2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.6% → 99.6%

Time: 21.9s

Alternatives: 16

Speedup: 205.0×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := {\cos x}^{2}\\ t_2 := \frac{t\_0 + \frac{{\sin x}^{4}}{t\_1}}{t\_1} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{t\_0 \cdot -0.5}{t\_1}\right) + \frac{t\_0 \cdot 0.16666666666666666}{t\_1}\right)\right)\\ t_3 := \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{t\_1}}{\cos x}\\ \varepsilon \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(t\_3 + \varepsilon \cdot \left(t\_2 + \varepsilon \cdot \left(t\_2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + t\_3 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{t\_0}{t\_1}\right) + 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0))
        (t_1 (pow (cos x) 2.0))
        (t_2
         (-
          (/ (+ t_0 (/ (pow (sin x) 4.0) t_1)) t_1)
          (+
           0.16666666666666666
           (+
            (+ -0.5 (/ (* t_0 -0.5) t_1))
            (/ (* t_0 0.16666666666666666) t_1)))))
        (t_3 (/ (+ (sin x) (/ (pow (sin x) 3.0) t_1)) (cos x))))
   (*
    eps
    (+
     (+
      (*
       eps
       (+
        t_3
        (*
         eps
         (+
          t_2
          (*
           eps
           (+ (* t_2 (/ (sin x) (cos x))) (* t_3 0.3333333333333333)))))))
      (/ t_0 t_1))
     1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = ((t_0 + (pow(sin(x), 4.0) / t_1)) / t_1) - (0.16666666666666666 + ((-0.5 + ((t_0 * -0.5) / t_1)) + ((t_0 * 0.16666666666666666) / t_1)));
	double t_3 = (sin(x) + (pow(sin(x), 3.0) / t_1)) / cos(x);
	return eps * (((eps * (t_3 + (eps * (t_2 + (eps * ((t_2 * (sin(x) / cos(x))) + (t_3 * 0.3333333333333333))))))) + (t_0 / t_1)) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    t_0 = sin(x) ** 2.0d0
    t_1 = cos(x) ** 2.0d0
    t_2 = ((t_0 + ((sin(x) ** 4.0d0) / t_1)) / t_1) - (0.16666666666666666d0 + (((-0.5d0) + ((t_0 * (-0.5d0)) / t_1)) + ((t_0 * 0.16666666666666666d0) / t_1)))
    t_3 = (sin(x) + ((sin(x) ** 3.0d0) / t_1)) / cos(x)
    code = eps * (((eps * (t_3 + (eps * (t_2 + (eps * ((t_2 * (sin(x) / cos(x))) + (t_3 * 0.3333333333333333d0))))))) + (t_0 / t_1)) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0);
	double t_1 = Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	double t_2 = ((t_0 + (Math.pow(Math.sin(x), 4.0) / t_1)) / t_1) - (0.16666666666666666 + ((-0.5 + ((t_0 * -0.5) / t_1)) + ((t_0 * 0.16666666666666666) / t_1)));
	double t_3 = (Math.sin(x) + (Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / t_1)) / Math.cos(x);
	return eps * (((eps * (t_3 + (eps * (t_2 + (eps * ((t_2 * (Math.sin(x) / Math.cos(x))) + (t_3 * 0.3333333333333333))))))) + (t_0 / t_1)) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 2.0)
	t_1 = math.pow(math.cos(x), 2.0)
	t_2 = ((t_0 + (math.pow(math.sin(x), 4.0) / t_1)) / t_1) - (0.16666666666666666 + ((-0.5 + ((t_0 * -0.5) / t_1)) + ((t_0 * 0.16666666666666666) / t_1)))
	t_3 = (math.sin(x) + (math.pow(math.sin(x), 3.0) / t_1)) / math.cos(x)
	return eps * (((eps * (t_3 + (eps * (t_2 + (eps * ((t_2 * (math.sin(x) / math.cos(x))) + (t_3 * 0.3333333333333333))))))) + (t_0 / t_1)) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = cos(x) ^ 2.0
	t_2 = Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64((sin(x) ^ 4.0) / t_1)) / t_1) - Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(-0.5 + Float64(Float64(t_0 * -0.5) / t_1)) + Float64(Float64(t_0 * 0.16666666666666666) / t_1))))
	t_3 = Float64(Float64(sin(x) + Float64((sin(x) ^ 3.0) / t_1)) / cos(x))
	return Float64(eps * Float64(Float64(Float64(eps * Float64(t_3 + Float64(eps * Float64(t_2 + Float64(eps * Float64(Float64(t_2 * Float64(sin(x) / cos(x))) + Float64(t_3 * 0.3333333333333333))))))) + Float64(t_0 / t_1)) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0;
	t_1 = cos(x) ^ 2.0;
	t_2 = ((t_0 + ((sin(x) ^ 4.0) / t_1)) / t_1) - (0.16666666666666666 + ((-0.5 + ((t_0 * -0.5) / t_1)) + ((t_0 * 0.16666666666666666) / t_1)));
	t_3 = (sin(x) + ((sin(x) ^ 3.0) / t_1)) / cos(x);
	tmp = eps * (((eps * (t_3 + (eps * (t_2 + (eps * ((t_2 * (sin(x) / cos(x))) + (t_3 * 0.3333333333333333))))))) + (t_0 / t_1)) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision] - N[(0.16666666666666666 + N[(N[(-0.5 + N[(N[(t$95$0 * -0.5), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(N[(eps * N[(t$95$3 + N[(eps * N[(t$95$2 + N[(eps * N[(N[(t$95$2 * N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$3 * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) + \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{{\sin x}^{2} \cdot -0.5}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{{\sin x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{{\sin x}^{2} \cdot -0.5}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{{\sin x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x} \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 1\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := {\cos x}^{2}\\ \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{t\_0}{t\_1} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{t\_1}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{t\_0 + \frac{{\sin x}^{4}}{t\_1}}{t\_1} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{t\_0 \cdot -0.5}{t\_1}\right) + \frac{t\_0 \cdot 0.16666666666666666}{t\_1}\right)\right)\right) + x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666 + 1.8888888888888888 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0)) (t_1 (pow (cos x) 2.0)))
