2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 98.4%

Time: 6.1s

Alternatives: 4

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.4% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\sqrt[3]{{\pi}^{3}} \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos
   (+ (* (cbrt (pow PI 3.0)) 0.6666666666666666) (/ (acos (- (/ g h))) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((cbrt(pow(((double) M_PI), 3.0)) * 0.6666666666666666) + (acos(-(g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((Math.cbrt(Math.pow(Math.PI, 3.0)) * 0.6666666666666666) + (Math.acos(-(g / h)) / 3.0)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(cbrt((pi ^ 3.0)) * 0.6666666666666666) + Float64(acos(Float64(-Float64(g / h))) / 3.0))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[Power[N[Power[Pi, 3.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[(-N[(g / h), $MachinePrecision])], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot \color{blue}{0.6666666666666666} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. distribute-frac-neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right) \]

   5. distribute-frac-neg2 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi}} \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right) \]

   2. pow3 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\pi}^{3}}} \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right) \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\pi}^{3}}} \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right) \]

7. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\sqrt[3]{{\pi}^{3}} \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (acos (- (/ g h))) 3.0) (* PI 0.6666666666666666)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((acos(-(g / h)) / 3.0) + (((double) M_PI) * 0.6666666666666666)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((Math.acos(-(g / h)) / 3.0) + (Math.PI * 0.6666666666666666)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((math.acos(-(g / h)) / 3.0) + (math.pi * 0.6666666666666666)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(acos(Float64(-Float64(g / h))) / 3.0) + Float64(pi * 0.6666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((acos(-(g / h)) / 3.0) + (pi * 0.6666666666666666)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[ArcCos[(-N[(g / h), $MachinePrecision])], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot \color{blue}{0.6666666666666666} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. distribute-frac-neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right) \]

   5. distribute-frac-neg2 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 1.1666666666666667 - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (- (* PI 1.1666666666666667) (asin (/ g h))))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((((double) M_PI) * 1.1666666666666667) - asin((g / h))));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((Math.PI * 1.1666666666666667) - Math.asin((g / h))));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((math.pi * 1.1666666666666667) - math.asin((g / h))))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(pi * 1.1666666666666667) - asin(Float64(g / h)))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((pi * 1.1666666666666667) - asin((g / h))));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(Pi * 1.1666666666666667), $MachinePrecision] - N[ArcSin[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot \color{blue}{0.6666666666666666} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. distribute-frac-neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right) \]

   5. distribute-frac-neg2 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. fma-define 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   2. frac-2neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{\frac{-\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{-3}}\right)\right) \]

   3. distribute-frac-neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{-\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{-3}}\right)\right) \]

   4. fmm-undef 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{-3}\right)} \]

   5. add-sqr-sqrt 43.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{-h} \cdot \sqrt{-h}}}\right)}{-3}\right) \]

   6. sqrt-unprod 88.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{\left(-h\right) \cdot \left(-h\right)}}}\right)}{-3}\right) \]

   7. sqr-neg 88.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot h}}}\right)}{-3}\right) \]

   8. sqrt-unprod 53.6%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{h}}}\right)}{-3}\right) \]

   9. add-sqr-sqrt 96.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{h}}\right)}{-3}\right) \]

   10. metadata-eval 96.0%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{\color{blue}{-3}}\right) \]

6. Applied egg-rr 96.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3}\right)} \]

8. Applied egg-rr 94.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right) + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. fma-define 94.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + \pi \cdot 0.6666666666666666\right)} + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

   2. +-commutative 94.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

   3. cancel-sign-sub 94.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \left(-\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

   4. distribute-lft-neg-in 94.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}\right) + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

   5. associate-+l- 95.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \left(\left(-\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) - \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. *-commutative 95.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \pi} - \left(\left(-\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) - \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

   7. fmm-def 95.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, -\left(\left(-\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) - \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt-neg-in 95.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, -\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \left(-0.3333333333333333\right)} - \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval 95.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, -\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333} - \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \]

   10. fma-undefine 95.1%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, -\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot -0.3333333333333333 - \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}\right)\right)\right) \]

10. Simplified 95.1%

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. fma-undefine 95.1%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)} \]

    2. *-commutative 95.1%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot 0.6666666666666666} + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

    3. rem-cbrt-cube 97.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\pi}^{3}}} \cdot 0.6666666666666666 + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

    4. acos-asin 97.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\sqrt[3]{{\pi}^{3}} \cdot 0.6666666666666666 + \color{blue}{\left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)}\right) \]

    5. associate-+r- 97.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{{\pi}^{3}} \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\pi}{2}\right) - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)} \]

    6. rem-cbrt-cube 95.1%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\color{blue}{\pi} \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\pi}{2}\right) - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

    7. div-inv 95.1%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \color{blue}{\pi \cdot \frac{1}{2}}\right) - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

    8. metadata-eval 95.1%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \pi \cdot \color{blue}{0.5}\right) - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 95.1%

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \pi \cdot 0.5\right) - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. distribute-lft-out 94.0%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \left(0.6666666666666666 + 0.5\right)} - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

    2. metadata-eval 97.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot \color{blue}{1.1666666666666667} - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

14. Simplified 97.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 1.1666666666666667 - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 4: 95.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (* PI 0.6666666666666666) (acos (/ g h))))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((((double) M_PI) * 0.6666666666666666) + acos((g / h))));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((Math.PI * 0.6666666666666666) + Math.acos((g / h))));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((math.pi * 0.6666666666666666) + math.acos((g / h))))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(pi * 0.6666666666666666) + acos(Float64(g / h)))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((pi * 0.6666666666666666) + acos((g / h))));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot \color{blue}{0.6666666666666666} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. distribute-frac-neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right) \]

   5. distribute-frac-neg2 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. fma-define 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   2. frac-2neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{\frac{-\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{-3}}\right)\right) \]

   3. distribute-frac-neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{-\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{-3}}\right)\right) \]

   4. fmm-undef 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{-3}\right)} \]

   5. add-sqr-sqrt 43.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{-h} \cdot \sqrt{-h}}}\right)}{-3}\right) \]

   6. sqrt-unprod 88.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{\left(-h\right) \cdot \left(-h\right)}}}\right)}{-3}\right) \]

   7. sqr-neg 88.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot h}}}\right)}{-3}\right) \]

   8. sqrt-unprod 53.6%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{h}}}\right)}{-3}\right) \]

   9. add-sqr-sqrt 96.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{h}}\right)}{-3}\right) \]

   10. metadata-eval 96.0%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{\color{blue}{-3}}\right) \]

6. Applied egg-rr 96.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3}\right)} \]

8. Applied egg-rr 94.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right) + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. fma-define 94.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + \pi \cdot 0.6666666666666666\right)} + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

   2. +-commutative 94.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

   3. cancel-sign-sub 94.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \left(-\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

   4. distribute-lft-neg-in 94.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}\right) + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

   5. associate-+l- 95.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \left(\left(-\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) - \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. *-commutative 95.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \pi} - \left(\left(-\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) - \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

   7. fmm-def 95.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, -\left(\left(-\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) - \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt-neg-in 95.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, -\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \left(-0.3333333333333333\right)} - \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval 95.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, -\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333} - \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \]

   10. fma-undefine 95.1%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, -\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot -0.3333333333333333 - \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}\right)\right)\right) \]

10. Simplified 95.1%

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. fma-undefine 95.1%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)} \]

    2. *-commutative 95.1%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot 0.6666666666666666} + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 95.1%

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024182 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))