Disney BSSRDF, PDF of scattering profile

Percentage Accurate: 99.6% → 99.5%

Time: 20.1s

Alternatives: 22

Speedup: N/A×

Specification

\[\left(0 \leq s \land s \leq 256\right) \land \left(10^{-6} < r \land r < 1000000\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (+
  (/ (* 0.25 (exp (/ (- r) s))) (* (* (* 2.0 PI) s) r))
  (/ (* 0.75 (exp (/ (- r) (* 3.0 s)))) (* (* (* 6.0 PI) s) r))))

C

float code(float s, float r) {
	return ((0.25f * expf((-r / s))) / (((2.0f * ((float) M_PI)) * s) * r)) + ((0.75f * expf((-r / (3.0f * s)))) / (((6.0f * ((float) M_PI)) * s) * r));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(0.25) * exp(Float32(Float32(-r) / s))) / Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * s) * r)) + Float32(Float32(Float32(0.75) * exp(Float32(Float32(-r) / Float32(Float32(3.0) * s)))) / Float32(Float32(Float32(Float32(6.0) * Float32(pi)) * s) * r)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((single(0.25) * exp((-r / s))) / (((single(2.0) * single(pi)) * s) * r)) + ((single(0.75) * exp((-r / (single(3.0) * s)))) / (((single(6.0) * single(pi)) * s) * r));
end

Initial Program: 99.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (+
  (/ (* 0.25 (exp (/ (- r) s))) (* (* (* 2.0 PI) s) r))
  (/ (* 0.75 (exp (/ (- r) (* 3.0 s)))) (* (* (* 6.0 PI) s) r))))

C

float code(float s, float r) {
	return ((0.25f * expf((-r / s))) / (((2.0f * ((float) M_PI)) * s) * r)) + ((0.75f * expf((-r / (3.0f * s)))) / (((6.0f * ((float) M_PI)) * s) * r));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(0.25) * exp(Float32(Float32(-r) / s))) / Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * s) * r)) + Float32(Float32(Float32(0.75) * exp(Float32(Float32(-r) / Float32(Float32(3.0) * s)))) / Float32(Float32(Float32(Float32(6.0) * Float32(pi)) * s) * r)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((single(0.25) * exp((-r / s))) / (((single(2.0) * single(pi)) * s) * r)) + ((single(0.75) * exp((-r / (single(3.0) * s)))) / (((single(6.0) * single(pi)) * s) * r));
end

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\frac{s \cdot \pi}{0.125}}}{r} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (/ (+ (exp (/ r (- s))) (exp (/ (/ r s) -3.0))) (/ (* s PI) 0.125)) r))

C

float code(float s, float r) {
	return ((expf((r / -s)) + expf(((r / s) / -3.0f))) / ((s * ((float) M_PI)) / 0.125f)) / r;
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(exp(Float32(r / Float32(-s))) + exp(Float32(Float32(r / s) / Float32(-3.0)))) / Float32(Float32(s * Float32(pi)) / Float32(0.125))) / r)
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((exp((r / -s)) + exp(((r / s) / single(-3.0)))) / ((s * single(pi)) / single(0.125))) / r;
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{r}{\frac{1}{8}}} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{r}{\frac{1}{8}}}} \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\frac{r}{\frac{1}{8}}} \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\frac{\color{blue}{r}}{\frac{1}{8}}} \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{\color{blue}{r}}{\frac{1}{8}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{r}{\frac{1}{8}}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{s \cdot \pi}}{\frac{r}{0.125}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\color{blue}{\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right), \color{blue}{\left(\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(e^{0 - \frac{r}{s}}\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{r}{\frac{1}{8}}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \left(\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)\right)\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{r}}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{r}{s}\right)\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \left(\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{r}{s}\right)\right)\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \left(\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \left(\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\frac{r}{s}}{-3}\right)\right)\right), \left(\frac{r}{\color{blue}{\frac{1}{8}}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{r}{s}\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{8}}{r}} \cdot \left(\color{blue}{s} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{1 \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}}\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{1 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot s\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{\left(1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot s}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{8}}}{r}}\right)\right) \]

   16. *-un-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot s}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{8}}}{r}}\right)\right) \]

   18. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{8}}{r}\right)}\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\frac{s \cdot \pi}{\frac{0.125}{r}}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{1}{8}} \cdot \color{blue}{r}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{1}{8}}}}{\color{blue}{r}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{1}{8}}}\right), \color{blue}{r}\right) \]

10. Applied egg-rr 99.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\frac{s \cdot \pi}{0.125}}}{r}} \]

11. Final simplification 99.8%

    \[\leadsto \frac{\frac{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\frac{s \cdot \pi}{0.125}}}{r} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{s}}{\frac{\pi}{\frac{0.125}{r}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (/ (+ (exp (/ r (- s))) (exp (/ (/ r s) -3.0))) s) (/ PI (/ 0.125 r))))

C

float code(float s, float r) {
	return ((expf((r / -s)) + expf(((r / s) / -3.0f))) / s) / (((float) M_PI) / (0.125f / r));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(exp(Float32(r / Float32(-s))) + exp(Float32(Float32(r / s) / Float32(-3.0)))) / s) / Float32(Float32(pi) / Float32(Float32(0.125) / r)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((exp((r / -s)) + exp(((r / s) / single(-3.0)))) / s) / (single(pi) / (single(0.125) / r));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{r}{\frac{1}{8}}} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{r}{\frac{1}{8}}}} \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\frac{r}{\frac{1}{8}}} \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\frac{\color{blue}{r}}{\frac{1}{8}}} \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{\color{blue}{r}}{\frac{1}{8}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{r}{\frac{1}{8}}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{s \cdot \pi}}{\frac{r}{0.125}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\color{blue}{\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right), \color{blue}{\left(\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(e^{0 - \frac{r}{s}}\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{r}{\frac{1}{8}}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \left(\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)\right)\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{r}}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{r}{s}\right)\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \left(\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{r}{s}\right)\right)\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \left(\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \left(\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\frac{r}{s}}{-3}\right)\right)\right), \left(\frac{r}{\color{blue}{\frac{1}{8}}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{r}{s}\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{r}{\frac{1}{8}} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{8}}{r}} \cdot \left(\color{blue}{s} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{1 \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}}\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{1 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot s\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{\left(1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot s}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{8}}}{r}}\right)\right) \]

