Trigonometry A

Percentage Accurate: 99.8% → 99.7%

Time: 12.4s

Alternatives: 15

Speedup: 1.0×

Specification

\[0 \leq e \land e \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (/ (* e (sin v)) (+ 1.0 (* e (cos v)))))

C

double code(double e, double v) {
	return (e * sin(v)) / (1.0 + (e * cos(v)));
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = (e * sin(v)) / (1.0d0 + (e * cos(v)))
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return (e * Math.sin(v)) / (1.0 + (e * Math.cos(v)));
}

Python

def code(e, v):
	return (e * math.sin(v)) / (1.0 + (e * math.cos(v)))

Julia

function code(e, v)
	return Float64(Float64(e * sin(v)) / Float64(1.0 + Float64(e * cos(v))))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = (e * sin(v)) / (1.0 + (e * cos(v)));
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(N[(e * N[Sin[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(e * N[Cos[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (/ (* e (sin v)) (+ 1.0 (* e (cos v)))))

C

double code(double e, double v) {
	return (e * sin(v)) / (1.0 + (e * cos(v)));
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = (e * sin(v)) / (1.0d0 + (e * cos(v)))
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return (e * Math.sin(v)) / (1.0 + (e * Math.cos(v)));
}

Python

def code(e, v):
	return (e * math.sin(v)) / (1.0 + (e * math.cos(v)))

Julia

function code(e, v)
	return Float64(Float64(e * sin(v)) / Float64(1.0 + Float64(e * cos(v))))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = (e * sin(v)) / (1.0 + (e * cos(v)));
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(N[(e * N[Sin[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(e * N[Cos[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e \cdot \cos v\\ \frac{e \cdot \sin v}{1 - {t\_0}^{4}} \cdot \frac{1 - t\_0}{\frac{-1}{-1 + e \cdot \left(e \cdot \frac{-1 - \cos \left(v \cdot 2\right)}{2}\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* e (cos v))))
   (*
    (/ (* e (sin v)) (- 1.0 (pow t_0 4.0)))
    (/
     (- 1.0 t_0)
     (/ -1.0 (+ -1.0 (* e (* e (/ (- -1.0 (cos (* v 2.0))) 2.0)))))))))

C

double code(double e, double v) {
	double t_0 = e * cos(v);
	return ((e * sin(v)) / (1.0 - pow(t_0, 4.0))) * ((1.0 - t_0) / (-1.0 / (-1.0 + (e * (e * ((-1.0 - cos((v * 2.0))) / 2.0))))));
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    real(8) :: t_0
    t_0 = e * cos(v)
    code = ((e * sin(v)) / (1.0d0 - (t_0 ** 4.0d0))) * ((1.0d0 - t_0) / ((-1.0d0) / ((-1.0d0) + (e * (e * (((-1.0d0) - cos((v * 2.0d0))) / 2.0d0))))))
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	double t_0 = e * Math.cos(v);
	return ((e * Math.sin(v)) / (1.0 - Math.pow(t_0, 4.0))) * ((1.0 - t_0) / (-1.0 / (-1.0 + (e * (e * ((-1.0 - Math.cos((v * 2.0))) / 2.0))))));
}

Python

def code(e, v):
	t_0 = e * math.cos(v)
	return ((e * math.sin(v)) / (1.0 - math.pow(t_0, 4.0))) * ((1.0 - t_0) / (-1.0 / (-1.0 + (e * (e * ((-1.0 - math.cos((v * 2.0))) / 2.0))))))

Julia

function code(e, v)
	t_0 = Float64(e * cos(v))
	return Float64(Float64(Float64(e * sin(v)) / Float64(1.0 - (t_0 ^ 4.0))) * Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(-1.0 / Float64(-1.0 + Float64(e * Float64(e * Float64(Float64(-1.0 - cos(Float64(v * 2.0))) / 2.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	t_0 = e * cos(v);
	tmp = ((e * sin(v)) / (1.0 - (t_0 ^ 4.0))) * ((1.0 - t_0) / (-1.0 / (-1.0 + (e * (e * ((-1.0 - cos((v * 2.0))) / 2.0))))));
end

Wolfram

code[e_, v_] := Block[{t$95$0 = N[(e * N[Cos[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(e * N[Sin[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[Power[t$95$0, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(-1.0 / N[(-1.0 + N[(e * N[(e * N[(N[(-1.0 - N[Cos[N[(v * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{\frac{1 \cdot 1 - \left(e \cdot \cos v\right) \cdot \left(e \cdot \cos v\right)}{\color{blue}{1 - e \cdot \cos v}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{1 \cdot 1 - \left(e \cdot \cos v\right) \cdot \left(e \cdot \cos v\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 - e \cdot \cos v\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e \cdot \sin v}{1 \cdot 1 - \left(e \cdot \cos v\right) \cdot \left(e \cdot \cos v\right)}\right), \color{blue}{\left(1 - e \cdot \cos v\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot \sin v}{1 - \left(e \cdot e\right) \cdot \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot v\right)\right)} \cdot \left(1 - e \cdot \cos v\right)} \]

6. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot \sin v}{1 - {\left(e \cdot \cos v\right)}^{4}} \cdot \frac{1 - e \cdot \cos v}{\frac{1}{1 + e \cdot \left(e \cdot \frac{\cos \left(v \cdot 2\right) + 1}{2}\right)}}} \]

7. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{1 - {\left(e \cdot \cos v\right)}^{4}} \cdot \frac{1 - e \cdot \cos v}{\frac{-1}{-1 + e \cdot \left(e \cdot \frac{-1 - \cos \left(v \cdot 2\right)}{2}\right)}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.7% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 - e \cdot \cos v\right) \cdot \frac{e \cdot \sin v}{1 - \left(e \cdot e\right) \cdot \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(v \cdot 2\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v)
 :precision binary64
 (*
  (- 1.0 (* e (cos v)))
  (/ (* e (sin v)) (- 1.0 (* (* e e) (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* v 2.0)))))))))

C

double code(double e, double v) {
	return (1.0 - (e * cos(v))) * ((e * sin(v)) / (1.0 - ((e * e) * (0.5 + (0.5 * cos((v * 2.0)))))));
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = (1.0d0 - (e * cos(v))) * ((e * sin(v)) / (1.0d0 - ((e * e) * (0.5d0 + (0.5d0 * cos((v * 2.0d0)))))))
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return (1.0 - (e * Math.cos(v))) * ((e * Math.sin(v)) / (1.0 - ((e * e) * (0.5 + (0.5 * Math.cos((v * 2.0)))))));
}

Python

def code(e, v):
	return (1.0 - (e * math.cos(v))) * ((e * math.sin(v)) / (1.0 - ((e * e) * (0.5 + (0.5 * math.cos((v * 2.0)))))))

Julia

function code(e, v)
	return Float64(Float64(1.0 - Float64(e * cos(v))) * Float64(Float64(e * sin(v)) / Float64(1.0 - Float64(Float64(e * e) * Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(v * 2.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = (1.0 - (e * cos(v))) * ((e * sin(v)) / (1.0 - ((e * e) * (0.5 + (0.5 * cos((v * 2.0)))))));
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(N[(1.0 - N[(e * N[Cos[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(e * N[Sin[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[(e * e), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(v * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{\frac{1 \cdot 1 - \left(e \cdot \cos v\right) \cdot \left(e \cdot \cos v\right)}{\color{blue}{1 - e \cdot \cos v}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{1 \cdot 1 - \left(e \cdot \cos v\right) \cdot \left(e \cdot \cos v\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 - e \cdot \cos v\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e \cdot \sin v}{1 \cdot 1 - \left(e \cdot \cos v\right) \cdot \left(e \cdot \cos v\right)}\right), \color{blue}{\left(1 - e \cdot \cos v\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot \sin v}{1 - \left(e \cdot e\right) \cdot \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot v\right)\right)} \cdot \left(1 - e \cdot \cos v\right)} \]

5. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \left(1 - e \cdot \cos v\right) \cdot \frac{e \cdot \sin v}{1 - \left(e \cdot e\right) \cdot \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(v \cdot 2\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e \cdot \sin v}{e \cdot \cos v + 1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (/ (* e (sin v)) (+ (* e (cos v)) 1.0)))

C

double code(double e, double v) {
	return (e * sin(v)) / ((e * cos(v)) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = (e * sin(v)) / ((e * cos(v)) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return (e * Math.sin(v)) / ((e * Math.cos(v)) + 1.0);
}

Python

def code(e, v):
	return (e * math.sin(v)) / ((e * math.cos(v)) + 1.0)

Julia

function code(e, v)
	return Float64(Float64(e * sin(v)) / Float64(Float64(e * cos(v)) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = (e * sin(v)) / ((e * cos(v)) + 1.0);
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(N[(e * N[Sin[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(e * N[Cos[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{e \cdot \cos v + 1} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin v}{\cos v + \frac{1}{e}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (/ (sin v) (+ (cos v) (/ 1.0 e))))

C

double code(double e, double v) {
	return sin(v) / (cos(v) + (1.0 / e));
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = sin(v) / (cos(v) + (1.0d0 / e))
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return Math.sin(v) / (Math.cos(v) + (1.0 / e));
}

Python

def code(e, v):
	return math.sin(v) / (math.cos(v) + (1.0 / e))

