UniformSampleCone, y

Percentage Accurate: 58.0% → 98.3%

Time: 21.5s

Alternatives: 22

Speedup: 2.0×

Specification

\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Initial Program: 58.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Alternative 1: 98.3% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\\ t_2 := 2 + maxCos \cdot -2\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\frac{ux \cdot \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot t\_0\right) \cdot t\_1 + {\left({t\_2}^{1.5}\right)}^{2}\right)}{t\_1 + t\_2 \cdot \left(t\_2 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right)\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (+ maxCos -1.0)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) (* (- 1.0 maxCos) (- 1.0 maxCos))))
        (t_2 (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))
   (*
    (sin (* (* uy 2.0) PI))
    (sqrt
     (/
      (* ux (+ (* (* (- 1.0 maxCos) t_0) t_1) (pow (pow t_2 1.5) 2.0)))
      (+ t_1 (* t_2 (+ t_2 (* (- 1.0 maxCos) (* (- 1.0 maxCos) ux))))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (maxCos + -1.0f);
	float t_1 = (t_0 * t_0) * ((1.0f - maxCos) * (1.0f - maxCos));
	float t_2 = 2.0f + (maxCos * -2.0f);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((ux * ((((1.0f - maxCos) * t_0) * t_1) + powf(powf(t_2, 1.5f), 2.0f))) / (t_1 + (t_2 * (t_2 + ((1.0f - maxCos) * ((1.0f - maxCos) * ux)))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))
	t_1 = Float32(Float32(t_0 * t_0) * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))
	t_2 = Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0)))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * t_0) * t_1) + ((t_2 ^ Float32(1.5)) ^ Float32(2.0)))) / Float32(t_1 + Float32(t_2 * Float32(t_2 + Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * ux))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (maxCos + single(-1.0));
	t_1 = (t_0 * t_0) * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) - maxCos));
	t_2 = single(2.0) + (maxCos * single(-2.0));
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt(((ux * ((((single(1.0) - maxCos) * t_0) * t_1) + ((t_2 ^ single(1.5)) ^ single(2.0)))) / (t_1 + (t_2 * (t_2 + ((single(1.0) - maxCos) * ((single(1.0) - maxCos) * ux)))))));
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)}} \]

7. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)\right) \cdot ux}{\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) - \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \left({\left(2 + maxCos \cdot -2\right)}^{3}\right)\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \left({\left(2 + maxCos \cdot -2\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot {\left(2 + maxCos \cdot -2\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}\right)\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \left({\left({\left(2 + maxCos \cdot -2\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\left({\left(2 + maxCos \cdot -2\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}\right), 2\right)\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right), \left(\frac{3}{2}\right)\right), 2\right)\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot -2\right)\right), \left(\frac{3}{2}\right)\right), 2\right)\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \left(\frac{3}{2}\right)\right), 2\right)\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \frac{3}{2}\right), 2\right)\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\frac{\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{{\left({\left(2 + maxCos \cdot -2\right)}^{1.5}\right)}^{2}}\right) \cdot ux}{\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) - \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}} \]

10. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\frac{ux \cdot \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + {\left({\left(2 + maxCos \cdot -2\right)}^{1.5}\right)}^{2}\right)}{\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right)\right)}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + ux \cdot \left(maxCos \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (+
    (* ux (+ 2.0 (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ maxCos -1.0)))))
    (* ux (* maxCos -2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((ux * (2.0f + ((1.0f - maxCos) * (ux * (maxCos + -1.0f))))) + (ux * (maxCos * -2.0f))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))) + Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt(((ux * (single(2.0) + ((single(1.0) - maxCos) * (ux * (maxCos + single(-1.0)))))) + (ux * (maxCos * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 2\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 2\right) \cdot ux + \left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 2\right) \cdot ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 2\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot -2\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 98.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(2 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot ux + \left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux}} \]

8. Final simplification 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + ux \cdot \left(maxCos \cdot -2\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ maxCos -1.0))) (+ 2.0 (* maxCos -2.0)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (((1.0f - maxCos) * (ux * (maxCos + -1.0f))) + (2.0f + (maxCos * -2.0f)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))) + Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((ux * (((single(1.0) - maxCos) * (ux * (maxCos + single(-1.0)))) + (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)}} \]

6. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(-2 + 2 \cdot ux\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt (+ (* ux (- 2.0 ux)) (* maxCos (* ux (+ -2.0 (* 2.0 ux))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((ux * (2.0f - ux)) + (maxCos * (ux * (-2.0f + (2.0f * ux))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux)) + Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(-2.0) + Float32(Float32(2.0) * ux)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt(((ux * (single(2.0) - ux)) + (maxCos * (ux * (single(-2.0) + (single(2.0) * ux))))));
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) + ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 97.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)}} \]

9. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(-2 + 2 \cdot ux\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(maxCos \cdot -2\right) + ux \cdot \left(2 - ux\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt (+ (* ux (* maxCos -2.0)) (* ux (- 2.0 ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((ux * (maxCos * -2.0f)) + (ux * (2.0f - ux))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(-2.0))) + Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt(((ux * (maxCos * single(-2.0))) + (ux * (single(2.0) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 2\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 2\right) \cdot ux + \left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 2\right) \cdot ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 2\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot -2\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 98.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(2 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot ux + \left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), ux\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 96.7%

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(-ux\right)\right)} + \left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux} \]

11. Final simplification 96.7%

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(maxCos \cdot -2\right) + ux \cdot \left(2 - ux\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 5.000000058430487 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot -2 + \left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= maxCos 5.000000058430487e-8)
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))
   (*
    (*
     uy
     (pow
      (*
       ux
       (+ (* maxCos -2.0) (+ 2.0 (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ maxCos -1.0))))))
      0.5))
    (* PI (+ 2.0 (* -1.3333333333333333 (* uy (* uy (* PI PI)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (maxCos <= 5.000000058430487e-8f) {
		tmp = sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (2.0f - ux)));
	} else {
		tmp = (uy * powf((ux * ((maxCos * -2.0f) + (2.0f + (ux * ((1.0f - maxCos) * (maxCos + -1.0f)))))), 0.5f)) * (((float) M_PI) * (2.0f + (-1.3333333333333333f * (uy * (uy * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (maxCos <= Float32(5.000000058430487e-8))
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))));
	else
		tmp = Float32(Float32(uy * (Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * Float32(-2.0)) + Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))) ^ Float32(0.5))) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (maxCos <= single(5.000000058430487e-8))
		tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)));
	else
		tmp = (uy * ((ux * ((maxCos * single(-2.0)) + (single(2.0) + (ux * ((single(1.0) - maxCos) * (maxCos + single(-1.0))))))) ^ single(0.5))) * (single(pi) * (single(2.0) + (single(-1.3333333333333333) * (uy * (uy * (single(pi) * single(pi)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if maxCos < 5.00000006e-8

   1. Initial program 53.6%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 53.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 53.6%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 98.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]

   if 5.00000006e-8 < maxCos

   1. Initial program 52.8%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 50.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f32 94.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 94.1%

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \cdot uy\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   10. Applied egg-rr 94.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)}^{0.5} \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 5.000000058430487 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot -2 + \left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 93.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.10000000149011612:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot -2 + \left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* uy 2.0) 0.10000000149011612)
   (*
    (*
     uy
     (pow
      (*
       ux
       (+ (* maxCos -2.0) (+ 2.0 (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ maxCos -1.0))))))
      0.5))
    (* PI (+ 2.0 (* -1.3333333333333333 (* uy (* uy (* PI PI)))))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (* 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.10000000149011612f) {
		tmp = (uy * powf((ux * ((maxCos * -2.0f) + (2.0f + (ux * ((1.0f - maxCos) * (maxCos + -1.0f)))))), 0.5f)) * (((float) M_PI) * (2.0f + (-1.3333333333333333f * (uy * (uy * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))));
	} else {
		tmp = sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((2.0f * ux));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.10000000149011612))
		tmp = Float32(Float32(uy * (Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * Float32(-2.0)) + Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))) ^ Float32(0.5))) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.10000000149011612))
		tmp = (uy * ((ux * ((maxCos * single(-2.0)) + (single(2.0) + (ux * ((single(1.0) - maxCos) * (maxCos + single(-1.0))))))) ^ single(0.5))) * (single(pi) * (single(2.0) + (single(-1.3333333333333333) * (uy * (uy * (single(pi) * single(pi)))))));
	else
		tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(2.0) * ux));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.100000001

