tmp = 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))));
	} else if (im <= 9e+53) {
		tmp = (2.0 + (((im * im) * (1.0 - (t_0 * t_0))) / (1.0 - t_0))) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))));
	} else if (im <= 1.7e+154) {
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333d0 + (im * (im * 0.002777777777777778d0)))
    if (im <= 240.0d0) then
        tmp = 1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0))))))
    else if (im <= 9d+53) then
        tmp = (2.0d0 + (((im * im) * (1.0d0 - (t_0 * t_0))) / (1.0d0 - t_0))) * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.25d0) + ((re * re) * 0.020833333333333332d0)))))
    else if (im <= 1.7d+154) then
        tmp = (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + (im * (im * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))))))) * (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re)))
    else
        tmp = 1.0d0 + (0.5d0 * (im * im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)));
	double tmp;
	if (im <= 240.0) {
		tmp = 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))));
	} else if (im <= 9e+53) {
		tmp = (2.0 + (((im * im) * (1.0 - (t_0 * t_0))) / (1.0 - t_0))) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))));
	} else if (im <= 1.7e+154) {
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))
	tmp = 0
	if im <= 240.0:
		tmp = 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))))
	elif im <= 9e+53:
		tmp = (2.0 + (((im * im) * (1.0 - (t_0 * t_0))) / (1.0 - t_0))) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))))
	elif im <= 1.7e+154:
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)))
	else:
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(im * Float64(im * 0.002777777777777778))))
	tmp = 0.0
	if (im <= 240.0)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	elseif (im <= 9e+53)
		tmp = Float64(Float64(2.0 + Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 - Float64(t_0 * t_0))) / Float64(1.0 - t_0))) * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.25 + Float64(Float64(re * re) * 0.020833333333333332))))));
	elseif (im <= 1.7e+154)
		tmp = Float64(Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778))))))) * Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(im * im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 240.0)
		tmp = 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))));
	elseif (im <= 9e+53)
		tmp = (2.0 + (((im * im) * (1.0 - (t_0 * t_0))) / (1.0 - t_0))) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))));
	elseif (im <= 1.7e+154)
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	else
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(im * N[(im * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 240.0], N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 9e+53], N[(N[(2.0 + N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.25 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.7e+154], N[(N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(0.5 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 240

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos re\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - \color{blue}{e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}}\right)\right) \]

      8. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)}\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right)\right) \]

      11. cosh-undef N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(2 \cdot \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 65.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5}}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 61.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 61.9%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)} \]

   if 240 < im < 9.0000000000000004e53

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 7.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 7.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Simplified 24.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}{1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 61.2%

       \[\leadsto \left(2 + \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}}\right) \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right) \]

   if 9.0000000000000004e53 < im < 1.69999999999999987e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

