Lanczos kernel

Percentage Accurate: 98.0% → 98.0%

Time: 17.9s

Alternatives: 14

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(10^{-5} \leq x \land x \leq 1\right) \land \left(1 \leq tau \land tau \leq 5\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Initial Program: 98.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Alternative 1: 98.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \cdot \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{tau}}{x \cdot \pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (* (/ (sin (* x PI)) (* x PI)) (/ (/ (sin (* (* x PI) tau)) tau) (* x PI))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI))) * ((sinf(((x * ((float) M_PI)) * tau)) / tau) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))) * Float32(Float32(sin(Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)) / tau) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi))) * ((sin(((x * single(pi)) * tau)) / tau) / (x * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{tau}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   2. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{x \cdot \pi}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{tau}}{\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   2. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{tau}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{tau}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{tau}}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}}{tau}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}}{tau}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}\right)}{tau}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{\color{blue}{tau}}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{tau}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{tau}\right), \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \cdot \frac{\frac{\sin \left(tau \cdot \left(x \cdot \pi\right)\right)}{tau}}{x \cdot \pi}} \]

7. Final simplification 97.7%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \cdot \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{tau}}{x \cdot \pi} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 85.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (*
    (/ (sin t_1) t_1)
    (+ 1.0 (* (* x x) (* -0.16666666666666666 (* PI PI)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (1.0f + ((x * x) * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (single(1.0) + ((x * x) * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \left(1 + \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 84.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 84.4%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 85.0% accurate, 4.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(0.008333333333333333 + \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776 + tau \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* x x)
   (+
    (*
     x
     (*
      x
      (*
       (+
        0.008333333333333333
        (+
         (* (* tau tau) 0.027777777777777776)
         (* tau (* 0.008333333333333333 (* tau (* tau tau))))))
       (* PI (* PI (* PI PI))))))
    (*
     (* PI PI)
     (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * ((x * (x * ((0.008333333333333333f + (((tau * tau) * 0.027777777777777776f) + (tau * (0.008333333333333333f * (tau * (tau * tau)))))) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))) + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(Float32(0.008333333333333333) + Float32(Float32(Float32(tau * tau) * Float32(0.027777777777777776)) + Float32(tau * Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(tau * Float32(tau * tau)))))) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * ((x * (x * ((single(0.008333333333333333) + (((tau * tau) * single(0.027777777777777776)) + (tau * (single(0.008333333333333333) * (tau * (tau * tau)))))) * (single(pi) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))))) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

5. Simplified 83.9%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\pi}^{4} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 83.9%

   \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot -0.16666666666666666\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(0.008333333333333333 + \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776 + tau \cdot \left(\left(tau \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

8. Final simplification 83.9%

   \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(0.008333333333333333 + \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776 + tau \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 85.0% accurate, 4.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* x x)
   (+
    (* (* PI PI) (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))
    (*
     (* x x)
     (*
      (* PI (* PI (* PI PI)))
      (+
       (* 0.008333333333333333 (* (* tau tau) (* tau tau)))
       (+ 0.008333333333333333 (* (* tau tau) 0.027777777777777776)))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))) + ((x * x) * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * ((0.008333333333333333f * ((tau * tau) * (tau * tau))) + (0.008333333333333333f + ((tau * tau) * 0.027777777777777776f)))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(Float32(tau * tau) * Float32(tau * tau))) + Float32(Float32(0.008333333333333333) + Float32(Float32(tau * tau) * Float32(0.027777777777777776)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * (((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))) + ((x * x) * ((single(pi) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) * ((single(0.008333333333333333) * ((tau * tau) * (tau * tau))) + (single(0.008333333333333333) + ((tau * tau) * single(0.027777777777777776))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

5. Simplified 83.9%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\pi}^{4} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(3 + 1\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow-plus N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\frac{1}{120}}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\frac{1}{120}}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\frac{1}{120}}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 83.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 83.9%

   \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \pi\right)} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right) \]

