Trigonometry B

Percentage Accurate: 99.5% → 99.6%

Time: 13.9s

Alternatives: 5

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan x \cdot \tan x\\ \frac{1 - t\_0}{1 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (tan x) (tan x)))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = tan(x) * tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) * tan(x)
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.tan(x) * Math.tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.tan(x) * math.tan(x)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(tan(x) * tan(x))
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = tan(x) * tan(x);
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan x \cdot \tan x\\ \frac{1 - t\_0}{1 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (tan x) (tan x)))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = tan(x) * tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) * tan(x)
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.tan(x) * Math.tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.tan(x) * math.tan(x)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(tan(x) * tan(x))
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = tan(x) * tan(x);
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(x \cdot 2\right)\\ t_1 := t\_0 \cdot 0.5\\ t_2 := -0.5 \cdot t\_0\\ \frac{1 + \frac{0.5 + t\_2}{-0.5 + t\_2}}{1 + \frac{0.5 - t\_1}{0.5 + t\_1}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (* x 2.0))) (t_1 (* t_0 0.5)) (t_2 (* -0.5 t_0)))
   (/
    (+ 1.0 (/ (+ 0.5 t_2) (+ -0.5 t_2)))
    (+ 1.0 (/ (- 0.5 t_1) (+ 0.5 t_1))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cos((x * 2.0));
	double t_1 = t_0 * 0.5;
	double t_2 = -0.5 * t_0;
	return (1.0 + ((0.5 + t_2) / (-0.5 + t_2))) / (1.0 + ((0.5 - t_1) / (0.5 + t_1)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = cos((x * 2.0d0))
    t_1 = t_0 * 0.5d0
    t_2 = (-0.5d0) * t_0
    code = (1.0d0 + ((0.5d0 + t_2) / ((-0.5d0) + t_2))) / (1.0d0 + ((0.5d0 - t_1) / (0.5d0 + t_1)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cos((x * 2.0));
	double t_1 = t_0 * 0.5;
	double t_2 = -0.5 * t_0;
	return (1.0 + ((0.5 + t_2) / (-0.5 + t_2))) / (1.0 + ((0.5 - t_1) / (0.5 + t_1)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.cos((x * 2.0))
	t_1 = t_0 * 0.5
	t_2 = -0.5 * t_0
	return (1.0 + ((0.5 + t_2) / (-0.5 + t_2))) / (1.0 + ((0.5 - t_1) / (0.5 + t_1)))

Julia

function code(x)
	t_0 = cos(Float64(x * 2.0))
	t_1 = Float64(t_0 * 0.5)
	t_2 = Float64(-0.5 * t_0)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + t_2) / Float64(-0.5 + t_2))) / Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 - t_1) / Float64(0.5 + t_1))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = cos((x * 2.0));
	t_1 = t_0 * 0.5;
	t_2 = -0.5 * t_0;
	tmp = (1.0 + ((0.5 + t_2) / (-0.5 + t_2))) / (1.0 + ((0.5 - t_1) / (0.5 + t_1)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 * 0.5), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(-0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + t$95$2), $MachinePrecision] / N[(-0.5 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(0.5 - t$95$1), $MachinePrecision] / N[(0.5 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)}{1 + \tan x \cdot \tan x}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2} \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2} \cdot {\tan x}^{2}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow-prod-up N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{\left(2 + 2\right)}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, \left(2 + 2\right)\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \left(2 + 2\right)\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   12. pow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   13. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   14. tan-lowering-tan.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1 - {\tan x}^{4}}{1 + {\tan x}^{2}}}}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\color{blue}{\cos x}}\right)\right)\right) \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\color{blue}{\cos x \cdot \cos x}}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sin x \cdot \sin x\right), \color{blue}{\left(\cos x \cdot \cos x\right)}\right)\right)\right) \]

   5. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\color{blue}{\cos x} \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\cos \color{blue}{x} \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos x} \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{x} \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   14. sqr-cos-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \color{blue}{\left(2 \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos \left(2 \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \color{blue}{\left(2 \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. *-lowering-*.f64 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{1 - {\tan x}^{4}}{1 + {\tan x}^{2}}}{1 + \color{blue}{\frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - {\tan x}^{4}}{1 + {\tan x}^{2}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - {\tan x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}{1 + {\tan x}^{2}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - {\tan x}^{2} \cdot {\tan x}^{2}}{1 + {\tan x}^{2}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - {\tan x}^{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \cos x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\cos x \cdot \cos x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sqr-cos-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(-0.5 + \left(-\cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}}}{1 + \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}} \]

10. Applied egg-rr 99.6%

    \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{\frac{-0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right) + 0.5}{-0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}}}{1 + \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}} \]

11. Final simplification 99.6%

    \[\leadsto \frac{1 + \frac{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}{-0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}}{1 + \frac{0.5 - \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot 0.5}{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot 0.5}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ \frac{1 - t\_0}{1 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. tan-lowering-tan.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 - {\tan x}^{2}}}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(1 + {\tan x}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left({\tan x}^{2} + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\tan x}^{2}\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right), 1\right)\right) \]

