Distance on a great circle

Percentage Accurate: 61.7% → 78.4%

Time: 47.4s

Alternatives: 21

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1}}{\sqrt{1 - t\_1}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1
         (+
          (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)
          (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0) t_0))))
   (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt t_1) (sqrt (- 1.0 t_1)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0)
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0d0 - t_1))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(t_1), Math.sqrt((1.0 - t_1))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0) * t_0)
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(t_1), math.sqrt((1.0 - t_1))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64((sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(t_1), sqrt(Float64(1.0 - t_1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[t$95$1], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Initial Program: 61.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1}}{\sqrt{1 - t\_1}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1
         (+
          (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)
          (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0) t_0))))
   (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt t_1) (sqrt (- 1.0 t_1)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0)
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0d0 - t_1))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(t_1), Math.sqrt((1.0 - t_1))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0) * t_0)
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(t_1), math.sqrt((1.0 - t_1))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64((sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(t_1), sqrt(Float64(1.0 - t_1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[t$95$1], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Alternative 1: 78.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\\ t_1 := \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\\ t_2 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_3 := t\_2 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_2\right)\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_3 + {\left(t\_1 - t\_0 \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - \left(t\_3 + {\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{-2}\right), t\_0, t\_1\right)\right)}^{2}\right)}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (/ phi1 2.0)))
        (t_1 (* (sin (/ phi1 2.0)) (cos (/ phi2 2.0))))
        (t_2 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_3 (* t_2 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_2))))
   (*
    R
    (*
     2.0
     (atan2
      (sqrt (+ t_3 (pow (- t_1 (* t_0 (sin (/ phi2 2.0)))) 2.0)))
      (sqrt (- 1.0 (+ t_3 (pow (fma (sin (/ phi2 -2.0)) t_0 t_1) 2.0)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((phi1 / 2.0));
	double t_1 = sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0));
	double t_2 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_3 = t_2 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_2);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt((t_3 + pow((t_1 - (t_0 * sin((phi2 / 2.0)))), 2.0))), sqrt((1.0 - (t_3 + pow(fma(sin((phi2 / -2.0)), t_0, t_1), 2.0))))));
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(phi1 / 2.0))
	t_1 = Float64(sin(Float64(phi1 / 2.0)) * cos(Float64(phi2 / 2.0)))
	t_2 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_3 = Float64(t_2 * Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_2))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(t_3 + (Float64(t_1 - Float64(t_0 * sin(Float64(phi2 / 2.0)))) ^ 2.0))), sqrt(Float64(1.0 - Float64(t_3 + (fma(sin(Float64(phi2 / -2.0)), t_0, t_1) ^ 2.0)))))))
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 * N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$3 + N[Power[N[(t$95$1 - N[(t$95$0 * N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - N[(t$95$3 + N[Power[N[(N[Sin[N[(phi2 / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$0 + t$95$1), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sin-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right) + \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 63.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 63.8%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(-\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(-\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 77.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 77.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(-\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(-\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) + \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-neg-frac2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, -2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, -2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, -2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, -2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, -2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, -2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. cos-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, -2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, -2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 77.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, -2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 77.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{-2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

9. Final simplification 77.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{-2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}^{2}\right)}}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 78.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := t\_0 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right) + {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1}}{\sqrt{1 - t\_1}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1
         (+
          (* t_0 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0))
          (pow
           (-
            (* (sin (/ phi1 2.0)) (cos (/ phi2 2.0)))
            (* (cos (/ phi1 2.0)) (sin (/ phi2 2.0))))
           2.0))))
   (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt t_1) (sqrt (- 1.0 t_1)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = (t_0 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)) + pow(((sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0))) - (cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0)))), 2.0);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = (t_0 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)) + (((sin((phi1 / 2.0d0)) * cos((phi2 / 2.0d0))) - (cos((phi1 / 2.0d0)) * sin((phi2 / 2.0d0)))) ** 2.0d0)
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0d0 - t_1))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = (t_0 * ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0)) + Math.pow(((Math.sin((phi1 / 2.0)) * Math.cos((phi2 / 2.0))) - (Math.cos((phi1 / 2.0)) * Math.sin((phi2 / 2.0)))), 2.0);
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(t_1), Math.sqrt((1.0 - t_1))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = (t_0 * ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0)) + math.pow(((math.sin((phi1 / 2.0)) * math.cos((phi2 / 2.0))) - (math.cos((phi1 / 2.0)) * math.sin((phi2 / 2.0)))), 2.0)
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(t_1), math.sqrt((1.0 - t_1))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)) + (Float64(Float64(sin(Float64(phi1 / 2.0)) * cos(Float64(phi2 / 2.0))) - Float64(cos(Float64(phi1 / 2.0)) * sin(Float64(phi2 / 2.0)))) ^ 2.0))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(t_1), sqrt(Float64(1.0 - t_1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = (t_0 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)) + (((sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0))) - (cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0)))) ^ 2.0);
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[t$95$1], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 63.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 63.8%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 77.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 77.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

7. Final simplification 77.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 78.3% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\left(\cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) + \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\\ t_1 := \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}\\ \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_0 + t\_1}}{\sqrt{\left(1 - t\_1\right) - t\_0}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (pow
          (+
           (* (cos (* phi1 0.5)) (sin (* phi2 -0.5)))
           (* (sin (* phi1 0.5)) (cos (* phi2 0.5))))
          2.0))
        (t_1
         (*
          (* (cos phi1) (cos phi2))
          (pow (sin (* -0.5 (- lambda2 lambda1))) 2.0))))
   (* (atan2 (sqrt (+ t_0 t_1)) (sqrt (- (- 1.0 t_1) t_0))) (* R 2.0))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = pow(((cos((phi1 * 0.5)) * sin((phi2 * -0.5))) + (sin((phi1 * 0.5)) * cos((phi2 * 0.5)))), 2.0);
	double t_1 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * pow(sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0);
	return atan2(sqrt((t_0 + t_1)), sqrt(((1.0 - t_1) - t_0))) * (R * 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = ((cos((phi1 * 0.5d0)) * sin((phi2 * (-0.5d0)))) + (sin((phi1 * 0.5d0)) * cos((phi2 * 0.5d0)))) ** 2.0d0
    t_1 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin(((-0.5d0) * (lambda2 - lambda1))) ** 2.0d0)
    code = atan2(sqrt((t_0 + t_1)), sqrt(((1.0d0 - t_1) - t_0))) * (r * 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.pow(((Math.cos((phi1 * 0.5)) * Math.sin((phi2 * -0.5))) + (Math.sin((phi1 * 0.5)) * Math.cos((phi2 * 0.5)))), 2.0);
	double t_1 = (Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.pow(Math.sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0);
	return Math.atan2(Math.sqrt((t_0 + t_1)), Math.sqrt(((1.0 - t_1) - t_0))) * (R * 2.0);
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.pow(((math.cos((phi1 * 0.5)) * math.sin((phi2 * -0.5))) + (math.sin((phi1 * 0.5)) * math.cos((phi2 * 0.5)))), 2.0)
	t_1 = (math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * math.pow(math.sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0)
	return math.atan2(math.sqrt((t_0 + t_1)), math.sqrt(((1.0 - t_1) - t_0))) * (R * 2.0)