   1. Initial program 54.0%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 53.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f32 97.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 97.5%

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \cdot uy\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   10. Applied egg-rr 97.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)}^{0.5} \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.100000001 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 50.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 48.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 48.4%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 79.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 79.5%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{2 \cdot ux}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.10000000149011612:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot -2 + \left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 89.2% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot -2 + \left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (*
   uy
   (pow
    (*
     ux
     (+ (* maxCos -2.0) (+ 2.0 (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ maxCos -1.0))))))
    0.5))
  (* PI (+ 2.0 (* -1.3333333333333333 (* uy (* uy (* PI PI))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * powf((ux * ((maxCos * -2.0f) + (2.0f + (ux * ((1.0f - maxCos) * (maxCos + -1.0f)))))), 0.5f)) * (((float) M_PI) * (2.0f + (-1.3333333333333333f * (uy * (uy * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * (Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * Float32(-2.0)) + Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))) ^ Float32(0.5))) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * ((ux * ((maxCos * single(-2.0)) + (single(2.0) + (ux * ((single(1.0) - maxCos) * (maxCos + single(-1.0))))))) ^ single(0.5))) * (single(pi) * (single(2.0) + (single(-1.3333333333333333) * (uy * (uy * (single(pi) * single(pi)))))));
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 49.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 89.3%

   \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \cdot uy\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

10. Applied egg-rr 89.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)}^{0.5} \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 89.4%

    \[\leadsto \left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot -2 + \left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 89.2% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left({\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot -2 + \left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  uy
  (*
   (pow
    (*
     ux
     (+ (* maxCos -2.0) (+ 2.0 (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ maxCos -1.0))))))
    0.5)
   (* PI (+ 2.0 (* -1.3333333333333333 (* uy (* uy (* PI PI)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return uy * (powf((ux * ((maxCos * -2.0f) + (2.0f + (ux * ((1.0f - maxCos) * (maxCos + -1.0f)))))), 0.5f) * (((float) M_PI) * (2.0f + (-1.3333333333333333f * (uy * (uy * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(uy * Float32((Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * Float32(-2.0)) + Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))) ^ Float32(0.5)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = uy * (((ux * ((maxCos * single(-2.0)) + (single(2.0) + (ux * ((single(1.0) - maxCos) * (maxCos + single(-1.0))))))) ^ single(0.5)) * (single(pi) * (single(2.0) + (single(-1.3333333333333333) * (uy * (uy * (single(pi) * single(pi))))))));
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 49.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 89.3%

   \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{uy} \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right), \color{blue}{uy}\right) \]

10. Applied egg-rr 89.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)}^{0.5}\right) \cdot uy} \]

11. Final simplification 89.3%

    \[\leadsto uy \cdot \left({\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot -2 + \left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 10: 89.2% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \pi \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (* uy (* PI (+ 2.0 (* PI (* -1.3333333333333333 (* PI (* uy uy)))))))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ 2.0 (- (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ maxCos -1.0))) (* 2.0 maxCos)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * (((float) M_PI) * (2.0f + (((float) M_PI) * (-1.3333333333333333f * (((float) M_PI) * (uy * uy))))))) * sqrtf((ux * (2.0f + ((ux * ((1.0f - maxCos) * (maxCos + -1.0f))) - (2.0f * maxCos)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * uy))))))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))) - Float32(Float32(2.0) * maxCos))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * (single(pi) * (single(2.0) + (single(pi) * (single(-1.3333333333333333) * (single(pi) * (uy * uy))))))) * sqrt((ux * (single(2.0) + ((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (maxCos + single(-1.0)))) - (single(2.0) * maxCos)))));
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 49.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 89.3%

   \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 89.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 89.3%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \pi}\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \]

