2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.5% → 99.7%

Time: 28.7s

Alternatives: 5

Speedup: 29.3×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\\ t_1 := \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\\ t_2 := -0.3333333333333333 \cdot \tan x\\ t_3 := -0.3333333333333333 \cdot t\_1\\ t_4 := \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + t\_1\right)}{\cos x}\\ t_5 := \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\\ t_6 := t\_3 - t\_5\\ t_7 := -0.3333333333333333 \cdot t\_0 + \frac{\sin x \cdot t\_6}{\cos x}\\ \varepsilon \cdot \left(t\_1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(t\_3 + \left(-0.3333333333333333 \cdot t\_5 + \left(t\_1 \cdot -0.13333333333333333 + \left(\frac{\sin x \cdot \left(t\_2 - t\_4\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot t\_7}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) + \left(t\_4 - \left(t\_2 + t\_7\right)\right)\right)\right) + \left(t\_1 - t\_6\right)\right) + \left(t\_0 + \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right) + 1\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (pow (sin x) 3.0) (pow (cos x) 3.0)))
        (t_1 (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0)))
        (t_2 (* -0.3333333333333333 (tan x)))
        (t_3 (* -0.3333333333333333 t_1))
        (t_4 (/ (* (sin x) (+ 0.3333333333333333 t_1)) (cos x)))
        (t_5 (/ (pow (sin x) 4.0) (pow (cos x) 4.0)))
        (t_6 (- t_3 t_5))
        (t_7 (+ (* -0.3333333333333333 t_0) (/ (* (sin x) t_6) (cos x)))))
   (*
    eps
    (+
     t_1
     (+
      (*
       eps
       (+
        (*
         eps
         (+
          (+
           0.3333333333333333
           (*
            eps
            (+
             (*
              eps
              (-
               0.13333333333333333
               (+
                t_3
                (+
                 (* -0.3333333333333333 t_5)
                 (+
                  (* t_1 -0.13333333333333333)
                  (+
                   (/ (* (sin x) (- t_2 t_4)) (cos x))
                   (/ (* (sin x) t_7) (cos x))))))))
             (- t_4 (+ t_2 t_7)))))
          (- t_1 t_6)))
        (+ t_0 (/ (sin x) (cos x)))))
      1.0)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 3.0) / pow(cos(x), 3.0);
	double t_1 = pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = -0.3333333333333333 * tan(x);
	double t_3 = -0.3333333333333333 * t_1;
	double t_4 = (sin(x) * (0.3333333333333333 + t_1)) / cos(x);
	double t_5 = pow(sin(x), 4.0) / pow(cos(x), 4.0);
	double t_6 = t_3 - t_5;
	double t_7 = (-0.3333333333333333 * t_0) + ((sin(x) * t_6) / cos(x));
	return eps * (t_1 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * ((eps * (0.13333333333333333 - (t_3 + ((-0.3333333333333333 * t_5) + ((t_1 * -0.13333333333333333) + (((sin(x) * (t_2 - t_4)) / cos(x)) + ((sin(x) * t_7) / cos(x)))))))) + (t_4 - (t_2 + t_7))))) + (t_1 - t_6))) + (t_0 + (sin(x) / cos(x))))) + 1.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: t_7
    t_0 = (sin(x) ** 3.0d0) / (cos(x) ** 3.0d0)
    t_1 = (sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)
    t_2 = (-0.3333333333333333d0) * tan(x)
    t_3 = (-0.3333333333333333d0) * t_1
    t_4 = (sin(x) * (0.3333333333333333d0 + t_1)) / cos(x)
    t_5 = (sin(x) ** 4.0d0) / (cos(x) ** 4.0d0)
    t_6 = t_3 - t_5
    t_7 = ((-0.3333333333333333d0) * t_0) + ((sin(x) * t_6) / cos(x))
    code = eps * (t_1 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333d0 + (eps * ((eps * (0.13333333333333333d0 - (t_3 + (((-0.3333333333333333d0) * t_5) + ((t_1 * (-0.13333333333333333d0)) + (((sin(x) * (t_2 - t_4)) / cos(x)) + ((sin(x) * t_7) / cos(x)))))))) + (t_4 - (t_2 + t_7))))) + (t_1 - t_6))) + (t_0 + (sin(x) / cos(x))))) + 1.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / Math.pow(Math.cos(x), 3.0);
	double t_1 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	double t_2 = -0.3333333333333333 * Math.tan(x);
	double t_3 = -0.3333333333333333 * t_1;
	double t_4 = (Math.sin(x) * (0.3333333333333333 + t_1)) / Math.cos(x);
	double t_5 = Math.pow(Math.sin(x), 4.0) / Math.pow(Math.cos(x), 4.0);
	double t_6 = t_3 - t_5;
