Sample trimmed logistic on [-pi, pi]

Percentage Accurate: 99.0% → 99.0%

Time: 22.7s

Alternatives: 12

Speedup: 0.4×

Specification

\[\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right) \land \left(0 \leq s \land s \leq 1.0651631\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{e^{0 - \frac{\pi}{s}} + 1}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{-1 + {t\_0}^{-3}}{{t\_0}^{-2} + \left(\frac{1}{t\_0} + 1\right)}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (+
          (/ (- 1.0 u) (+ (exp (/ PI s)) 1.0))
          (/ u (+ (exp (- 0.0 (/ PI s))) 1.0)))))
   (*
    (- s)
    (log (/ (+ -1.0 (pow t_0 -3.0)) (+ (pow t_0 -2.0) (+ (/ 1.0 t_0) 1.0)))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = ((1.0f - u) / (expf((((float) M_PI) / s)) + 1.0f)) + (u / (expf((0.0f - (((float) M_PI) / s))) + 1.0f));
	return -s * logf(((-1.0f + powf(t_0, -3.0f)) / (powf(t_0, -2.0f) + ((1.0f / t_0) + 1.0f))));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(exp(Float32(Float32(pi) / s)) + Float32(1.0))) + Float32(u / Float32(exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s))) + Float32(1.0))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(-1.0) + (t_0 ^ Float32(-3.0))) / Float32((t_0 ^ Float32(-2.0)) + Float32(Float32(Float32(1.0) / t_0) + Float32(1.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = ((single(1.0) - u) / (exp((single(pi) / s)) + single(1.0))) + (u / (exp((single(0.0) - (single(pi) / s))) + single(1.0)));
	tmp = -s * log(((single(-1.0) + (t_0 ^ single(-3.0))) / ((t_0 ^ single(-2.0)) + ((single(1.0) / t_0) + single(1.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\color{blue}{\frac{-\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]

8. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{-1 + {\left(\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}}\right)}^{-3}}{{\left(\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}}\right)}^{-2} + \left(1 + \frac{1}{\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}}}\right)}\right)} \]

9. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{-1 + {\left(\frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{e^{0 - \frac{\pi}{s}} + 1}\right)}^{-3}}{{\left(\frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{e^{0 - \frac{\pi}{s}} + 1}\right)}^{-2} + \left(\frac{1}{\frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{e^{0 - \frac{\pi}{s}} + 1}} + 1\right)}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{e^{0 - \frac{\pi}{s}} + 1}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (+
      (/ (- 1.0 u) (+ (exp (/ PI s)) 1.0))
      (/ u (+ (exp (- 0.0 (/ PI s))) 1.0))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / (((1.0f - u) / (expf((((float) M_PI) / s)) + 1.0f)) + (u / (expf((0.0f - (((float) M_PI) / s))) + 1.0f))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(exp(Float32(Float32(pi) / s)) + Float32(1.0))) + Float32(u / Float32(exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s))) + Float32(1.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / (((single(1.0) - u) / (exp((single(pi) / s)) + single(1.0))) + (u / (exp((single(0.0) - (single(pi) / s))) + single(1.0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\color{blue}{\frac{-\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]

7. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{e^{0 - \frac{\pi}{s}} + 1}}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u} + \left(-1 + \frac{e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* (- s) (log (+ (/ 1.0 u) (+ -1.0 (/ (exp (- 0.0 (/ PI s))) u))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf(((1.0f / u) + (-1.0f + (expf((0.0f - (((float) M_PI) / s))) / u))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / u) + Float32(Float32(-1.0) + Float32(exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s))) / u)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log(((single(1.0) / u) + (single(-1.0) + (exp((single(0.0) - (single(pi) / s))) / u))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

7. Simplified 92.7%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{-0.5 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s} - \pi}{s}\right)}}} + -1\right) \]

8. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(s \cdot \log \left(\left(\frac{1}{u} + \frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right) - 1\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(-1 \cdot s\right) \cdot \color{blue}{\log \left(\left(\frac{1}{u} + \frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right) - 1\right)} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot s\right), \color{blue}{\log \left(\left(\frac{1}{u} + \frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right) - 1\right)}\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \log \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{u} + \frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right) - 1\right)}\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{u} + \frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right) - 1\right)}\right) \]

   5. log-lowering-log.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\left(\frac{1}{u} + \frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right) - 1\right)\right)\right) \]

   6. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{u} + \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u} - 1\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{u}\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u} - 1\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, u\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u} - 1\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, u\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, u\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u} + -1\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 97.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u} + \left(\frac{e^{\frac{\pi}{-s}}}{u} + -1\right)\right)} \]

