Given's Rotation SVD example, simplified

Percentage Accurate: 98.4% → 99.9%

Time: 18.5s

Alternatives: 13

Speedup: 0.7×

• could not determine a ground truth

  1. x = -5.708955652050725e-68

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - \sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- 1.0 (sqrt (* 0.5 (+ 1.0 (/ 1.0 (hypot 1.0 x)))))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - sqrt((0.5 * (1.0 + (1.0 / hypot(1.0, x)))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.sqrt((0.5 * (1.0 + (1.0 / Math.hypot(1.0, x)))));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - math.sqrt((0.5 * (1.0 + (1.0 / math.hypot(1.0, x)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - sqrt(Float64(0.5 * Float64(1.0 + Float64(1.0 / hypot(1.0, x))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - sqrt((0.5 * (1.0 + (1.0 / hypot(1.0, x)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Sqrt[N[(0.5 * N[(1.0 + N[(1.0 / N[Sqrt[1.0 ^ 2 + x ^ 2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - \sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- 1.0 (sqrt (* 0.5 (+ 1.0 (/ 1.0 (hypot 1.0 x)))))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - sqrt((0.5 * (1.0 + (1.0 / hypot(1.0, x)))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.sqrt((0.5 * (1.0 + (1.0 / Math.hypot(1.0, x)))));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - math.sqrt((0.5 * (1.0 + (1.0 / math.hypot(1.0, x)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - sqrt(Float64(0.5 * Float64(1.0 + Float64(1.0 / hypot(1.0, x))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - sqrt((0.5 * (1.0 + (1.0 / hypot(1.0, x)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Sqrt[N[(0.5 * N[(1.0 + N[(1.0 / N[Sqrt[1.0 ^ 2 + x ^ 2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{-0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\\ \frac{0.5 + t\_0}{1 + \sqrt{0.5 - t\_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ -0.5 (hypot 1.0 x))))
   (/ (+ 0.5 t_0) (+ 1.0 (sqrt (- 0.5 t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = -0.5 / hypot(1.0, x);
	return (0.5 + t_0) / (1.0 + sqrt((0.5 - t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = -0.5 / Math.hypot(1.0, x);
	return (0.5 + t_0) / (1.0 + Math.sqrt((0.5 - t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = -0.5 / math.hypot(1.0, x)
	return (0.5 + t_0) / (1.0 + math.sqrt((0.5 - t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(-0.5 / hypot(1.0, x))
	return Float64(Float64(0.5 + t_0) / Float64(1.0 + sqrt(Float64(0.5 - t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = -0.5 / hypot(1.0, x);
	tmp = (0.5 + t_0) / (1.0 + sqrt((0.5 - t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.5 / N[Sqrt[1.0 ^ 2 + x ^ 2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(0.5 + t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[Sqrt[N[(0.5 - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[1 - \sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. hypot-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. hypot-lowering-hypot.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}}{\color{blue}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}} \]

   3. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{1 - \left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}} \]

   4. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(1 - \frac{1}{2}\right) - \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}{\color{blue}{1} + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right), \color{blue}{\left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 + \frac{-0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}{1 + \sqrt{0.5 - \frac{-0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}}} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.9% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.5 + \frac{-0.5}{\frac{0.5 + x \cdot x}{x} - \frac{0.125}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}{1 + \sqrt{0.5 - \frac{-0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+ 0.5 (/ -0.5 (- (/ (+ 0.5 (* x x)) x) (/ 0.125 (* x (* x x))))))
  (+ 1.0 (sqrt (- 0.5 (/ -0.5 (hypot 1.0 x)))))))

C

double code(double x) {
	return (0.5 + (-0.5 / (((0.5 + (x * x)) / x) - (0.125 / (x * (x * x)))))) / (1.0 + sqrt((0.5 - (-0.5 / hypot(1.0, x)))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (0.5 + (-0.5 / (((0.5 + (x * x)) / x) - (0.125 / (x * (x * x)))))) / (1.0 + Math.sqrt((0.5 - (-0.5 / Math.hypot(1.0, x)))));
}