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(cos(Float64(phi1 * 0.5)) * sin(Float64(phi2 * -0.5))) + Float64(sin(Float64(phi1 * 0.5)) * cos(Float64(phi2 * 0.5)))) ^ 2.0
	t_1 = Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin(Float64(-0.5 * Float64(lambda2 - lambda1))) ^ 2.0))
	return Float64(atan(sqrt(Float64(t_0 + t_1)), sqrt(Float64(Float64(1.0 - t_1) - t_0))) * Float64(R * 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = ((cos((phi1 * 0.5)) * sin((phi2 * -0.5))) + (sin((phi1 * 0.5)) * cos((phi2 * 0.5)))) ^ 2.0;
	t_1 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))) ^ 2.0);
	tmp = atan2(sqrt((t_0 + t_1)), sqrt(((1.0 - t_1) - t_0))) * (R * 2.0);
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(N[(N[Cos[N[(phi1 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[N[(phi1 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Power[N[Sin[N[(-0.5 * N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$0 + t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(R * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sin-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right) + \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 63.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 63.8%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(-\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(-\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 77.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 77.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(-\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(-\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

7. Taylor expanded in lambda1 around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) + \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)}^{2}\right)}}\right)} \]

9. Simplified 77.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) + \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 - \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) - {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) + \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right)\right)}^{2}}}} \]

10. Final simplification 77.0%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) + \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 - \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) - {\left(\cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) + \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 62.6% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}\\ \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_0 + {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 - t\_0\right) - {\left(\cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) + \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* (cos phi1) (cos phi2))
          (pow (sin (* -0.5 (- lambda2 lambda1))) 2.0))))
   (*
    (atan2
     (sqrt (+ t_0 (pow (sin (* 0.5 (- phi1 phi2))) 2.0)))
     (sqrt
      (-
       (- 1.0 t_0)
       (pow
        (+
         (* (cos (* phi1 0.5)) (sin (* phi2 -0.5)))
         (* (sin (* phi1 0.5)) (cos (* phi2 0.5))))
        2.0))))
    (* R 2.0))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * pow(sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0);
	return atan2(sqrt((t_0 + pow(sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0))), sqrt(((1.0 - t_0) - pow(((cos((phi1 * 0.5)) * sin((phi2 * -0.5))) + (sin((phi1 * 0.5)) * cos((phi2 * 0.5)))), 2.0)))) * (R * 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin(((-0.5d0) * (lambda2 - lambda1))) ** 2.0d0)
    code = atan2(sqrt((t_0 + (sin((0.5d0 * (phi1 - phi2))) ** 2.0d0))), sqrt(((1.0d0 - t_0) - (((cos((phi1 * 0.5d0)) * sin((phi2 * (-0.5d0)))) + (sin((phi1 * 0.5d0)) * cos((phi2 * 0.5d0)))) ** 2.0d0)))) * (r * 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.pow(Math.sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0);
	return Math.atan2(Math.sqrt((t_0 + Math.pow(Math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0))), Math.sqrt(((1.0 - t_0) - Math.pow(((Math.cos((phi1 * 0.5)) * Math.sin((phi2 * -0.5))) + (Math.sin((phi1 * 0.5)) * Math.cos((phi2 * 0.5)))), 2.0)))) * (R * 2.0);
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * math.pow(math.sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))), 2.0)
	return math.atan2(math.sqrt((t_0 + math.pow(math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0))), math.sqrt(((1.0 - t_0) - math.pow(((math.cos((phi1 * 0.5)) * math.sin((phi2 * -0.5))) + (math.sin((phi1 * 0.5)) * math.cos((phi2 * 0.5)))), 2.0)))) * (R * 2.0)

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin(Float64(-0.5 * Float64(lambda2 - lambda1))) ^ 2.0))
	return Float64(atan(sqrt(Float64(t_0 + (sin(Float64(0.5 * Float64(phi1 - phi2))) ^ 2.0))), sqrt(Float64(Float64(1.0 - t_0) - (Float64(Float64(cos(Float64(phi1 * 0.5)) * sin(Float64(phi2 * -0.5))) + Float64(sin(Float64(phi1 * 0.5)) * cos(Float64(phi2 * 0.5)))) ^ 2.0)))) * Float64(R * 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin((-0.5 * (lambda2 - lambda1))) ^ 2.0);
	tmp = atan2(sqrt((t_0 + (sin((0.5 * (phi1 - phi2))) ^ 2.0))), sqrt(((1.0 - t_0) - (((cos((phi1 * 0.5)) * sin((phi2 * -0.5))) + (sin((phi1 * 0.5)) * cos((phi2 * 0.5)))) ^ 2.0)))) * (R * 2.0);
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Power[N[Sin[N[(-0.5 * N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$0 + N[Power[N[Sin[N[(0.5 * N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] - N[Power[N[(N[(N[Cos[N[(phi1 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[N[(phi1 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(R * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 63.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 63.8%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

5. Taylor expanded in lambda1 around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}}\right)} \]

7. Simplified 63.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 - \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) - {\left(\sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) + \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right)\right)}^{2}}}} \]

8. Final simplification 63.9%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2} + {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 - \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)}^{2}\right) - {\left(\cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) + \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 62.7% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_0 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right) + {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))))
   (*
    R
    (*
     2.0
     (atan2
      (sqrt
       (+
        (* t_0 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0))
        (pow
         (-
          (* (sin (/ phi1 2.0)) (cos (/ phi2 2.0)))
          (* (cos (/ phi1 2.0)) (sin (/ phi2 2.0))))
         2.0)))
      (sqrt
       (-
        (+ 0.5 (* 0.5 (cos (- phi1 phi2))))
        (*
         (cos phi1)
         (* (cos phi2) (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- lambda1 lambda2)))))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_0 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)) + pow(((sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0))) - (cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0)))), 2.0))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((phi1 - phi2)))) - (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2))))))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(((t_0 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)) + (((sin((phi1 / 2.0d0)) * cos((phi2 / 2.0d0))) - (cos((phi1 / 2.0d0)) * sin((phi2 / 2.0d0)))) ** 2.0d0))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((phi1 - phi2)))) - (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((lambda1 - lambda2))))))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(((t_0 * ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0)) + Math.pow(((Math.sin((phi1 / 2.0)) * Math.cos((phi2 / 2.0))) - (Math.cos((phi1 / 2.0)) * Math.sin((phi2 / 2.0)))), 2.0))), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((phi1 - phi2)))) - (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (0.5 + (-0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2))))))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(((t_0 * ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0)) + math.pow(((math.sin((phi1 / 2.0)) * math.cos((phi2 / 2.0))) - (math.cos((phi1 / 2.0)) * math.sin((phi2 / 2.0)))), 2.0))), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((phi1 - phi2)))) - (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (0.5 + (-0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2))))))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(t_0 * Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)) + (Float64(Float64(sin(Float64(phi1 / 2.0)) * cos(Float64(phi2 / 2.0))) - Float64(cos(Float64(phi1 / 2.0)) * sin(Float64(phi2 / 2.0)))) ^ 2.0))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2)))) - Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_0 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0)) + (((sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0))) - (cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0)))) ^ 2.0))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((phi1 - phi2)))) - (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2))))))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$0 * N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sin-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right) + \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 63.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 63.8%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(-\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(-\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 77.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 77.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(-\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(-\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