   8. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   if 1.69999999999999987e154 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Simplified 86.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left({im}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto 1 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 86.7%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 67.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 240:\\ \;\;\;\;1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;\left(2 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.7 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 59.9% accurate, 4.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := im \cdot \left(im \cdot im\right)\\ t_1 := im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 310:\\ \;\;\;\;1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7.8 \cdot 10^{+52}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.0005787037037037037 + \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot 2.1433470507544582 \cdot 10^{-8}\right)}{0.006944444444444444 + t\_1 \cdot \left(t\_1 - 0.08333333333333333\right)}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im (* im im))) (t_1 (* im (* im 0.002777777777777778))))
   (if (<= im 310.0)
     (+
      1.0
      (*
       (* im im)
       (+
        0.5
        (*
         im
         (* im (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889)))))))
     (if (<= im 7.8e+52)
       (*
        (+ 0.5 (* re (* re (+ -0.25 (* (* re re) 0.020833333333333332)))))
        (+
         2.0
         (*
          (* im im)
          (+
           1.0
           (/
            (*
             (* im im)
             (+ 0.0005787037037037037 (* (* t_0 t_0) 2.1433470507544582e-8)))
            (+ 0.006944444444444444 (* t_1 (- t_1 0.08333333333333333))))))))
       (if (<= im 5e+153)
         (*
          (+
           2.0
           (*
            (* im im)
            (+
             1.0
             (*
              im
              (*
               im
               (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))))))
          (+ 0.5 (* -0.25 (* re re))))
         (+ 1.0 (* 0.5 (* im im))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (im * im);
	double t_1 = im * (im * 0.002777777777777778);
	double tmp;
	if (im <= 310.0) {
		tmp = 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))));
	} else if (im <= 7.8e+52) {
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (0.0005787037037037037 + ((t_0 * t_0) * 2.1433470507544582e-8))) / (0.006944444444444444 + (t_1 * (t_1 - 0.08333333333333333)))))));
	} else if (im <= 5e+153) {
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = im * (im * im)
    t_1 = im * (im * 0.002777777777777778d0)
    if (im <= 310.0d0) then
        tmp = 1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0))))))
    else if (im <= 7.8d+52) then
        tmp = (0.5d0 + (re * (re * ((-0.25d0) + ((re * re) * 0.020833333333333332d0))))) * (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + (((im * im) * (0.0005787037037037037d0 + ((t_0 * t_0) * 2.1433470507544582d-8))) / (0.006944444444444444d0 + (t_1 * (t_1 - 0.08333333333333333d0)))))))
    else if (im <= 5d+153) then
        tmp = (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + (im * (im * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))))))) * (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re)))
    else
        tmp = 1.0d0 + (0.5d0 * (im * im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (im * im);
	double t_1 = im * (im * 0.002777777777777778);
	double tmp;
	if (im <= 310.0) {
		tmp = 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))));
	} else if (im <= 7.8e+52) {
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (0.0005787037037037037 + ((t_0 * t_0) * 2.1433470507544582e-8))) / (0.006944444444444444 + (t_1 * (t_1 - 0.08333333333333333)))))));
	} else if (im <= 5e+153) {
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = im * (im * im)
	t_1 = im * (im * 0.002777777777777778)
	tmp = 0
	if im <= 310.0:
		tmp = 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))))
	elif im <= 7.8e+52:
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (0.0005787037037037037 + ((t_0 * t_0) * 2.1433470507544582e-8))) / (0.006944444444444444 + (t_1 * (t_1 - 0.08333333333333333)))))))
	elif im <= 5e+153:
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)))
	else:
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(im * Float64(im * im))
	t_1 = Float64(im * Float64(im * 0.002777777777777778))
	tmp = 0.0
	if (im <= 310.0)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	elseif (im <= 7.8e+52)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.25 + Float64(Float64(re * re) * 0.020833333333333332))))) * Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(0.0005787037037037037 + Float64(Float64(t_0 * t_0) * 2.1433470507544582e-8))) / Float64(0.006944444444444444 + Float64(t_1 * Float64(t_1 - 0.08333333333333333))))))));
	elseif (im <= 5e+153)
		tmp = Float64(Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778))))))) * Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(im * im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = im * (im * im);
	t_1 = im * (im * 0.002777777777777778);
	tmp = 0.0;
	if (im <= 310.0)
		tmp = 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))));
	elseif (im <= 7.8e+52)
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (0.0005787037037037037 + ((t_0 * t_0) * 2.1433470507544582e-8))) / (0.006944444444444444 + (t_1 * (t_1 - 0.08333333333333333)))))));
	elseif (im <= 5e+153)
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	else
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(im * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im * N[(im * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 310.0], N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 7.8e+52], N[(N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.25 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.0005787037037037037 + N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * 2.1433470507544582e-8), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.006944444444444444 + N[(t$95$1 * N[(t$95$1 - 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 5e+153], N[(N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(0.5 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 310

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos re\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - \color{blue}{e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}}\right)\right) \]

      8. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)}\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right)\right) \]

      11. cosh-undef N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(2 \cdot \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 65.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5}}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 61.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 61.9%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)} \]

   if 310 < im < 7.7999999999999999e52

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 7.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 7.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Simplified 24.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

      2. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{{\frac{1}{12}}^{3} + {\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)}^{3}}{\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} + \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) - \frac{1}{12} \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left({\frac{1}{12}}^{3} + {\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)}^{3}\right)}{\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} + \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) - \frac{1}{12} \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left({\frac{1}{12}}^{3} + {\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} + \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) - \frac{1}{12} \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 61.2%

       \[\leadsto \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.0005787037037037037 + \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot 2.1433470507544582 \cdot 10^{-8}\right)}{0.006944444444444444 + \left(im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right) - 0.08333333333333333\right)}}\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right) \]