   (*
    eps
    (+
     (+
      (/ t_0 t_1)
      (*
       eps
       (+
        (/ (+ (sin x) (/ (pow (sin x) 3.0) t_1)) (cos x))
        (*
         eps
         (+
          (-
           (/ (+ t_0 (/ (pow (sin x) 4.0) t_1)) t_1)
           (+
            0.16666666666666666
            (+
             (+ -0.5 (/ (* t_0 -0.5) t_1))
             (/ (* t_0 0.16666666666666666) t_1))))
          (*
           x
           (+
            (* eps 0.6666666666666666)
            (* 1.8888888888888888 (* x (* eps x))))))))))
     1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(cos(x), 2.0);
	return eps * (((t_0 / t_1) + (eps * (((sin(x) + (pow(sin(x), 3.0) / t_1)) / cos(x)) + (eps * ((((t_0 + (pow(sin(x), 4.0) / t_1)) / t_1) - (0.16666666666666666 + ((-0.5 + ((t_0 * -0.5) / t_1)) + ((t_0 * 0.16666666666666666) / t_1)))) + (x * ((eps * 0.6666666666666666) + (1.8888888888888888 * (x * (eps * x)))))))))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(x) ** 2.0d0
    t_1 = cos(x) ** 2.0d0
    code = eps * (((t_0 / t_1) + (eps * (((sin(x) + ((sin(x) ** 3.0d0) / t_1)) / cos(x)) + (eps * ((((t_0 + ((sin(x) ** 4.0d0) / t_1)) / t_1) - (0.16666666666666666d0 + (((-0.5d0) + ((t_0 * (-0.5d0)) / t_1)) + ((t_0 * 0.16666666666666666d0) / t_1)))) + (x * ((eps * 0.6666666666666666d0) + (1.8888888888888888d0 * (x * (eps * x)))))))))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0);
	double t_1 = Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	return eps * (((t_0 / t_1) + (eps * (((Math.sin(x) + (Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / t_1)) / Math.cos(x)) + (eps * ((((t_0 + (Math.pow(Math.sin(x), 4.0) / t_1)) / t_1) - (0.16666666666666666 + ((-0.5 + ((t_0 * -0.5) / t_1)) + ((t_0 * 0.16666666666666666) / t_1)))) + (x * ((eps * 0.6666666666666666) + (1.8888888888888888 * (x * (eps * x)))))))))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 2.0)
	t_1 = math.pow(math.cos(x), 2.0)
	return eps * (((t_0 / t_1) + (eps * (((math.sin(x) + (math.pow(math.sin(x), 3.0) / t_1)) / math.cos(x)) + (eps * ((((t_0 + (math.pow(math.sin(x), 4.0) / t_1)) / t_1) - (0.16666666666666666 + ((-0.5 + ((t_0 * -0.5) / t_1)) + ((t_0 * 0.16666666666666666) / t_1)))) + (x * ((eps * 0.6666666666666666) + (1.8888888888888888 * (x * (eps * x)))))))))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = cos(x) ^ 2.0
	return Float64(eps * Float64(Float64(Float64(t_0 / t_1) + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(sin(x) + Float64((sin(x) ^ 3.0) / t_1)) / cos(x)) + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64((sin(x) ^ 4.0) / t_1)) / t_1) - Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(-0.5 + Float64(Float64(t_0 * -0.5) / t_1)) + Float64(Float64(t_0 * 0.16666666666666666) / t_1)))) + Float64(x * Float64(Float64(eps * 0.6666666666666666) + Float64(1.8888888888888888 * Float64(x * Float64(eps * x)))))))))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0;
	t_1 = cos(x) ^ 2.0;
	tmp = eps * (((t_0 / t_1) + (eps * (((sin(x) + ((sin(x) ^ 3.0) / t_1)) / cos(x)) + (eps * ((((t_0 + ((sin(x) ^ 4.0) / t_1)) / t_1) - (0.16666666666666666 + ((-0.5 + ((t_0 * -0.5) / t_1)) + ((t_0 * 0.16666666666666666) / t_1)))) + (x * ((eps * 0.6666666666666666) + (1.8888888888888888 * (x * (eps * x)))))))))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(N[(t$95$0 / t$95$1), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision] - N[(0.16666666666666666 + N[(N[(-0.5 + N[(N[(t$95$0 * -0.5), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(N[(eps * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + N[(1.8888888888888888 * N[(x * N[(eps * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) + \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon + \frac{17}{9} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon + \frac{17}{9} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right), \left(\frac{17}{9} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{17}{9} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \left(\frac{17}{9} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \left({x}^{2} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \left(x \cdot \left(x \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 99.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666 + 1.8888888888888888 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} + \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

9. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{{\sin x}^{2} \cdot -0.5}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{{\sin x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) + x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666 + 1.8888888888888888 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.1% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ t_1 := 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)\\ t_2 := 0.5 + t\_1\\ \varepsilon \cdot \left(\left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \sin x \cdot t\_0}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\left(0.5 - t\_1\right) + \frac{{\sin x}^{4}}{t\_2}}{t\_2} + \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666 + x \cdot \left(1.8888888888888888 \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right) - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0656084656084656 + -0.1259259259259259\right)\right) + -0.2222222222222222\right) + -0.3333333333333333\right) + -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0))
        (t_1 (* 0.5 (cos (* x 2.0))))
        (t_2 (+ 0.5 t_1)))
   (*
    eps
    (+
     (+
      t_0
      (*
       eps
       (+
        (/ (+ (sin x) (* (sin x) t_0)) (cos x))
        (*
         eps
         (+
          (/ (+ (- 0.5 t_1) (/ (pow (sin x) 4.0) t_2)) t_2)
          (-
           (*
            x
            (+
             (* eps 0.6666666666666666)
             (* x (* 1.8888888888888888 (* eps x)))))
           (+
            (*
             (* x x)
             (+
              (*
               (* x x)
               (+
                (*
                 x
                 (* x (+ (* (* x x) -0.0656084656084656) -0.1259259259259259)))
                -0.2222222222222222))
              -0.3333333333333333))
            -0.3333333333333333)))))))
     1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	double t_1 = 0.5 * cos((x * 2.0));
	double t_2 = 0.5 + t_1;
	return eps * ((t_0 + (eps * (((sin(x) + (sin(x) * t_0)) / cos(x)) + (eps * ((((0.5 - t_1) + (pow(sin(x), 4.0) / t_2)) / t_2) + ((x * ((eps * 0.6666666666666666) + (x * (1.8888888888888888 * (eps * x))))) - (((x * x) * (((x * x) * ((x * (x * (((x * x) * -0.0656084656084656) + -0.1259259259259259))) + -0.2222222222222222)) + -0.3333333333333333)) + -0.3333333333333333))))))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    t_1 = 0.5d0 * cos((x * 2.0d0))
    t_2 = 0.5d0 + t_1
    code = eps * ((t_0 + (eps * (((sin(x) + (sin(x) * t_0)) / cos(x)) + (eps * ((((0.5d0 - t_1) + ((sin(x) ** 4.0d0) / t_2)) / t_2) + ((x * ((eps * 0.6666666666666666d0) + (x * (1.8888888888888888d0 * (eps * x))))) - (((x * x) * (((x * x) * ((x * (x * (((x * x) * (-0.0656084656084656d0)) + (-0.1259259259259259d0)))) + (-0.2222222222222222d0))) + (-0.3333333333333333d0))) + (-0.3333333333333333d0)))))))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	double t_1 = 0.5 * Math.cos((x * 2.0));
	double t_2 = 0.5 + t_1;
	return eps * ((t_0 + (eps * (((Math.sin(x) + (Math.sin(x) * t_0)) / Math.cos(x)) + (eps * ((((0.5 - t_1) + (Math.pow(Math.sin(x), 4.0) / t_2)) / t_2) + ((x * ((eps * 0.6666666666666666) + (x * (1.8888888888888888 * (eps * x))))) - (((x * x) * (((x * x) * ((x * (x * (((x * x) * -0.0656084656084656) + -0.1259259259259259))) + -0.2222222222222222)) + -0.3333333333333333)) + -0.3333333333333333))))))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	t_1 = 0.5 * math.cos((x * 2.0))
	t_2 = 0.5 + t_1
	return eps * ((t_0 + (eps * (((math.sin(x) + (math.sin(x) * t_0)) / math.cos(x)) + (eps * ((((0.5 - t_1) + (math.pow(math.sin(x), 4.0) / t_2)) / t_2) + ((x * ((eps * 0.6666666666666666) + (x * (1.8888888888888888 * (eps * x))))) - (((x * x) * (((x * x) * ((x * (x * (((x * x) * -0.0656084656084656) + -0.1259259259259259))) + -0.2222222222222222)) + -0.3333333333333333)) + -0.3333333333333333))))))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	t_1 = Float64(0.5 * cos(Float64(x * 2.0)))
	t_2 = Float64(0.5 + t_1)
	return Float64(eps * Float64(Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(sin(x) + Float64(sin(x) * t_0)) / cos(x)) + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(Float64(0.5 - t_1) + Float64((sin(x) ^ 4.0) / t_2)) / t_2) + Float64(Float64(x * Float64(Float64(eps * 0.6666666666666666) + Float64(x * Float64(1.8888888888888888 * Float64(eps * x))))) - Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(Float64(Float64(x * x) * -0.0656084656084656) + -0.1259259259259259))) + -0.2222222222222222)) + -0.3333333333333333)) + -0.3333333333333333))))))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	t_1 = 0.5 * cos((x * 2.0));
	t_2 = 0.5 + t_1;
	tmp = eps * ((t_0 + (eps * (((sin(x) + (sin(x) * t_0)) / cos(x)) + (eps * ((((0.5 - t_1) + ((sin(x) ^ 4.0) / t_2)) / t_2) + ((x * ((eps * 0.6666666666666666) + (x * (1.8888888888888888 * (eps * x))))) - (((x * x) * (((x * x) * ((x * (x * (((x * x) * -0.0656084656084656) + -0.1259259259259259))) + -0.2222222222222222)) + -0.3333333333333333)) + -0.3333333333333333))))))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 + t$95$1), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(t$95$0 + N[(eps * N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[(N[(0.5 - t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision] + N[(N[(x * N[(N[(eps * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + N[(x * N[(1.8888888888888888 * N[(eps * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * N[(x * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0656084656084656), $MachinePrecision] + -0.1259259259259259), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.2222222222222222), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) + \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon + \frac{17}{9} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon + \frac{17}{9} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right), \left(\frac{17}{9} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{17}{9} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \left(\frac{17}{9} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \left({x}^{2} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \left(x \cdot \left(x \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 99.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666 + 1.8888888888888888 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} + \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \sin x \cdot {\tan x}^{2}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right) + \frac{{\sin x}^{4}}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)} - \left(\left(-0.3333333333333333 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666 + x \cdot \left(\left(x \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.8888888888888888\right)\right)\right)\right)\right) + {\tan x}^{2}\right)\right) \cdot \varepsilon} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-62}{945} \cdot {x}^{2} - \frac{17}{135}\right) - \frac{2}{9}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-62}{945} \cdot {x}^{2} - \frac{17}{135}\right) - \frac{2}{9}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-62}{945} \cdot {x}^{2} - \frac{17}{135}\right) - \frac{2}{9}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-62}{945} \cdot {x}^{2} - \frac{17}{135}\right) - \frac{2}{9}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    4. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-62}{945} \cdot {x}^{2} - \frac{17}{135}\right) - \frac{2}{9}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-62}{945} \cdot {x}^{2} - \frac{17}{135}\right) - \frac{2}{9}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-62}{945} \cdot {x}^{2} - \frac{17}{135}\right) - \frac{2}{9}\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