11. Final simplification 97.0%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u} + \left(-1 + \frac{e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 37.0% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + 1} + \frac{1 - u}{\left(\frac{\pi + \frac{0.16666666666666666 \cdot \frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s} + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.5}{s}}{s} + 1\right) + 1}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (+
      (/ u (+ 1.0 1.0))
      (/
       (- 1.0 u)
       (+
        (+
         (/
          (+
           PI
           (/
            (+
             (* 0.16666666666666666 (/ (* PI (* PI PI)) s))
             (* (* PI PI) 0.5))
            s))
          s)
         1.0)
        1.0))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / ((u / (1.0f + 1.0f)) + ((1.0f - u) / ((((((float) M_PI) + (((0.16666666666666666f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) / s)) + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * 0.5f)) / s)) / s) + 1.0f) + 1.0f))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + Float32(1.0))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(pi) + Float32(Float32(Float32(Float32(0.16666666666666666) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) / s)) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(0.5))) / s)) / s) + Float32(1.0)) + Float32(1.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / ((u / (single(1.0) + single(1.0))) + ((single(1.0) - u) / ((((single(pi) + (((single(0.16666666666666666) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) / s)) + ((single(pi) * single(pi)) * single(0.5))) / s)) / s) + single(1.0)) + single(1.0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 38.2%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + \color{blue}{1}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]

8. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, 1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, 1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, 1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, 1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, 1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

10. Simplified 37.4%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + 1} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\left(-\pi\right) - \frac{0.16666666666666666 \cdot \frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s} + 0.5 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s}}{s}\right)}}} + -1\right) \]

11. Final simplification 37.4%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + 1} + \frac{1 - u}{\left(\frac{\pi + \frac{0.16666666666666666 \cdot \frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s} + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.5}{s}}{s} + 1\right) + 1}}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 36.8% accurate, 3.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + 1} + \frac{1 - u}{\left(\frac{\pi - \frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.5}{s}}{s} + 1\right) + 1}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (+
      (/ u (+ 1.0 1.0))
      (/ (- 1.0 u) (+ (+ (/ (- PI (/ (* (* PI PI) -0.5) s)) s) 1.0) 1.0))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / ((u / (1.0f + 1.0f)) + ((1.0f - u) / ((((((float) M_PI) - (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -0.5f) / s)) / s) + 1.0f) + 1.0f))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + Float32(1.0))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(pi) - Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-0.5)) / s)) / s) + Float32(1.0)) + Float32(1.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / ((u / (single(1.0) + single(1.0))) + ((single(1.0) - u) / ((((single(pi) - (((single(pi) * single(pi)) * single(-0.5)) / s)) / s) + single(1.0)) + single(1.0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

7. Simplified 92.7%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{-0.5 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s} - \pi}{s}\right)}}} + -1\right) \]

8. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 37.1%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + \color{blue}{1}} + \frac{1 - u}{1 + \left(1 - \frac{\frac{-0.5 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s} - \pi}{s}\right)}} + -1\right) \]

11. Final simplification 37.1%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + 1} + \frac{1 - u}{\left(\frac{\pi - \frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.5}{s}}{s} + 1\right) + 1}}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 36.3% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + 1} + \frac{1 - u}{\left(\frac{\pi}{s} + 1\right) + 1}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/ 1.0 (+ (/ u (+ 1.0 1.0)) (/ (- 1.0 u) (+ (+ (/ PI s) 1.0) 1.0))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / ((u / (1.0f + 1.0f)) + ((1.0f - u) / (((((float) M_PI) / s) + 1.0f) + 1.0f))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + Float32(1.0))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(Float32(Float32(pi) / s) + Float32(1.0)) + Float32(1.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / ((u / (single(1.0) + single(1.0))) + ((single(1.0) - u) / (((single(pi) / s) + single(1.0)) + single(1.0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 38.2%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + \color{blue}{1}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]

8. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, 1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, 1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, 1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 36.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, 1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

10. Simplified 36.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + 1} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 + \frac{\pi}{s}\right)}}} + -1\right) \]

11. Final simplification 36.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + 1} + \frac{1 - u}{\left(\frac{\pi}{s} + 1\right) + 1}}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 25.0% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{4 \cdot \left(-0.25 \cdot \left(u \cdot \pi - \pi\right)\right)}{s} + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* (- s) (log (+ (/ (* 4.0 (* -0.25 (- (* u PI) PI))) s) 1.0))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((((4.0f * (-0.25f * ((u * ((float) M_PI)) - ((float) M_PI)))) / s) + 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(Float32(4.0) * Float32(Float32(-0.25) * Float32(Float32(u * Float32(pi)) - Float32(pi)))) / s) + Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((((single(4.0) * (single(-0.25) * ((u * single(pi)) - single(pi)))) / s) + single(1.0)));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 38.2%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + \color{blue}{1}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]

8. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + 4 \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \frac{4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{4}, \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{\_.f32}\left(\left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 25.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 25.5%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \frac{4 \cdot \left(-0.25 \cdot \left(\pi \cdot u - \pi\right)\right)}{s}\right)} \]

11. Final simplification 25.5%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{4 \cdot \left(-0.25 \cdot \left(u \cdot \pi - \pi\right)\right)}{s} + 1\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 13.9% accurate, 21.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{s \cdot \left(-s\right)}{s} \cdot \frac{-4 \cdot \left(\pi \cdot -0.25 + 0.5 \cdot \left(u \cdot \pi\right)\right)}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* (/ (* s (- s)) s) (/ (* -4.0 (+ (* PI -0.25) (* 0.5 (* u PI)))) s)))

C

float code(float u, float s) {
	return ((s * -s) / s) * ((-4.0f * ((((float) M_PI) * -0.25f) + (0.5f * (u * ((float) M_PI))))) / s);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(s * Float32(-s)) / s) * Float32(Float32(Float32(-4.0) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(-0.25)) + Float32(Float32(0.5) * Float32(u * Float32(pi))))) / s))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = ((s * -s) / s) * ((single(-4.0) * ((single(pi) * single(-0.25)) + (single(0.5) * (u * single(pi))))) / s);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}}{s}\right)}\right) \]

7. Simplified 12.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -4 + \frac{\left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -16\right) + \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 16\right) \cdot 0.5}{s}}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - s\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right)}, s\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right)}, s\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)}, -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   4. +-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 - s \cdot \left(s + 0\right)}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 - \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{-4}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   6. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 - \left(0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{-4}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 - \left(0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)}{s + 0}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \color{blue}{\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)}\right), s\right)\right) \]

   8. +-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 - \left(0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)}{s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \color{blue}{\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)}\right), s\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 - \left(0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right)}, s\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   11. +-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{-4}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   12. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot \left(s + 0\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{-4}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   13. +-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 14.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{-4}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 14.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0 - s \cdot s}{s}} \cdot \frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -4 + \frac{\left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -16\right) + \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 16\right) \cdot 0.5}{s}}{s} \]

10. Taylor expanded in s around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(-4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, s\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    5. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right), \left(\left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 14.5%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), s\right)\right) \]

12. Simplified 14.5%

    \[\leadsto \frac{0 - s \cdot s}{s} \cdot \frac{\color{blue}{-4 \cdot \left(\pi \cdot -0.25 + \left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5\right)}}{s} \]

13. Final simplification 14.5%

    \[\leadsto \frac{s \cdot \left(-s\right)}{s} \cdot \frac{-4 \cdot \left(\pi \cdot -0.25 + 0.5 \cdot \left(u \cdot \pi\right)\right)}{s} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 9: 13.7% accurate, 33.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{s \cdot s}{s} \cdot \frac{\frac{0}{s} - \pi}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (/ (* s s) s) (/ (- (/ 0.0 s) PI) s)))

C

float code(float u, float s) {
	return ((s * s) / s) * (((0.0f / s) - ((float) M_PI)) / s);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(s * s) / s) * Float32(Float32(Float32(Float32(0.0) / s) - Float32(pi)) / s))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = ((s * s) / s) * (((single(0.0) / s) - single(pi)) / s);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}}{s}\right)}\right) \]

7. Simplified 12.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -4 + \frac{\left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -16\right) + \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 16\right) \cdot 0.5}{s}}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - s\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right)}, s\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right)}, s\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)}, -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   4. +-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 - s \cdot \left(s + 0\right)}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 - \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{-4}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   6. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 - \left(0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{-4}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 - \left(0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)}{s + 0}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \color{blue}{\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)}\right), s\right)\right) \]

   8. +-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 - \left(0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)}{s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \color{blue}{\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)}\right), s\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 - \left(0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right)}, s\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(0 + \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   11. +-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot s + 0 \cdot s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{-4}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   12. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot \left(s + 0\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{-4}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   13. +-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 14.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{-4}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -16\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 16\right)\right), \frac{1}{2}\right), s\right)\right), s\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 14.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0 - s \cdot s}{s}} \cdot \frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -4 + \frac{\left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -16\right) + \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 16\right) \cdot 0.5}{s}}{s} \]

10. Taylor expanded in u around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{-1 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right)}, s\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{\frac{1}{2} \cdot \left(-1 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{s}\right), s\right)\right) \]

    2. distribute-lft1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\left(-1 + 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{s}\right), s\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{\frac{1}{2} \cdot \left(0 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{s}\right), s\right)\right) \]

    4. mul0-lft N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{\frac{1}{2} \cdot 0}{s}\right), s\right)\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{0}{s}\right), s\right)\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{0 - 0}{s}\right), s\right)\right) \]

    7. mul0-rgt N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{0 - {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot 0}{s}\right), s\right)\right) \]