   16. *-un-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot s}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \left(\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{8}}}{r}}\right)\right) \]

   18. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{8}}{r}\right)}\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\frac{s \cdot \pi}{\frac{0.125}{r}}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{s \cdot \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{s}}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{s}\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right), s\right), \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(e^{0 - \frac{r}{s}}\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), s\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}\right)\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), s\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}\right)\right) \]

   7. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)\right)\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), s\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}\right)\right) \]

   8. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(r\right)}{s}\right)\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), s\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(r\right)\right), s\right)\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), s\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}\right)\right) \]

   10. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \left(e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), s\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}\right)\right) \]

   11. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\frac{r}{s}}{-3}\right)\right)\right), s\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{r}{s}\right), -3\right)\right)\right), s\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), s\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r}}\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{8}}{r}\right)}\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{8}}}{r}\right)\right)\right) \]

   16. /-lowering-/.f32 99.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{r}\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{s}}{\frac{\pi}{\frac{0.125}{r}}}} \]

11. Final simplification 99.8%

    \[\leadsto \frac{\frac{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{s}}{\frac{\pi}{\frac{0.125}{r}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 75.1% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{r \cdot \left(\frac{1}{s} + r \cdot \left(\frac{0.5}{s \cdot s} + \frac{r \cdot 0.16666666666666666}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)\right) + 1}}{r}}{s \cdot \pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   (+
    (* 0.125 (exp (* (/ r s) -0.3333333333333333)))
    (/
     0.125
     (+
      (*
       r
       (+
        (/ 1.0 s)
        (* r (+ (/ 0.5 (* s s)) (/ (* r 0.16666666666666666) (* s (* s s)))))))
      1.0)))
   r)
  (* s PI)))

C

float code(float s, float r) {
	return (((0.125f * expf(((r / s) * -0.3333333333333333f))) + (0.125f / ((r * ((1.0f / s) + (r * ((0.5f / (s * s)) + ((r * 0.16666666666666666f) / (s * (s * s))))))) + 1.0f))) / r) / (s * ((float) M_PI));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(0.125) * exp(Float32(Float32(r / s) * Float32(-0.3333333333333333)))) + Float32(Float32(0.125) / Float32(Float32(r * Float32(Float32(Float32(1.0) / s) + Float32(r * Float32(Float32(Float32(0.5) / Float32(s * s)) + Float32(Float32(r * Float32(0.16666666666666666)) / Float32(s * Float32(s * s))))))) + Float32(1.0)))) / r) / Float32(s * Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (((single(0.125) * exp(((r / s) * single(-0.3333333333333333)))) + (single(0.125) / ((r * ((single(1.0) / s) + (r * ((single(0.5) / (s * s)) + ((r * single(0.16666666666666666)) / (s * (s * s))))))) + single(1.0)))) / r) / (s * single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in r around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}}{r}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}\right)}{r}\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{-1 \cdot \frac{r}{s}} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}\right)}{r}\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{-1 \cdot \frac{r}{s}} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{e^{\frac{r}{s}}}}{r}}}{s \cdot \pi} \]

8. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{\left(1 + r \cdot \left(r \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{r}{{s}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right) + \frac{1}{s}\right)\right)}\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(r \cdot \left(r \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{r}{{s}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right) + \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \left(r \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{r}{{s}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right) + \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{1}{s} + r \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{r}{{s}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{s}\right), \left(r \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{r}{{s}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \left(r \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{r}{{s}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{r}{{s}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{s}^{2}} + \frac{1}{6} \cdot \frac{r}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{r}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{s}^{2}}\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{r}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{{s}^{2}}\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{r}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{r}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(s \cdot s\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{r}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{r}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   14. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{6} \cdot r}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(\frac{r \cdot \frac{1}{6}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(\frac{r \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{8}\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   17. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{24} \cdot r + \frac{1}{8} \cdot r}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   18. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{24} \cdot r + \frac{1}{8} \cdot r\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

10. Simplified 77.4%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{\color{blue}{1 + r \cdot \left(\frac{1}{s} + r \cdot \left(\frac{0.5}{s \cdot s} + \frac{r \cdot 0.16666666666666666}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)\right)}}}{r}}{s \cdot \pi} \]

11. Final simplification 77.4%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{r \cdot \left(\frac{1}{s} + r \cdot \left(\frac{0.5}{s \cdot s} + \frac{r \cdot 0.16666666666666666}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)\right) + 1}}{r}}{s \cdot \pi} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 73.1% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{\frac{r + \frac{0.5 \cdot \left(r \cdot r\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot \left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right)}{s}}{s}}{s} + 1}}{r}}{s \cdot \pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   (+
    (* 0.125 (exp (* (/ r s) -0.3333333333333333)))
    (/
     0.125
     (+
      (/
       (+
        r
        (/ (+ (* 0.5 (* r r)) (/ (* 0.16666666666666666 (* r (* r r))) s)) s))
       s)
      1.0)))
   r)
  (* s PI)))

C

float code(float s, float r) {
	return (((0.125f * expf(((r / s) * -0.3333333333333333f))) + (0.125f / (((r + (((0.5f * (r * r)) + ((0.16666666666666666f * (r * (r * r))) / s)) / s)) / s) + 1.0f))) / r) / (s * ((float) M_PI));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(0.125) * exp(Float32(Float32(r / s) * Float32(-0.3333333333333333)))) + Float32(Float32(0.125) / Float32(Float32(Float32(r + Float32(Float32(Float32(Float32(0.5) * Float32(r * r)) + Float32(Float32(Float32(0.16666666666666666) * Float32(r * Float32(r * r))) / s)) / s)) / s) + Float32(1.0)))) / r) / Float32(s * Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (((single(0.125) * exp(((r / s) * single(-0.3333333333333333)))) + (single(0.125) / (((r + (((single(0.5) * (r * r)) + ((single(0.16666666666666666) * (r * (r * r))) / s)) / s)) / s) + single(1.0)))) / r) / (s * single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in r around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}}{r}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}\right)}{r}\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{-1 \cdot \frac{r}{s}} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}\right)}{r}\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{-1 \cdot \frac{r}{s}} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{e^{\frac{r}{s}}}}{r}}}{s \cdot \pi} \]

8. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot r + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{r}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {r}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot r + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{r}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {r}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \left(-1 \cdot r + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{r}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {r}^{2}}{s}\right)}{s}\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot r + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{r}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {r}^{2}}{s}\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   4. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \left(r + \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{r}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {r}^{2}}{s}\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(r + \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{r}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {r}^{2}}{s}\right)\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   6. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{r + \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{r}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {r}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(r + \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{r}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {r}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

10. Simplified 75.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{\color{blue}{1 + \frac{r + \frac{0.5 \cdot \left(r \cdot r\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot \left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right)}{s}}{s}}{s}}}}{r}}{s \cdot \pi} \]

11. Final simplification 75.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{\frac{r + \frac{0.5 \cdot \left(r \cdot r\right) + \frac{0.16666666666666666 \cdot \left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right)}{s}}{s}}{s} + 1}}{r}}{s \cdot \pi} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 58.9% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{r \cdot \left(\frac{1}{s} + 0.5 \cdot \frac{\frac{r}{s}}{s}\right) + 1}}{r}}{s \cdot \pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   (+
    (* 0.125 (exp (* (/ r s) -0.3333333333333333)))
    (/ 0.125 (+ (* r (+ (/ 1.0 s) (* 0.5 (/ (/ r s) s)))) 1.0)))
   r)
  (* s PI)))

C

float code(float s, float r) {
	return (((0.125f * expf(((r / s) * -0.3333333333333333f))) + (0.125f / ((r * ((1.0f / s) + (0.5f * ((r / s) / s)))) + 1.0f))) / r) / (s * ((float) M_PI));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(0.125) * exp(Float32(Float32(r / s) * Float32(-0.3333333333333333)))) + Float32(Float32(0.125) / Float32(Float32(r * Float32(Float32(Float32(1.0) / s) + Float32(Float32(0.5) * Float32(Float32(r / s) / s)))) + Float32(1.0)))) / r) / Float32(s * Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (((single(0.125) * exp(((r / s) * single(-0.3333333333333333)))) + (single(0.125) / ((r * ((single(1.0) / s) + (single(0.5) * ((r / s) / s)))) + single(1.0)))) / r) / (s * single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in r around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}}{r}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}\right)}{r}\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{-1 \cdot \frac{r}{s}} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}\right)}{r}\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{-1 \cdot \frac{r}{s}} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{e^{\frac{r}{s}}}}{r}}}{s \cdot \pi} \]

8. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{\left(1 + r \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{1}{s}\right)\right)}\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(1 + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{r}{{s}^{2}}\right) \cdot r + \frac{1}{s} \cdot r\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(1 + \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot r}{{s}^{2}} \cdot r + \frac{1}{s} \cdot r\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(1 + \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot r\right) \cdot r}{{s}^{2}} + \frac{1}{s} \cdot r\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(1 + \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(r \cdot r\right)}{{s}^{2}} + \frac{1}{s} \cdot r\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(1 + \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {r}^{2}}{{s}^{2}} + \frac{1}{s} \cdot r\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(1 + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}} + \frac{1}{s} \cdot r\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(1 + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}} + \frac{1 \cdot r}{s}\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   8. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(1 + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}} + \frac{r}{s}\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}} + \frac{r}{s}\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}} + \frac{1 \cdot r}{s}\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}} + \frac{1}{s} \cdot r\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {r}^{2}}{{s}^{2}} + \frac{1}{s} \cdot r\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(r \cdot r\right)}{{s}^{2}} + \frac{1}{s} \cdot r\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   14. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot r\right) \cdot r}{{s}^{2}} + \frac{1}{s} \cdot r\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot r}{{s}^{2}} \cdot r + \frac{1}{s} \cdot r\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   16. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{r}{{s}^{2}}\right) \cdot r + \frac{1}{s} \cdot r\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   17. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(r \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

10. Simplified 60.4%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{\color{blue}{1 + r \cdot \left(\frac{1}{s} + 0.5 \cdot \frac{\frac{r}{s}}{s}\right)}}}{r}}{s \cdot \pi} \]

11. Final simplification 60.4%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{r \cdot \left(\frac{1}{s} + 0.5 \cdot \frac{\frac{r}{s}}{s}\right) + 1}}{r}}{s \cdot \pi} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 57.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{\frac{r - \frac{\left(r \cdot r\right) \cdot -0.5}{s}}{s} + 1}}{r}}{s \cdot \pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   (+
    (* 0.125 (exp (* (/ r s) -0.3333333333333333)))
    (/ 0.125 (+ (/ (- r (/ (* (* r r) -0.5) s)) s) 1.0)))
   r)
  (* s PI)))

C

float code(float s, float r) {
	return (((0.125f * expf(((r / s) * -0.3333333333333333f))) + (0.125f / (((r - (((r * r) * -0.5f) / s)) / s) + 1.0f))) / r) / (s * ((float) M_PI));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(0.125) * exp(Float32(Float32(r / s) * Float32(-0.3333333333333333)))) + Float32(Float32(0.125) / Float32(Float32(Float32(r - Float32(Float32(Float32(r * r) * Float32(-0.5)) / s)) / s) + Float32(1.0)))) / r) / Float32(s * Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (((single(0.125) * exp(((r / s) * single(-0.3333333333333333)))) + (single(0.125) / (((r - (((r * r) * single(-0.5)) / s)) / s) + single(1.0)))) / r) / (s * single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in r around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}}{r}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}\right)}{r}\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{-1 \cdot \frac{r}{s}} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}\right)}{r}\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{-1 \cdot \frac{r}{s}} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{e^{\frac{r}{s}}}}{r}}}{s \cdot \pi} \]

8. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot r + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot r + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(1 - \frac{-1 \cdot r + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot r + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot r + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + -1 \cdot r\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \left(\mathsf{neg}\left(r\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   7. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} - r\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right), r\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{{r}^{2}}{s} \cdot \frac{-1}{2}\right), r\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{{r}^{2} \cdot \frac{-1}{2}}{s}\right), r\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{{r}^{2} \cdot \left(-1 + \frac{1}{2}\right)}{s}\right), r\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   12. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{-1 \cdot {r}^{2} + \frac{1}{2} \cdot {r}^{2}}{s}\right), r\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot {r}^{2} + \frac{1}{2} \cdot {r}^{2}\right), s\right), r\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({r}^{2} \cdot \left(-1 + \frac{1}{2}\right)\right), s\right), r\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({r}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right), s\right), r\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({r}^{2}\right), \frac{-1}{2}\right), s\right), r\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   17. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot r\right), \frac{-1}{2}\right), s\right), r\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 57.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \frac{-1}{2}\right), s\right), r\right), s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

10. Simplified 57.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{\color{blue}{1 - \frac{\frac{\left(r \cdot r\right) \cdot -0.5}{s} - r}{s}}}}{r}}{s \cdot \pi} \]

11. Final simplification 57.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{\frac{r - \frac{\left(r \cdot r\right) \cdot -0.5}{s}}{s} + 1}}{r}}{s \cdot \pi} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 15.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{\frac{r}{s} + 1}}{r}}{s \cdot \pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   (+
    (* 0.125 (exp (* (/ r s) -0.3333333333333333)))
    (/ 0.125 (+ (/ r s) 1.0)))
   r)
  (* s PI)))

C

float code(float s, float r) {
	return (((0.125f * expf(((r / s) * -0.3333333333333333f))) + (0.125f / ((r / s) + 1.0f))) / r) / (s * ((float) M_PI));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(0.125) * exp(Float32(Float32(r / s) * Float32(-0.3333333333333333)))) + Float32(Float32(0.125) / Float32(Float32(r / s) + Float32(1.0)))) / r) / Float32(s * Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (((single(0.125) * exp(((r / s) * single(-0.3333333333333333)))) + (single(0.125) / ((r / s) + single(1.0)))) / r) / (s * single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in r around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}}{r}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}\right)}{r}\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{-1 \cdot \frac{r}{s}} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}\right)}{r}\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{-1 \cdot \frac{r}{s}} + e^{\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}}\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{e^{\frac{r}{s}}}}{r}}}{s \cdot \pi} \]

8. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{\left(1 + \frac{r}{s}\right)}\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{r}{s}\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 12.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

10. Simplified 12.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{\color{blue}{1 + \frac{r}{s}}}}{r}}{s \cdot \pi} \]

11. Final simplification 12.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.125 \cdot e^{\frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333} + \frac{0.125}{\frac{r}{s} + 1}}{r}}{s \cdot \pi} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 9.9% accurate, 7.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\frac{2 + \frac{\frac{\frac{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot -0.16666666666666666}{s} + r \cdot \left(r \cdot 0.5555555555555556\right)}{s} - r \cdot 1.3333333333333333}{s}}{\pi}}{s}}{\frac{r}{0.125}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   (/
    (+
     2.0
     (/
      (-
       (/
        (+
         (/ (* (* r (* r r)) -0.16666666666666666) s)
         (* r (* r 0.5555555555555556)))
        s)
       (* r 1.3333333333333333))
      s))
    PI)
   s)
  (/ r 0.125)))

C

float code(float s, float r) {
	return (((2.0f + (((((((r * (r * r)) * -0.16666666666666666f) / s) + (r * (r * 0.5555555555555556f))) / s) - (r * 1.3333333333333333f)) / s)) / ((float) M_PI)) / s) / (r / 0.125f);
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(r * Float32(r * r)) * Float32(-0.16666666666666666)) / s) + Float32(r * Float32(r * Float32(0.5555555555555556)))) / s) - Float32(r * Float32(1.3333333333333333))) / s)) / Float32(pi)) / s) / Float32(r / Float32(0.125)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (((single(2.0) + (((((((r * (r * r)) * single(-0.16666666666666666)) / s) + (r * (r * single(0.5555555555555556)))) / s) - (r * single(1.3333333333333333))) / s)) / single(pi)) / s) / (r / single(0.125));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{r}{\frac{1}{8}}} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{r}{\frac{1}{8}}}} \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\frac{r}{\frac{1}{8}}} \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\frac{\color{blue}{r}}{\frac{1}{8}}} \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{\color{blue}{r}}{\frac{1}{8}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{r}{\frac{1}{8}}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{s \cdot \pi}}{\frac{r}{0.125}}} \]

7. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \left(1 - \frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot r + \frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot r\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(r \cdot \frac{1}{3}\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \left(\frac{{r}^{2}}{s} \cdot \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{{r}^{2}}{s}\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{r \cdot r}{s}\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   12. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot \frac{r}{s}\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{r}{s}\right)\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 8.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

9. Simplified 8.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + \color{blue}{\left(1 - \frac{r \cdot 0.3333333333333333 + \left(r \cdot \frac{r}{s}\right) \cdot -0.05555555555555555}{s}\right)}}{s \cdot \pi}}{\frac{r}{0.125}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + \left(1 - \frac{r \cdot \frac{1}{3} + \left(r \cdot \frac{r}{s}\right) \cdot \frac{-1}{18}}{s}\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot s}\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

    2. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + \left(1 - \frac{r \cdot \frac{1}{3} + \left(r \cdot \frac{r}{s}\right) \cdot \frac{-1}{18}}{s}\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{r}, \frac{1}{8}\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + \left(1 - \frac{r \cdot \frac{1}{3} + \left(r \cdot \frac{r}{s}\right) \cdot \frac{-1}{18}}{s}\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{r}, \frac{1}{8}\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 8.9%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{\left(e^{\frac{-r}{s}} + 1\right) - \frac{r \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{r}}\right)}{s}}{\pi}}{s}}}{\frac{r}{0.125}} \]

12. Taylor expanded in s around -inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(2 + -1 \cdot \frac{\left(r + -1 \cdot \frac{\left(\frac{-1}{6} \cdot \frac{{r}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {r}^{2}\right) - \frac{-1}{18} \cdot {r}^{2}}{s}\right) - \frac{-1}{3} \cdot r}{s}\right)}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

14. Simplified 8.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\color{blue}{2 - \frac{\frac{\frac{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot -0.16666666666666666}{s} + r \cdot \left(r \cdot 0.5555555555555556\right)}{-s} + 1.3333333333333333 \cdot r}{s}}}{\pi}}{s}}{\frac{r}{0.125}} \]