Python

def code(x):
	return (0.5 + (-0.5 / (((0.5 + (x * x)) / x) - (0.125 / (x * (x * x)))))) / (1.0 + math.sqrt((0.5 - (-0.5 / math.hypot(1.0, x)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.5 / Float64(Float64(Float64(0.5 + Float64(x * x)) / x) - Float64(0.125 / Float64(x * Float64(x * x)))))) / Float64(1.0 + sqrt(Float64(0.5 - Float64(-0.5 / hypot(1.0, x))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (0.5 + (-0.5 / (((0.5 + (x * x)) / x) - (0.125 / (x * (x * x)))))) / (1.0 + sqrt((0.5 - (-0.5 / hypot(1.0, x)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.5 + N[(-0.5 / N[(N[(N[(0.5 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] - N[(0.125 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[Sqrt[N[(0.5 - N[(-0.5 / N[Sqrt[1.0 ^ 2 + x ^ 2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[1 - \sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. hypot-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. hypot-lowering-hypot.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}}{\color{blue}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}} \]

   3. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{1 - \left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}} \]

   4. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(1 - \frac{1}{2}\right) - \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}{\color{blue}{1} + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right), \color{blue}{\left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 + \frac{-0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}{1 + \sqrt{0.5 - \frac{-0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot x\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{8}}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{8}}{{x}^{2} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{\left(3 + 1\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. pow-plus N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{3} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{3}\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   25. *-lowering-*.f64 98.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \frac{0.5 + \frac{-0.5}{\color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(\frac{0.5}{x \cdot x} + \frac{-0.125}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}\right)\right)}}}{1 + \sqrt{0.5 - \frac{-0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2}\right) - \frac{1}{8}}{{x}^{3}}\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. div-sub N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2}\right)}{{x}^{3}} - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2}\right)}{{x}^{3}}\right), \left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. unpow3 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2}\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot x}\right), \left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2}\right)}{{x}^{2} \cdot x}\right), \left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. times-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{2} + {x}^{2}}{x}\right), \left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-inverses N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 \cdot \frac{\frac{1}{2} + {x}^{2}}{x}\right), \left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} + {x}^{2}}{x}\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + {x}^{2}\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2}\right)\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot x\right)\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{8}, \left({x}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{8}, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{8}, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 98.2%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 98.2%

    \[\leadsto \frac{0.5 + \frac{-0.5}{\color{blue}{1 \cdot \frac{0.5 + x \cdot x}{x} - \frac{0.125}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}}{1 + \sqrt{0.5 - \frac{-0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{1 \cdot \frac{\frac{1}{2} + x \cdot x}{x} - \frac{\frac{1}{8}}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{1 \cdot \frac{\frac{1}{2} + x \cdot x}{x} - \frac{\frac{1}{8}}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(1 \cdot \frac{\frac{1}{2} + x \cdot x}{x} - \frac{\frac{1}{8}}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 \cdot \frac{\frac{1}{2} + x \cdot x}{x}\right), \left(\frac{\frac{1}{8}}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} + x \cdot x}{x}\right), \left(\frac{\frac{1}{8}}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + x \cdot x\right), x\right), \left(\frac{\frac{1}{8}}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot x\right)\right), x\right), \left(\frac{\frac{1}{8}}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right), \left(\frac{\frac{1}{8}}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{8}, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 98.2%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

14. Applied egg-rr 98.2%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-0.5}{\frac{0.5 + x \cdot x}{x} - \frac{0.125}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5}}{1 + \sqrt{0.5 - \frac{-0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]

15. Final simplification 98.2%

    \[\leadsto \frac{0.5 + \frac{-0.5}{\frac{0.5 + x \cdot x}{x} - \frac{0.125}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}{1 + \sqrt{0.5 - \frac{-0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.8% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + \frac{\left(0.5 + \frac{-0.25}{x \cdot x}\right) + \frac{0.1875}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{x}\\ \frac{1 - t\_0}{1 + \sqrt{t\_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          0.5
          (/ (+ (+ 0.5 (/ -0.25 (* x x))) (/ 0.1875 (* x (* x (* x x))))) x))))
   (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 (sqrt t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (((0.5 + (-0.25 / (x * x))) + (0.1875 / (x * (x * (x * x))))) / x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + sqrt(t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = 0.5d0 + (((0.5d0 + ((-0.25d0) / (x * x))) + (0.1875d0 / (x * (x * (x * x))))) / x)
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + sqrt(t_0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (((0.5 + (-0.25 / (x * x))) + (0.1875 / (x * (x * (x * x))))) / x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + Math.sqrt(t_0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + (((0.5 + (-0.25 / (x * x))) + (0.1875 / (x * (x * (x * x))))) / x)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + math.sqrt(t_0))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 / Float64(x * x))) + Float64(0.1875 / Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))))) / x))
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + sqrt(t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 0.5 + (((0.5 + (-0.25 / (x * x))) + (0.1875 / (x * (x * (x * x))))) / x);
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + sqrt(t_0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(N[(N[(0.5 + N[(-0.25 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.1875 / N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[Sqrt[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[1 - \sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. hypot-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. hypot-lowering-hypot.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{16}}{{x}^{4}}\right) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)}\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{16}}{{x}^{4}}\right) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.7%

