ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 52.9% → 99.3%

Time: 13.3s

Alternatives: 4

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 52.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* (* x x) 0.16666666666666666) (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * x) * 0.16666666666666666d0) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0));
}

Python

def code(x):
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * x) * 0.16666666666666666) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.06388888888888888}\right) \]

5. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} + \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{2} \]

   3. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \cdot {x}^{2} \]

   4. associate-*l* 98.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]

   5. pow-prod-up 98.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \]

   6. metadata-eval 98.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{\color{blue}{4}} \]

7. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

9. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* x (+ 0.16666666666666666 (* -0.06388888888888888 (pow x 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (-0.06388888888888888 * pow(x, 2.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * (0.16666666666666666d0 + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 2.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (-0.06388888888888888 * (x ^ 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.06388888888888888}\right) \]

5. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. flip-+ 98.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888}} \]

   2. associate-*r/ 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888}} \]

   3. metadata-eval 98.8%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{0.027777777777777776} - \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888} \]

   4. swap-sqr 98.8%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot -0.06388888888888888\right)}\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888} \]

   5. pow-prod-up 98.8%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot -0.06388888888888888\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888} \]

   6. metadata-eval 98.8%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot -0.06388888888888888\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888} \]

   7. metadata-eval 98.8%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot \color{blue}{0.00408179012345679}\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888} \]

   8. *-commutative 98.8%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right)}{0.16666666666666666 - \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}}} \]

   9. cancel-sign-sub-inv 98.8%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right)}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \left(--0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{2}}} \]

   10. metadata-eval 98.8%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right)}{0.16666666666666666 + \color{blue}{0.06388888888888888} \cdot {x}^{2}} \]

7. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right)}{0.16666666666666666 + 0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679}{0.16666666666666666 + 0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}}} \]

   2. unpow2 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679}{0.16666666666666666 + 0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}} \]

   3. associate-*l* 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \frac{0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679}{0.16666666666666666 + 0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}}\right)} \]

   4. metadata-eval 98.9%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666} - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679}{0.16666666666666666 + 0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}}\right) \]

   5. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \color{blue}{0.00408179012345679 \cdot {x}^{4}}}{0.16666666666666666 + 0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}}\right) \]

   6. metadata-eval 98.9%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \color{blue}{\left(0.06388888888888888 \cdot 0.06388888888888888\right)} \cdot {x}^{4}}{0.16666666666666666 + 0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}}\right) \]

   7. metadata-eval 98.9%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left(0.06388888888888888 \cdot 0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}}}{0.16666666666666666 + 0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}}\right) \]

   8. pow-sqr 98.9%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left(0.06388888888888888 \cdot 0.06388888888888888\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}}{0.16666666666666666 + 0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}}\right) \]

   9. swap-sqr 98.9%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \color{blue}{\left(0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)}}{0.16666666666666666 + 0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}}\right) \]

   10. flip-- 98.9%

       \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 - 0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   11. cancel-sign-sub-inv 98.9%

       \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + \left(-0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   12. metadata-eval 98.9%

       \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{-0.06388888888888888} \cdot {x}^{2}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (* x x) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return (x * x) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.06388888888888888}\right) \]

5. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 98.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

8. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

10. Applied egg-rr 98.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 4.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
5. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024172 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 1/6 (* x x)))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))