8. Applied egg-rr 63.8%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}}\right) \]

9. Final simplification 63.8%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 61.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_2 := \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\\ t_3 := \sin t\_2\\ t_4 := \cos t\_1\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_3 \cdot \left(t\_0 \cdot t\_3\right) + {\sin t\_1}^{2}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(t\_4, t\_4, t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_2\right) - 0.5\right)\right)}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_1 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_2 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
        (t_3 (sin t_2))
        (t_4 (cos t_1)))
   (*
    R
    (*
     2.0
     (atan2
      (sqrt (+ (* t_3 (* t_0 t_3)) (pow (sin t_1) 2.0)))
      (sqrt (fma t_4 t_4 (* t_0 (- (* 0.5 (cos (* 2.0 t_2))) 0.5)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_1 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_2 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_3 = sin(t_2);
	double t_4 = cos(t_1);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_3 * (t_0 * t_3)) + pow(sin(t_1), 2.0))), sqrt(fma(t_4, t_4, (t_0 * ((0.5 * cos((2.0 * t_2))) - 0.5))))));
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_1 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_2 = Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)
	t_3 = sin(t_2)
	t_4 = cos(t_1)
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(t_3 * Float64(t_0 * t_3)) + (sin(t_1) ^ 2.0))), sqrt(fma(t_4, t_4, Float64(t_0 * Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_2))) - 0.5)))))))
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Cos[t$95$1], $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$3 * N[(t$95$0 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(t$95$4 * t$95$4 + N[(t$95$0 * N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right) - \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right) - \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 - \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. 1-sub-sin N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 63.1%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), \left(-\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}}\right) \]

5. Final simplification 63.1%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 7: 61.8% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_1 := \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\\ t_2 := \sin t\_1\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_2 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_2\right) + {\sin t\_0}^{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_0\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_1\right) - 0.5\right)\right)}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_1 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
        (t_2 (sin t_1)))
   (*
    R
    (*
     2.0
     (atan2
      (sqrt (+ (* t_2 (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_2)) (pow (sin t_0) 2.0)))
      (sqrt
       (+
        (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_0))))
        (* (cos phi1) (* (cos phi2) (- (* 0.5 (cos (* 2.0 t_1))) 0.5))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_1 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_2 = sin(t_1);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_2 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_2)) + pow(sin(t_0), 2.0))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_0)))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * t_1))) - 0.5)))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    t_1 = (lambda1 - lambda2) / 2.0d0
    t_2 = sin(t_1)
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(((t_2 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_2)) + (sin(t_0) ** 2.0d0))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_0)))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5d0 * cos((2.0d0 * t_1))) - 0.5d0)))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_1 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_2 = Math.sin(t_1);
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(((t_2 * ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_2)) + Math.pow(Math.sin(t_0), 2.0))), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * t_0)))) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * ((0.5 * Math.cos((2.0 * t_1))) - 0.5)))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0
	t_1 = (lambda1 - lambda2) / 2.0
	t_2 = math.sin(t_1)
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(((t_2 * ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_2)) + math.pow(math.sin(t_0), 2.0))), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * t_0)))) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * ((0.5 * math.cos((2.0 * t_1))) - 0.5)))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_1 = Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)
	t_2 = sin(t_1)
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(t_2 * Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_2)) + (sin(t_0) ^ 2.0))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_0)))) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_1))) - 0.5))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	t_1 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	t_2 = sin(t_1);
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(((t_2 * ((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_2)) + (sin(t_0) ^ 2.0))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_0)))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * t_1))) - 0.5)))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$2 * N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right) - \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \left(\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 63.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}}\right) \]

5. Final simplification 63.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 8: 60.1% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_1 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_0\right)\\ t_2 := \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\\ t_3 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_2\right)\\ t_4 := \sqrt{\left(0.5 + t\_1\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(t\_3 - 0.5\right)\right)}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -5 \cdot 10^{-76}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - t\_1\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin t\_2}^{2}\right)}}{t\_4} \cdot \left(R \cdot 2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin t\_0}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - t\_3\right)\right)}}{t\_4}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_1 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_0))))
        (t_2 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
        (t_3 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_2))))
        (t_4 (sqrt (+ (+ 0.5 t_1) (* (cos phi1) (* (cos phi2) (- t_3 0.5)))))))
   (if (<= (- lambda1 lambda2) -5e-76)
     (*
      (atan2
       (sqrt (+ (- 0.5 t_1) (* (cos phi1) (* (cos phi2) (pow (sin t_2) 2.0)))))
       t_4)
      (* R 2.0))
     (*
      (* R 2.0)
      (atan2
       (sqrt (+ (pow (sin t_0) 2.0) (* (cos phi1) (* (cos phi2) (- 0.5 t_3)))))
       t_4)))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_1 = 0.5 * cos((2.0 * t_0));
	double t_2 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_3 = 0.5 * cos((2.0 * t_2));
	double t_4 = sqrt(((0.5 + t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (t_3 - 0.5)))));
	double tmp;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -5e-76) {
		tmp = atan2(sqrt(((0.5 - t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * pow(sin(t_2), 2.0))))), t_4) * (R * 2.0);
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((pow(sin(t_0), 2.0) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - t_3))))), t_4);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    t_1 = 0.5d0 * cos((2.0d0 * t_0))
    t_2 = (lambda1 - lambda2) / 2.0d0
    t_3 = 0.5d0 * cos((2.0d0 * t_2))
    t_4 = sqrt(((0.5d0 + t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (t_3 - 0.5d0)))))
    if ((lambda1 - lambda2) <= (-5d-76)) then
        tmp = atan2(sqrt(((0.5d0 - t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (sin(t_2) ** 2.0d0))))), t_4) * (r * 2.0d0)
    else
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt(((sin(t_0) ** 2.0d0) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5d0 - t_3))))), t_4)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_1 = 0.5 * Math.cos((2.0 * t_0));
	double t_2 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_3 = 0.5 * Math.cos((2.0 * t_2));
	double t_4 = Math.sqrt(((0.5 + t_1) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (t_3 - 0.5)))));
	double tmp;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -5e-76) {
		tmp = Math.atan2(Math.sqrt(((0.5 - t_1) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * Math.pow(Math.sin(t_2), 2.0))))), t_4) * (R * 2.0);
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((Math.pow(Math.sin(t_0), 2.0) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (0.5 - t_3))))), t_4);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0
	t_1 = 0.5 * math.cos((2.0 * t_0))
	t_2 = (lambda1 - lambda2) / 2.0
	t_3 = 0.5 * math.cos((2.0 * t_2))
	t_4 = math.sqrt(((0.5 + t_1) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (t_3 - 0.5)))))
	tmp = 0
	if (lambda1 - lambda2) <= -5e-76:
		tmp = math.atan2(math.sqrt(((0.5 - t_1) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * math.pow(math.sin(t_2), 2.0))))), t_4) * (R * 2.0)
	else:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((math.pow(math.sin(t_0), 2.0) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (0.5 - t_3))))), t_4)
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_1 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_0)))
	t_2 = Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)
	t_3 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_2)))
	t_4 = sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_1) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(t_3 - 0.5)))))
	tmp = 0.0
	if (Float64(lambda1 - lambda2) <= -5e-76)
		tmp = Float64(atan(sqrt(Float64(Float64(0.5 - t_1) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * (sin(t_2) ^ 2.0))))), t_4) * Float64(R * 2.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64((sin(t_0) ^ 2.0) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(0.5 - t_3))))), t_4));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	t_1 = 0.5 * cos((2.0 * t_0));
	t_2 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	t_3 = 0.5 * cos((2.0 * t_2));
	t_4 = sqrt(((0.5 + t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (t_3 - 0.5)))));
	tmp = 0.0;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -5e-76)
		tmp = atan2(sqrt(((0.5 - t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (sin(t_2) ^ 2.0))))), t_4) * (R * 2.0);
	else
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((sin(t_0) ^ 2.0) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - t_3))))), t_4);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(t$95$3 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision], -5e-76], N[(N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(0.5 - t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Power[N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$4], $MachinePrecision] * N[(R * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(0.5 - t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$4], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 lambda1 lambda2) < -4.9999999999999998e-76

