Beckmann Sample, near normal, slope_y

Percentage Accurate: 57.1% → 98.3%

Time: 18.0s

Alternatives: 19

Speedup: 2.9×

Specification

\[\left(\left(cosTheta\_i > 0.9999 \land cosTheta\_i \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * sinf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * sin(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * sin(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Initial Program: 57.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * sinf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * sin(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * sin(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Alternative 1: 98.3% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{log1p}\left(u1\right) - \mathsf{log1p}\left(u1 \cdot \left(-u1\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sin (* 2.0 (* u2 PI))) (sqrt (- (log1p u1) (log1p (* u1 (- u1)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sinf((2.0f * (u2 * ((float) M_PI)))) * sqrtf((log1pf(u1) - log1pf((u1 * -u1))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(u2 * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(log1p(u1) - log1p(Float32(u1 * Float32(-u1))))))
end

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 91.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\log \left(-\left(u1 \cdot u1 + -1\right)\right) - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Taylor expanded in u2 around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\log \left(1 + u1\right) - \log \left(1 - {u1}^{2}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\log \left(1 + u1\right) - \log \left(1 - {u1}^{2}\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\log \left(1 + u1\right) - \log \left(1 - {u1}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\log \left(1 + u1\right)} - \log \left(1 - {u1}^{2}\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\log \left(1 + u1\right) - \log \left(1 - {u1}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\log \left(1 + u1\right) - \log \left(1 - {u1}^{2}\right)}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\log \left(1 + u1\right) - \log \left(1 - {u1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\log \left(1 + u1\right), \log \left(1 - {u1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(u1\right), \log \left(1 - {u1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(u1\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left({u1}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(u1\right), \log \left(1 + -1 \cdot {u1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(u1\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(-1 \cdot {u1}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(u1\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left({u1}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(u1\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(0 - {u1}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(u1\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left({u1}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(u1\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(u1 \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(u1\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{log1p}\left(u1\right) - \mathsf{log1p}\left(0 - u1 \cdot u1\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(u1\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(0 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(u1\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(u1\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right), u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(u1\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right), u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \sin \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{log1p}\left(u1\right) - \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(-u1\right) \cdot u1}\right)} \]

10. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{log1p}\left(u1\right) - \mathsf{log1p}\left(u1 \cdot \left(-u1\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sin (* 2.0 (* u2 PI))) (sqrt (- (log1p (- u1))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sinf((2.0f * (u2 * ((float) M_PI)))) * sqrtf(-log1pf(-u1));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(u2 * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))))
end

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto \sin \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.3% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.04050000011920929:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot -0.25\right)\right) + 1\right) + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(-0.5 + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot -0.25\right)\right)\right)} \cdot \sin t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.04050000011920929)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI))))))
     (*
      (sqrt
       (+
        (*
         u1
         (+ (* u1 (+ -0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 -0.25))))) 1.0))
        (*
         (* u1 u1)
         (-
          1.0
          (*
           (* u1 u1)
           (+
            -0.5
            (* (* u1 u1) (+ -0.3333333333333333 (* (* u1 u1) -0.25)))))))))
      (sin t_0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.04050000011920929f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sqrtf(((u1 * ((u1 * (-0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * -0.25f))))) + 1.0f)) + ((u1 * u1) * (1.0f - ((u1 * u1) * (-0.5f + ((u1 * u1) * (-0.3333333333333333f + ((u1 * u1) * -0.25f))))))))) * sinf(t_0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.04050000011920929))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(-0.25)))))) + Float32(1.0))) + Float32(Float32(u1 * u1) * Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(u1 * u1) * Float32(Float32(-0.5) + Float32(Float32(u1 * u1) * Float32(Float32(-0.3333333333333333) + Float32(Float32(u1 * u1) * Float32(-0.25)))))))))) * sin(t_0));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0405000001

   1. Initial program 56.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3} + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left({u2}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.0405000001 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 50.9%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 91.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\log \left(-\left(u1 \cdot u1 + -1\right)\right) - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{-1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{-1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 89.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 89.8%

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\log \left(-\left(u1 \cdot u1 + -1\right)\right) - \color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot -0.25\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left({u1}^{2} \cdot \left({u1}^{2} \cdot \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{2}\right), \left({u1}^{2} \cdot \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \left({u1}^{2} \cdot \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left({u1}^{2} \cdot \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left({u1}^{2} \cdot \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left({u1}^{2} \cdot \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(-1 + {u1}^{2} \cdot \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \left({u1}^{2} \cdot \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{2}\right), \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\frac{-1}{2} + {u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{2}\right), \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u1 \cdot u1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      20. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      21. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 95.9%