15. Final simplification 8.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{2 + \frac{\frac{\frac{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot -0.16666666666666666}{s} + r \cdot \left(r \cdot 0.5555555555555556\right)}{s} - r \cdot 1.3333333333333333}{s}}{\pi}}{s}}{\frac{r}{0.125}} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 9: 9.9% accurate, 7.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{2 + \frac{\frac{r \cdot \left(r \cdot 0.5555555555555556\right) + \left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \frac{-0.16666666666666666}{s}}{s} - r \cdot 1.3333333333333333}{s}}{s \cdot \pi}}{\frac{r}{0.125}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   (+
    2.0
    (/
     (-
      (/
       (+
        (* r (* r 0.5555555555555556))
        (* (* r (* r r)) (/ -0.16666666666666666 s)))
       s)
      (* r 1.3333333333333333))
     s))
   (* s PI))
  (/ r 0.125)))

C

float code(float s, float r) {
	return ((2.0f + (((((r * (r * 0.5555555555555556f)) + ((r * (r * r)) * (-0.16666666666666666f / s))) / s) - (r * 1.3333333333333333f)) / s)) / (s * ((float) M_PI))) / (r / 0.125f);
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(r * Float32(r * Float32(0.5555555555555556))) + Float32(Float32(r * Float32(r * r)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) / s))) / s) - Float32(r * Float32(1.3333333333333333))) / s)) / Float32(s * Float32(pi))) / Float32(r / Float32(0.125)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((single(2.0) + (((((r * (r * single(0.5555555555555556))) + ((r * (r * r)) * (single(-0.16666666666666666) / s))) / s) - (r * single(1.3333333333333333))) / s)) / (s * single(pi))) / (r / single(0.125));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{r}{\frac{1}{8}}} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{r}{\frac{1}{8}}}} \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\frac{r}{\frac{1}{8}}} \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\frac{\color{blue}{r}}{\frac{1}{8}}} \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{\color{blue}{r}}{\frac{1}{8}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{r}{\frac{1}{8}}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{s \cdot \pi}}{\frac{r}{0.125}}} \]

7. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \left(1 - \frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot r + \frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot r\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(r \cdot \frac{1}{3}\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \left(\frac{{r}^{2}}{s} \cdot \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{{r}^{2}}{s}\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{r \cdot r}{s}\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   12. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot \frac{r}{s}\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{r}{s}\right)\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 8.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

9. Simplified 8.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + \color{blue}{\left(1 - \frac{r \cdot 0.3333333333333333 + \left(r \cdot \frac{r}{s}\right) \cdot -0.05555555555555555}{s}\right)}}{s \cdot \pi}}{\frac{r}{0.125}} \]

10. Taylor expanded in s around -inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(2 + -1 \cdot \frac{\left(r + -1 \cdot \frac{\left(\frac{-1}{6} \cdot \frac{{r}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {r}^{2}\right) - \frac{-1}{18} \cdot {r}^{2}}{s}\right) - \frac{-1}{3} \cdot r}{s}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

12. Simplified 8.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{2 - \frac{\frac{r \cdot \left(r \cdot 0.5555555555555556\right) + \left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \frac{-0.16666666666666666}{s}}{-s} + r \cdot 1.3333333333333333}{s}}}{s \cdot \pi}}{\frac{r}{0.125}} \]

13. Final simplification 8.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{2 + \frac{\frac{r \cdot \left(r \cdot 0.5555555555555556\right) + \left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \frac{-0.16666666666666666}{s}}{s} - r \cdot 1.3333333333333333}{s}}{s \cdot \pi}}{\frac{r}{0.125}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 10: 9.9% accurate, 7.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\frac{-0.16666666666666666}{\pi} - \frac{\frac{r}{\pi} \cdot -0.06944444444444445 + \frac{0.020833333333333332 \cdot \frac{r \cdot r}{s}}{\pi}}{s}}{s} - \frac{-0.25}{r \cdot \pi}}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (-
   (/
    (-
     (/ -0.16666666666666666 PI)
     (/
      (+
       (* (/ r PI) -0.06944444444444445)
       (/ (* 0.020833333333333332 (/ (* r r) s)) PI))
      s))
    s)
   (/ -0.25 (* r PI)))
  s))

C

float code(float s, float r) {
	return ((((-0.16666666666666666f / ((float) M_PI)) - ((((r / ((float) M_PI)) * -0.06944444444444445f) + ((0.020833333333333332f * ((r * r) / s)) / ((float) M_PI))) / s)) / s) - (-0.25f / (r * ((float) M_PI)))) / s;
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-0.16666666666666666) / Float32(pi)) - Float32(Float32(Float32(Float32(r / Float32(pi)) * Float32(-0.06944444444444445)) + Float32(Float32(Float32(0.020833333333333332) * Float32(Float32(r * r) / s)) / Float32(pi))) / s)) / s) - Float32(Float32(-0.25) / Float32(r * Float32(pi)))) / s)
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((((single(-0.16666666666666666) / single(pi)) - ((((r / single(pi)) * single(-0.06944444444444445)) + ((single(0.020833333333333332) * ((r * r) / s)) / single(pi))) / s)) / s) - (single(-0.25) / (r * single(pi)))) / s;
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{r}{\frac{1}{8}}} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{r}{\frac{1}{8}}}} \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\frac{r}{\frac{1}{8}}} \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\frac{\color{blue}{r}}{\frac{1}{8}}} \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{\color{blue}{r}}{\frac{1}{8}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{r}{\frac{1}{8}}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{s \cdot \pi}}{\frac{r}{0.125}}} \]

7. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \left(1 - \frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot r + \frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot r\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(r \cdot \frac{1}{3}\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \left(\frac{{r}^{2}}{s} \cdot \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{{r}^{2}}{s}\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{r \cdot r}{s}\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   12. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot \frac{r}{s}\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{r}{s}\right)\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 8.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \frac{1}{8}\right)\right) \]

9. Simplified 8.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + \color{blue}{\left(1 - \frac{r \cdot 0.3333333333333333 + \left(r \cdot \frac{r}{s}\right) \cdot -0.05555555555555555}{s}\right)}}{s \cdot \pi}}{\frac{r}{0.125}} \]