   1. Initial program 62.4%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 57.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sqr-sin-a N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left({\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 62.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 62.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}^{2}}\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -4.9999999999999998e-76 < (-.f64 lambda1 lambda2)

   1. Initial program 63.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 58.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sqr-sin-a N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 62.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 62.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -5 \cdot 10^{-76}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}^{2}\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 59.2% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\\ t_1 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\\ \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - t\_1\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin t\_0}^{2}\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + t\_1\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_0\right) - 0.5\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
        (t_1 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0))))))
   (*
    (atan2
     (sqrt (+ (- 0.5 t_1) (* (cos phi1) (* (cos phi2) (pow (sin t_0) 2.0)))))
     (sqrt
      (+
       (+ 0.5 t_1)
       (* (cos phi1) (* (cos phi2) (- (* 0.5 (cos (* 2.0 t_0))) 0.5))))))
    (* R 2.0))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_1 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	return atan2(sqrt(((0.5 - t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * pow(sin(t_0), 2.0))))), sqrt(((0.5 + t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * t_0))) - 0.5)))))) * (R * 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = (lambda1 - lambda2) / 2.0d0
    t_1 = 0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0)))
    code = atan2(sqrt(((0.5d0 - t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (sin(t_0) ** 2.0d0))))), sqrt(((0.5d0 + t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5d0 * cos((2.0d0 * t_0))) - 0.5d0)))))) * (r * 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	double t_1 = 0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	return Math.atan2(Math.sqrt(((0.5 - t_1) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * Math.pow(Math.sin(t_0), 2.0))))), Math.sqrt(((0.5 + t_1) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * ((0.5 * Math.cos((2.0 * t_0))) - 0.5)))))) * (R * 2.0);
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (lambda1 - lambda2) / 2.0
	t_1 = 0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)))
	return math.atan2(math.sqrt(((0.5 - t_1) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * math.pow(math.sin(t_0), 2.0))))), math.sqrt(((0.5 + t_1) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * ((0.5 * math.cos((2.0 * t_0))) - 0.5)))))) * (R * 2.0)

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)
	t_1 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))
	return Float64(atan(sqrt(Float64(Float64(0.5 - t_1) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * (sin(t_0) ^ 2.0))))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_1) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_0))) - 0.5)))))) * Float64(R * 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (lambda1 - lambda2) / 2.0;
	t_1 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	tmp = atan2(sqrt(((0.5 - t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (sin(t_0) ^ 2.0))))), sqrt(((0.5 + t_1) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * t_0))) - 0.5)))))) * (R * 2.0);
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(0.5 - t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Power[N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(R * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 58.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left({\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 60.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 60.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}^{2}}\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

7. Final simplification 60.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}^{2}\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 10: 57.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right) + \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(0.5 - \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  (* R 2.0)
  (atan2
   (sqrt
    (+
     (*
      (cos phi1)
      (* (cos phi2) (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))))))
     (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))))
   (sqrt
    (+
     (* 0.5 (cos (- phi1 phi2)))
     (-
      0.5
      (*
       (* (cos phi1) (cos phi2))
       (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- lambda1 lambda2)))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (R * 2.0) * atan2(sqrt(((cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0))))))) + (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))))), sqrt(((0.5 * cos((phi1 - phi2))) + (0.5 - ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt(((cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5d0 - (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))))))) + (0.5d0 - (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))))), sqrt(((0.5d0 * cos((phi1 - phi2))) + (0.5d0 - ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((lambda1 - lambda2)))))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt(((Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * Math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0))))))) + (0.5 - (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))))), Math.sqrt(((0.5 * Math.cos((phi1 - phi2))) + (0.5 - ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (0.5 + (-0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2)))))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt(((math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0))))))) + (0.5 - (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))))), math.sqrt(((0.5 * math.cos((phi1 - phi2))) + (0.5 - ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (0.5 + (-0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2)))))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))))))) + Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))))), sqrt(Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2))) + Float64(0.5 - Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0))))))) + (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))))), sqrt(((0.5 * cos((phi1 - phi2))) + (0.5 - ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)))))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 - N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 58.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 58.3%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, -\left(0.5 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right), 0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

7. Taylor expanded in phi1 around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \left(-1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + -1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + -1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

9. Simplified 58.3%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 - \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

10. Final simplification 58.3%

    \[\leadsto \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right) + \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(0.5 - \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 11: 57.2% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\\ \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot t\_0\right)\right) + \left(0.5 + -0.5 \cdot t\_1\right)}}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot t\_1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot t\_0\right)\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2))) (t_1 (cos (- phi1 phi2))))
   (*
    (* R 2.0)
    (atan2
     (sqrt
      (+
       (* (cos phi1) (* (cos phi2) (+ 0.5 (* -0.5 t_0))))
       (+ 0.5 (* -0.5 t_1))))
     (sqrt
      (+
       0.5
       (+ (* 0.5 t_1) (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (+ -0.5 (* 0.5 t_0))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = cos((phi1 - phi2));
	return (R * 2.0) * atan2(sqrt(((cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 + (-0.5 * t_0)))) + (0.5 + (-0.5 * t_1)))), sqrt((0.5 + ((0.5 * t_1) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * t_0)))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = cos((phi1 - phi2))
    code = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt(((cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5d0 + ((-0.5d0) * t_0)))) + (0.5d0 + ((-0.5d0) * t_1)))), sqrt((0.5d0 + ((0.5d0 * t_1) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-0.5d0) + (0.5d0 * t_0)))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.cos((phi1 - phi2));
	return (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt(((Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (0.5 + (-0.5 * t_0)))) + (0.5 + (-0.5 * t_1)))), Math.sqrt((0.5 + ((0.5 * t_1) + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * t_0)))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.cos((phi1 - phi2))
	return (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt(((math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (0.5 + (-0.5 * t_0)))) + (0.5 + (-0.5 * t_1)))), math.sqrt((0.5 + ((0.5 * t_1) + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * t_0)))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = cos(Float64(phi1 - phi2))
	return Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(0.5 + Float64(-0.5 * t_0)))) + Float64(0.5 + Float64(-0.5 * t_1)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.5 * t_1) + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-0.5 + Float64(0.5 * t_0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = cos((phi1 - phi2));
	tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 + (-0.5 * t_0)))) + (0.5 + (-0.5 * t_1)))), sqrt((0.5 + ((0.5 * t_1) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * t_0)))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(-0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(-0.5 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(0.5 * t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sin-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right) + \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 63.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 63.8%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(-\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(-\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 77.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 77.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(-\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(-\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