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(-1 + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(-0.5 + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot -0.25\right)\right)\right)} - u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.04050000011920929:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot -0.25\right)\right) + 1\right) + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(-0.5 + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot -0.25\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.3% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.04050000011920929:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot -0.25\right)\right) + 1\right) + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(1 - u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(-0.5 + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.04050000011920929)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI))))))
     (*
      (sin t_0)
      (sqrt
       (+
        (*
         u1
         (+ (* u1 (+ -0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 -0.25))))) 1.0))
        (*
         (* u1 u1)
         (-
          1.0
          (* u1 (* u1 (+ -0.5 (* (* u1 u1) -0.3333333333333333))))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.04050000011920929f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf(((u1 * ((u1 * (-0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * -0.25f))))) + 1.0f)) + ((u1 * u1) * (1.0f - (u1 * (u1 * (-0.5f + ((u1 * u1) * -0.3333333333333333f))))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.04050000011920929))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(-0.25)))))) + Float32(1.0))) + Float32(Float32(u1 * u1) * Float32(Float32(1.0) - Float32(u1 * Float32(u1 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(Float32(u1 * u1) * Float32(-0.3333333333333333))))))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0405000001

   1. Initial program 56.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3} + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left({u2}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.0405000001 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 50.9%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 91.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\log \left(-\left(u1 \cdot u1 + -1\right)\right) - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{-1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{-1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 89.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 89.8%

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\log \left(-\left(u1 \cdot u1 + -1\right)\right) - \color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot -0.25\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left({u1}^{2} \cdot \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{2}\right), \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(-1 + {u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \left({u1}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{-1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{-1}{3} \cdot {u1}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left({u1}^{2} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{2}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f32 95.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 95.9%

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(-1 + u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(-0.5 + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} - u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.04050000011920929:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot -0.25\right)\right) + 1\right) + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(1 - u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(-0.5 + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.04050000011920929:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1 + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.04050000011920929)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI))))))
     (*
      (sin t_0)
      (sqrt
       (+
        u1
        (* (* u1 u1) (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25)))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.04050000011920929f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf((u1 + ((u1 * u1) * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.04050000011920929))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(Float32(u1 + Float32(Float32(u1 * u1) * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0405000001

   1. Initial program 56.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3} + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left({u2}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.0405000001 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 50.9%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 95.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right) + 1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \cdot u1 + 1 \cdot u1\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \cdot u1 + u1\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \cdot u1\right), u1\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 95.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right) + u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.04050000011920929:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.04050000011920929:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.04050000011920929)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI))))))
     (*
      (sin t_0)
      (sqrt
       (*
        u1
        (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))) 1.0)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.04050000011920929f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))) + 1.0f)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.04050000011920929))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))) + Float32(1.0)))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0405000001

   1. Initial program 56.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3} + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left({u2}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.0405000001 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 50.9%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 95.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.04050000011920929:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.9% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.04050000011920929:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.04050000011920929)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI))))))
     (*
      (sin t_0)
      (sqrt (* u1 (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))) 1.0)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.04050000011920929f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))) + 1.0f)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.04050000011920929))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))) + Float32(1.0)))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0405000001

   1. Initial program 56.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3} + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left({u2}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.0405000001 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 50.9%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 94.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.0%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.04050000011920929:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 95.5% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.0010000000474974513:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.0010000000474974513)
     (* (* 2.0 (* u2 PI)) (sqrt (- (log1p (- u1)))))
     (*
      (sin t_0)
      (sqrt (* u1 (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))) 1.0)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.0010000000474974513f) {
		tmp = (2.0f * (u2 * ((float) M_PI))) * sqrtf(-log1pf(-u1));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))) + 1.0f)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.0010000000474974513))
		tmp = Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(u2 * Float32(pi))) * sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))) + Float32(1.0)))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00100000005

   1. Initial program 58.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      3. PI-lowering-PI.f32 98.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.00100000005 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 50.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 94.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.1%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0010000000474974513:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 94.3% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.0020000000949949026:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.0020000000949949026)
     (* (* 2.0 (* u2 PI)) (sqrt (- (log1p (- u1)))))
     (* (sin t_0) (sqrt (* u1 (+ (* u1 0.5) 1.0)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.0020000000949949026f) {
		tmp = (2.0f * (u2 * ((float) M_PI))) * sqrtf(-log1pf(-u1));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf((u1 * ((u1 * 0.5f) + 1.0f)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.0020000000949949026))
		tmp = Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(u2 * Float32(pi))) * sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(0.5)) + Float32(1.0)))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00200000009