10. Taylor expanded in s around -inf

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{r}{\mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{-1}{18} \cdot \frac{r}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) + \frac{1}{48} \cdot \frac{{r}^{2}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{s} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{s}} \]

12. Simplified 8.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.25}{r \cdot \pi} - \frac{\frac{-0.16666666666666666}{\pi} - \frac{\frac{r}{\pi} \cdot -0.06944444444444445 + \frac{0.020833333333333332 \cdot \frac{r \cdot r}{s}}{\pi}}{s}}{s}}{-s}} \]

13. Final simplification 8.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{-0.16666666666666666}{\pi} - \frac{\frac{r}{\pi} \cdot -0.06944444444444445 + \frac{0.020833333333333332 \cdot \frac{r \cdot r}{s}}{\pi}}{s}}{s} - \frac{-0.25}{r \cdot \pi}}{s} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 11: 10.0% accurate, 11.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.25 + r \cdot \left(\frac{-0.16666666666666666}{s} + \frac{0.06944444444444445}{s \cdot \frac{s}{r}}\right)}{r \cdot s}}{\pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   (+
    0.25
    (* r (+ (/ -0.16666666666666666 s) (/ 0.06944444444444445 (* s (/ s r))))))
   (* r s))
  PI))

C

float code(float s, float r) {
	return ((0.25f + (r * ((-0.16666666666666666f / s) + (0.06944444444444445f / (s * (s / r)))))) / (r * s)) / ((float) M_PI);
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(0.25) + Float32(r * Float32(Float32(Float32(-0.16666666666666666) / s) + Float32(Float32(0.06944444444444445) / Float32(s * Float32(s / r)))))) / Float32(r * s)) / Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((single(0.25) + (r * ((single(-0.16666666666666666) / s) + (single(0.06944444444444445) / (s * (s / r)))))) / (r * s)) / single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{4} + r \cdot \left(\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)}{r}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{4} + r \cdot \left(\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right), r\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

7. Simplified 8.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0.25 + r \cdot \left(\frac{r \cdot 0.06944444444444445}{s \cdot s} + \frac{-0.16666666666666666}{s}\right)}{r}}}{s \cdot \pi} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\frac{1}{4} + r \cdot \left(\frac{r \cdot \frac{5}{72}}{s \cdot s} + \frac{\frac{-1}{6}}{s}\right)}{r}}{s}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4} + r \cdot \left(\frac{r \cdot \frac{5}{72}}{s \cdot s} + \frac{\frac{-1}{6}}{s}\right)}{r}}{s}\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

9. Applied egg-rr 8.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.25 + r \cdot \left(\frac{0.06944444444444445}{\frac{s}{r} \cdot s} + \frac{-0.16666666666666666}{s}\right)}{r \cdot s}}{\pi}} \]

10. Final simplification 8.4%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.25 + r \cdot \left(\frac{-0.16666666666666666}{s} + \frac{0.06944444444444445}{s \cdot \frac{s}{r}}\right)}{r \cdot s}}{\pi} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 12: 10.0% accurate, 13.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\frac{0.25}{r} - \frac{0.16666666666666666 + \frac{-0.06944444444444445}{\frac{s}{r}}}{s}}{s}}{\pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   (-
    (/ 0.25 r)
    (/ (+ 0.16666666666666666 (/ -0.06944444444444445 (/ s r))) s))
   s)
  PI))

C

float code(float s, float r) {
	return (((0.25f / r) - ((0.16666666666666666f + (-0.06944444444444445f / (s / r))) / s)) / s) / ((float) M_PI);
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(0.25) / r) - Float32(Float32(Float32(0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.06944444444444445) / Float32(s / r))) / s)) / s) / Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (((single(0.25) / r) - ((single(0.16666666666666666) + (single(-0.06944444444444445) / (s / r))) / s)) / s) / single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s}\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r} - \frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s}\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}\right), \left(\frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{r}\right), \left(\frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{r}\right), \left(\frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \left(\frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

7. Simplified 8.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0.25}{r} - \frac{0.16666666666666666 + \frac{-0.06944444444444445 \cdot r}{s}}{s}}}{s \cdot \pi} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\frac{1}{4}}{r} - \frac{\frac{1}{6} + \frac{\frac{-5}{72} \cdot r}{s}}{s}}{s}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{r} - \frac{\frac{1}{6} + \frac{\frac{-5}{72} \cdot r}{s}}{s}}{s}\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{r} - \frac{\frac{1}{6} + \frac{\frac{-5}{72} \cdot r}{s}}{s}\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{r}\right), \left(\frac{\frac{1}{6} + \frac{\frac{-5}{72} \cdot r}{s}}{s}\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \left(\frac{\frac{1}{6} + \frac{\frac{-5}{72} \cdot r}{s}}{s}\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{\frac{-5}{72} \cdot r}{s}\right), s\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\frac{\frac{-5}{72} \cdot r}{s}\right)\right), s\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   8. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\frac{-5}{72} \cdot \frac{r}{s}\right)\right), s\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   9. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\frac{-5}{72} \cdot \frac{1}{\frac{s}{r}}\right)\right), s\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   10. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\frac{\frac{-5}{72}}{\frac{s}{r}}\right)\right), s\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{-5}{72}, \left(\frac{s}{r}\right)\right)\right), s\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{-5}{72}, \mathsf{/.f32}\left(s, r\right)\right)\right), s\right)\right), s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 8.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{-5}{72}, \mathsf{/.f32}\left(s, r\right)\right)\right), s\right)\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 8.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.25}{r} - \frac{0.16666666666666666 + \frac{-0.06944444444444445}{\frac{s}{r}}}{s}}{s}}{\pi}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 10.0% accurate, 13.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.25}{r} - \frac{0.16666666666666666 + \frac{r \cdot -0.06944444444444445}{s}}{s}}{s \cdot \pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (- (/ 0.25 r) (/ (+ 0.16666666666666666 (/ (* r -0.06944444444444445) s)) s))
  (* s PI)))