	double t_7 = (-0.3333333333333333 * t_0) + ((Math.sin(x) * t_6) / Math.cos(x));
	return eps * (t_1 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * ((eps * (0.13333333333333333 - (t_3 + ((-0.3333333333333333 * t_5) + ((t_1 * -0.13333333333333333) + (((Math.sin(x) * (t_2 - t_4)) / Math.cos(x)) + ((Math.sin(x) * t_7) / Math.cos(x)))))))) + (t_4 - (t_2 + t_7))))) + (t_1 - t_6))) + (t_0 + (Math.sin(x) / Math.cos(x))))) + 1.0));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 3.0) / math.pow(math.cos(x), 3.0)
	t_1 = math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)
	t_2 = -0.3333333333333333 * math.tan(x)
	t_3 = -0.3333333333333333 * t_1
	t_4 = (math.sin(x) * (0.3333333333333333 + t_1)) / math.cos(x)
	t_5 = math.pow(math.sin(x), 4.0) / math.pow(math.cos(x), 4.0)
	t_6 = t_3 - t_5
	t_7 = (-0.3333333333333333 * t_0) + ((math.sin(x) * t_6) / math.cos(x))
	return eps * (t_1 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * ((eps * (0.13333333333333333 - (t_3 + ((-0.3333333333333333 * t_5) + ((t_1 * -0.13333333333333333) + (((math.sin(x) * (t_2 - t_4)) / math.cos(x)) + ((math.sin(x) * t_7) / math.cos(x)))))))) + (t_4 - (t_2 + t_7))))) + (t_1 - t_6))) + (t_0 + (math.sin(x) / math.cos(x))))) + 1.0))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0))
	t_1 = Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))
	t_2 = Float64(-0.3333333333333333 * tan(x))
	t_3 = Float64(-0.3333333333333333 * t_1)
	t_4 = Float64(Float64(sin(x) * Float64(0.3333333333333333 + t_1)) / cos(x))
	t_5 = Float64((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0))
	t_6 = Float64(t_3 - t_5)
	t_7 = Float64(Float64(-0.3333333333333333 * t_0) + Float64(Float64(sin(x) * t_6) / cos(x)))
	return Float64(eps * Float64(t_1 + Float64(Float64(eps * Float64(Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 + Float64(eps * Float64(Float64(eps * Float64(0.13333333333333333 - Float64(t_3 + Float64(Float64(-0.3333333333333333 * t_5) + Float64(Float64(t_1 * -0.13333333333333333) + Float64(Float64(Float64(sin(x) * Float64(t_2 - t_4)) / cos(x)) + Float64(Float64(sin(x) * t_7) / cos(x)))))))) + Float64(t_4 - Float64(t_2 + t_7))))) + Float64(t_1 - t_6))) + Float64(t_0 + Float64(sin(x) / cos(x))))) + 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = (sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0);
	t_1 = (sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0);
	t_2 = -0.3333333333333333 * tan(x);
	t_3 = -0.3333333333333333 * t_1;
	t_4 = (sin(x) * (0.3333333333333333 + t_1)) / cos(x);
	t_5 = (sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0);
	t_6 = t_3 - t_5;
	t_7 = (-0.3333333333333333 * t_0) + ((sin(x) * t_6) / cos(x));
	tmp = eps * (t_1 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * ((eps * (0.13333333333333333 - (t_3 + ((-0.3333333333333333 * t_5) + ((t_1 * -0.13333333333333333) + (((sin(x) * (t_2 - t_4)) / cos(x)) + ((sin(x) * t_7) / cos(x)))))))) + (t_4 - (t_2 + t_7))))) + (t_1 - t_6))) + (t_0 + (sin(x) / cos(x))))) + 1.0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(-0.3333333333333333 * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(-0.3333333333333333 * t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(t$95$3 - t$95$5), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$7 = N[(N[(-0.3333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$6), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(t$95$1 + N[(N[(eps * N[(N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 + N[(eps * N[(N[(eps * N[(0.13333333333333333 - N[(t$95$3 + N[(N[(-0.3333333333333333 * t$95$5), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 * -0.13333333333333333), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$2 - t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$7), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$4 - N[(t$95$2 + t$95$7), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 - t$95$6), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 + N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum 62.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   2. div-inv 62.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   3. fmm-def 62.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