8. Applied egg-rr 58.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}} \cdot \left(2 \cdot R\right)} \]

9. Final simplification 58.3%

   \[\leadsto \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 12: 57.3% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_2 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\\ t_3 := \sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - t\_1\right)\right) + \left(0.5 - t\_2\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -52000000:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(t\_0 - 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + t\_2\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(t\_1 - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.3:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{t\_3}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - t\_0\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{t\_3}{\sqrt{0.5 + \left(\cos \phi_2 \cdot 0.5 - \cos \phi_2 \cdot t\_0\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- lambda1 lambda2)))))
        (t_1 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))))
        (t_2 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
        (t_3 (sqrt (+ (* (cos phi1) (* (cos phi2) (- 0.5 t_1))) (- 0.5 t_2)))))
   (if (<= phi2 -52000000.0)
     (*
      (* R 2.0)
      (atan2
       (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi2) (- t_0 0.5))))
       (sqrt (+ (+ 0.5 t_2) (* (cos phi1) (* (cos phi2) (- t_1 0.5)))))))
     (if (<= phi2 3.3)
       (* (* R 2.0) (atan2 t_3 (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) (- 0.5 t_0))))))
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         t_3
         (sqrt (+ 0.5 (- (* (cos phi2) 0.5) (* (cos phi2) t_0))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_1 = 0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)));
	double t_2 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	double t_3 = sqrt(((cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - t_1))) + (0.5 - t_2)));
	double tmp;
	if (phi2 <= -52000000.0) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi2) * (t_0 - 0.5)))), sqrt(((0.5 + t_2) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (t_1 - 0.5))))));
	} else if (phi2 <= 3.3) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(t_3, sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (0.5 - t_0)))));
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(t_3, sqrt((0.5 + ((cos(phi2) * 0.5) - (cos(phi2) * t_0)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((lambda1 - lambda2)))
    t_1 = 0.5d0 * cos((2.0d0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)))
    t_2 = 0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0)))
    t_3 = sqrt(((cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5d0 - t_1))) + (0.5d0 - t_2)))
    if (phi2 <= (-52000000.0d0)) then
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (cos(phi2) * (t_0 - 0.5d0)))), sqrt(((0.5d0 + t_2) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (t_1 - 0.5d0))))))
    else if (phi2 <= 3.3d0) then
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(t_3, sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * (0.5d0 - t_0)))))
    else
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(t_3, sqrt((0.5d0 + ((cos(phi2) * 0.5d0) - (cos(phi2) * t_0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_1 = 0.5 * Math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)));
	double t_2 = 0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	double t_3 = Math.sqrt(((Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (0.5 - t_1))) + (0.5 - t_2)));
	double tmp;
	if (phi2 <= -52000000.0) {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi2) * (t_0 - 0.5)))), Math.sqrt(((0.5 + t_2) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (t_1 - 0.5))))));
	} else if (phi2 <= 3.3) {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(t_3, Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * (0.5 - t_0)))));
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(t_3, Math.sqrt((0.5 + ((Math.cos(phi2) * 0.5) - (Math.cos(phi2) * t_0)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2)))
	t_1 = 0.5 * math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))
	t_2 = 0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)))
	t_3 = math.sqrt(((math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (0.5 - t_1))) + (0.5 - t_2)))
	tmp = 0
	if phi2 <= -52000000.0:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi2) * (t_0 - 0.5)))), math.sqrt(((0.5 + t_2) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (t_1 - 0.5))))))
	elif phi2 <= 3.3:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(t_3, math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * (0.5 - t_0)))))
	else:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(t_3, math.sqrt((0.5 + ((math.cos(phi2) * 0.5) - (math.cos(phi2) * t_0)))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	t_1 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))))
	t_2 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))
	t_3 = sqrt(Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(0.5 - t_1))) + Float64(0.5 - t_2)))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -52000000.0)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi2) * Float64(t_0 - 0.5)))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_2) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(t_1 - 0.5)))))));
	elseif (phi2 <= 3.3)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(t_3, sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * Float64(0.5 - t_0))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(t_3, sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(cos(phi2) * 0.5) - Float64(cos(phi2) * t_0))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)));
	t_1 = 0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)));
	t_2 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	t_3 = sqrt(((cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - t_1))) + (0.5 - t_2)));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -52000000.0)
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi2) * (t_0 - 0.5)))), sqrt(((0.5 + t_2) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (t_1 - 0.5))))));
	elseif (phi2 <= 3.3)
		tmp = (R * 2.0) * atan2(t_3, sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (0.5 - t_0)))));
	else
		tmp = (R * 2.0) * atan2(t_3, sqrt((0.5 + ((cos(phi2) * 0.5) - (cos(phi2) * t_0)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sqrt[N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(0.5 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -52000000.0], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(t$95$0 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$2), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(t$95$1 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 3.3], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[t$95$3 / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(0.5 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[t$95$3 / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -5.2e7

   1. Initial program 54.0%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 54.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 55.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 55.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -5.2e7 < phi2 < 3.2999999999999998

   1. Initial program 73.1%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 64.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 64.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 64.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 3.2999999999999998 < phi2

   1. Initial program 50.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 50.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 50.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, -\left(0.5 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right), 0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   7. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \left(-1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(-1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right) + -1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 51.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. Simplified 51.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 58.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -52000000:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.3:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right) + \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right) + \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + \left(\cos \phi_2 \cdot 0.5 - \cos \phi_2 \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 57.3% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_2 := 0.5 - t\_0\\ t_3 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\\ t_4 := \sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - t\_1\right)\right) + \left(0.5 - t\_3\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -52000000:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(t\_0 - 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + t\_3\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(t\_1 - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.3:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{t\_4}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot t\_2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{t\_4}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot t\_2}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- lambda1 lambda2)))))
        (t_1 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))))
        (t_2 (- 0.5 t_0))
        (t_3 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
        (t_4 (sqrt (+ (* (cos phi1) (* (cos phi2) (- 0.5 t_1))) (- 0.5 t_3)))))
   (if (<= phi2 -52000000.0)
     (*
      (* R 2.0)
      (atan2
       (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi2) (- t_0 0.5))))
       (sqrt (+ (+ 0.5 t_3) (* (cos phi1) (* (cos phi2) (- t_1 0.5)))))))
     (if (<= phi2 3.3)
       (* (* R 2.0) (atan2 t_4 (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) t_2)))))
       (* (* R 2.0) (atan2 t_4 (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi2) t_2)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_1 = 0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)));
	double t_2 = 0.5 - t_0;
	double t_3 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	double t_4 = sqrt(((cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - t_1))) + (0.5 - t_3)));
	double tmp;
	if (phi2 <= -52000000.0) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi2) * (t_0 - 0.5)))), sqrt(((0.5 + t_3) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (t_1 - 0.5))))));
	} else if (phi2 <= 3.3) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(t_4, sqrt((0.5 + (cos(phi1) * t_2))));
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(t_4, sqrt((0.5 + (cos(phi2) * t_2))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((lambda1 - lambda2)))
    t_1 = 0.5d0 * cos((2.0d0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)))
    t_2 = 0.5d0 - t_0
    t_3 = 0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0)))
    t_4 = sqrt(((cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5d0 - t_1))) + (0.5d0 - t_3)))
    if (phi2 <= (-52000000.0d0)) then
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (cos(phi2) * (t_0 - 0.5d0)))), sqrt(((0.5d0 + t_3) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (t_1 - 0.5d0))))))
    else if (phi2 <= 3.3d0) then
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(t_4, sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * t_2))))
    else
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(t_4, sqrt((0.5d0 + (cos(phi2) * t_2))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_1 = 0.5 * Math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)));
	double t_2 = 0.5 - t_0;
	double t_3 = 0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	double t_4 = Math.sqrt(((Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (0.5 - t_1))) + (0.5 - t_3)));
	double tmp;
	if (phi2 <= -52000000.0) {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi2) * (t_0 - 0.5)))), Math.sqrt(((0.5 + t_3) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (t_1 - 0.5))))));
	} else if (phi2 <= 3.3) {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(t_4, Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * t_2))));
	} else {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(t_4, Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi2) * t_2))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2)))
	t_1 = 0.5 * math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))
	t_2 = 0.5 - t_0
	t_3 = 0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)))
	t_4 = math.sqrt(((math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (0.5 - t_1))) + (0.5 - t_3)))
	tmp = 0
	if phi2 <= -52000000.0:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi2) * (t_0 - 0.5)))), math.sqrt(((0.5 + t_3) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (t_1 - 0.5))))))
	elif phi2 <= 3.3:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(t_4, math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * t_2))))
	else:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(t_4, math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi2) * t_2))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	t_1 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))))
	t_2 = Float64(0.5 - t_0)
	t_3 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))
	t_4 = sqrt(Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(0.5 - t_1))) + Float64(0.5 - t_3)))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -52000000.0)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi2) * Float64(t_0 - 0.5)))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_3) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(t_1 - 0.5)))))));
	elseif (phi2 <= 3.3)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(t_4, sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * t_2)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(t_4, sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi2) * t_2)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)));
	t_1 = 0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)));
	t_2 = 0.5 - t_0;
	t_3 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	t_4 = sqrt(((cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - t_1))) + (0.5 - t_3)));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -52000000.0)
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi2) * (t_0 - 0.5)))), sqrt(((0.5 + t_3) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (t_1 - 0.5))))));
	elseif (phi2 <= 3.3)
		tmp = (R * 2.0) * atan2(t_4, sqrt((0.5 + (cos(phi1) * t_2))));
	else
		tmp = (R * 2.0) * atan2(t_4, sqrt((0.5 + (cos(phi2) * t_2))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 - t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Sqrt[N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(0.5 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 - t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -52000000.0], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(t$95$0 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$3), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(t$95$1 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 3.3], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[t$95$4 / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[t$95$4 / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -5.2e7