C

float code(float s, float r) {
	return ((0.25f / r) - ((0.16666666666666666f + ((r * -0.06944444444444445f) / s)) / s)) / (s * ((float) M_PI));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(0.25) / r) - Float32(Float32(Float32(0.16666666666666666) + Float32(Float32(r * Float32(-0.06944444444444445)) / s)) / s)) / Float32(s * Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((single(0.25) / r) - ((single(0.16666666666666666) + ((r * single(-0.06944444444444445)) / s)) / s)) / (s * single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s}\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r} - \frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s}\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}\right), \left(\frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{r}\right), \left(\frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{r}\right), \left(\frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \left(\frac{\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r}{s}\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

7. Simplified 8.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0.25}{r} - \frac{0.16666666666666666 + \frac{-0.06944444444444445 \cdot r}{s}}{s}}}{s \cdot \pi} \]

8. Final simplification 8.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{0.25}{r} - \frac{0.16666666666666666 + \frac{r \cdot -0.06944444444444445}{s}}{s}}{s \cdot \pi} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 14: 9.4% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\frac{0.125 + \frac{0.125}{\frac{r}{s} + 1}}{r}}{\pi}}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (/ (/ (+ 0.125 (/ 0.125 (+ (/ r s) 1.0))) r) PI) s))

C

float code(float s, float r) {
	return (((0.125f + (0.125f / ((r / s) + 1.0f))) / r) / ((float) M_PI)) / s;
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(0.125) + Float32(Float32(0.125) / Float32(Float32(r / s) + Float32(1.0)))) / r) / Float32(pi)) / s)
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (((single(0.125) + (single(0.125) / ((r / s) + single(1.0)))) / r) / single(pi)) / s;
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, r\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 8.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + \color{blue}{1}\right)}{s \cdot \pi} \]

8. Taylor expanded in r around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{8} \cdot \frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}}{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}\right)}{\color{blue}{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}\right)\right), \color{blue}{\left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot 1 + \frac{1}{8} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e^{\frac{r}{s}}}\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e^{\frac{r}{s}}}\right)\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot 1}{e^{\frac{r}{s}}}\right)\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(\frac{\frac{1}{8}}{e^{\frac{r}{s}}}\right)\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(e^{\frac{r}{s}}\right)\right)\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{r}{s}\right)\right)\right)\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 8.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 8.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 + \frac{0.125}{e^{\frac{r}{s}}}}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)}} \]

11. Taylor expanded in r around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{\left(1 + \frac{r}{s}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{r}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f32 8.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 8.0%

    \[\leadsto \frac{0.125 + \frac{0.125}{\color{blue}{1 + \frac{r}{s}}}}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)} \]
14. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{8} + \frac{\frac{1}{8}}{1 + \frac{r}{s}}}{r}}{\color{blue}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{8} + \frac{\frac{1}{8}}{1 + \frac{r}{s}}}{r}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{s}} \]

    3. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\frac{1}{8} + \frac{\frac{1}{8}}{1 + \frac{r}{s}}}{r}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{s}} \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{8} + \frac{\frac{1}{8}}{1 + \frac{r}{s}}}{r}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{s}\right) \]

    5. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} + \frac{\frac{1}{8}}{1 + \frac{r}{s}}}{r}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right) \]

    6. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} + \frac{\frac{1}{8}}{1 + \frac{r}{s}}\right), r\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(\frac{\frac{1}{8}}{1 + \frac{r}{s}}\right)\right), r\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right) \]

    8. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(1 + \frac{r}{s}\right)\right)\right), r\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right) \]

    9. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(\frac{r}{s} + 1\right)\right)\right), r\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right) \]

    10. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{r}{s}\right), 1\right)\right)\right), r\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right) \]

    11. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), 1\right)\right)\right), r\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right) \]

    12. PI-lowering-PI.f32 8.0%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), 1\right)\right)\right), r\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right) \]

15. Applied egg-rr 8.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.125 + \frac{0.125}{\frac{r}{s} + 1}}{r}}{\pi}}{s}} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 15: 9.4% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.125 + \frac{0.125}{\frac{r}{s} + 1}}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (+ 0.125 (/ 0.125 (+ (/ r s) 1.0))) (* r (* s PI))))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.125f + (0.125f / ((r / s) + 1.0f))) / (r * (s * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.125) + Float32(Float32(0.125) / Float32(Float32(r / s) + Float32(1.0)))) / Float32(r * Float32(s * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.125) + (single(0.125) / ((r / s) + single(1.0)))) / (r * (s * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, r\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 8.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + \color{blue}{1}\right)}{s \cdot \pi} \]

8. Taylor expanded in r around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{8} \cdot \frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}}{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}\right)}{\color{blue}{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}\right)\right), \color{blue}{\left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot 1 + \frac{1}{8} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e^{\frac{r}{s}}}\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e^{\frac{r}{s}}}\right)\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot 1}{e^{\frac{r}{s}}}\right)\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(\frac{\frac{1}{8}}{e^{\frac{r}{s}}}\right)\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(e^{\frac{r}{s}}\right)\right)\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{r}{s}\right)\right)\right)\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 8.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 8.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 + \frac{0.125}{e^{\frac{r}{s}}}}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)}} \]

11. Taylor expanded in r around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{\left(1 + \frac{r}{s}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{r}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f32 8.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 8.0%

    \[\leadsto \frac{0.125 + \frac{0.125}{\color{blue}{1 + \frac{r}{s}}}}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)} \]

14. Final simplification 8.0%

    \[\leadsto \frac{0.125 + \frac{0.125}{\frac{r}{s} + 1}}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 16: 9.0% accurate, 17.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.25}{r \cdot \pi} + \frac{-0.16666666666666666}{s \cdot \pi}}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (+ (/ 0.25 (* r PI)) (/ -0.16666666666666666 (* s PI))) s))

C

float code(float s, float r) {
	return ((0.25f / (r * ((float) M_PI))) + (-0.16666666666666666f / (s * ((float) M_PI)))) / s;
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(0.25) / Float32(r * Float32(pi))) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) / Float32(s * Float32(pi)))) / s)
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((single(0.25) / (r * single(pi))) + (single(-0.16666666666666666) / (s * single(pi)))) / s;
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{s}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{\frac{1}{6} \cdot 1}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{s} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{\frac{1}{6}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{s} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{\frac{1}{6}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{s}\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{6}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), s\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{6}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), s\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{6}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), s\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{6}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), s\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{6}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), s\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{6}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), s\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{6}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), s\right) \]