4. Applied egg-rr 62.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. tan-quot 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   2. pow1 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow1 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

9. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. tan-quot 99.9%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    2. pow1 99.9%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

11. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. unpow1 99.9%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

13. Simplified 99.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(-0.13333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

14. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.13333333333333333 - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot -0.13333333333333333 + \left(\frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x - \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} - \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right) + 1\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\\ t_1 := -0.3333333333333333 \cdot t\_0 - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\\ t_2 := \frac{\sin x}{\cos x}\\ t_3 := \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\\ \varepsilon \cdot \left(t\_0 + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + t\_0\right)}{\cos x} - \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot t\_3 + \frac{\sin x \cdot t\_1}{\cos x}\right) + -0.3333333333333333 \cdot t\_2\right)\right)\right) + \left(t\_0 - t\_1\right)\right) + \left(t\_3 + t\_2\right)\right) + 1\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0)))
        (t_1
         (-
          (* -0.3333333333333333 t_0)
          (/ (pow (sin x) 4.0) (pow (cos x) 4.0))))
        (t_2 (/ (sin x) (cos x)))
        (t_3 (/ (pow (sin x) 3.0) (pow (cos x) 3.0))))
   (*
    eps
    (+
     t_0
     (+
      (*
       eps
       (+
        (*
         eps
         (+
          (+
           0.3333333333333333
           (*
            eps
            (-
             (/ (* (sin x) (+ 0.3333333333333333 t_0)) (cos x))
             (+
              (+ (* -0.3333333333333333 t_3) (/ (* (sin x) t_1) (cos x)))
              (* -0.3333333333333333 t_2)))))
          (- t_0 t_1)))
        (+ t_3 t_2)))
      1.0)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0);
	double t_1 = (-0.3333333333333333 * t_0) - (pow(sin(x), 4.0) / pow(cos(x), 4.0));
	double t_2 = sin(x) / cos(x);
	double t_3 = pow(sin(x), 3.0) / pow(cos(x), 3.0);
	return eps * (t_0 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((sin(x) * (0.3333333333333333 + t_0)) / cos(x)) - (((-0.3333333333333333 * t_3) + ((sin(x) * t_1) / cos(x))) + (-0.3333333333333333 * t_2))))) + (t_0 - t_1))) + (t_3 + t_2))) + 1.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    t_0 = (sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)
    t_1 = ((-0.3333333333333333d0) * t_0) - ((sin(x) ** 4.0d0) / (cos(x) ** 4.0d0))
    t_2 = sin(x) / cos(x)
    t_3 = (sin(x) ** 3.0d0) / (cos(x) ** 3.0d0)
    code = eps * (t_0 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333d0 + (eps * (((sin(x) * (0.3333333333333333d0 + t_0)) / cos(x)) - ((((-0.3333333333333333d0) * t_3) + ((sin(x) * t_1) / cos(x))) + ((-0.3333333333333333d0) * t_2))))) + (t_0 - t_1))) + (t_3 + t_2))) + 1.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	double t_1 = (-0.3333333333333333 * t_0) - (Math.pow(Math.sin(x), 4.0) / Math.pow(Math.cos(x), 4.0));
	double t_2 = Math.sin(x) / Math.cos(x);
	double t_3 = Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / Math.pow(Math.cos(x), 3.0);
	return eps * (t_0 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((Math.sin(x) * (0.3333333333333333 + t_0)) / Math.cos(x)) - (((-0.3333333333333333 * t_3) + ((Math.sin(x) * t_1) / Math.cos(x))) + (-0.3333333333333333 * t_2))))) + (t_0 - t_1))) + (t_3 + t_2))) + 1.0));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)
	t_1 = (-0.3333333333333333 * t_0) - (math.pow(math.sin(x), 4.0) / math.pow(math.cos(x), 4.0))
	t_2 = math.sin(x) / math.cos(x)
	t_3 = math.pow(math.sin(x), 3.0) / math.pow(math.cos(x), 3.0)
	return eps * (t_0 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((math.sin(x) * (0.3333333333333333 + t_0)) / math.cos(x)) - (((-0.3333333333333333 * t_3) + ((math.sin(x) * t_1) / math.cos(x))) + (-0.3333333333333333 * t_2))))) + (t_0 - t_1))) + (t_3 + t_2))) + 1.0))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))
	t_1 = Float64(Float64(-0.3333333333333333 * t_0) - Float64((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0)))
	t_2 = Float64(sin(x) / cos(x))
	t_3 = Float64((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0))
	return Float64(eps * Float64(t_0 + Float64(Float64(eps * Float64(Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(sin(x) * Float64(0.3333333333333333 + t_0)) / cos(x)) - Float64(Float64(Float64(-0.3333333333333333 * t_3) + Float64(Float64(sin(x) * t_1) / cos(x))) + Float64(-0.3333333333333333 * t_2))))) + Float64(t_0 - t_1))) + Float64(t_3 + t_2))) + 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = (sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0);
	t_1 = (-0.3333333333333333 * t_0) - ((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0));
	t_2 = sin(x) / cos(x);
	t_3 = (sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0);
	tmp = eps * (t_0 + ((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((sin(x) * (0.3333333333333333 + t_0)) / cos(x)) - (((-0.3333333333333333 * t_3) + ((sin(x) * t_1) / cos(x))) + (-0.3333333333333333 * t_2))))) + (t_0 - t_1))) + (t_3 + t_2))) + 1.0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(-0.3333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision] - N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(t$95$0 + N[(N[(eps * N[(N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 + N[(eps * N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[(-0.3333333333333333 * t$95$3), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.3333333333333333 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$3 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum 62.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   2. div-inv 62.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   3. fmm-def 62.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