   1. Initial program 54.0%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 54.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 55.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 55.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -5.2e7 < phi2 < 3.2999999999999998

   1. Initial program 73.1%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 64.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 64.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 64.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 3.2999999999999998 < phi2

   1. Initial program 50.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 50.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 51.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 51.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 58.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -52000000:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.3:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right) + \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right) + \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 57.3% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_2 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\\ t_3 := \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(t\_0 - 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + t\_2\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(t\_1 - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -52000000:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.3:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - t\_1\right)\right) + \left(0.5 - t\_2\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - t\_0\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- lambda1 lambda2)))))
        (t_1 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))))
        (t_2 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
        (t_3
         (*
          (* R 2.0)
          (atan2
           (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi2) (- t_0 0.5))))
           (sqrt (+ (+ 0.5 t_2) (* (cos phi1) (* (cos phi2) (- t_1 0.5)))))))))
   (if (<= phi2 -52000000.0)
     t_3
     (if (<= phi2 3.3)
       (*
        (* R 2.0)
        (atan2
         (sqrt (+ (* (cos phi1) (* (cos phi2) (- 0.5 t_1))) (- 0.5 t_2)))
         (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) (- 0.5 t_0))))))
       t_3))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_1 = 0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)));
	double t_2 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	double t_3 = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi2) * (t_0 - 0.5)))), sqrt(((0.5 + t_2) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (t_1 - 0.5))))));
	double tmp;
	if (phi2 <= -52000000.0) {
		tmp = t_3;
	} else if (phi2 <= 3.3) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - t_1))) + (0.5 - t_2))), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (0.5 - t_0)))));
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((lambda1 - lambda2)))
    t_1 = 0.5d0 * cos((2.0d0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)))
    t_2 = 0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0)))
    t_3 = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (cos(phi2) * (t_0 - 0.5d0)))), sqrt(((0.5d0 + t_2) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (t_1 - 0.5d0))))))
    if (phi2 <= (-52000000.0d0)) then
        tmp = t_3
    else if (phi2 <= 3.3d0) then
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt(((cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5d0 - t_1))) + (0.5d0 - t_2))), sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * (0.5d0 - t_0)))))
    else
        tmp = t_3
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 + (-0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_1 = 0.5 * Math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)));
	double t_2 = 0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	double t_3 = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi2) * (t_0 - 0.5)))), Math.sqrt(((0.5 + t_2) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (t_1 - 0.5))))));
	double tmp;
	if (phi2 <= -52000000.0) {
		tmp = t_3;
	} else if (phi2 <= 3.3) {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt(((Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (0.5 - t_1))) + (0.5 - t_2))), Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * (0.5 - t_0)))));
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2)))
	t_1 = 0.5 * math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))
	t_2 = 0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)))
	t_3 = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi2) * (t_0 - 0.5)))), math.sqrt(((0.5 + t_2) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (t_1 - 0.5))))))
	tmp = 0
	if phi2 <= -52000000.0:
		tmp = t_3
	elif phi2 <= 3.3:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt(((math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (0.5 - t_1))) + (0.5 - t_2))), math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * (0.5 - t_0)))))
	else:
		tmp = t_3
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	t_1 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))))
	t_2 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))
	t_3 = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi2) * Float64(t_0 - 0.5)))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_2) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(t_1 - 0.5)))))))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -52000000.0)
		tmp = t_3;
	elseif (phi2 <= 3.3)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(0.5 - t_1))) + Float64(0.5 - t_2))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * Float64(0.5 - t_0))))));
	else
		tmp = t_3;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = 0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)));
	t_1 = 0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)));
	t_2 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	t_3 = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi2) * (t_0 - 0.5)))), sqrt(((0.5 + t_2) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (t_1 - 0.5))))));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -52000000.0)
		tmp = t_3;
	elseif (phi2 <= 3.3)
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt(((cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 - t_1))) + (0.5 - t_2))), sqrt((0.5 + (cos(phi1) * (0.5 - t_0)))));
	else
		tmp = t_3;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(t$95$0 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$2), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(t$95$1 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -52000000.0], t$95$3, If[LessEqual[phi2, 3.3], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(0.5 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(0.5 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$3]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -5.2e7 or 3.2999999999999998 < phi2

   1. Initial program 52.1%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 52.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 53.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 53.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -5.2e7 < phi2 < 3.2999999999999998

   1. Initial program 73.1%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 64.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1 - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2} - \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 64.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 64.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -52000000:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.3:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right) + \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(0.5 - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 57.2% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\\ t_1 := \sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}\\ t_2 := \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot t\_0}}{t\_1}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -52000000:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.3:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot t\_0}}{t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- lambda1 lambda2)))) 0.5))
        (t_1
         (sqrt
          (+
           (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
           (*
            (cos phi1)
            (*
             (cos phi2)
             (- (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))) 0.5))))))
        (t_2 (* (* R 2.0) (atan2 (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi2) t_0))) t_1))))
   (if (<= phi2 -52000000.0)
     t_2
     (if (<= phi2 3.3)
       (* (* R 2.0) (atan2 (sqrt (+ 0.5 (* (cos phi1) t_0))) t_1))
       t_2))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)))) - 0.5;
	double t_1 = sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5)))));
	double t_2 = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi2) * t_0))), t_1);
	double tmp;
	if (phi2 <= -52000000.0) {
		tmp = t_2;
	} else if (phi2 <= 3.3) {
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * t_0))), t_1);
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = (0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((lambda1 - lambda2)))) - 0.5d0
    t_1 = sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5d0 * cos((2.0d0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)))) - 0.5d0)))))
    t_2 = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (cos(phi2) * t_0))), t_1)
    if (phi2 <= (-52000000.0d0)) then
        tmp = t_2
    else if (phi2 <= 3.3d0) then
        tmp = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * t_0))), t_1)
    else
        tmp = t_2
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (0.5 + (-0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2)))) - 0.5;
	double t_1 = Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * ((0.5 * Math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5)))));
	double t_2 = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi2) * t_0))), t_1);
	double tmp;
	if (phi2 <= -52000000.0) {
		tmp = t_2;
	} else if (phi2 <= 3.3) {
		tmp = (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * t_0))), t_1);
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (0.5 + (-0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2)))) - 0.5
	t_1 = math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * ((0.5 * math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5)))))
	t_2 = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi2) * t_0))), t_1)
	tmp = 0
	if phi2 <= -52000000.0:
		tmp = t_2
	elif phi2 <= 3.3:
		tmp = (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * t_0))), t_1)
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))) - 0.5)
	t_1 = sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5)))))
	t_2 = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi2) * t_0))), t_1))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -52000000.0)
		tmp = t_2;
	elseif (phi2 <= 3.3)
		tmp = Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * t_0))), t_1));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)))) - 0.5;
	t_1 = sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5)))));
	t_2 = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi2) * t_0))), t_1);
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -52000000.0)
		tmp = t_2;
	elseif (phi2 <= 3.3)
		tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * t_0))), t_1);
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -52000000.0], t$95$2, If[LessEqual[phi2, 3.3], N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$2]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -5.2e7 or 3.2999999999999998 < phi2