Julia

function code(e, v)
	return Float64(sin(v) / Float64(cos(v) + Float64(1.0 / e)))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = sin(v) / (cos(v) + (1.0 / e));
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(N[Sin[v], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[v], $MachinePrecision] + N[(1.0 / e), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in v around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. rgt-mult-inverse N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{e \cdot \frac{1}{e} + \color{blue}{e} \cdot \cos v} \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{e \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{e} + \cos v\right)}} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{e \cdot \left(\cos v + \color{blue}{\frac{1}{e}}\right)} \]

   4. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{e}{e} \cdot \color{blue}{\frac{\sin v}{\cos v + \frac{1}{e}}} \]

   5. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot 1}{e} \cdot \frac{\sin \color{blue}{v}}{\cos v + \frac{1}{e}} \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \left(e \cdot \frac{1}{e}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin v}}{\cos v + \frac{1}{e}} \]

   7. rgt-mult-inverse N/A

      \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{\sin v}}{\cos v + \frac{1}{e}} \]

   8. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\sin v}{\color{blue}{\cos v + \frac{1}{e}}} \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin v, \color{blue}{\left(\cos v + \frac{1}{e}\right)}\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), \left(\color{blue}{\cos v} + \frac{1}{e}\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos v, \color{blue}{\left(\frac{1}{e}\right)}\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(v\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e}\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(v\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{e}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin v}{\cos v + \frac{1}{e}}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ e \cdot \frac{\sin v}{e + 1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (* e (/ (sin v) (+ e 1.0))))

C

double code(double e, double v) {
	return e * (sin(v) / (e + 1.0));
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = e * (sin(v) / (e + 1.0d0))
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return e * (Math.sin(v) / (e + 1.0));
}

Python

def code(e, v):
	return e * (math.sin(v) / (e + 1.0))

Julia

function code(e, v)
	return Float64(e * Float64(sin(v) / Float64(e + 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = e * (sin(v) / (e + 1.0));
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(e * N[(N[Sin[v], $MachinePrecision] / N[(e + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right), \color{blue}{\left(1 + e\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right), \left(e + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 98.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(e, \color{blue}{1}\right)\right) \]

5. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{\color{blue}{e + 1}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto e \cdot \color{blue}{\frac{\sin v}{e + 1}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin v}{e + 1} \cdot \color{blue}{e} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin v}{e + 1}\right), \color{blue}{e}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\sin v, \left(e + 1\right)\right), e\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), \left(e + 1\right)\right), e\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), \left(1 + e\right)\right), e\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), \mathsf{+.f64}\left(1, e\right)\right), e\right) \]

7. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin v}{1 + e} \cdot e} \]

8. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto e \cdot \frac{\sin v}{e + 1} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ e \cdot \sin v \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (* e (sin v)))

C

double code(double e, double v) {
	return e * sin(v);
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = e * sin(v)
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return e * Math.sin(v);
}

Python

def code(e, v):
	return e * math.sin(v)

Julia

function code(e, v)
	return Float64(e * sin(v))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = e * sin(v);
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(e * N[Sin[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in e around 0

   \[\leadsto \color{blue}{e \cdot \sin v} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \color{blue}{\sin v}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f64 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right) \]

5. Simplified 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{e \cdot \sin v} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 7: 52.1% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.16666666666666666 - e \cdot -0.16666666666666666\\ t_1 := e \cdot -0.5 + t\_0\\ \frac{e}{\frac{e + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(t\_0 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot 0.041666666666666664 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(e \cdot -0.001388888888888889 - \left(0.008333333333333333 \cdot t\_1 + \left(-0.0001984126984126984 + e \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(\left(e \cdot 0.041666666666666664 + -0.008333333333333333 \cdot \left(e + 1\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot t\_1\right)\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(e \cdot -0.16666666666666666 - 0.16666666666666666\right) - e \cdot -0.5\right) - \left(0.008333333333333333 + e \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)}{v}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- 0.16666666666666666 (* e -0.16666666666666666)))
        (t_1 (+ (* e -0.5) t_0)))
   (/
    e
    (/
     (+
      e
      (+
       (*
        (* v v)
        (+
         (* e -0.5)
         (+
          t_0
          (*
           (* v v)
           (+
            (* e 0.041666666666666664)
            (+
             (*
              (* v v)
              (+
               (-
                (* e -0.001388888888888889)
                (+
                 (* 0.008333333333333333 t_1)
                 (+ -0.0001984126984126984 (* e -0.0001984126984126984))))
               (*
                0.16666666666666666
                (+
                 (+
                  (* e 0.041666666666666664)
                  (* -0.008333333333333333 (+ e 1.0)))
                 (* 0.16666666666666666 t_1)))))
             (-
              (*
               -0.16666666666666666
               (-
                (- (* e -0.16666666666666666) 0.16666666666666666)
                (* e -0.5)))
              (+ 0.008333333333333333 (* e 0.008333333333333333)))))))))
       1.0))
     v))))