13. Simplified 99.9%

    \[\leadsto \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \sin x \cdot {\tan x}^{2}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right) + \frac{{\sin x}^{4}}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)} - \left(\left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0656084656084656 + -0.1259259259259259\right)\right) + -0.2222222222222222\right) + -0.3333333333333333\right)}\right) - x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666 + x \cdot \left(\left(x \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.8888888888888888\right)\right)\right)\right)\right) + {\tan x}^{2}\right)\right) \cdot \varepsilon \]

14. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \sin x \cdot {\tan x}^{2}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)\right) + \frac{{\sin x}^{4}}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)} + \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666 + x \cdot \left(1.8888888888888888 \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right) - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0656084656084656 + -0.1259259259259259\right)\right) + -0.2222222222222222\right) + -0.3333333333333333\right) + -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.1% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ t_1 := 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)\\ t_2 := 0.5 + t\_1\\ \varepsilon \cdot \left(\left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \sin x \cdot t\_0}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\left(0.5 - t\_1\right) + \frac{{\sin x}^{4}}{t\_2}}{t\_2} + \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666 + x \cdot \left(1.8888888888888888 \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right) - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.2222222222222222 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.1259259259259259\right)\right) + -0.3333333333333333\right) + -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0))
        (t_1 (* 0.5 (cos (* x 2.0))))
        (t_2 (+ 0.5 t_1)))
   (*
    eps
    (+
     (+
      t_0
      (*
       eps
       (+
        (/ (+ (sin x) (* (sin x) t_0)) (cos x))
        (*
         eps
         (+
          (/ (+ (- 0.5 t_1) (/ (pow (sin x) 4.0) t_2)) t_2)
          (-
           (*
            x
            (+
             (* eps 0.6666666666666666)
             (* x (* 1.8888888888888888 (* eps x)))))
           (+
            (*
             (* x x)
             (+
              (*
               x
               (* x (+ -0.2222222222222222 (* (* x x) -0.1259259259259259))))
              -0.3333333333333333))
            -0.3333333333333333)))))))
     1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	double t_1 = 0.5 * cos((x * 2.0));
	double t_2 = 0.5 + t_1;
	return eps * ((t_0 + (eps * (((sin(x) + (sin(x) * t_0)) / cos(x)) + (eps * ((((0.5 - t_1) + (pow(sin(x), 4.0) / t_2)) / t_2) + ((x * ((eps * 0.6666666666666666) + (x * (1.8888888888888888 * (eps * x))))) - (((x * x) * ((x * (x * (-0.2222222222222222 + ((x * x) * -0.1259259259259259)))) + -0.3333333333333333)) + -0.3333333333333333))))))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    t_1 = 0.5d0 * cos((x * 2.0d0))
    t_2 = 0.5d0 + t_1
    code = eps * ((t_0 + (eps * (((sin(x) + (sin(x) * t_0)) / cos(x)) + (eps * ((((0.5d0 - t_1) + ((sin(x) ** 4.0d0) / t_2)) / t_2) + ((x * ((eps * 0.6666666666666666d0) + (x * (1.8888888888888888d0 * (eps * x))))) - (((x * x) * ((x * (x * ((-0.2222222222222222d0) + ((x * x) * (-0.1259259259259259d0))))) + (-0.3333333333333333d0))) + (-0.3333333333333333d0)))))))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	double t_1 = 0.5 * Math.cos((x * 2.0));
	double t_2 = 0.5 + t_1;
	return eps * ((t_0 + (eps * (((Math.sin(x) + (Math.sin(x) * t_0)) / Math.cos(x)) + (eps * ((((0.5 - t_1) + (Math.pow(Math.sin(x), 4.0) / t_2)) / t_2) + ((x * ((eps * 0.6666666666666666) + (x * (1.8888888888888888 * (eps * x))))) - (((x * x) * ((x * (x * (-0.2222222222222222 + ((x * x) * -0.1259259259259259)))) + -0.3333333333333333)) + -0.3333333333333333))))))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	t_1 = 0.5 * math.cos((x * 2.0))
	t_2 = 0.5 + t_1
	return eps * ((t_0 + (eps * (((math.sin(x) + (math.sin(x) * t_0)) / math.cos(x)) + (eps * ((((0.5 - t_1) + (math.pow(math.sin(x), 4.0) / t_2)) / t_2) + ((x * ((eps * 0.6666666666666666) + (x * (1.8888888888888888 * (eps * x))))) - (((x * x) * ((x * (x * (-0.2222222222222222 + ((x * x) * -0.1259259259259259)))) + -0.3333333333333333)) + -0.3333333333333333))))))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	t_1 = Float64(0.5 * cos(Float64(x * 2.0)))
	t_2 = Float64(0.5 + t_1)