11. Final simplification 89.3%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \pi \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 89.2% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (* ux (+ 2.0 (- (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ maxCos -1.0))) (* 2.0 maxCos)))))
  (* uy (* PI (+ 2.0 (* (* PI PI) (* -1.3333333333333333 (* uy uy))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (2.0f + ((ux * ((1.0f - maxCos) * (maxCos + -1.0f))) - (2.0f * maxCos))))) * (uy * (((float) M_PI) * (2.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-1.3333333333333333f * (uy * uy))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))) - Float32(Float32(2.0) * maxCos))))) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (single(2.0) + ((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (maxCos + single(-1.0)))) - (single(2.0) * maxCos))))) * (uy * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-1.3333333333333333) * (uy * uy))))));
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 49.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 89.3%

   \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]

9. Final simplification 89.3%

   \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 12: 89.2% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (* uy (* PI (+ 2.0 (* (* PI PI) (* -1.3333333333333333 (* uy uy))))))
  (sqrt
   (*
    ux
    (- (+ 2.0 (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ maxCos -1.0)))) (* 2.0 maxCos))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * (((float) M_PI) * (2.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-1.3333333333333333f * (uy * uy)))))) * sqrtf((ux * ((2.0f + (ux * ((1.0f - maxCos) * (maxCos + -1.0f)))) - (2.0f * maxCos))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)))))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))) - Float32(Float32(2.0) * maxCos)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)))))) * sqrt((ux * ((single(2.0) + (ux * ((single(1.0) - maxCos) * (maxCos + single(-1.0))))) - (single(2.0) * maxCos))));
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 49.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 89.3%

   \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-+r- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 89.3%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - maxCos \cdot 2\right)}} \]

11. Final simplification 89.3%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 13: 88.0% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 4.999999987376214 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + ux \cdot \left(maxCos \cdot -2\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= maxCos 4.999999987376214e-7)
   (*
    (* uy (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))
    (* PI (+ 2.0 (* -1.3333333333333333 (* (* PI PI) (* uy uy))))))
   (*
    (sqrt
     (+
      (* ux (+ 2.0 (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ maxCos -1.0)))))
      (* ux (* maxCos -2.0))))
    (* 2.0 (* uy PI)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (maxCos <= 4.999999987376214e-7f) {
		tmp = (uy * sqrtf((ux * (2.0f - ux)))) * (((float) M_PI) * (2.0f + (-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (uy * uy)))));
	} else {
		tmp = sqrtf(((ux * (2.0f + ((1.0f - maxCos) * (ux * (maxCos + -1.0f))))) + (ux * (maxCos * -2.0f)))) * (2.0f * (uy * ((float) M_PI)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (maxCos <= Float32(4.999999987376214e-7))
		tmp = Float32(Float32(uy * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux)))) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(uy * uy))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))) + Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(-2.0))))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (maxCos <= single(4.999999987376214e-7))
		tmp = (uy * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)))) * (single(pi) * (single(2.0) + (single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * single(pi)) * (uy * uy)))));
	else
		tmp = sqrt(((ux * (single(2.0) + ((single(1.0) - maxCos) * (ux * (maxCos + single(-1.0)))))) + (ux * (maxCos * single(-2.0))))) * (single(2.0) * (uy * single(pi)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if maxCos < 4.99999999e-7

   1. Initial program 53.7%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 49.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f32 88.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 88.5%

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]

   9. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)} \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot uy\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}\right), uy\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \color{blue}{\left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. PI-lowering-PI.f32 88.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 88.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-ux\right)\right)} \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   if 4.99999999e-7 < maxCos

   1. Initial program 52.4%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 2\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 2\right) \cdot ux + \left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 2\right) \cdot ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 2\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot -2\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f32 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(2 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot ux + \left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux}} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), ux\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), ux\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), ux\right)}\right)\right)\right) \]

      3. PI-lowering-PI.f32 86.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right), \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 86.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\left(2 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot ux + \left(maxCos \cdot -2\right) \cdot ux} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 88.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 4.999999987376214 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + ux \cdot \left(maxCos \cdot -2\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 88.7% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(-2 + 2 \cdot ux\right) - ux\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (* uy (* PI (+ 2.0 (* (* PI PI) (* -1.3333333333333333 (* uy uy))))))
  (sqrt (* ux (+ 2.0 (- (* maxCos (+ -2.0 (* 2.0 ux))) ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * (((float) M_PI) * (2.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-1.3333333333333333f * (uy * uy)))))) * sqrtf((ux * (2.0f + ((maxCos * (-2.0f + (2.0f * ux))) - ux))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)))))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(-2.0) + Float32(Float32(2.0) * ux))) - ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)))))) * sqrt((ux * (single(2.0) + ((maxCos * (single(-2.0) + (single(2.0) * ux))) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 49.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 89.3%

