2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.4% → 98.0%

Time: 8.1s

Alternatives: 5

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.0% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, t\_0 \cdot -0.3333333333333333\right)\\ t_2 := {t\_0}^{2} \cdot \frac{0.1111111111111111}{t\_1}\\ 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{{\pi}^{2} \cdot 0.4444444444444444}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, t\_0, \pi \cdot -0.6666666666666666\right)}\right), \cos t\_2, \sin \left(0.4444444444444444 \cdot \frac{{\pi}^{2}}{t\_1}\right) \cdot \sin t\_2\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ g h)))
        (t_1 (fma 0.6666666666666666 PI (* t_0 -0.3333333333333333)))
        (t_2 (* (pow t_0 2.0) (/ 0.1111111111111111 t_1))))
   (*
    2.0
    (fma
     (cos
      (/
       (* (pow PI 2.0) 0.4444444444444444)
       (fma 0.3333333333333333 t_0 (* PI -0.6666666666666666))))
     (cos t_2)
     (* (sin (* 0.4444444444444444 (/ (pow PI 2.0) t_1))) (sin t_2))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos((g / h));
	double t_1 = fma(0.6666666666666666, ((double) M_PI), (t_0 * -0.3333333333333333));
	double t_2 = pow(t_0, 2.0) * (0.1111111111111111 / t_1);
	return 2.0 * fma(cos(((pow(((double) M_PI), 2.0) * 0.4444444444444444) / fma(0.3333333333333333, t_0, (((double) M_PI) * -0.6666666666666666)))), cos(t_2), (sin((0.4444444444444444 * (pow(((double) M_PI), 2.0) / t_1))) * sin(t_2)));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = acos(Float64(g / h))
	t_1 = fma(0.6666666666666666, pi, Float64(t_0 * -0.3333333333333333))
	t_2 = Float64((t_0 ^ 2.0) * Float64(0.1111111111111111 / t_1))
	return Float64(2.0 * fma(cos(Float64(Float64((pi ^ 2.0) * 0.4444444444444444) / fma(0.3333333333333333, t_0, Float64(pi * -0.6666666666666666)))), cos(t_2), Float64(sin(Float64(0.4444444444444444 * Float64((pi ^ 2.0) / t_1))) * sin(t_2))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.6666666666666666 * Pi + N[(t$95$0 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.1111111111111111 / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[Cos[N[(N[(N[Power[Pi, 2.0], $MachinePrecision] * 0.4444444444444444), $MachinePrecision] / N[(0.3333333333333333 * t$95$0 + N[(Pi * -0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[t$95$2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[N[(0.4444444444444444 * N[(N[Power[Pi, 2.0], $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. fma-define 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   5. distribute-frac-neg 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right)\right) \]

   6. distribute-frac-neg2 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. fma-define 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)} \]

   2. flip-+ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3} \cdot \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}}{\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}}\right)} \]

   3. div-sub 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)}{\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}} - \frac{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3} \cdot \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}}{\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}}\right)} \]

   4. cos-diff 97.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)}{\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}}\right) \cdot \cos \left(\frac{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3} \cdot \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}}{\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}}\right) + \sin \left(\frac{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)}{\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}}\right) \cdot \sin \left(\frac{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3} \cdot \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}}{\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}}\right)\right)} \]

6. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\frac{{\pi}^{2} \cdot 0.4444444444444444}{\pi \cdot 0.6666666666666666 - \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333}\right) \cdot \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\pi \cdot 0.6666666666666666 - \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333}\right) + \sin \left(\frac{{\pi}^{2} \cdot 0.4444444444444444}{\pi \cdot 0.6666666666666666 - \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\pi \cdot 0.6666666666666666 - \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)\right)} \]

8. Simplified 99.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{{\pi}^{2} \cdot 0.4444444444444444}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \pi \cdot -0.6666666666666666\right)}\right), \cos \left({\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{0.1111111111111111}{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right), \sin \left(0.4444444444444444 \cdot \frac{{\pi}^{2}}{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right) \cdot \sin \left({\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{0.1111111111111111}{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.0% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\\ 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot t\_0 + \pi \cdot 0.6666666666666666\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ g h))))
   (*
    2.0
    (*
     (cbrt
      (pow (cos (+ (* 0.3333333333333333 t_0) (* PI 0.6666666666666666))) 2.0))
     (cbrt (cos (fma t_0 0.3333333333333333 (* PI 0.6666666666666666))))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos((g / h));
	return 2.0 * (cbrt(pow(cos(((0.3333333333333333 * t_0) + (((double) M_PI) * 0.6666666666666666))), 2.0)) * cbrt(cos(fma(t_0, 0.3333333333333333, (((double) M_PI) * 0.6666666666666666)))));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = acos(Float64(g / h))
	return Float64(2.0 * Float64(cbrt((cos(Float64(Float64(0.3333333333333333 * t_0) + Float64(pi * 0.6666666666666666))) ^ 2.0)) * cbrt(cos(fma(t_0, 0.3333333333333333, Float64(pi * 0.6666666666666666))))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[Power[N[Power[N[Cos[N[(N[(0.3333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[N[Cos[N[(t$95$0 * 0.3333333333333333 + N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. fma-define 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   5. distribute-frac-neg 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right)\right) \]