8. Final simplification 83.9%

   \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 80.6% accurate, 5.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(1 + tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  (+
   1.0
   (* (* PI PI) (* (* x x) (* -0.16666666666666666 (+ 1.0 (* tau tau))))))
  (*
   (* (* x x) (* (* x x) (* PI (* PI (* PI PI)))))
   (+ 0.008333333333333333 (* tau (* tau 0.027777777777777776))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * ((x * x) * (-0.16666666666666666f * (1.0f + (tau * tau)))))) + (((x * x) * ((x * x) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * (0.008333333333333333f + (tau * (tau * 0.027777777777777776f))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(1.0) + Float32(tau * tau)))))) + Float32(Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * Float32(Float32(0.008333333333333333) + Float32(tau * Float32(tau * Float32(0.027777777777777776))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * ((x * x) * (single(-0.16666666666666666) * (single(1.0) + (tau * tau)))))) + (((x * x) * ((x * x) * (single(pi) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))) * (single(0.008333333333333333) + (tau * (tau * single(0.027777777777777776)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

5. Simplified 83.9%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\pi}^{4} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{36} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{36} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \left({tau}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \left(tau \cdot \color{blue}{\left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 79.8%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 79.8%

   \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\pi}^{4} \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 79.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(1 + tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right)} \]

11. Final simplification 79.8%

    \[\leadsto \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(1 + tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 80.6% accurate, 5.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \pi \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right)\\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(t\_1 + \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot t\_1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* PI (* PI -0.16666666666666666))))
   (+
    1.0
    (*
     (* x x)
     (+
      t_1
      (+
       (* (* tau tau) t_1)
       (*
        (* (* x x) (* PI (* PI (* PI PI))))
        (+ 0.008333333333333333 (* tau (* tau 0.027777777777777776))))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = ((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -0.16666666666666666f);
	return 1.0f + ((x * x) * (t_1 + (((tau * tau) * t_1) + (((x * x) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))) * (0.008333333333333333f + (tau * (tau * 0.027777777777777776f)))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-0.16666666666666666)))
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(t_1 + Float32(Float32(Float32(tau * tau) * t_1) + Float32(Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))) * Float32(Float32(0.008333333333333333) + Float32(tau * Float32(tau * Float32(0.027777777777777776)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = single(pi) * (single(pi) * single(-0.16666666666666666));
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * (t_1 + (((tau * tau) * t_1) + (((x * x) * (single(pi) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))) * (single(0.008333333333333333) + (tau * (tau * single(0.027777777777777776))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

5. Simplified 83.9%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\pi}^{4} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{36} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{36} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \left({tau}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \left(tau \cdot \color{blue}{\left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 79.8%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 79.8%

   \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\pi}^{4} \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot \left(\frac{1}{120} + tau \cdot \left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot \left(\frac{1}{120} + tau \cdot \left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot \left(\frac{1}{120} + tau \cdot \left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot \left(\frac{1}{120} + tau \cdot \left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot \left(\frac{1}{120} + tau \cdot \left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot \left(\frac{1}{120} + tau \cdot \left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot \left(\frac{1}{120} + tau \cdot \left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot \left(\frac{1}{120} + tau \cdot \left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot \left(\frac{1}{120} + tau \cdot \left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot \left(\frac{1}{120} + tau \cdot \left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 79.8%

    \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right) + \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 79.8%

    \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right) + \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right)\right) + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 80.6% accurate, 5.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right) + \left(1 + tau \cdot tau\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* x x)
   (+
    (*
     (* (* x x) (* PI (* PI (* PI PI))))
     (+ 0.008333333333333333 (* tau (* tau 0.027777777777777776))))
    (* (+ 1.0 (* tau tau)) (* PI (* PI -0.16666666666666666)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * ((((x * x) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))) * (0.008333333333333333f + (tau * (tau * 0.027777777777777776f)))) + ((1.0f + (tau * tau)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -0.16666666666666666f)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))) * Float32(Float32(0.008333333333333333) + Float32(tau * Float32(tau * Float32(0.027777777777777776))))) + Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(tau * tau)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-0.16666666666666666)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * ((((x * x) * (single(pi) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))) * (single(0.008333333333333333) + (tau * (tau * single(0.027777777777777776))))) + ((single(1.0) + (tau * tau)) * (single(pi) * (single(pi) * single(-0.16666666666666666))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