   \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]

9. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(2 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 88.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 88.7%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(\left(-ux\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)}} \]

12. Final simplification 88.7%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(-2 + 2 \cdot ux\right) - ux\right)\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 15: 88.0% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 4.999999987376214 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= maxCos 4.999999987376214e-7)
   (*
    (* uy (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))
    (* PI (+ 2.0 (* -1.3333333333333333 (* (* PI PI) (* uy uy))))))
   (*
    (sqrt
     (*
      ux
      (+ 2.0 (- (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ maxCos -1.0))) (* 2.0 maxCos)))))
    (* uy (* 2.0 PI)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (maxCos <= 4.999999987376214e-7f) {
		tmp = (uy * sqrtf((ux * (2.0f - ux)))) * (((float) M_PI) * (2.0f + (-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (uy * uy)))));
	} else {
		tmp = sqrtf((ux * (2.0f + ((ux * ((1.0f - maxCos) * (maxCos + -1.0f))) - (2.0f * maxCos))))) * (uy * (2.0f * ((float) M_PI)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (maxCos <= Float32(4.999999987376214e-7))
		tmp = Float32(Float32(uy * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux)))) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(uy * uy))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))) - Float32(Float32(2.0) * maxCos))))) * Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (maxCos <= single(4.999999987376214e-7))
		tmp = (uy * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)))) * (single(pi) * (single(2.0) + (single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * single(pi)) * (uy * uy)))));
	else
		tmp = sqrt((ux * (single(2.0) + ((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (maxCos + single(-1.0)))) - (single(2.0) * maxCos))))) * (uy * (single(2.0) * single(pi)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if maxCos < 4.99999999e-7

   1. Initial program 53.7%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 49.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f32 88.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 88.5%

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]

   9. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)} \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot uy\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}\right), uy\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \color{blue}{\left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. PI-lowering-PI.f32 88.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 88.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-ux\right)\right)} \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   if 4.99999999e-7 < maxCos

   1. Initial program 52.4%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 50.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f32 93.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 93.8%

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]

   9. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       2. PI-lowering-PI.f32 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.7%

       \[\leadsto \left(uy \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 88.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 4.999999987376214 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 88.0% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 4.999999987376214 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(maxCos \cdot -2 + \left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= maxCos 4.999999987376214e-7)
   (*
    (* uy (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))
    (* PI (+ 2.0 (* -1.3333333333333333 (* (* PI PI) (* uy uy))))))
   (*
    (* uy (* 2.0 PI))
    (sqrt
     (*
      ux
      (+
       (* maxCos -2.0)
       (+ 2.0 (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ maxCos -1.0))))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (maxCos <= 4.999999987376214e-7f) {
		tmp = (uy * sqrtf((ux * (2.0f - ux)))) * (((float) M_PI) * (2.0f + (-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (uy * uy)))));
	} else {
		tmp = (uy * (2.0f * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * ((maxCos * -2.0f) + (2.0f + (ux * ((1.0f - maxCos) * (maxCos + -1.0f)))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (maxCos <= Float32(4.999999987376214e-7))
		tmp = Float32(Float32(uy * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux)))) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(uy * uy))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * Float32(-2.0)) + Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (maxCos <= single(4.999999987376214e-7))
		tmp = (uy * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)))) * (single(pi) * (single(2.0) + (single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * single(pi)) * (uy * uy)))));
	else
		tmp = (uy * (single(2.0) * single(pi))) * sqrt((ux * ((maxCos * single(-2.0)) + (single(2.0) + (ux * ((single(1.0) - maxCos) * (maxCos + single(-1.0))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if maxCos < 4.99999999e-7

   1. Initial program 53.7%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 49.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f32 88.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 88.5%

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]