    8. mul0-rgt N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{\left(u \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot 0 - {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot 0}{s}\right), s\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{\left(u \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{8}\right) - {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot 0}{s}\right), s\right)\right) \]

    10. distribute-rgt-out N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{\left(\frac{-1}{8} \cdot \left(u \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{8} \cdot \left(u \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) - {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot 0}{s}\right), s\right)\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{\left(\frac{-1}{8} \cdot \left(u \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{8} \cdot \left(u \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) - {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{8}\right)}{s}\right), s\right)\right) \]

    12. distribute-rgt-out N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{\left(\frac{-1}{8} \cdot \left(u \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{8} \cdot \left(u \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) - \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{s}\right), s\right)\right) \]

    13. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{\left(\frac{-1}{8} \cdot \left(u \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{8} \cdot \left(u \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) - \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{s}\right)\right), s\right)\right) \]

12. Simplified 14.3%

    \[\leadsto \frac{0 - s \cdot s}{s} \cdot \frac{\color{blue}{\pi + \frac{0}{s}}}{s} \]

13. Final simplification 14.3%

    \[\leadsto \frac{s \cdot s}{s} \cdot \frac{\frac{0}{s} - \pi}{s} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 10: 11.4% accurate, 61.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ u \cdot \left(\pi \cdot 2\right) - \pi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- (* u (* PI 2.0)) PI))

C

float code(float u, float s) {
	return (u * (((float) M_PI) * 2.0f)) - ((float) M_PI);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(u * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0))) - Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = (u * (single(pi) * single(2.0))) - single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\color{blue}{\frac{-\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]

8. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{-1 + {\left(\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}}\right)}^{-3}}{{\left(\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}}\right)}^{-2} + \left(1 + \frac{1}{\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}}}\right)}\right)} \]

9. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-64}{7} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{-1}{7} \cdot \left(4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + 16 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{-64}{7} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{7} \cdot \left(4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + 16 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-64}{7} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{7} \cdot \left(4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + 16 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

11. Simplified 12.1%

    \[\leadsto \color{blue}{-9.142857142857142 \cdot \left(\left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot -0.25 + \pi \cdot 0.25\right) + \left(\pi \cdot u\right) \cdot -0.25\right) \cdot 0.75\right) + \left(\left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot -0.25 + \pi \cdot 0.25\right) + \left(\pi \cdot u\right) \cdot -0.25\right) \cdot 20\right) \cdot 0.14285714285714285} \]

12. Taylor expanded in u around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-12}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{5}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + u \cdot \left(\frac{-10}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{24}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \left(\frac{-12}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{5}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{u \cdot \left(\frac{-10}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{24}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    2. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-12}{7} + \frac{5}{7}\right) + \color{blue}{u} \cdot \left(\frac{-10}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{24}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -1 + u \cdot \left(\frac{-10}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{24}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{u} \cdot \left(\frac{-10}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{24}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(u \cdot \left(\frac{-10}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{24}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

    6. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{u} \cdot \left(\frac{-10}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{24}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    7. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{u} \cdot \left(\frac{-10}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{24}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    8. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(u \cdot \left(\frac{-10}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{24}{7} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    9. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-10}{7} + \frac{24}{7}\right)}\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(u \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f32 12.1%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right) \]

14. Simplified 12.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-\pi\right) + u \cdot \left(\pi \cdot 2\right)} \]

15. Final simplification 12.1%

    \[\leadsto u \cdot \left(\pi \cdot 2\right) - \pi \]
16. Add Preprocessing

Alternative 11: 11.2% accurate, 216.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -\pi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- PI))

C

float code(float u, float s) {
	return -((float) M_PI);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(-Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 11.9%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

7. Simplified 11.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-\pi} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 12: 10.3% accurate, 433.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 0.0)

C

float code(float u, float s) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(u, s)
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: s
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(u, s)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}}{s}\right)}\right) \]

7. Simplified 12.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -4 + \frac{\left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -16\right) + \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 16\right) \cdot 0.5}{s}}{s}} \]

8. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + 16 \cdot {\left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{s}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(-16 \cdot {\left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + 16 \cdot {\left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)}{\color{blue}{s}} \]

   2. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot \left({\left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot \left(-16 + 16\right)\right)}{s} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot \left({\left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot 0\right)}{s} \]

   4. mul0-rgt N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot 0}{s} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{0}{s} \]

   6. /-lowering-/.f32 10.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(0, \color{blue}{s}\right) \]

10. Simplified 10.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{0}{s}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. div0 10.1%

       \[\leadsto 0 \]

12. Applied egg-rr 10.1%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (u s)
  :name "Sample trimmed logistic on [-pi, pi]"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)) (and (<= 0.0 s) (<= s 1.0651631)))
  (* (- s) (log (- (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) 1.0))))