   11. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), s\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{6}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), s\right) \]

   13. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 7.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), s\right) \]

5. Simplified 7.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.25}{r \cdot \pi} + \frac{-0.16666666666666666}{s \cdot \pi}}{s}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 17: 9.0% accurate, 21.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{-0.16666666666666666}{s} + \frac{0.25}{r}}{s \cdot \pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (+ (/ -0.16666666666666666 s) (/ 0.25 r)) (* s PI)))

C

float code(float s, float r) {
	return ((-0.16666666666666666f / s) + (0.25f / r)) / (s * ((float) M_PI));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(-0.16666666666666666) / s) + Float32(Float32(0.25) / r)) / Float32(s * Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((single(-0.16666666666666666) / s) + (single(0.25) / r)) / (s * single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{r}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{r}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{6} \cdot 1}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{6}}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   8. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \left(\frac{\frac{-1}{6}}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 7.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{6}, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

7. Simplified 7.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0.25}{r} + \frac{-0.16666666666666666}{s}}}{s \cdot \pi} \]

8. Final simplification 7.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.16666666666666666}{s} + \frac{0.25}{r}}{s \cdot \pi} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 18: 9.0% accurate, 25.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.25}{r} \cdot \frac{\frac{1}{s}}{\pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r) :precision binary32 (* (/ 0.25 r) (/ (/ 1.0 s) PI)))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.25f / r) * ((1.0f / s) / ((float) M_PI));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.25) / r) * Float32(Float32(Float32(1.0) / s) / Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.25) / r) * ((single(1.0) / s) / single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 7.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.25}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\frac{1}{4}}}} \]

   2. inv-pow N/A

      \[\leadsto {\left(\frac{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\frac{1}{4}}\right)}^{\color{blue}{-1}} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto {\left(\frac{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot r}{\frac{1}{4}}\right)}^{-1} \]

   4. associate-/l* N/A

      \[\leadsto {\left(\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{r}{\frac{1}{4}}\right)}^{-1} \]

   5. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto {\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{{\left(\frac{r}{\frac{1}{4}}\right)}^{-1}} \]

   6. inv-pow N/A

      \[\leadsto \frac{1}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot {\color{blue}{\left(\frac{r}{\frac{1}{4}}\right)}}^{-1} \]

   7. inv-pow N/A

      \[\leadsto \frac{1}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{r}{\frac{1}{4}}}} \]

   8. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{1}{4}}{\color{blue}{r}} \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{4}}{r}\right)}\right) \]

   10. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{s}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{4}}}{r}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{4}}}{r}\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{r}\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{r}\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 7.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{r}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{s}}{\pi} \cdot \frac{0.25}{r}} \]

8. Final simplification 7.6%

   \[\leadsto \frac{0.25}{r} \cdot \frac{\frac{1}{s}}{\pi} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 19: 9.0% accurate, 25.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.25}{s} \cdot \frac{\frac{1}{r}}{\pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r) :precision binary32 (* (/ 0.25 s) (/ (/ 1.0 r) PI)))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.25f / s) * ((1.0f / r) / ((float) M_PI));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.25) / s) * Float32(Float32(Float32(1.0) / r) / Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.25) / s) * ((single(1.0) / r) / single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 7.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.25}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(r \cdot s\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot s\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 7.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{0.25}{\color{blue}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4}}{r \cdot \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{\color{blue}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{\color{blue}{s} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   4. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4}}{s} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{r}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{s}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{r}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, s\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{r}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{r}\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, r\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 7.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, r\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.25}{s} \cdot \frac{\frac{1}{r}}{\pi}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 20: 9.0% accurate, 33.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.25}{r}}{s \cdot \pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r) :precision binary32 (/ (/ 0.25 r) (* s PI)))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.25f / r) / (s * ((float) M_PI));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.25) / r) / Float32(s * Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.25) / r) / (s * single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{4}}{r}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 7.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

7. Simplified 7.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0.25}{r}}}{s \cdot \pi} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 21: 9.0% accurate, 33.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.25}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r) :precision binary32 (/ 0.25 (* r (* s PI))))

C

float code(float s, float r) {
	return 0.25f / (r * (s * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(0.25) / Float32(r * Float32(s * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = single(0.25) / (r * (s * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 7.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.25}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 22: 7.0% accurate, 33.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.125}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r) :precision binary32 (/ 0.125 (* r (* s PI))))

C

float code(float s, float r) {
	return 0.125f / (r * (s * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(0.125) / Float32(r * Float32(s * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = single(0.125) / (r * (s * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, r\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 8.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{0.125}{r} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + \color{blue}{1}\right)}{s \cdot \pi} \]

8. Taylor expanded in r around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{8} \cdot \frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}}{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}\right)}{\color{blue}{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}\right)\right), \color{blue}{\left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot 1 + \frac{1}{8} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)}\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e^{\frac{r}{s}}}\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e^{\frac{r}{s}}}\right)\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot 1}{e^{\frac{r}{s}}}\right)\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(\frac{\frac{1}{8}}{e^{\frac{r}{s}}}\right)\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(e^{\frac{r}{s}}\right)\right)\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{r}{s}\right)\right)\right)\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), \left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 8.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 8.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 + \frac{0.125}{e^{\frac{r}{s}}}}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)}} \]

11. Taylor expanded in r around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{\left(1 + \frac{r}{s}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{r}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f32 8.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(r, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 8.0%

    \[\leadsto \frac{0.125 + \frac{0.125}{\color{blue}{1 + \frac{r}{s}}}}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)} \]

14. Taylor expanded in r around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
15. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{\left(r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    4. PI-lowering-PI.f32 6.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 6.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)}} \]
17. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (s r)
  :name "Disney BSSRDF, PDF of scattering profile"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 0.0 s) (<= s 256.0)) (and (< 1e-6 r) (< r 1000000.0)))
  (+ (/ (* 0.25 (exp (/ (- r) s))) (* (* (* 2.0 PI) s) r)) (/ (* 0.75 (exp (/ (- r) (* 3.0 s)))) (* (* (* 6.0 PI) s) r))))