C

double code(double e, double v) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 - (e * -0.16666666666666666);
	double t_1 = (e * -0.5) + t_0;
	return e / ((e + (((v * v) * ((e * -0.5) + (t_0 + ((v * v) * ((e * 0.041666666666666664) + (((v * v) * (((e * -0.001388888888888889) - ((0.008333333333333333 * t_1) + (-0.0001984126984126984 + (e * -0.0001984126984126984)))) + (0.16666666666666666 * (((e * 0.041666666666666664) + (-0.008333333333333333 * (e + 1.0))) + (0.16666666666666666 * t_1))))) + ((-0.16666666666666666 * (((e * -0.16666666666666666) - 0.16666666666666666) - (e * -0.5))) - (0.008333333333333333 + (e * 0.008333333333333333))))))))) + 1.0)) / v);
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = 0.16666666666666666d0 - (e * (-0.16666666666666666d0))
    t_1 = (e * (-0.5d0)) + t_0
    code = e / ((e + (((v * v) * ((e * (-0.5d0)) + (t_0 + ((v * v) * ((e * 0.041666666666666664d0) + (((v * v) * (((e * (-0.001388888888888889d0)) - ((0.008333333333333333d0 * t_1) + ((-0.0001984126984126984d0) + (e * (-0.0001984126984126984d0))))) + (0.16666666666666666d0 * (((e * 0.041666666666666664d0) + ((-0.008333333333333333d0) * (e + 1.0d0))) + (0.16666666666666666d0 * t_1))))) + (((-0.16666666666666666d0) * (((e * (-0.16666666666666666d0)) - 0.16666666666666666d0) - (e * (-0.5d0)))) - (0.008333333333333333d0 + (e * 0.008333333333333333d0))))))))) + 1.0d0)) / v)
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 - (e * -0.16666666666666666);
	double t_1 = (e * -0.5) + t_0;
	return e / ((e + (((v * v) * ((e * -0.5) + (t_0 + ((v * v) * ((e * 0.041666666666666664) + (((v * v) * (((e * -0.001388888888888889) - ((0.008333333333333333 * t_1) + (-0.0001984126984126984 + (e * -0.0001984126984126984)))) + (0.16666666666666666 * (((e * 0.041666666666666664) + (-0.008333333333333333 * (e + 1.0))) + (0.16666666666666666 * t_1))))) + ((-0.16666666666666666 * (((e * -0.16666666666666666) - 0.16666666666666666) - (e * -0.5))) - (0.008333333333333333 + (e * 0.008333333333333333))))))))) + 1.0)) / v);
}

Python

def code(e, v):
	t_0 = 0.16666666666666666 - (e * -0.16666666666666666)
	t_1 = (e * -0.5) + t_0
	return e / ((e + (((v * v) * ((e * -0.5) + (t_0 + ((v * v) * ((e * 0.041666666666666664) + (((v * v) * (((e * -0.001388888888888889) - ((0.008333333333333333 * t_1) + (-0.0001984126984126984 + (e * -0.0001984126984126984)))) + (0.16666666666666666 * (((e * 0.041666666666666664) + (-0.008333333333333333 * (e + 1.0))) + (0.16666666666666666 * t_1))))) + ((-0.16666666666666666 * (((e * -0.16666666666666666) - 0.16666666666666666) - (e * -0.5))) - (0.008333333333333333 + (e * 0.008333333333333333))))))))) + 1.0)) / v)

Julia

function code(e, v)
	t_0 = Float64(0.16666666666666666 - Float64(e * -0.16666666666666666))
	t_1 = Float64(Float64(e * -0.5) + t_0)
	return Float64(e / Float64(Float64(e + Float64(Float64(Float64(v * v) * Float64(Float64(e * -0.5) + Float64(t_0 + Float64(Float64(v * v) * Float64(Float64(e * 0.041666666666666664) + Float64(Float64(Float64(v * v) * Float64(Float64(Float64(e * -0.001388888888888889) - Float64(Float64(0.008333333333333333 * t_1) + Float64(-0.0001984126984126984 + Float64(e * -0.0001984126984126984)))) + Float64(0.16666666666666666 * Float64(Float64(Float64(e * 0.041666666666666664) + Float64(-0.008333333333333333 * Float64(e + 1.0))) + Float64(0.16666666666666666 * t_1))))) + Float64(Float64(-0.16666666666666666 * Float64(Float64(Float64(e * -0.16666666666666666) - 0.16666666666666666) - Float64(e * -0.5))) - Float64(0.008333333333333333 + Float64(e * 0.008333333333333333))))))))) + 1.0)) / v))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	t_0 = 0.16666666666666666 - (e * -0.16666666666666666);
	t_1 = (e * -0.5) + t_0;
	tmp = e / ((e + (((v * v) * ((e * -0.5) + (t_0 + ((v * v) * ((e * 0.041666666666666664) + (((v * v) * (((e * -0.001388888888888889) - ((0.008333333333333333 * t_1) + (-0.0001984126984126984 + (e * -0.0001984126984126984)))) + (0.16666666666666666 * (((e * 0.041666666666666664) + (-0.008333333333333333 * (e + 1.0))) + (0.16666666666666666 * t_1))))) + ((-0.16666666666666666 * (((e * -0.16666666666666666) - 0.16666666666666666) - (e * -0.5))) - (0.008333333333333333 + (e * 0.008333333333333333))))))))) + 1.0)) / v);
end