   1. Initial program 52.1%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 52.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 53.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 53.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -5.2e7 < phi2 < 3.2999999999999998

   1. Initial program 73.1%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 64.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 63.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 63.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -52000000:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.3:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_2 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 42.7% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  (* R 2.0)
  (atan2
   (sqrt
    (+ 0.5 (* (cos phi1) (- (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- lambda1 lambda2)))) 0.5))))
   (sqrt
    (+
     (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
     (*
      (cos phi1)
      (*
       (cos phi2)
       (- (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))) 0.5))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * ((0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)))) - 0.5)))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = (r * 2.0d0) * atan2(sqrt((0.5d0 + (cos(phi1) * ((0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((lambda1 - lambda2)))) - 0.5d0)))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5d0 * cos((2.0d0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)))) - 0.5d0))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (R * 2.0) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (Math.cos(phi1) * ((0.5 + (-0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2)))) - 0.5)))), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * ((0.5 * Math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return (R * 2.0) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (math.cos(phi1) * ((0.5 + (-0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2)))) - 0.5)))), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * ((0.5 * math.cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(Float64(R * 2.0) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))) - 0.5)))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = (R * 2.0) * atan2(sqrt((0.5 + (cos(phi1) * ((0.5 + (-0.5 * cos((lambda1 - lambda2)))) - 0.5)))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (cos(phi1) * (cos(phi2) * ((0.5 * cos((2.0 * ((lambda1 - lambda2) / 2.0)))) - 0.5))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(N[(R * 2.0), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 58.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. --lowering--.f64 41.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 41.3%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Final simplification 41.3%

   \[\leadsto \left(R \cdot 2\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) - 0.5\right)\right)}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 17: 15.4% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ t_1 := R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right)}{t\_0}\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.32 \cdot 10^{-25}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3700:\\ \;\;\;\;R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right)}{t\_0}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (sqrt
          (+
           (+ 0.5 (* 0.5 (cos (- phi1 phi2))))
           (*
            (* (cos phi1) (cos phi2))
            (+ -0.5 (* 0.5 (cos (- lambda1 lambda2))))))))
        (t_1 (* R (* 2.0 (atan2 (sin (* phi2 -0.5)) t_0)))))
   (if (<= phi2 -1.32e-25)
     t_1
     (if (<= phi2 3700.0) (* R (* 2.0 (atan2 (sin (* phi1 0.5)) t_0))) t_1))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((phi1 - phi2)))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * cos((lambda1 - lambda2)))))));
	double t_1 = R * (2.0 * atan2(sin((phi2 * -0.5)), t_0));
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.32e-25) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 3700.0) {
		tmp = R * (2.0 * atan2(sin((phi1 * 0.5)), t_0));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((phi1 - phi2)))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-0.5d0) + (0.5d0 * cos((lambda1 - lambda2)))))))
    t_1 = r * (2.0d0 * atan2(sin((phi2 * (-0.5d0))), t_0))
    if (phi2 <= (-1.32d-25)) then
        tmp = t_1
    else if (phi2 <= 3700.0d0) then
        tmp = r * (2.0d0 * atan2(sin((phi1 * 0.5d0)), t_0))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((phi1 - phi2)))) + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2)))))));
	double t_1 = R * (2.0 * Math.atan2(Math.sin((phi2 * -0.5)), t_0));
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.32e-25) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 3700.0) {
		tmp = R * (2.0 * Math.atan2(Math.sin((phi1 * 0.5)), t_0));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((phi1 - phi2)))) + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2)))))))
	t_1 = R * (2.0 * math.atan2(math.sin((phi2 * -0.5)), t_0))
	tmp = 0
	if phi2 <= -1.32e-25:
		tmp = t_1
	elif phi2 <= 3700.0:
		tmp = R * (2.0 * math.atan2(math.sin((phi1 * 0.5)), t_0))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2)))) + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))))
	t_1 = Float64(R * Float64(2.0 * atan(sin(Float64(phi2 * -0.5)), t_0)))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -1.32e-25)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 3700.0)
		tmp = Float64(R * Float64(2.0 * atan(sin(Float64(phi1 * 0.5)), t_0)));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((phi1 - phi2)))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * cos((lambda1 - lambda2)))))));
	t_1 = R * (2.0 * atan2(sin((phi2 * -0.5)), t_0));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -1.32e-25)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 3700.0)
		tmp = R * (2.0 * atan2(sin((phi1 * 0.5)), t_0));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sin[N[(phi2 * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -1.32e-25], t$95$1, If[LessEqual[phi2, 3700.0], N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sin[N[(phi1 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -1.3199999999999999e-25 or 3700 < phi2

   1. Initial program 52.0%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 43.5%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   6. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 15.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 15.5%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   10. Applied egg-rr 15.5%

       \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}\right) \]

   11. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 15.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 15.9%

       \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(-0.5 \cdot \phi_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}\right) \]

   if -1.3199999999999999e-25 < phi2 < 3700

   1. Initial program 74.0%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 52.3%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   6. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 17.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 17.4%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   10. Applied egg-rr 17.5%

       \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}\right) \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 17.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 17.4%