   6. distribute-frac-neg2 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}}}\right)\right) \]

   2. inv-pow 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{{\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}\right)}^{-1}}\right)\right) \]

   3. add-sqr-sqrt 51.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, {\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{-h} \cdot \sqrt{-h}}}\right)}\right)}^{-1}\right)\right) \]

   4. sqrt-unprod 92.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, {\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{\left(-h\right) \cdot \left(-h\right)}}}\right)}\right)}^{-1}\right)\right) \]

   5. sqr-neg 92.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, {\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot h}}}\right)}\right)}^{-1}\right)\right) \]

   6. sqrt-unprod 46.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, {\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{h}}}\right)}\right)}^{-1}\right)\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 97.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, {\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{h}}\right)}\right)}^{-1}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{{\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}\right)}^{-1}}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-cube-cbrt 97.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, {\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}\right)}^{-1}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, {\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}\right)}^{-1}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, {\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}\right)}^{-1}\right)\right)}\right)} \]

   2. cbrt-unprod 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, {\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}\right)}^{-1}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, {\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}\right)}^{-1}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, {\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}\right)}^{-1}\right)\right)}\right) \]

   3. pow2 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, {\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}\right)}^{-1}\right)\right)}^{2}}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, {\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}\right)}^{-1}\right)\right)}\right) \]

   4. unpow-1 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}}}\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, {\left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}\right)}^{-1}\right)\right)}\right) \]

   5. unpow-1 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}}\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}}}\right)\right)}\right) \]

8. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}}\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}}\right)\right)}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. fma-define 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}}\right)}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-/r/ 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}}\right)\right)}\right) \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}}\right)\right)}\right) \]

   4. +-commutative 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \pi \cdot 0.6666666666666666\right)}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}}\right)\right)}\right) \]

   5. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}}\right)\right)}\right) \]

   6. fma-define 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}}\right)\right)}\right) \]

   7. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \pi}\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}}\right)\right)}\right) \]

   8. fma-define 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}}\right)}}\right) \]

   9. associate-/r/ 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}\right)}\right) \]

   10. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)}\right) \]

10. Simplified 99.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)} \]

11. Taylor expanded in g around 0 99.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}^{2}}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right) \]

12. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \pi \cdot 0.6666666666666666\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (fma PI 0.6666666666666666 (/ (acos (/ g (- h))) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (acos((g / -h)) / 3.0)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(pi, 0.6666666666666666, Float64(acos(Float64(g / Float64(-h))) / 3.0))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666 + N[(N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. fma-define 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   5. distribute-frac-neg 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right)\right) \]

   6. distribute-frac-neg2 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (acos (/ g (- h))) 3.0) (* PI 0.6666666666666666)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((acos((g / -h)) / 3.0) + (((double) M_PI) * 0.6666666666666666)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((Math.acos((g / -h)) / 3.0) + (Math.PI * 0.6666666666666666)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((math.acos((g / -h)) / 3.0) + (math.pi * 0.6666666666666666)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(acos(Float64(g / Float64(-h))) / 3.0) + Float64(pi * 0.6666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((acos((g / -h)) / 3.0) + (pi * 0.6666666666666666)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot \color{blue}{0.6666666666666666} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. distribute-frac-neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right) \]

   5. distribute-frac-neg2 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (- (* PI 0.6666666666666666) (/ (acos (/ g h)) -3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((((double) M_PI) * 0.6666666666666666) - (acos((g / h)) / -3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((Math.PI * 0.6666666666666666) - (Math.acos((g / h)) / -3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((math.pi * 0.6666666666666666) - (math.acos((g / h)) / -3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(pi * 0.6666666666666666) - Float64(acos(Float64(g / h)) / -3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((pi * 0.6666666666666666) - (acos((g / h)) / -3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] - N[(N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / -3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. fma-define 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   5. distribute-frac-neg 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right)\right) \]

   6. distribute-frac-neg2 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. frac-2neg 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{\frac{-\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{-3}}\right)\right) \]

   2. distribute-frac-neg 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{-\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{-3}}\right)\right) \]

   3. fmm-undef 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{-3}\right)} \]

   4. add-sqr-sqrt 51.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{-h} \cdot \sqrt{-h}}}\right)}{-3}\right) \]

   5. sqrt-unprod 92.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{\left(-h\right) \cdot \left(-h\right)}}}\right)}{-3}\right) \]

   6. sqr-neg 92.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot h}}}\right)}{-3}\right) \]

   7. sqrt-unprod 46.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{h}}}\right)}{-3}\right) \]

   8. add-sqr-sqrt 97.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{h}}\right)}{-3}\right) \]

   9. metadata-eval 97.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{\color{blue}{-3}}\right) \]

6. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3}\right)} \]
7. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024177 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))