   if 7.7999999999999999e52 < im < 5.00000000000000018e153

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

   8. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   if 5.00000000000000018e153 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Simplified 86.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left({im}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto 1 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 86.7%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 67.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 310:\\ \;\;\;\;1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7.8 \cdot 10^{+52}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.0005787037037037037 + \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot 2.1433470507544582 \cdot 10^{-8}\right)}{0.006944444444444444 + \left(im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right) - 0.08333333333333333\right)}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 58.7% accurate, 8.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4.1 \cdot 10^{+32}:\\ \;\;\;\;1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2 \cdot 10^{+181}:\\ \;\;\;\;\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 4.1e+32)
   (+
    1.0
    (*
     (* im im)
     (+
      0.5
      (*
       im
       (* im (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889)))))))
   (if (<= im 2e+181)
     (*
      (+
       2.0
       (*
        (* im im)
        (+
         1.0
         (*
          im
          (* im (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))))))
      (+ 0.5 (* -0.25 (* re re))))
     (+ 1.0 (* 0.5 (* im im))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 4.1e+32) {
		tmp = 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))));
	} else if (im <= 2e+181) {
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 4.1d+32) then
        tmp = 1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0))))))
    else if (im <= 2d+181) then
        tmp = (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + (im * (im * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))))))) * (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re)))
    else
        tmp = 1.0d0 + (0.5d0 * (im * im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 4.1e+32) {
		tmp = 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))));
	} else if (im <= 2e+181) {
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 4.1e+32:
		tmp = 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))))
	elif im <= 2e+181:
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)))
	else:
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 4.1e+32)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	elseif (im <= 2e+181)
		tmp = Float64(Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778))))))) * Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(im * im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 4.1e+32)
		tmp = 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))));
	elseif (im <= 2e+181)
		tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	else
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 4.1e+32], N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 2e+181], N[(N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(0.5 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 4.09999999999999981e32

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos re\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - \color{blue}{e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}}\right)\right) \]

      8. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)}\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right)\right) \]

      11. cosh-undef N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(2 \cdot \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 65.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5}}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 61.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 61.6%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)} \]

   if 4.09999999999999981e32 < im < 1.9999999999999998e181

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 85.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 85.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

   8. Simplified 80.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   if 1.9999999999999998e181 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Simplified 85.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left({im}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 85.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 85.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto 1 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 85.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 85.2%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 56.3% accurate, 10.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\\ \mathbf{if}\;im \leq 5 \cdot 10^{+32}:\\ \;\;\;\;1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + t\_0\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.9 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.5\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* im im) 0.041666666666666664)))
   (if (<= im 5e+32)
     (+ 1.0 (* im (* im (+ 0.5 t_0))))
     (if (<= im 1.9e+154)
       (* (+ 1.0 (* (* re re) -0.5)) (+ 1.0 (* (* im im) t_0)))
       (+ 1.0 (* 0.5 (* im im)))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * 0.041666666666666664;
	double tmp;
	if (im <= 5e+32) {
		tmp = 1.0 + (im * (im * (0.5 + t_0)));
	} else if (im <= 1.9e+154) {
		tmp = (1.0 + ((re * re) * -0.5)) * (1.0 + ((im * im) * t_0));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (im * im) * 0.041666666666666664d0
    if (im <= 5d+32) then
        tmp = 1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + t_0)))
    else if (im <= 1.9d+154) then
        tmp = (1.0d0 + ((re * re) * (-0.5d0))) * (1.0d0 + ((im * im) * t_0))
    else
        tmp = 1.0d0 + (0.5d0 * (im * im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * 0.041666666666666664;
	double tmp;
	if (im <= 5e+32) {
		tmp = 1.0 + (im * (im * (0.5 + t_0)));
	} else if (im <= 1.9e+154) {
		tmp = (1.0 + ((re * re) * -0.5)) * (1.0 + ((im * im) * t_0));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (im * im) * 0.041666666666666664
	tmp = 0
	if im <= 5e+32:
		tmp = 1.0 + (im * (im * (0.5 + t_0)))
	elif im <= 1.9e+154:
		tmp = (1.0 + ((re * re) * -0.5)) * (1.0 + ((im * im) * t_0))
	else:
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664)
	tmp = 0.0
	if (im <= 5e+32)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + t_0))));
	elseif (im <= 1.9e+154)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * -0.5)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * t_0)));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(im * im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (im * im) * 0.041666666666666664;
	tmp = 0.0;
	if (im <= 5e+32)
		tmp = 1.0 + (im * (im * (0.5 + t_0)));
	elseif (im <= 1.9e+154)
		tmp = (1.0 + ((re * re) * -0.5)) * (1.0 + ((im * im) * t_0));
	else
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 5e+32], N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.9e+154], N[(N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(0.5 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 4.9999999999999997e32

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\frac{1}{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{\color{blue}{2}} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \cos re + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 93.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 59.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.7%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   if 4.9999999999999997e32 < im < 1.8999999999999999e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\frac{1}{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{\color{blue}{2}} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \cos re + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 74.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 74.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 74.4%

      \[\leadsto \cos re \cdot \left(1 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)\right) + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto 1 + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4} + \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)\right)}\right) \]