4. Applied egg-rr 62.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} - \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)}{\cos x}\right) + -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right) + 1\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\\ \varepsilon \cdot \left(\left(t\_0 + \frac{\left(\varepsilon \cdot \sin x\right) \cdot \left(t\_0 + 1\right)}{\cos x}\right) + 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0))))
   (* eps (+ (+ t_0 (/ (* (* eps (sin x)) (+ t_0 1.0)) (cos x))) 1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0);
	return eps * ((t_0 + (((eps * sin(x)) * (t_0 + 1.0)) / cos(x))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = (sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)
    code = eps * ((t_0 + (((eps * sin(x)) * (t_0 + 1.0d0)) / cos(x))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	return eps * ((t_0 + (((eps * Math.sin(x)) * (t_0 + 1.0)) / Math.cos(x))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)
	return eps * ((t_0 + (((eps * math.sin(x)) * (t_0 + 1.0)) / math.cos(x))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))
	return Float64(eps * Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(Float64(eps * sin(x)) * Float64(t_0 + 1.0)) / cos(x))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = (sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0);
	tmp = eps * ((t_0 + (((eps * sin(x)) * (t_0 + 1.0)) / cos(x))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(t$95$0 + N[(N[(N[(eps * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.008333333333333333 - \left(-0.008333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.041666666666666664 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(0.5 \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) + \frac{\sin x \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \varepsilon \cdot \left(0.008333333333333333 - \mathsf{fma}\left(-0.008333333333333333, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.041666666666666664, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \sin x \cdot \frac{\sin x \cdot \frac{0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sin x \cdot \frac{0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), -0.16666666666666666\right) - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), 1\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.6%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\color{blue}{\varepsilon \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}} + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   2. +-commutative 99.6%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}\right) \]

   3. associate-/l* 99.6%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \color{blue}{\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}}\right)\right) \]

   4. associate-*r* 99.6%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \sin x\right) \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}}{\cos x}\right)\right) \]

8. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{\left(\varepsilon \cdot \sin x\right) \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)} \]

9. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{\left(\varepsilon \cdot \sin x\right) \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right)}{\cos x}\right) + 1\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.9% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right) + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (* (pow eps 2.0) (+ 0.3333333333333333 (* 0.6666666666666666 (* eps x))))
   1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((pow(eps, 2.0) * (0.3333333333333333 + (0.6666666666666666 * (eps * x)))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (((eps ** 2.0d0) * (0.3333333333333333d0 + (0.6666666666666666d0 * (eps * x)))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((Math.pow(eps, 2.0) * (0.3333333333333333 + (0.6666666666666666 * (eps * x)))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((math.pow(eps, 2.0) * (0.3333333333333333 + (0.6666666666666666 * (eps * x)))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64((eps ^ 2.0) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(0.6666666666666666 * Float64(eps * x)))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (((eps ^ 2.0) * (0.3333333333333333 + (0.6666666666666666 * (eps * x)))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(N[Power[eps, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(0.6666666666666666 * N[(eps * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.008333333333333333 - \left(-0.008333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.041666666666666664 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(0.5 \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) + \frac{\sin x \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \varepsilon \cdot \left(0.008333333333333333 - \mathsf{fma}\left(-0.008333333333333333, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.041666666666666664, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \sin x \cdot \frac{\sin x \cdot \frac{0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sin x \cdot \frac{0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), -0.16666666666666666\right) - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), 1\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 98.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(0.3333333333333333 + 0.13333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)} \]