	return Float64(eps * Float64(Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(sin(x) + Float64(sin(x) * t_0)) / cos(x)) + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(Float64(0.5 - t_1) + Float64((sin(x) ^ 4.0) / t_2)) / t_2) + Float64(Float64(x * Float64(Float64(eps * 0.6666666666666666) + Float64(x * Float64(1.8888888888888888 * Float64(eps * x))))) - Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(-0.2222222222222222 + Float64(Float64(x * x) * -0.1259259259259259)))) + -0.3333333333333333)) + -0.3333333333333333))))))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	t_1 = 0.5 * cos((x * 2.0));
	t_2 = 0.5 + t_1;
	tmp = eps * ((t_0 + (eps * (((sin(x) + (sin(x) * t_0)) / cos(x)) + (eps * ((((0.5 - t_1) + ((sin(x) ^ 4.0) / t_2)) / t_2) + ((x * ((eps * 0.6666666666666666) + (x * (1.8888888888888888 * (eps * x))))) - (((x * x) * ((x * (x * (-0.2222222222222222 + ((x * x) * -0.1259259259259259)))) + -0.3333333333333333)) + -0.3333333333333333))))))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 + t$95$1), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(t$95$0 + N[(eps * N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[(N[(0.5 - t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision] + N[(N[(x * N[(N[(eps * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + N[(x * N[(1.8888888888888888 * N[(eps * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * N[(x * N[(-0.2222222222222222 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.1259259259259259), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) + \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon + \frac{17}{9} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon + \frac{17}{9} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right), \left(\frac{17}{9} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{17}{9} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \left(\frac{17}{9} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \left({x}^{2} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \left(x \cdot \left(x \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 99.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{17}{9}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666 + 1.8888888888888888 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} + \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \sin x \cdot {\tan x}^{2}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right) + \frac{{\sin x}^{4}}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)} - \left(\left(-0.3333333333333333 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666 + x \cdot \left(\left(x \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.8888888888888888\right)\right)\right)\right)\right) + {\tan x}^{2}\right)\right) \cdot \varepsilon} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-17}{135} \cdot {x}^{2} - \frac{2}{9}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-17}{135} \cdot {x}^{2} - \frac{2}{9}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-17}{135} \cdot {x}^{2} - \frac{2}{9}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-17}{135} \cdot {x}^{2} - \frac{2}{9}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    4. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-17}{135} \cdot {x}^{2} - \frac{2}{9}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-17}{135} \cdot {x}^{2} - \frac{2}{9}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-17}{135} \cdot {x}^{2} - \frac{2}{9}\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-17}{135} \cdot {x}^{2} - \frac{2}{9}\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    8. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-17}{135} \cdot {x}^{2} - \frac{2}{9}\right)\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-17}{135} \cdot {x}^{2} - \frac{2}{9}\right)\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-17}{135} \cdot {x}^{2} - \frac{2}{9}\right)\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    11. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-17}{135} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{9}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-17}{135} \cdot {x}^{2} + \frac{-2}{9}\right)\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    13. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-17}{135} \cdot {x}^{2}\right), \frac{-2}{9}\right)\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    14. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \frac{-17}{135}\right), \frac{-2}{9}\right)\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-17}{135}\right), \frac{-2}{9}\right)\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    16. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-17}{135}\right), \frac{-2}{9}\right)\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 99.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{135}\right), \frac{-2}{9}\right)\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right), \frac{17}{9}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