   9. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)} \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot uy\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}\right), uy\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \color{blue}{\left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. PI-lowering-PI.f32 88.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 88.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-ux\right)\right)} \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   if 4.99999999e-7 < maxCos

   1. Initial program 52.4%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2 \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   5. Simplified 47.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      6. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f32 86.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.6%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 88.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 4.999999987376214 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(maxCos \cdot -2 + \left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 88.1% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - \left(ux + 2 \cdot maxCos\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (* uy (* PI (+ 2.0 (* (* PI PI) (* -1.3333333333333333 (* uy uy))))))
  (sqrt (* ux (- 2.0 (+ ux (* 2.0 maxCos)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * (((float) M_PI) * (2.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-1.3333333333333333f * (uy * uy)))))) * sqrtf((ux * (2.0f - (ux + (2.0f * maxCos)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)))))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - Float32(ux + Float32(Float32(2.0) * maxCos))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)))))) * sqrt((ux * (single(2.0) - (ux + (single(2.0) * maxCos)))));
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 49.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 89.3%

   \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]

9. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. neg-lowering-neg.f32 88.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 88.1%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\color{blue}{\left(-ux\right)} - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \]

12. Final simplification 88.1%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - \left(ux + 2 \cdot maxCos\right)\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 18: 84.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (* uy (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))
  (* PI (+ 2.0 (* -1.3333333333333333 (* (* PI PI) (* uy uy)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * sqrtf((ux * (2.0f - ux)))) * (((float) M_PI) * (2.0f + (-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (uy * uy)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux)))) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(uy * uy))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)))) * (single(pi) * (single(2.0) + (single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * single(pi)) * (uy * uy)))));
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 49.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 89.3%

   \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]

9. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)} \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot uy\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}\right), uy\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    7. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    8. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \color{blue}{\left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. PI-lowering-PI.f32 84.0%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 84.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-ux\right)\right)} \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

12. Final simplification 84.0%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 19: 84.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (* uy (* PI (+ 2.0 (* (* PI PI) (* -1.3333333333333333 (* uy uy))))))
  (sqrt (* ux (- 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * (((float) M_PI) * (2.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-1.3333333333333333f * (uy * uy)))))) * sqrtf((ux * (2.0f - ux)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)))))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)))))) * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)));
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 49.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 89.3%

   \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]

9. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(2 + -1 \cdot ux\right)}\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. neg-lowering-neg.f32 84.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 84.0%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(-ux\right)\right)}} \]

12. Final simplification 84.0%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 20: 75.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;ux \leq 0.00015300000086426735:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= ux 0.00015300000086426735)
   (* (* uy (* 2.0 PI)) (sqrt (* ux (+ 2.0 (* maxCos -2.0)))))
   (* (* 2.0 (* uy PI)) (sqrt (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (ux <= 0.00015300000086426735f) {
		tmp = (uy * (2.0f * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (2.0f + (maxCos * -2.0f))));
	} else {
		tmp = (2.0f * (uy * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (ux <= Float32(0.00015300000086426735))
		tmp = Float32(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (ux <= single(0.00015300000086426735))
		tmp = (uy * (single(2.0) * single(pi))) * sqrt((ux * (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))));
	else
		tmp = (single(2.0) * (uy * single(pi))) * sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if ux < 1.53e-4

   1. Initial program 36.2%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2 \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   5. Simplified 34.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 78.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 78.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

   if 1.53e-4 < ux

   1. Initial program 88.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 83.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 83.0%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

   6. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. PI-lowering-PI.f32 70.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 70.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;ux \leq 0.00015300000086426735:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 65.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (* uy (* 2.0 PI)) (sqrt (* ux (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * (2.0f * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (2.0f + (maxCos * -2.0f))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * (single(2.0) * single(pi))) * sqrt((ux * (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

5. Simplified 47.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 68.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 68.3%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

9. Final simplification 68.3%

   \[\leadsto \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 22: 7.1% accurate, 223.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 0.0)

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

5. Simplified 47.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 7.2%

   \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{1}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto {\left(1 - 1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto {0}^{\frac{1}{2}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 0 \cdot \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   4. mul0-lft 7.2%

      \[\leadsto 0 \]

10. Applied egg-rr 7.2%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024185 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))