Wolfram

code[e_, v_] := Block[{t$95$0 = N[(0.16666666666666666 - N[(e * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(e * -0.5), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(e / N[(N[(e + N[(N[(N[(v * v), $MachinePrecision] * N[(N[(e * -0.5), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 + N[(N[(v * v), $MachinePrecision] * N[(N[(e * 0.041666666666666664), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(v * v), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(e * -0.001388888888888889), $MachinePrecision] - N[(N[(0.008333333333333333 * t$95$1), $MachinePrecision] + N[(-0.0001984126984126984 + N[(e * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(N[(N[(e * 0.041666666666666664), $MachinePrecision] + N[(-0.008333333333333333 * N[(e + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(N[(N[(e * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] - N[(e * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(0.008333333333333333 + N[(e * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / v), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto e \cdot \color{blue}{\frac{\sin v}{1 + e \cdot \cos v}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto e \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + e \cdot \cos v\right), \color{blue}{\sin v}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(e \cdot \cos v\right)\right), \sin \color{blue}{v}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \cos v\right)\right), \sin v\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \sin v\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

5. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1 + \left(e + {v}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot e + {v}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot e + {v}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{720} \cdot e - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot e - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(1 + e\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)}{v}\right)}\right) \]

7. Simplified 56.1%

   \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{e + \left(1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot 0.041666666666666664 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(e \cdot -0.001388888888888889 - \left(\left(-0.0001984126984126984 + e \cdot -0.0001984126984126984\right) + 0.008333333333333333 \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 - e \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(\left(e \cdot 0.041666666666666664 + -0.008333333333333333 \cdot \left(e + 1\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 - e \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) - \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 - e \cdot -0.16666666666666666\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + e \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right) + \left(0.16666666666666666 - e \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{v}}} \]

8. Final simplification 56.1%

   \[\leadsto \frac{e}{\frac{e + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(\left(0.16666666666666666 - e \cdot -0.16666666666666666\right) + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot 0.041666666666666664 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(e \cdot -0.001388888888888889 - \left(0.008333333333333333 \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 - e \cdot -0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.0001984126984126984 + e \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(\left(e \cdot 0.041666666666666664 + -0.008333333333333333 \cdot \left(e + 1\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 - e \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(e \cdot -0.16666666666666666 - 0.16666666666666666\right) - e \cdot -0.5\right) - \left(0.008333333333333333 + e \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)}{v}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 52.1% accurate, 4.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e}{\frac{\left(e + 1\right) + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 - e \cdot -0.16666666666666666\right)\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(e \cdot -0.16666666666666666 - 0.16666666666666666\right) - e \cdot -0.5\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(-1 - e\right) - e \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}{v}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v)
 :precision binary64
 (/
  e
  (/
   (+
    (+ e 1.0)
    (*
     (* v v)
     (-
      (+ (* e -0.5) (- 0.16666666666666666 (* e -0.16666666666666666)))
      (*
       (* v v)
       (+
        (*
         0.16666666666666666
         (- (- (* e -0.16666666666666666) 0.16666666666666666) (* e -0.5)))
        (-
         (* -0.008333333333333333 (- -1.0 e))
         (* e 0.041666666666666664)))))))
   v)))

