Sample trimmed logistic on [-pi, pi]

Percentage Accurate: 99.0% → 99.0%

Time: 17.0s

Alternatives: 12

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right) \land \left(0 \leq s \land s \leq 1.0651631\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-\frac{\pi}{s}}} + \frac{1}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + {e}^{\left(\frac{\pi}{s}\right)}}} + -1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    (/
     1.0
     (+
      (*
       u
       (+ (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- (/ PI s))))) (/ 1.0 (- -1.0 (exp (/ PI s))))))
      (/ 1.0 (+ 1.0 (pow E (/ PI s))))))
    -1.0))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf(-(((float) M_PI) / s)))) + (1.0f / (-1.0f - expf((((float) M_PI) / s)))))) + (1.0f / (1.0f + powf(((float) M_E), (((float) M_PI) / s)))))) + -1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(-Float32(Float32(pi) / s))))) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(-1.0) - exp(Float32(Float32(pi) / s)))))) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + (Float32(exp(1)) ^ Float32(Float32(pi) / s)))))) + Float32(-1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp(-(single(pi) / s)))) + (single(1.0) / (single(-1.0) - exp((single(pi) / s)))))) + (single(1.0) / (single(1.0) + (single(2.71828182845904523536) ^ (single(pi) / s)))))) + single(-1.0)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-un-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\frac{1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\left(e^{1}\right)}^{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{pow.f32}\left(\left(e^{1}\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. exp-1-e N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{E}\left(\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. E-lowering-E.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{E.f32}\left(\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{E.f32}\left(\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{E.f32}\left(\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + \color{blue}{{e}^{\left(\frac{\pi}{s}\right)}}}} - 1\right) \]

5. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-\frac{\pi}{s}}} + \frac{1}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + {e}^{\left(\frac{\pi}{s}\right)}}} + -1\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\frac{\pi}{s}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{1}{1 + t\_0} + u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-\frac{\pi}{s}}} + \frac{1}{-1 - t\_0}\right)} + -1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (exp (/ PI s))))
   (*
    (- s)
    (log
     (+
      (/
       1.0
       (+
        (/ 1.0 (+ 1.0 t_0))
        (* u (+ (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- (/ PI s))))) (/ 1.0 (- -1.0 t_0))))))
      -1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = expf((((float) M_PI) / s));
	return -s * logf(((1.0f / ((1.0f / (1.0f + t_0)) + (u * ((1.0f / (1.0f + expf(-(((float) M_PI) / s)))) + (1.0f / (-1.0f - t_0)))))) + -1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = exp(Float32(Float32(pi) / s))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + t_0)) + Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(-Float32(Float32(pi) / s))))) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(-1.0) - t_0)))))) + Float32(-1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = exp((single(pi) / s));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((single(1.0) / (single(1.0) + t_0)) + (u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp(-(single(pi) / s)))) + (single(1.0) / (single(-1.0) - t_0)))))) + single(-1.0)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-\frac{\pi}{s}}} + \frac{1}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}\right)} + -1\right) \]
4. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{-\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    (/ 1.0 (+ (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))) (/ u (+ 1.0 (exp (- (/ PI s)))))))
    -1.0))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf(((1.0f / ((1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)))) + (u / (1.0f + expf(-(((float) M_PI) / s)))))) + -1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s)))) + Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(-Float32(Float32(pi) / s))))))) + Float32(-1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)))) + (u / (single(1.0) + exp(-(single(pi) / s)))))) + single(-1.0)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 96.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.5}{s} - \pi}{s}\right)}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

6. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{u}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \left(1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}} + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

9. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{-\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u} + \left(\frac{e^{-\frac{\pi}{s}}}{u} + -1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* (- s) (log (+ (/ 1.0 u) (+ (/ (exp (- (/ PI s))) u) -1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf(((1.0f / u) + ((expf(-(((float) M_PI) / s)) / u) + -1.0f)));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / u) + Float32(Float32(exp(Float32(-Float32(Float32(pi) / s))) / u) + Float32(-1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log(((single(1.0) / u) + ((exp(-(single(pi) / s)) / u) + single(-1.0))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 92.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.5}{s} - \pi}{s}\right)}}} - 1\right) \]

6. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

8. Simplified 92.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.5}{s} - \pi}{s}\right)}}\right) + \frac{1}{1 + \left(1 - \frac{\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.5}{s} - \pi}{s}\right)}} - 1\right) \]

9. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(s \cdot \log \left(\left(\frac{1}{u} + \frac{e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u}\right) - 1\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(-1 \cdot s\right) \cdot \color{blue}{\log \left(\left(\frac{1}{u} + \frac{e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u}\right) - 1\right)} \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot s\right), \color{blue}{\log \left(\left(\frac{1}{u} + \frac{e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u}\right) - 1\right)}\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \log \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{u} + \frac{e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u}\right) - 1\right)}\right) \]

    4. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{u} + \frac{e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u}\right) - 1\right)}\right) \]

    5. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\left(\frac{1}{u} + \frac{e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u}\right) - 1\right)\right)\right) \]

    6. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{u} + \left(\frac{e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} - 1\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{u}\right), \left(\frac{e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} - 1\right)\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, u\right), \left(\frac{e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} - 1\right)\right)\right)\right) \]

    9. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, u\right), \left(\frac{e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, u\right), \left(\frac{e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} + -1\right)\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 97.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u} + \left(\frac{e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u} + -1\right)\right)} \]

12. Final simplification 97.8%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u} + \left(\frac{e^{-\frac{\pi}{s}}}{u} + -1\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 5: 24.9% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + \frac{4 \cdot \left(\pi \cdot \left(u \cdot -0.5 + 0.25\right)\right)}{s}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* (- s) (log (+ 1.0 (/ (* 4.0 (* PI (+ (* u -0.5) 0.25))) s)))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((1.0f + ((4.0f * (((float) M_PI) * ((u * -0.5f) + 0.25f))) / s)));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(4.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(u * Float32(-0.5)) + Float32(0.25)))) / s))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(1.0) + ((single(4.0) * (single(pi) * ((u * single(-0.5)) + single(0.25)))) / s)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{-1}{4}\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 3.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 3.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)}{s}} + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

6. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + 4 \cdot \frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(4 \cdot \frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{4 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(4 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot u\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot u\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{4}\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{4}\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{4}\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot u\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 25.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, u\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 25.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \frac{4 \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.5 \cdot u + 0.25\right)\right)}{s}\right)} \]

9. Final simplification 25.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + \frac{4 \cdot \left(\pi \cdot \left(u \cdot -0.5 + 0.25\right)\right)}{s}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 11.6% accurate, 39.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\pi \cdot 0.25 + u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right) \cdot -4 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (+ (* PI 0.25) (* u (* PI -0.5))) -4.0))

C

float code(float u, float s) {
	return ((((float) M_PI) * 0.25f) + (u * (((float) M_PI) * -0.5f))) * -4.0f;
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(0.25)) + Float32(u * Float32(Float32(pi) * Float32(-0.5)))) * Float32(-4.0))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = ((single(pi) * single(0.25)) + (u * (single(pi) * single(-0.5)))) * single(-4.0);
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{-4} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{-4}\right) \]

   3. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -4\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -4\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), -4\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), -4\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}\right), \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), -4\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), -4\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), -4\right) \]

   10. distribute-rgt-out-- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{4} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), -4\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right), -4\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \left(u \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), -4\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), -4\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right), -4\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), -4\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 11.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), -4\right) \]

5. Simplified 11.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.25 + u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right) \cdot -4} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 7: 13.8% accurate, 43.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{s} \cdot \frac{s \cdot s}{-s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (/ PI s) (/ (* s s) (- s))))

C

float code(float u, float s) {
	return (((float) M_PI) / s) * ((s * s) / -s);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(pi) / s) * Float32(Float32(s * s) / Float32(-s)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = (single(pi) / s) * ((s * s) / -s);
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{-1}{4}\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 3.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 3.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)}{s}} + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

6. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 11.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

8. Simplified 11.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - s\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 \cdot 0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 13.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 13.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{0 - s \cdot s}{0 + s}} \cdot \frac{\pi}{s} \]

11. Final simplification 13.8%

    \[\leadsto \frac{\pi}{s} \cdot \frac{s \cdot s}{-s} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 11.6% accurate, 48.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 4 \cdot \left(\pi \cdot \left(u \cdot 0.5 - 0.25\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* 4.0 (* PI (- (* u 0.5) 0.25))))

C

float code(float u, float s) {
	return 4.0f * (((float) M_PI) * ((u * 0.5f) - 0.25f));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(4.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(u * Float32(0.5)) - Float32(0.25))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = single(4.0) * (single(pi) * ((u * single(0.5)) - single(0.25)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{-1}{4}\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 3.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 3.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)}{s}} + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

6. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \color{blue}{4 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(4, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(4, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot u\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\frac{1}{4}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot u - \frac{1}{4}\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot u - \frac{1}{4}\right)}\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot u} - \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot u\right), \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 11.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, u\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

8. Simplified 11.3%

   \[\leadsto \color{blue}{4 \cdot \left(\pi \cdot \left(0.5 \cdot u - 0.25\right)\right)} \]

9. Final simplification 11.3%

   \[\leadsto 4 \cdot \left(\pi \cdot \left(u \cdot 0.5 - 0.25\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 9: 11.3% accurate, 61.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ s \cdot \left(\pi \cdot \frac{-1}{s}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* s (* PI (/ -1.0 s))))

C

float code(float u, float s) {
	return s * (((float) M_PI) * (-1.0f / s));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(s * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(-1.0) / s)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = s * (single(pi) * (single(-1.0) / s));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{-1}{4}\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 3.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 3.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)}{s}} + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

6. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 11.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

8. Simplified 11.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right) \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\frac{1}{s} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{s}\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 11.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 11.1%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{s} \cdot \pi\right)} \]

11. Final simplification 11.1%

    \[\leadsto s \cdot \left(\pi \cdot \frac{-1}{s}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 10: 11.3% accurate, 61.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 - s \cdot \frac{\pi}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- 0.0 (* s (/ PI s))))

C

float code(float u, float s) {
	return 0.0f - (s * (((float) M_PI) / s));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(0.0) - Float32(s * Float32(Float32(pi) / s)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = single(0.0) - (s * (single(pi) / s));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{-1}{4}\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 3.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 3.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)}{s}} + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

6. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 11.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

8. Simplified 11.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]

9. Final simplification 11.1%

   \[\leadsto 0 - s \cdot \frac{\pi}{s} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 11.3% accurate, 72.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{s \cdot \left(-\pi\right)}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (/ (* s (- PI)) s))

C

float code(float u, float s) {
	return (s * -((float) M_PI)) / s;
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(s * Float32(-Float32(pi))) / s)
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = (s * -single(pi)) / s;
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{-1}{4}\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 3.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 3.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)}{s}} + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

6. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 11.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

8. Simplified 11.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\color{blue}{s}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{s}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right), s\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right), s\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right), s\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f32 11.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{neg.f32}\left(s\right)\right), s\right) \]

10. Applied egg-rr 11.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\pi \cdot \left(-s\right)}{s}} \]

11. Final simplification 11.1%

    \[\leadsto \frac{s \cdot \left(-\pi\right)}{s} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 12: 11.3% accurate, 216.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -\pi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- PI))

C

float code(float u, float s) {
	return -((float) M_PI);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(-Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 11.1%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

5. Simplified 11.1%

   \[\leadsto \color{blue}{-\pi} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024185 
(FPCore (u s)
  :name "Sample trimmed logistic on [-pi, pi]"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)) (and (<= 0.0 s) (<= s 1.0651631)))
  (* (- s) (log (- (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) 1.0))))