5. Simplified 83.9%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\pi}^{4} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{36} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{36} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \left({tau}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \left(tau \cdot \color{blue}{\left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 79.8%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 79.8%

   \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\pi}^{4} \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot \left(\frac{1}{120} + tau \cdot \left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot \left(\frac{1}{120} + tau \cdot \left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 79.8%

    \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(1 + tau \cdot tau\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

11. Final simplification 79.8%

    \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right) + \left(1 + tau \cdot tau\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 80.6% accurate, 5.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* x x)
   (+
    (* (* PI PI) (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))
    (*
     (* x x)
     (*
      (* PI (* PI (* PI PI)))
      (+ 0.008333333333333333 (* tau (* tau 0.027777777777777776)))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))) + ((x * x) * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * (0.008333333333333333f + (tau * (tau * 0.027777777777777776f)))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(Float32(0.008333333333333333) + Float32(tau * Float32(tau * Float32(0.027777777777777776)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * (((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))) + ((x * x) * ((single(pi) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) * (single(0.008333333333333333) + (tau * (tau * single(0.027777777777777776))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

5. Simplified 83.9%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\pi}^{4} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{36} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{36} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \left({tau}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \left(tau \cdot \color{blue}{\left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\left(tau \cdot \frac{1}{36}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 79.8%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 4\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 79.8%

   \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\pi}^{4} \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(3 + 1\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow-plus N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\frac{1}{120}}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\frac{1}{120}}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 79.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 79.8%

    \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \pi\right)} \cdot \left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right) \]

11. Final simplification 79.8%

    \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 10: 79.3% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(1 + tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (* x (* x (* (* PI -0.16666666666666666) (* PI (+ 1.0 (* tau tau))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (x * (x * ((((float) M_PI) * -0.16666666666666666f) * (((float) M_PI) * (1.0f + (tau * tau))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(-0.16666666666666666)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(1.0) + Float32(tau * tau)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (x * (x * ((single(pi) * single(-0.16666666666666666)) * (single(pi) * (single(1.0) + (tau * tau))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)}}{\frac{x \cdot \pi}{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 78.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(tau \cdot tau + 1\right)\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(tau \cdot tau + 1\right)\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(tau \cdot tau + 1\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(1 + tau \cdot tau\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(tau \cdot tau\right)\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 78.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 78.4%

   \[\leadsto 1 + x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \left(1 + tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}\right) \]

10. Final simplification 78.4%

    \[\leadsto 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(1 + tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 11: 79.3% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* (* PI PI) (+ 1.0 (* tau tau))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (x * (x * (-0.16666666666666666f * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (1.0f + (tau * tau))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(1.0) + Float32(tau * tau)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (x * (x * (single(-0.16666666666666666) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(1.0) + (tau * tau))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)}}{\frac{x \cdot \pi}{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 78.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Final simplification 78.4%

   \[\leadsto 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 12: 70.3% accurate, 14.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* x (* -0.16666666666666666 (* x (* tau (* tau (* PI PI))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (x * (-0.16666666666666666f * (x * (tau * (tau * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(x * Float32(tau * Float32(tau * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (x * (single(-0.16666666666666666) * (x * (tau * (tau * (single(pi) * single(pi)))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)}}{\frac{x \cdot \pi}{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 78.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({tau}^{2} \cdot \left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{tau}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot \left({tau}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(tau \cdot \color{blue}{\left(tau \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\left(tau \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 70.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 70.1%

    \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 13: 64.9% accurate, 19.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* x (* -0.16666666666666666 (* x (* PI PI))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (x * (-0.16666666666666666f * (x * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (x * (single(-0.16666666666666666) * (x * (single(pi) * single(pi)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)}}{\frac{x \cdot \pi}{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto 1 + {x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 78.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 65.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 65.4%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 14: 63.9% accurate, 219.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau) :precision binary32 1.0)

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f;
}

Fortran

real(4) function code(x, tau)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: tau
    code = 1.0e0
end function

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 64.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (x tau)
  :name "Lanczos kernel"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 1e-5 x) (<= x 1.0)) (and (<= 1.0 tau) (<= tau 5.0)))
  (* (/ (sin (* (* x PI) tau)) (* (* x PI) tau)) (/ (sin (* x PI)) (* x PI))))