13. Simplified 99.9%

    \[\leadsto \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \sin x \cdot {\tan x}^{2}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right) + \frac{{\sin x}^{4}}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)} - \left(\left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.1259259259259259 + -0.2222222222222222\right)\right) + -0.3333333333333333\right)}\right) - x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666 + x \cdot \left(\left(x \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.8888888888888888\right)\right)\right)\right)\right) + {\tan x}^{2}\right)\right) \cdot \varepsilon \]

14. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \sin x \cdot {\tan x}^{2}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)\right) + \frac{{\sin x}^{4}}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)} + \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666 + x \cdot \left(1.8888888888888888 \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right) - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.2222222222222222 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.1259259259259259\right)\right) + -0.3333333333333333\right) + -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.4% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\cos x}^{2}\\ \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{t\_0} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{t\_0}}{\cos x} + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (cos x) 2.0)))
   (*
    eps
    (+
     (+
      (/ (pow (sin x) 2.0) t_0)
      (*
       eps
       (+
        (/ (+ (sin x) (/ (pow (sin x) 3.0) t_0)) (cos x))
        (* eps 0.3333333333333333))))
     1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(cos(x), 2.0);
	return eps * (((pow(sin(x), 2.0) / t_0) + (eps * (((sin(x) + (pow(sin(x), 3.0) / t_0)) / cos(x)) + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = cos(x) ** 2.0d0
    code = eps * ((((sin(x) ** 2.0d0) / t_0) + (eps * (((sin(x) + ((sin(x) ** 3.0d0) / t_0)) / cos(x)) + (eps * 0.3333333333333333d0)))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	return eps * (((Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / t_0) + (eps * (((Math.sin(x) + (Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / t_0)) / Math.cos(x)) + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.cos(x), 2.0)
	return eps * (((math.pow(math.sin(x), 2.0) / t_0) + (eps * (((math.sin(x) + (math.pow(math.sin(x), 3.0) / t_0)) / math.cos(x)) + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = cos(x) ^ 2.0
	return Float64(eps * Float64(Float64(Float64((sin(x) ^ 2.0) / t_0) + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(sin(x) + Float64((sin(x) ^ 3.0) / t_0)) / cos(x)) + Float64(eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = cos(x) ^ 2.0;
	tmp = eps * ((((sin(x) ^ 2.0) / t_0) + (eps * (((sin(x) + ((sin(x) ^ 3.0) / t_0)) / cos(x)) + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) + \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\frac{1}{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x} + \varepsilon \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

9. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x} + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + 1\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(t\_0 + \frac{\varepsilon}{\frac{\cos x}{\sin x + \sin x \cdot t\_0}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0)))
   (+ eps (* eps (+ t_0 (/ eps (/ (cos x) (+ (sin x) (* (sin x) t_0)))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps / (cos(x) / (sin(x) + (sin(x) * t_0))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    code = eps + (eps * (t_0 + (eps / (cos(x) / (sin(x) + (sin(x) * t_0))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps / (Math.cos(x) / (Math.sin(x) + (Math.sin(x) * t_0))))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	return eps + (eps * (t_0 + (eps / (math.cos(x) / (math.sin(x) + (math.sin(x) * t_0))))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(t_0 + Float64(eps / Float64(cos(x) / Float64(sin(x) + Float64(sin(x) * t_0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	tmp = eps + (eps * (t_0 + (eps / (cos(x) / (sin(x) + (sin(x) * t_0))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, N[(eps + N[(eps * N[(t$95$0 + N[(eps / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + 1\right) - \color{blue}{-1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right)}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto 1 \cdot \varepsilon + \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot \varepsilon} \]

   3. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \varepsilon + \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right)} \cdot \varepsilon \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot \varepsilon\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \color{blue}{\varepsilon}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + \left({\tan x}^{2} + \frac{\varepsilon}{\frac{\cos x}{\sin x + \sin x \cdot {\tan x}^{2}}}\right) \cdot \varepsilon} \]

8. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \frac{\varepsilon}{\frac{\cos x}{\sin x + \sin x \cdot {\tan x}^{2}}}\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \left(\varepsilon \cdot x + 1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ (pow (tan x) 2.0) (+ (* eps x) 1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (pow(tan(x), 2.0) + ((eps * x) + 1.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((tan(x) ** 2.0d0) + ((eps * x) + 1.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (Math.pow(Math.tan(x), 2.0) + ((eps * x) + 1.0));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (math.pow(math.tan(x), 2.0) + ((eps * x) + 1.0))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64((tan(x) ^ 2.0) + Float64(Float64(eps * x) + 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((tan(x) ^ 2.0) + ((eps * x) + 1.0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(eps * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + 1\right) - \color{blue}{-1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \color{blue}{x}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot x\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) + \varepsilon \cdot x\right), \varepsilon\right) \]

   4. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(1 + \varepsilon \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{{\cos x}^{2}} + \left(1 + \varepsilon \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \cos x} + \left(1 + \varepsilon \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

   7. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(1 + \varepsilon \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