   1. Initial program 57.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      3. PI-lowering-PI.f32 98.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.00200000009 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 51.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 90.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.1%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0020000000949949026:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 90.1% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.20000000298023224)
     (*
      (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI)))))
      (sqrt
       (*
        u1
        (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))) 1.0))))
     (* (sin t_0) (sqrt u1)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.20000000298023224f) {
		tmp = (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))) + 1.0f)));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.20000000298023224))
		tmp = Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))) + Float32(1.0)))));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = u2 * (single(2.0) * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(0.20000000298023224))
		tmp = (u2 * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((u1 * ((u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))) + single(1.0))));
	else
		tmp = sin(t_0) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.200000003

   1. Initial program 56.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3} + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left({u2}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 93.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 93.5%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   if 0.200000003 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 45.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 82.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 91.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 83.0% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0020000000949949026:\\ \;\;\;\;u2 \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (* u2 (* 2.0 PI)) 0.0020000000949949026)
   (*
    u2
    (*
     (* 2.0 PI)
     (sqrt
      (*
       u1
       (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))) 1.0)))))
   (*
    (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI)))))
    (sqrt (* u1 (+ (* u1 0.5) 1.0))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))) <= 0.0020000000949949026f) {
		tmp = u2 * ((2.0f * ((float) M_PI)) * sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))) + 1.0f))));
	} else {
		tmp = (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((u1 * ((u1 * 0.5f) + 1.0f)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) <= Float32(0.0020000000949949026))
		tmp = Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))) + Float32(1.0))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(0.5)) + Float32(1.0)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if ((u2 * (single(2.0) * single(pi))) <= single(0.0020000000949949026))
		tmp = u2 * ((single(2.0) * single(pi)) * sqrt((u1 * ((u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))) + single(1.0)))));
	else
		tmp = (u2 * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((u1 * ((u1 * single(0.5)) + single(1.0))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00200000009

   1. Initial program 57.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 93.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 93.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto 2 \cdot \left(\left(\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(2 \cdot \left(\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u2} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto u2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 93.4%

      \[\leadsto \color{blue}{u2 \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\right)} \]

   if 0.00200000009 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 51.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3} + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left({u2}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 69.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 69.5%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0020000000949949026:\\ \;\;\;\;u2 \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 84.4% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI)))))
  (sqrt
   (* u1 (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))) 1.0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))) + 1.0f)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))) + Float32(1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (u2 * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((u1 * ((u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))) + single(1.0))));
end

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3} + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left({u2}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right) \]

   8. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 89.0%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 85.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 85.5%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

11. Final simplification 85.5%

    \[\leadsto \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 13: 81.0% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.005499999970197678:\\ \;\;\;\;u2 \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (* u2 (* 2.0 PI)) 0.005499999970197678)
   (*
    u2
    (*
     (* 2.0 PI)
     (sqrt
      (*
       u1
       (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))) 1.0)))))
   (*
    (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI)))))
    (sqrt u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))) <= 0.005499999970197678f) {
		tmp = u2 * ((2.0f * ((float) M_PI)) * sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))) + 1.0f))));
	} else {
		tmp = (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) <= Float32(0.005499999970197678))
		tmp = Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))) + Float32(1.0))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if ((u2 * (single(2.0) * single(pi))) <= single(0.005499999970197678))
		tmp = u2 * ((single(2.0) * single(pi)) * sqrt((u1 * ((u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))) + single(1.0)))));
	else
		tmp = (u2 * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00549999997

   1. Initial program 57.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 94.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.0%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto 2 \cdot \left(\left(\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(2 \cdot \left(\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u2} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto u2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 93.0%

      \[\leadsto \color{blue}{u2 \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\right)} \]

   if 0.00549999997 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 50.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3} + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left({u2}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 70.8%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 61.1%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 82.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.005499999970197678:\\ \;\;\;\;u2 \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 82.9% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI)))))
  (sqrt (* u1 (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))) 1.0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))) + 1.0f)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))) + Float32(1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (u2 * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((u1 * ((u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333)))) + single(1.0))));
end

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3} + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left({u2}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right) \]

   8. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 89.0%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 84.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 84.0%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

11. Final simplification 84.0%

    \[\leadsto \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 15: 79.9% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.005499999970197678:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (* u2 (* 2.0 PI)) 0.005499999970197678)
   (*
    (* 2.0 (* u2 PI))
    (sqrt (* u1 (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))) 1.0))))
   (*
    (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI)))))
    (sqrt u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))) <= 0.005499999970197678f) {
		tmp = (2.0f * (u2 * ((float) M_PI))) * sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))) + 1.0f)));
	} else {
		tmp = (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) <= Float32(0.005499999970197678))
		tmp = Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(u2 * Float32(pi))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))) + Float32(1.0)))));
	else
		tmp = Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if ((u2 * (single(2.0) * single(pi))) <= single(0.005499999970197678))
		tmp = (single(2.0) * (u2 * single(pi))) * sqrt((u1 * ((u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333)))) + single(1.0))));
	else
		tmp = (u2 * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00549999997