7. Taylor expanded in eps around -inf 56.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{{\varepsilon}^{4} \cdot \left(0.13333333333333333 + -1 \cdot \frac{-0.6666666666666666 \cdot x - 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\varepsilon}}{\varepsilon}\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 56.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + {\varepsilon}^{4} \cdot \left(0.13333333333333333 + \color{blue}{\left(-\frac{-0.6666666666666666 \cdot x - 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\varepsilon}}{\varepsilon}\right)}\right)\right) \]

   2. unsub-neg 56.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + {\varepsilon}^{4} \cdot \color{blue}{\left(0.13333333333333333 - \frac{-0.6666666666666666 \cdot x - 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\varepsilon}}{\varepsilon}\right)}\right) \]

   3. *-commutative 56.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + {\varepsilon}^{4} \cdot \left(0.13333333333333333 - \frac{\color{blue}{x \cdot -0.6666666666666666} - 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\varepsilon}}{\varepsilon}\right)\right) \]

   4. associate-*r/ 56.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + {\varepsilon}^{4} \cdot \left(0.13333333333333333 - \frac{x \cdot -0.6666666666666666 - \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot 1}{\varepsilon}}}{\varepsilon}\right)\right) \]

   5. metadata-eval 56.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + {\varepsilon}^{4} \cdot \left(0.13333333333333333 - \frac{x \cdot -0.6666666666666666 - \frac{\color{blue}{0.3333333333333333}}{\varepsilon}}{\varepsilon}\right)\right) \]

9. Simplified 56.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{{\varepsilon}^{4} \cdot \left(0.13333333333333333 - \frac{x \cdot -0.6666666666666666 - \frac{0.3333333333333333}{\varepsilon}}{\varepsilon}\right)}\right) \]

10. Taylor expanded in eps around 0 98.5%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{{\varepsilon}^{2} \cdot \left(0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)}\right) \]

11. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right) + 1\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.8% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot x + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (* eps (+ (* eps x) 1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((eps * x) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((eps * x) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((eps * x) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((eps * x) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(eps * x) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((eps * x) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(eps * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.008333333333333333 - \left(-0.008333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.041666666666666664 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(0.5 \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) + \frac{\sin x \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \varepsilon \cdot \left(0.008333333333333333 - \mathsf{fma}\left(-0.008333333333333333, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.041666666666666664, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \sin x \cdot \frac{\sin x \cdot \frac{0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\sin x \cdot \frac{0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), -0.16666666666666666\right) - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), 1\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.6%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\color{blue}{\varepsilon \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}} + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   2. +-commutative 99.6%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)}\right) \]

   3. associate-/l* 99.6%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \color{blue}{\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x}}\right)\right) \]

   4. associate-*r* 99.6%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \sin x\right) \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}}{\cos x}\right)\right) \]

8. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{\left(\varepsilon \cdot \sin x\right) \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in x around 0 98.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \varepsilon \cdot x\right)} \]

10. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot x + 1\right) \]
11. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Developer Target 2: 62.6% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (- (/ (+ (tan x) (tan eps)) (- 1.0 (* (tan x) (tan eps)))) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return ((tan(x) + tan(eps)) / (1.0 - (tan(x) * tan(eps)))) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = ((tan(x) + tan(eps)) / (1.0d0 - (tan(x) * tan(eps)))) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return ((Math.tan(x) + Math.tan(eps)) / (1.0 - (Math.tan(x) * Math.tan(eps)))) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return ((math.tan(x) + math.tan(eps)) / (1.0 - (math.tan(x) * math.tan(eps)))) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(Float64(Float64(tan(x) + tan(eps)) / Float64(1.0 - Float64(tan(x) * tan(eps)))) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = ((tan(x) + tan(eps)) / (1.0 - (tan(x) * tan(eps)))) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Tan[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Developer Target 3: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \left(\varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* (* eps (tan x)) (tan x))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + ((eps * tan(x)) * tan(x));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + ((eps * tan(x)) * tan(x))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + ((eps * Math.tan(x)) * Math.tan(x));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + ((eps * math.tan(x)) * math.tan(x))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(Float64(eps * tan(x)) * tan(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + ((eps * tan(x)) * tan(x));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(N[(eps * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024179 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

  :alt
  (! :herbie-platform default (- (/ (+ (tan x) (tan eps)) (- 1 (* (tan x) (tan eps)))) (tan x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (+ eps (* eps (tan x) (tan x))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))