C

double code(double e, double v) {
	return e / (((e + 1.0) + ((v * v) * (((e * -0.5) + (0.16666666666666666 - (e * -0.16666666666666666))) - ((v * v) * ((0.16666666666666666 * (((e * -0.16666666666666666) - 0.16666666666666666) - (e * -0.5))) + ((-0.008333333333333333 * (-1.0 - e)) - (e * 0.041666666666666664))))))) / v);
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = e / (((e + 1.0d0) + ((v * v) * (((e * (-0.5d0)) + (0.16666666666666666d0 - (e * (-0.16666666666666666d0)))) - ((v * v) * ((0.16666666666666666d0 * (((e * (-0.16666666666666666d0)) - 0.16666666666666666d0) - (e * (-0.5d0)))) + (((-0.008333333333333333d0) * ((-1.0d0) - e)) - (e * 0.041666666666666664d0))))))) / v)
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return e / (((e + 1.0) + ((v * v) * (((e * -0.5) + (0.16666666666666666 - (e * -0.16666666666666666))) - ((v * v) * ((0.16666666666666666 * (((e * -0.16666666666666666) - 0.16666666666666666) - (e * -0.5))) + ((-0.008333333333333333 * (-1.0 - e)) - (e * 0.041666666666666664))))))) / v);
}

Python

def code(e, v):
	return e / (((e + 1.0) + ((v * v) * (((e * -0.5) + (0.16666666666666666 - (e * -0.16666666666666666))) - ((v * v) * ((0.16666666666666666 * (((e * -0.16666666666666666) - 0.16666666666666666) - (e * -0.5))) + ((-0.008333333333333333 * (-1.0 - e)) - (e * 0.041666666666666664))))))) / v)

Julia

function code(e, v)
	return Float64(e / Float64(Float64(Float64(e + 1.0) + Float64(Float64(v * v) * Float64(Float64(Float64(e * -0.5) + Float64(0.16666666666666666 - Float64(e * -0.16666666666666666))) - Float64(Float64(v * v) * Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(Float64(Float64(e * -0.16666666666666666) - 0.16666666666666666) - Float64(e * -0.5))) + Float64(Float64(-0.008333333333333333 * Float64(-1.0 - e)) - Float64(e * 0.041666666666666664))))))) / v))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = e / (((e + 1.0) + ((v * v) * (((e * -0.5) + (0.16666666666666666 - (e * -0.16666666666666666))) - ((v * v) * ((0.16666666666666666 * (((e * -0.16666666666666666) - 0.16666666666666666) - (e * -0.5))) + ((-0.008333333333333333 * (-1.0 - e)) - (e * 0.041666666666666664))))))) / v);
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(e / N[(N[(N[(e + 1.0), $MachinePrecision] + N[(N[(v * v), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(e * -0.5), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 - N[(e * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(v * v), $MachinePrecision] * N[(N[(0.16666666666666666 * N[(N[(N[(e * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] - N[(e * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.008333333333333333 * N[(-1.0 - e), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(e * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / v), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto e \cdot \color{blue}{\frac{\sin v}{1 + e \cdot \cos v}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto e \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + e \cdot \cos v\right), \color{blue}{\sin v}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(e \cdot \cos v\right)\right), \sin \color{blue}{v}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \cos v\right)\right), \sin v\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \sin v\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

5. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1 + \left(e + {v}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot e + {v}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot e - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)}{v}\right)}\right) \]

7. Simplified 56.0%

   \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{\left(e + 1\right) + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(e \cdot 0.041666666666666664 + -0.008333333333333333 \cdot \left(e + 1\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 - e \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) + \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 - e \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)}{v}}} \]

8. Final simplification 56.0%

   \[\leadsto \frac{e}{\frac{\left(e + 1\right) + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 - e \cdot -0.16666666666666666\right)\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(e \cdot -0.16666666666666666 - 0.16666666666666666\right) - e \cdot -0.5\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(-1 - e\right) - e \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}{v}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 9: 52.1% accurate, 10.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e}{\frac{\left(e + 1\right) + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 - e \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}{v}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v)
 :precision binary64
 (/
  e
  (/
   (+
    (+ e 1.0)
    (*
     (* v v)
     (+ (* e -0.5) (- 0.16666666666666666 (* e -0.16666666666666666)))))
   v)))

C

double code(double e, double v) {
	return e / (((e + 1.0) + ((v * v) * ((e * -0.5) + (0.16666666666666666 - (e * -0.16666666666666666))))) / v);
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = e / (((e + 1.0d0) + ((v * v) * ((e * (-0.5d0)) + (0.16666666666666666d0 - (e * (-0.16666666666666666d0)))))) / v)
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return e / (((e + 1.0) + ((v * v) * ((e * -0.5) + (0.16666666666666666 - (e * -0.16666666666666666))))) / v);
}

Python

def code(e, v):
	return e / (((e + 1.0) + ((v * v) * ((e * -0.5) + (0.16666666666666666 - (e * -0.16666666666666666))))) / v)