   1. Initial program 57.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 91.1%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\log \left(-\left(u1 \cdot u1 + -1\right)\right) - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      3. PI-lowering-PI.f32 90.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 90.7%

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\log \left(-\left(u1 \cdot u1 + -1\right)\right) - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 91.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 91.1%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \]

   if 0.00549999997 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 50.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3} + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left({u2}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 70.8%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 61.1%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 80.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.005499999970197678:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 77.5% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0027000000700354576:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (* u2 (* 2.0 PI)) 0.0027000000700354576)
   (* (* 2.0 (* u2 PI)) (sqrt (* u1 (+ (* u1 0.5) 1.0))))
   (*
    (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI)))))
    (sqrt u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))) <= 0.0027000000700354576f) {
		tmp = (2.0f * (u2 * ((float) M_PI))) * sqrtf((u1 * ((u1 * 0.5f) + 1.0f)));
	} else {
		tmp = (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) <= Float32(0.0027000000700354576))
		tmp = Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(u2 * Float32(pi))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(0.5)) + Float32(1.0)))));
	else
		tmp = Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if ((u2 * (single(2.0) * single(pi))) <= single(0.0027000000700354576))
		tmp = (single(2.0) * (u2 * single(pi))) * sqrt((u1 * ((u1 * single(0.5)) + single(1.0))));
	else
		tmp = (u2 * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00270000007

   1. Initial program 57.5%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 91.1%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\log \left(-\left(u1 \cdot u1 + -1\right)\right) - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      3. PI-lowering-PI.f32 91.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 91.0%

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\log \left(-\left(u1 \cdot u1 + -1\right)\right) - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 87.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 87.7%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \]

   if 0.00270000007 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 50.5%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3} + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) + \color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left({u2}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 72.3%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 62.2%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0027000000700354576:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 73.8% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (* 2.0 (* u2 PI)) (sqrt (* u1 (+ (* u1 0.5) 1.0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (2.0f * (u2 * ((float) M_PI))) * sqrtf((u1 * ((u1 * 0.5f) + 1.0f)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(u2 * Float32(pi))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(0.5)) + Float32(1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (single(2.0) * (u2 * single(pi))) * sqrt((u1 * ((u1 * single(0.5)) + single(1.0))));
end

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 91.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\log \left(-\left(u1 \cdot u1 + -1\right)\right) - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 76.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 76.2%

   \[\leadsto \sqrt{-\left(\log \left(-\left(u1 \cdot u1 + -1\right)\right) - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 73.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 73.8%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \]

11. Final simplification 73.8%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 18: 66.0% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(u2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot {\left(u1 \cdot u1\right)}^{0.25}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (* u2 PI) (* 2.0 (pow (* u1 u1) 0.25))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (u2 * ((float) M_PI)) * (2.0f * powf((u1 * u1), 0.25f));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(u2 * Float32(pi)) * Float32(Float32(2.0) * (Float32(u1 * u1) ^ Float32(0.25))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (u2 * single(pi)) * (single(2.0) * ((u1 * u1) ^ single(0.25)));
end

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 78.0%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\sqrt{u1}\right)\right), \left(\color{blue}{u2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 66.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 66.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left({u1}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left({u1}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot {u1}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left({\left(u1 \cdot u1\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{pow.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval 66.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \frac{1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 66.4%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \color{blue}{{\left(u1 \cdot u1\right)}^{0.25}}\right) \cdot \left(u2 \cdot \pi\right) \]

11. Final simplification 66.4%

    \[\leadsto \left(u2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot {\left(u1 \cdot u1\right)}^{0.25}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 19: 66.0% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(u2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2) :precision binary32 (* (* u2 PI) (* 2.0 (sqrt u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (u2 * ((float) M_PI)) * (2.0f * sqrtf(u1));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(u2 * Float32(pi)) * Float32(Float32(2.0) * sqrt(u1)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (u2 * single(pi)) * (single(2.0) * sqrt(u1));
end

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 78.0%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\sqrt{u1}\right)\right), \left(\color{blue}{u2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 66.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 66.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)} \]

9. Final simplification 66.4%

   \[\leadsto \left(u2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \]
10. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u1) (<= u1 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u2) (<= u2 1.0)))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))