   5. tan-lowering-tan.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), 1\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \frac{1 - {\tan x}^{2}}{\color{blue}{{\tan x}^{2} + 1}} \]

7. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 + {\tan x}^{2}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 61.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(x \cdot 2\right)\\ t_1 := t\_0 \cdot 0.5\\ \frac{1 + \left(-0.5 - -0.5 \cdot t\_0\right) \cdot \frac{1}{0.5 + t\_1}}{1 + \left(0.5 - t\_1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (* x 2.0))) (t_1 (* t_0 0.5)))
   (/
    (+ 1.0 (* (- -0.5 (* -0.5 t_0)) (/ 1.0 (+ 0.5 t_1))))
    (+ 1.0 (- 0.5 t_1)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cos((x * 2.0));
	double t_1 = t_0 * 0.5;
	return (1.0 + ((-0.5 - (-0.5 * t_0)) * (1.0 / (0.5 + t_1)))) / (1.0 + (0.5 - t_1));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = cos((x * 2.0d0))
    t_1 = t_0 * 0.5d0
    code = (1.0d0 + (((-0.5d0) - ((-0.5d0) * t_0)) * (1.0d0 / (0.5d0 + t_1)))) / (1.0d0 + (0.5d0 - t_1))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cos((x * 2.0));
	double t_1 = t_0 * 0.5;
	return (1.0 + ((-0.5 - (-0.5 * t_0)) * (1.0 / (0.5 + t_1)))) / (1.0 + (0.5 - t_1));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.cos((x * 2.0))
	t_1 = t_0 * 0.5
	return (1.0 + ((-0.5 - (-0.5 * t_0)) * (1.0 / (0.5 + t_1)))) / (1.0 + (0.5 - t_1))

Julia

function code(x)
	t_0 = cos(Float64(x * 2.0))
	t_1 = Float64(t_0 * 0.5)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(-0.5 - Float64(-0.5 * t_0)) * Float64(1.0 / Float64(0.5 + t_1)))) / Float64(1.0 + Float64(0.5 - t_1)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = cos((x * 2.0));
	t_1 = t_0 * 0.5;
	tmp = (1.0 + ((-0.5 - (-0.5 * t_0)) * (1.0 / (0.5 + t_1)))) / (1.0 + (0.5 - t_1));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 * 0.5), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 + N[(N[(-0.5 - N[(-0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(0.5 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(0.5 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)}{1 + \tan x \cdot \tan x}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2} \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2} \cdot {\tan x}^{2}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow-prod-up N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{\left(2 + 2\right)}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, \left(2 + 2\right)\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \left(2 + 2\right)\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   12. pow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   13. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   14. tan-lowering-tan.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1 - {\tan x}^{4}}{1 + {\tan x}^{2}}}}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\color{blue}{\cos x}}\right)\right)\right) \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\color{blue}{\cos x \cdot \cos x}}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sin x \cdot \sin x\right), \color{blue}{\left(\cos x \cdot \cos x\right)}\right)\right)\right) \]

   5. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\color{blue}{\cos x} \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\cos \color{blue}{x} \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos x} \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{x} \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right)\right) \]

   14. sqr-cos-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \color{blue}{\left(2 \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos \left(2 \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \color{blue}{\left(2 \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. *-lowering-*.f64 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{1 - {\tan x}^{4}}{1 + {\tan x}^{2}}}{1 + \color{blue}{\frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - {\tan x}^{4}}{1 + {\tan x}^{2}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - {\tan x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}{1 + {\tan x}^{2}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - {\tan x}^{2} \cdot {\tan x}^{2}}{1 + {\tan x}^{2}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - {\tan x}^{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \cos x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\cos x \cdot \cos x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sqr-cos-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(-0.5 + \left(-\cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}}}{1 + \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 65.2%

    \[\leadsto \frac{1 + \left(-0.5 + \left(-\cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}}{1 + \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\color{blue}{1}}} \]

12. Final simplification 65.2%

    \[\leadsto \frac{1 + \left(-0.5 - -0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)\right) \cdot \frac{1}{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot 0.5}}{1 + \left(0.5 - \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot 0.5\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 4: 59.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - {\tan x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (pow (tan x) 2.0)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - pow(tan(x), 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 - (tan(x) ** 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - math.pow(math.tan(x), 2.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - (tan(x) ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - (tan(x) ^ 2.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. tan-lowering-tan.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 - {\tan x}^{2}}}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 63.3%

   \[\leadsto \frac{1 - {\tan x}^{2}}{\color{blue}{1}} \]

8. Final simplification 63.3%

   \[\leadsto 1 - {\tan x}^{2} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 55.6% accurate, 411.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 59.7%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
5. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024185 
(FPCore (x)
  :name "Trigonometry B"
  :precision binary64
  (/ (- 1.0 (* (tan x) (tan x))) (+ 1.0 (* (tan x) (tan x)))))