Julia

function code(e, v)
	return Float64(e / Float64(Float64(Float64(e + 1.0) + Float64(Float64(v * v) * Float64(Float64(e * -0.5) + Float64(0.16666666666666666 - Float64(e * -0.16666666666666666))))) / v))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = e / (((e + 1.0) + ((v * v) * ((e * -0.5) + (0.16666666666666666 - (e * -0.16666666666666666))))) / v);
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(e / N[(N[(N[(e + 1.0), $MachinePrecision] + N[(N[(v * v), $MachinePrecision] * N[(N[(e * -0.5), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 - N[(e * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / v), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto e \cdot \color{blue}{\frac{\sin v}{1 + e \cdot \cos v}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto e \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + e \cdot \cos v\right), \color{blue}{\sin v}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(e \cdot \cos v\right)\right), \sin \color{blue}{v}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \cos v\right)\right), \sin v\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \sin v\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

5. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1 + \left(e + {v}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)}{v}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + \left(e + {v}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right), \color{blue}{v}\right)\right) \]

7. Simplified 55.9%

   \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{\left(e + 1\right) + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 - e \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}{v}}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 10: 51.0% accurate, 16.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{v \cdot \left(e \cdot \left(1 - e\right)\right)}{1 - e \cdot e} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (/ (* v (* e (- 1.0 e))) (- 1.0 (* e e))))

C

double code(double e, double v) {
	return (v * (e * (1.0 - e))) / (1.0 - (e * e));
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = (v * (e * (1.0d0 - e))) / (1.0d0 - (e * e))
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return (v * (e * (1.0 - e))) / (1.0 - (e * e));
}

Python

def code(e, v):
	return (v * (e * (1.0 - e))) / (1.0 - (e * e))

Julia

function code(e, v)
	return Float64(Float64(v * Float64(e * Float64(1.0 - e))) / Float64(1.0 - Float64(e * e)))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = (v * (e * (1.0 - e))) / (1.0 - (e * e));
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(N[(v * N[(e * N[(1.0 - e), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(e * e), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{\frac{1 \cdot 1 - \left(e \cdot \cos v\right) \cdot \left(e \cdot \cos v\right)}{\color{blue}{1 - e \cdot \cos v}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{1 \cdot 1 - \left(e \cdot \cos v\right) \cdot \left(e \cdot \cos v\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 - e \cdot \cos v\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e \cdot \sin v}{1 \cdot 1 - \left(e \cdot \cos v\right) \cdot \left(e \cdot \cos v\right)}\right), \color{blue}{\left(1 - e \cdot \cos v\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot \sin v}{1 - \left(e \cdot e\right) \cdot \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot v\right)\right)} \cdot \left(1 - e \cdot \cos v\right)} \]

5. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot \left(v \cdot \left(1 - e\right)\right)}{1 - {e}^{2}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \left(\left(1 - e\right) \cdot v\right)}{1 - {e}^{2}} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(e\right)\right)\right) \cdot v\right)}{1 - {e}^{2}} \]

   3. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot e\right) \cdot v\right)}{1 - {e}^{2}} \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \left(\left(-1 \cdot e + 1\right) \cdot v\right)}{1 - {e}^{2}} \]

   5. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \left(\left(-1 \cdot e\right) \cdot v + v\right)}{1 - {e}^{2}} \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \left(-1 \cdot \left(e \cdot v\right) + v\right)}{1 - {e}^{2}} \]

   7. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \left(-1 \cdot \left(e \cdot v\right) + 1 \cdot v\right)}{1 - {e}^{2}} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \left(-1 \cdot \left(e \cdot v\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot v\right)}{1 - {e}^{2}} \]

   9. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \left(-1 \cdot \left(e \cdot v\right) - -1 \cdot v\right)}{1 - {e}^{2}} \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e \cdot \left(-1 \cdot \left(e \cdot v\right) - -1 \cdot v\right)\right), \color{blue}{\left(1 - {e}^{2}\right)}\right) \]

7. Simplified 54.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{v \cdot \left(e \cdot \left(1 - e\right)\right)}{1 - e \cdot e}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 11: 51.0% accurate, 29.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e \cdot v}{e + 1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (/ (* e v) (+ e 1.0)))

C

double code(double e, double v) {
	return (e * v) / (e + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = (e * v) / (e + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return (e * v) / (e + 1.0);
}

Python

def code(e, v):
	return (e * v) / (e + 1.0)

Julia

function code(e, v)
	return Float64(Float64(e * v) / Float64(e + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = (e * v) / (e + 1.0);
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(N[(e * v), $MachinePrecision] / N[(e + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{1 + e}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e \cdot v\right), \color{blue}{\left(1 + e\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(\color{blue}{1} + e\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(e + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 54.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \mathsf{+.f64}\left(e, \color{blue}{1}\right)\right) \]

5. Simplified 54.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{e + 1}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 12: 50.9% accurate, 29.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e}{\frac{e + 1}{v}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (/ e (/ (+ e 1.0) v)))