       \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 16.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.32 \cdot 10^{-25}:\\ \;\;\;\;R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3700:\\ \;\;\;\;R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right)}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 14.8% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq 3700:\\ \;\;\;\;R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{t\_0 + \left(0.5 + \cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + t\_0}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* (cos phi1) (cos phi2))
          (+ -0.5 (* 0.5 (cos (- lambda1 lambda2)))))))
   (if (<= phi2 3700.0)
     (*
      R
      (*
       2.0
       (atan2
        (sin (* 0.5 (- phi1 phi2)))
        (sqrt (+ t_0 (+ 0.5 (* (cos phi1) 0.5)))))))
     (*
      R
      (*
       2.0
       (atan2
        (sin (* phi2 -0.5))
        (sqrt (+ (+ 0.5 (* 0.5 (cos (- phi1 phi2)))) t_0))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * cos((lambda1 - lambda2))));
	double tmp;
	if (phi2 <= 3700.0) {
		tmp = R * (2.0 * atan2(sin((0.5 * (phi1 - phi2))), sqrt((t_0 + (0.5 + (cos(phi1) * 0.5))))));
	} else {
		tmp = R * (2.0 * atan2(sin((phi2 * -0.5)), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((phi1 - phi2)))) + t_0))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-0.5d0) + (0.5d0 * cos((lambda1 - lambda2))))
    if (phi2 <= 3700.0d0) then
        tmp = r * (2.0d0 * atan2(sin((0.5d0 * (phi1 - phi2))), sqrt((t_0 + (0.5d0 + (cos(phi1) * 0.5d0))))))
    else
        tmp = r * (2.0d0 * atan2(sin((phi2 * (-0.5d0))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((phi1 - phi2)))) + t_0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2))));
	double tmp;
	if (phi2 <= 3700.0) {
		tmp = R * (2.0 * Math.atan2(Math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), Math.sqrt((t_0 + (0.5 + (Math.cos(phi1) * 0.5))))));
	} else {
		tmp = R * (2.0 * Math.atan2(Math.sin((phi2 * -0.5)), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((phi1 - phi2)))) + t_0))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2))))
	tmp = 0
	if phi2 <= 3700.0:
		tmp = R * (2.0 * math.atan2(math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), math.sqrt((t_0 + (0.5 + (math.cos(phi1) * 0.5))))))
	else:
		tmp = R * (2.0 * math.atan2(math.sin((phi2 * -0.5)), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((phi1 - phi2)))) + t_0))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= 3700.0)
		tmp = Float64(R * Float64(2.0 * atan(sin(Float64(0.5 * Float64(phi1 - phi2))), sqrt(Float64(t_0 + Float64(0.5 + Float64(cos(phi1) * 0.5)))))));
	else
		tmp = Float64(R * Float64(2.0 * atan(sin(Float64(phi2 * -0.5)), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2)))) + t_0)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (cos(phi1) * cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * cos((lambda1 - lambda2))));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= 3700.0)
		tmp = R * (2.0 * atan2(sin((0.5 * (phi1 - phi2))), sqrt((t_0 + (0.5 + (cos(phi1) * 0.5))))));
	else
		tmp = R * (2.0 * atan2(sin((phi2 * -0.5)), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((phi1 - phi2)))) + t_0))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, 3700.0], N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sin[N[(0.5 * N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(t$95$0 + N[(0.5 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sin[N[(phi2 * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < 3700

   1. Initial program 67.1%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 49.7%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   6. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 16.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 16.7%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   10. Applied egg-rr 16.7%

       \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}\right) \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. cos-lowering-cos.f64 15.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 15.6%

       \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \color{blue}{\cos \phi_1}\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}\right) \]

   if 3700 < phi2

   1. Initial program 50.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 42.0%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   6. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 15.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 15.8%

      \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   10. Applied egg-rr 15.8%

       \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}\right) \]

   11. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 16.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 16.6%

       \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(-0.5 \cdot \phi_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 15.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq 3700:\\ \;\;\;\;R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \left(0.5 + \cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 16.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \lambda_1\right)}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  R
  (*
   2.0
   (atan2
    (sin (* 0.5 (- phi1 phi2)))
    (sqrt
     (+
      (+ 0.5 (* 0.5 (cos (- phi1 phi2))))
      (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (+ -0.5 (* 0.5 (cos lambda1))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * (2.0 * atan2(sin((0.5 * (phi1 - phi2))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((phi1 - phi2)))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * cos(lambda1))))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = r * (2.0d0 * atan2(sin((0.5d0 * (phi1 - phi2))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((phi1 - phi2)))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-0.5d0) + (0.5d0 * cos(lambda1))))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((phi1 - phi2)))) + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * Math.cos(lambda1))))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((phi1 - phi2)))) + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * math.cos(lambda1))))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sin(Float64(0.5 * Float64(phi1 - phi2))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2)))) + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-0.5 + Float64(0.5 * cos(lambda1)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = R * (2.0 * atan2(sin((0.5 * (phi1 - phi2))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((phi1 - phi2)))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * cos(lambda1))))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sin[N[(0.5 * N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(0.5 * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 47.8%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

6. Taylor expanded in lambda1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 16.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 16.5%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

10. Applied egg-rr 16.5%

    \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}\right) \]

11. Taylor expanded in lambda2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \lambda_1 - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \lambda_1 + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \lambda_1\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \lambda_1\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. cos-lowering-cos.f64 16.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 16.5%

    \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \cos \lambda_1 + -0.5\right)}}}\right) \]

14. Final simplification 16.5%

    \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \lambda_1\right)}}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 20: 13.5% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \left(0.5 + \cos \phi_2 \cdot 0.5\right)}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  R
  (*
   2.0
   (atan2
    (sin (* 0.5 (- phi1 phi2)))
    (sqrt
     (+
      (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (+ -0.5 (* 0.5 (cos (- lambda1 lambda2)))))
      (+ 0.5 (* (cos phi2) 0.5))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * (2.0 * atan2(sin((0.5 * (phi1 - phi2))), sqrt((((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * cos((lambda1 - lambda2))))) + (0.5 + (cos(phi2) * 0.5))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = r * (2.0d0 * atan2(sin((0.5d0 * (phi1 - phi2))), sqrt((((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-0.5d0) + (0.5d0 * cos((lambda1 - lambda2))))) + (0.5d0 + (cos(phi2) * 0.5d0))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), Math.sqrt((((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2))))) + (0.5 + (Math.cos(phi2) * 0.5))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), math.sqrt((((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2))))) + (0.5 + (math.cos(phi2) * 0.5))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sin(Float64(0.5 * Float64(phi1 - phi2))), sqrt(Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))) + Float64(0.5 + Float64(cos(phi2) * 0.5)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = R * (2.0 * atan2(sin((0.5 * (phi1 - phi2))), sqrt((((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * cos((lambda1 - lambda2))))) + (0.5 + (cos(phi2) * 0.5))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sin[N[(0.5 * N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 47.8%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

6. Taylor expanded in lambda1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 16.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 16.5%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

10. Applied egg-rr 16.5%

    \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}\right) \]

11. Taylor expanded in phi1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. cos-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. cos-lowering-cos.f64 14.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 14.4%

    \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}\right) \]

14. Final simplification 14.4%

    \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \left(0.5 + \cos \phi_2 \cdot 0.5\right)}}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 21: 11.1% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  R
  (*
   2.0
   (atan2
    (sin (* phi2 -0.5))
    (sqrt
     (+
      (+ 0.5 (* 0.5 (cos (- phi1 phi2))))
      (*
       (* (cos phi1) (cos phi2))
       (+ -0.5 (* 0.5 (cos (- lambda1 lambda2)))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * (2.0 * atan2(sin((phi2 * -0.5)), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((phi1 - phi2)))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * cos((lambda1 - lambda2)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = r * (2.0d0 * atan2(sin((phi2 * (-0.5d0))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((phi1 - phi2)))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-0.5d0) + (0.5d0 * cos((lambda1 - lambda2)))))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sin((phi2 * -0.5)), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((phi1 - phi2)))) + ((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * Math.cos((lambda1 - lambda2)))))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sin((phi2 * -0.5)), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((phi1 - phi2)))) + ((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * math.cos((lambda1 - lambda2)))))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sin(Float64(phi2 * -0.5)), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2)))) + Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = R * (2.0 * atan2(sin((phi2 * -0.5)), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((phi1 - phi2)))) + ((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-0.5 + (0.5 * cos((lambda1 - lambda2)))))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sin[N[(phi2 * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 47.8%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

6. Taylor expanded in lambda1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 16.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 16.5%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

10. Applied egg-rr 16.5%

    \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}\right) \]

11. Taylor expanded in phi1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 11.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 11.4%

    \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(-0.5 \cdot \phi_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}\right) \]

14. Final simplification 11.4%

    \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}\right) \]
15. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024185 
(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
  :name "Distance on a great circle"
  :precision binary64
  (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt (+ (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0) (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))))) (sqrt (- 1.0 (+ (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0) (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))))))))))