       2. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \left(1 + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)\right)} \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(1 + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)} \]

       4. distribute-rgt1-in N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)} \]

       5. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)}\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right), \left(1 + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(1 + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(1 + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(1 + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right) \]

       13. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       14. pow-sqr N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       15. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right) \]

       16. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       18. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       20. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

       22. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \]

       23. *-lowering-*.f64 74.1%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 74.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.5\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   if 1.8999999999999999e154 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Simplified 86.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left({im}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto 1 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 86.7%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 58.5% accurate, 16.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (+
  1.0
  (*
   (* im im)
   (+
    0.5
    (*
     im
     (* im (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = 1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0))))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))));
}

Python

def code(re, im):
	return 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = 1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889))))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos re\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - \color{blue}{e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}}\right)\right) \]

   8. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)}\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right)\right) \]

   11. cosh-undef N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(2 \cdot \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

   13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}} \]

5. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 68.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5}}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}} \]

8. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 64.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 64.0%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 14: 55.5% accurate, 23.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (+ 1.0 (* im (* im (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = 1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return 1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))));
}

Python

def code(re, im):
	return 1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664)))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = 1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)}\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

   4. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

   6. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\frac{1}{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{\color{blue}{2}} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \cos re + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   13. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

   14. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

5. Simplified 92.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 62.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 62.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 15: 55.3% accurate, 28.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (+ 1.0 (* (* im im) (* (* im im) 0.041666666666666664))))

C

double code(double re, double im) {
	return 1.0 + ((im * im) * ((im * im) * 0.041666666666666664));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = 1.0d0 + ((im * im) * ((im * im) * 0.041666666666666664d0))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return 1.0 + ((im * im) * ((im * im) * 0.041666666666666664));
}

Python

def code(re, im):
	return 1.0 + ((im * im) * ((im * im) * 0.041666666666666664))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = 1.0 + ((im * im) * ((im * im) * 0.041666666666666664));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)}\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

   4. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

   6. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\frac{1}{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{\color{blue}{2}} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \cos re + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   13. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im\right) + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

   14. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot im\right) \cdot im + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

5. Simplified 92.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in im around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 92.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 92.2%

   \[\leadsto \cos re \cdot \left(1 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right) \]

9. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{1}{24} \cdot {im}^{4}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)}\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right) \]

    3. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right) \]

    4. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 62.0%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right) \]

11. Simplified 62.0%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 16: 30.3% accurate, 30.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.02 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot -0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 1.02e+51) 1.0 (* (* re re) -0.5)))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 1.02e+51) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = (re * re) * -0.5;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 1.02d+51) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = (re * re) * (-0.5d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 1.02e+51) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = (re * re) * -0.5;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 1.02e+51:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = (re * re) * -0.5
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 1.02e+51)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(Float64(re * re) * -0.5);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 1.02e+51)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = (re * re) * -0.5;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 1.02e+51], 1.0, N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.02e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 69.7%

         \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 69.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 1.02e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 3.1%

         \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 8.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   8. Simplified 8.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.5} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto {re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{2}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 7.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right) \]

   11. Simplified 7.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot re\right) \cdot -0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 17: 46.9% accurate, 44.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (+ 1.0 (* 0.5 (* im im))))

C

double code(double re, double im) {
	return 1.0 + (0.5 * (im * im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = 1.0d0 + (0.5d0 * (im * im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return 1.0 + (0.5 * (im * im));
}

Python

def code(re, im):
	return 1.0 + (0.5 * (im * im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(im * im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(1.0 + N[(0.5 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 95.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 95.4%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

8. Simplified 63.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right)} \]

9. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left({im}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 54.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right), re\right), re\right)\right)\right) \]

11. Simplified 54.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \cdot \left(0.5 + \left(\left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right) \cdot re\right) \cdot re\right) \]

12. Taylor expanded in re around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}} \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2} \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 54.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

14. Simplified 54.0%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 18: 27.8% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 1.0)

C

double code(double re, double im) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return 1.0;
}

Python

def code(re, im):
	return 1.0

Julia

function code(re, im)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[re_, im_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]
4. Step-by-step derivation

   1. cos-lowering-cos.f64 57.2%

      \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(re\right) \]

5. Simplified 57.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 35.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, real part"
  :precision binary64
  (* (* 0.5 (cos re)) (+ (exp (- im)) (exp im))))