C

double code(double e, double v) {
	return e / ((e + 1.0) / v);
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = e / ((e + 1.0d0) / v)
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return e / ((e + 1.0) / v);
}

Python

def code(e, v):
	return e / ((e + 1.0) / v)

Julia

function code(e, v)
	return Float64(e / Float64(Float64(e + 1.0) / v))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = e / ((e + 1.0) / v);
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(e / N[(N[(e + 1.0), $MachinePrecision] / v), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{1 + e}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e \cdot v\right), \color{blue}{\left(1 + e\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(\color{blue}{1} + e\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(e + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 54.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \mathsf{+.f64}\left(e, \color{blue}{1}\right)\right) \]

5. Simplified 54.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{e + 1}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto e \cdot \color{blue}{\frac{v}{e + 1}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto e \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e + 1}{v}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{e + 1}{v}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{e + 1}{v}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\left(e + 1\right), \color{blue}{v}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 54.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), v\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 54.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e}{\frac{e + 1}{v}}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 13: 50.5% accurate, 29.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ v \cdot \left(e \cdot \left(1 - e\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (* v (* e (- 1.0 e))))

C

double code(double e, double v) {
	return v * (e * (1.0 - e));
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = v * (e * (1.0d0 - e))
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return v * (e * (1.0 - e));
}

Python

def code(e, v):
	return v * (e * (1.0 - e))

Julia

function code(e, v)
	return Float64(v * Float64(e * Float64(1.0 - e)))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = v * (e * (1.0 - e));
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(v * N[(e * N[(1.0 - e), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{1 + e}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e \cdot v\right), \color{blue}{\left(1 + e\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(\color{blue}{1} + e\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(e + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 54.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \mathsf{+.f64}\left(e, \color{blue}{1}\right)\right) \]

5. Simplified 54.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{e + 1}} \]

6. Taylor expanded in e around 0

   \[\leadsto \color{blue}{e \cdot \left(v + -1 \cdot \left(e \cdot v\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto e \cdot v + \color{blue}{e \cdot \left(-1 \cdot \left(e \cdot v\right)\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto e \cdot v + \left(-1 \cdot \left(e \cdot v\right)\right) \cdot \color{blue}{e} \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \left(e \cdot v\right) \cdot 1 + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(e \cdot v\right)\right)} \cdot e \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(e \cdot v\right) \cdot 1 + \left(\left(e \cdot v\right) \cdot -1\right) \cdot e \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(e \cdot v\right) \cdot 1 + \left(e \cdot v\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot e\right)} \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \left(e \cdot v\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot e\right)} \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \left(e \cdot v\right) \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(e\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(e \cdot v\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{e}\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(v \cdot e\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto v \cdot \color{blue}{\left(e \cdot \left(1 - e\right)\right)} \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(v, \color{blue}{\left(e \cdot \left(1 - e\right)\right)}\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(v, \mathsf{*.f64}\left(e, \color{blue}{\left(1 - e\right)}\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 54.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(v, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{e}\right)\right)\right) \]

8. Simplified 54.6%

   \[\leadsto \color{blue}{v \cdot \left(e \cdot \left(1 - e\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 14: 50.1% accurate, 69.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ e \cdot v \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (* e v))

C

double code(double e, double v) {
	return e * v;
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = e * v
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return e * v;
}

Python

def code(e, v):
	return e * v

Julia

function code(e, v)
	return Float64(e * v)
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = e * v;
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(e * v), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in e around 0

   \[\leadsto \color{blue}{e \cdot \sin v} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \color{blue}{\sin v}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f64 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right) \]

5. Simplified 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{e \cdot \sin v} \]

6. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \color{blue}{e \cdot v} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 54.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \color{blue}{v}\right) \]

8. Simplified 54.1%

   \[\leadsto \color{blue}{e \cdot v} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 15: 4.5% accurate, 209.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ v \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 v)

C

double code(double e, double v) {
	return v;
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = v
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return v;
}

Python

def code(e, v):
	return v

Julia

function code(e, v)
	return v
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = v;
end

Wolfram

code[e_, v_] := v

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{1 + e}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e \cdot v\right), \color{blue}{\left(1 + e\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(\color{blue}{1} + e\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(e + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 54.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \mathsf{+.f64}\left(e, \color{blue}{1}\right)\right) \]

5. Simplified 54.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{e + 1}} \]

6. Taylor expanded in e around inf

   \[\leadsto \color{blue}{v} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 4.7%

   \[\leadsto \color{blue}{v} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024185 
(FPCore (e v)
  :name "Trigonometry A"
  :precision binary64
  :pre (and (<= 0.0 e) (<= e 1.0))
  (/ (* e (sin v)) (+ 1.0 (* e (cos v)))))