   8. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan x + \left(1 + \varepsilon \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

   9. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\tan x \cdot \tan x + \left(1 + \varepsilon \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\tan x}^{2} + \left(1 + \varepsilon \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\tan x}^{2}\right), \left(1 + \varepsilon \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

   12. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right), \left(1 + \varepsilon \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

   13. tan-lowering-tan.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \left(1 + \varepsilon \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \varepsilon\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Applied egg-rr 99.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left({\tan x}^{2} + \left(1 + x \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \varepsilon} \]

11. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \left(\varepsilon \cdot x + 1\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.4% accurate, 6.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right) + 1\right) + 1\right) + \varepsilon \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (+
    (*
     (* x x)
     (+
      (*
       (* x x)
       (+
        0.6666666666666666
        (* (* x x) (+ 0.37777777777777777 (* (* x x) 0.19682539682539682)))))
      1.0))
    1.0)
   (* eps x))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((((x * x) * (((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682))))) + 1.0)) + 1.0) + (eps * x));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((((x * x) * (((x * x) * (0.6666666666666666d0 + ((x * x) * (0.37777777777777777d0 + ((x * x) * 0.19682539682539682d0))))) + 1.0d0)) + 1.0d0) + (eps * x))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((((x * x) * (((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682))))) + 1.0)) + 1.0) + (eps * x));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((((x * x) * (((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682))))) + 1.0)) + 1.0) + (eps * x))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.6666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.37777777777777777 + Float64(Float64(x * x) * 0.19682539682539682))))) + 1.0)) + 1.0) + Float64(eps * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((((x * x) * (((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682))))) + 1.0)) + 1.0) + (eps * x));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.6666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.37777777777777777 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.19682539682539682), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] + N[(eps * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + 1\right) - \color{blue}{-1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \color{blue}{x}\right) \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    12. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \left(\frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \left({x}^{2} \cdot \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    15. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 98.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

11. Simplified 98.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right)}\right) + \varepsilon \cdot x\right) \]

12. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right) + 1\right) + 1\right) + \varepsilon \cdot x\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.3% accurate, 8.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.37777777777777777\right) + 1\right) + 1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (* eps x)
   (+
    (*
     (* x x)
     (+
      (* (* x x) (+ 0.6666666666666666 (* (* x x) 0.37777777777777777)))
      1.0))
    1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((eps * x) + (((x * x) * (((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777))) + 1.0)) + 1.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((eps * x) + (((x * x) * (((x * x) * (0.6666666666666666d0 + ((x * x) * 0.37777777777777777d0))) + 1.0d0)) + 1.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((eps * x) + (((x * x) * (((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777))) + 1.0)) + 1.0));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((eps * x) + (((x * x) * (((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777))) + 1.0)) + 1.0))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(eps * x) + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.6666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * 0.37777777777777777))) + 1.0)) + 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((eps * x) + (((x * x) * (((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777))) + 1.0)) + 1.0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(eps * x), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.6666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.37777777777777777), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + 1\right) - \color{blue}{-1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \color{blue}{x}\right) \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\varepsilon}, x\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left(\frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{17}{45}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{17}{45}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{17}{45}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 98.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{17}{45}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right)\right) \]

11. Simplified 98.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.37777777777777777\right)\right)\right)} + \varepsilon \cdot x\right) \]

12. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.37777777777777777\right) + 1\right) + 1\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 10: 98.3% accurate, 12.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) + 1\right)\right) + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ (* x (+ eps (* x (+ (* x (* x 0.6666666666666666)) 1.0)))) 1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((x * (eps + (x * ((x * (x * 0.6666666666666666)) + 1.0)))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((x * (eps + (x * ((x * (x * 0.6666666666666666d0)) + 1.0d0)))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((x * (eps + (x * ((x * (x * 0.6666666666666666)) + 1.0)))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((x * (eps + (x * ((x * (x * 0.6666666666666666)) + 1.0)))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(x * Float64(eps + Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(x * 0.6666666666666666)) + 1.0)))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((x * (eps + (x * ((x * (x * 0.6666666666666666)) + 1.0)))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(x * N[(eps + N[(x * N[(N[(x * N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + 1\right) - \color{blue}{-1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \color{blue}{x}\right) \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \frac{2}{3} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{2}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{2}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \frac{2}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 98.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{2}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 98.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

12. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) + 1\right)\right) + 1\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 11: 98.2% accurate, 22.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon + x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* x (* eps (+ eps x)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (x * (eps * (eps + x)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (x * (eps * (eps + x)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (x * (eps * (eps + x)));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (x * (eps * (eps + x)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(x * Float64(eps * Float64(eps + x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (x * (eps * (eps + x)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(x * N[(eps * N[(eps + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + 1\right) - \color{blue}{-1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({\varepsilon}^{2} + \color{blue}{\varepsilon \cdot x}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \color{blue}{\varepsilon} \cdot x\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon + x\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\varepsilon + x\right)}\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(x + \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(x, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon\right)\right)} \]

9. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon + x\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 12: 98.1% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* x (* eps x))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (x * (eps * x));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (x * (eps * x))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (x * (eps * x));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (x * (eps * x))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(x * Float64(eps * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (x * (eps * x));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(x * N[(eps * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + 1\right) - \color{blue}{-1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon + \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{6} \cdot \varepsilon - \frac{-1}{2} \cdot \varepsilon\right)\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon + \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{6} \cdot \varepsilon - \frac{-1}{2} \cdot \varepsilon\right)\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon + \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{6} \cdot \varepsilon - \frac{-1}{2} \cdot \varepsilon\right)\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({\varepsilon}^{2} + \color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon + \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{6} \cdot \varepsilon - \frac{-1}{2} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon + \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{6} \cdot \varepsilon - \frac{-1}{2} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon + \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{6} \cdot \varepsilon - \frac{-1}{2} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon + \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{6} \cdot \varepsilon - \frac{-1}{2} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon + \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{6} \cdot \varepsilon - \frac{-1}{2} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(x \cdot \left(\frac{5}{6} \cdot \varepsilon - \frac{-1}{2} \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(x \cdot \left(\frac{5}{6} \cdot \varepsilon - \frac{-1}{2} \cdot \varepsilon\right) + 1\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{5}{6} \cdot \varepsilon - \frac{-1}{2} \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{5}{6} \cdot \varepsilon - \frac{-1}{2} \cdot \varepsilon\right)\right), \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + x \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(x \cdot 1.3333333333333333\right)\right) \cdot \varepsilon\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x\right)}\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

11. Simplified 98.8%

    \[\leadsto \varepsilon + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \varepsilon\right)} \]

12. Final simplification 98.8%

    \[\leadsto \varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 13: 97.7% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* x (* eps eps))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (x * (eps * eps));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (x * (eps * eps))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (x * (eps * eps));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (x * (eps * eps))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(x * Float64(eps * eps)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (x * (eps * eps));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(x * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + 1\right) - \color{blue}{-1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + {\varepsilon}^{2} \cdot x} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 98.1%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 14: 97.7% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot x + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (* eps (+ (* eps x) 1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((eps * x) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((eps * x) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((eps * x) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((eps * x) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(eps * x) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((eps * x) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(eps * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + 1\right) - \color{blue}{-1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \varepsilon \cdot x\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 98.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \varepsilon\right)} \]

9. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot x + 1\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 15: 97.7% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 eps)

C

double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Python

def code(x, eps):
	return eps

Julia

function code(x, eps)
	return eps
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := eps

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + 1\right) - \color{blue}{-1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 16: 5.4% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x, double eps) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x, eps):
	return 0.0

Julia

function code(x, eps)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 61.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \tan \left(x + \varepsilon\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right) + \color{blue}{\tan \left(x + \varepsilon\right)} \]

   3. tan-quot N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)\right) + \tan \left(\color{blue}{x} + \varepsilon\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\sin x \cdot \frac{1}{\cos x}\right)\right) + \tan \left(\color{blue}{x} + \varepsilon\right) \]

   5. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\cos x}\right)\right) + \tan \color{blue}{\left(x + \varepsilon\right)} \]

   6. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\sin x, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\cos x}\right)\right)}, \tan \left(x + \varepsilon\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{\cos x}}\right)\right), \tan \left(x + \varepsilon\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{1}{\cos x}\right)\right), \tan \left(x + \varepsilon\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \cos x\right)\right), \tan \left(x + \varepsilon\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \tan \left(x + \varepsilon\right)\right) \]

   11. tan-lowering-tan.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(\left(x + \varepsilon\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 61.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 61.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin x, -\frac{1}{\cos x}, \tan \left(x + \varepsilon\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \left(-1 + 1\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin x}{\cos x}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 0 \cdot \frac{\color{blue}{\sin x}}{\cos x} \]

   3. mul0-lft 5.2%

      \[\leadsto 0 \]

7. Simplified 5.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
8. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Developer Target 2: 62.7% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (- (/ (+ (tan x) (tan eps)) (- 1.0 (* (tan x) (tan eps)))) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return ((tan(x) + tan(eps)) / (1.0 - (tan(x) * tan(eps)))) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = ((tan(x) + tan(eps)) / (1.0d0 - (tan(x) * tan(eps)))) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return ((Math.tan(x) + Math.tan(eps)) / (1.0 - (Math.tan(x) * Math.tan(eps)))) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return ((math.tan(x) + math.tan(eps)) / (1.0 - (math.tan(x) * math.tan(eps)))) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(Float64(Float64(tan(x) + tan(eps)) / Float64(1.0 - Float64(tan(x) * tan(eps)))) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = ((tan(x) + tan(eps)) / (1.0 - (tan(x) * tan(eps)))) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Tan[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Developer Target 3: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \left(\varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* (* eps (tan x)) (tan x))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + ((eps * tan(x)) * tan(x));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + ((eps * tan(x)) * tan(x))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + ((eps * Math.tan(x)) * Math.tan(x));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + ((eps * math.tan(x)) * math.tan(x))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(Float64(eps * tan(x)) * tan(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + ((eps * tan(x)) * tan(x));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(N[(eps * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

  :alt
  (! :herbie-platform default (- (/ (+ (tan x) (tan eps)) (- 1 (* (tan x) (tan eps)))) (tan x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (+ eps (* eps (tan x) (tan x))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))