   \[\leadsto 1 - \sqrt{0.5 + \color{blue}{\frac{0.5 + \left(\frac{0.1875}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \frac{-0.25}{x \cdot x}\right)}{x}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{3}{16}}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \frac{\frac{-1}{4}}{x \cdot x}\right)}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{3}{16}}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \frac{\frac{-1}{4}}{x \cdot x}\right)}{x}}}{\color{blue}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{3}{16}}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \frac{\frac{-1}{4}}{x \cdot x}\right)}{x}}}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{3}{16}}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \frac{\frac{-1}{4}}{x \cdot x}\right)}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{3}{16}}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \frac{\frac{-1}{4}}{x \cdot x}\right)}{x}}\right), \color{blue}{\left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{3}{16}}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \frac{\frac{-1}{4}}{x \cdot x}\right)}{x}}\right)}\right) \]

9. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \left(0.5 + \frac{\left(0.5 + \frac{-0.25}{x \cdot x}\right) + \frac{0.1875}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{x}\right)}{1 + \sqrt{0.5 + \frac{\left(0.5 + \frac{-0.25}{x \cdot x}\right) + \frac{0.1875}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{x}}}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.7% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{0.25}{x \cdot x}\\ \frac{1}{1 + \sqrt{0.5 + \frac{0.5 - t\_0}{x}}} \cdot \left(0.5 + \frac{t\_0 - 0.5}{x}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 0.25 (* x x))))
   (*
    (/ 1.0 (+ 1.0 (sqrt (+ 0.5 (/ (- 0.5 t_0) x)))))
    (+ 0.5 (/ (- t_0 0.5) x)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.25 / (x * x);
	return (1.0 / (1.0 + sqrt((0.5 + ((0.5 - t_0) / x))))) * (0.5 + ((t_0 - 0.5) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = 0.25d0 / (x * x)
    code = (1.0d0 / (1.0d0 + sqrt((0.5d0 + ((0.5d0 - t_0) / x))))) * (0.5d0 + ((t_0 - 0.5d0) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.25 / (x * x);
	return (1.0 / (1.0 + Math.sqrt((0.5 + ((0.5 - t_0) / x))))) * (0.5 + ((t_0 - 0.5) / x));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.25 / (x * x)
	return (1.0 / (1.0 + math.sqrt((0.5 + ((0.5 - t_0) / x))))) * (0.5 + ((t_0 - 0.5) / x))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.25 / Float64(x * x))
	return Float64(Float64(1.0 / Float64(1.0 + sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.5 - t_0) / x))))) * Float64(0.5 + Float64(Float64(t_0 - 0.5) / x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 0.25 / (x * x);
	tmp = (1.0 / (1.0 + sqrt((0.5 + ((0.5 - t_0) / x))))) * (0.5 + ((t_0 - 0.5) / x));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.25 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 / N[(1.0 + N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(0.5 - t$95$0), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(t$95$0 - 0.5), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[1 - \sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. hypot-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. hypot-lowering-hypot.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right) - \frac{\frac{1}{4}}{{x}^{3}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4}}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{x} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{1}{2}}{x} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   9. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.7%

   \[\leadsto 1 - \sqrt{\color{blue}{0.5 + \frac{0.5 - \frac{0.25}{x \cdot x}}{x}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x} + \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   2. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{x} - \frac{\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}\right) + \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l- N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{x} - \left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}\right), x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right), x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 96.7%

   \[\leadsto 1 - \sqrt{\color{blue}{\frac{0.5}{x} - \left(\frac{\frac{0.25}{x \cdot x}}{x} - 0.5\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. flip-- N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{x} - \left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x} - \frac{1}{2}\right)} \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{x} - \left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x} - \frac{1}{2}\right)}}{\color{blue}{1 + \sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{x} - \left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x} - \frac{1}{2}\right)}}} \]

11. Applied egg-rr 98.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \sqrt{0.5 + \frac{0.5 - \frac{0.25}{x \cdot x}}{x}}} \cdot \left(0.5 - \frac{0.5 - \frac{0.25}{x \cdot x}}{x}\right)} \]

12. Final simplification 98.1%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + \sqrt{0.5 + \frac{0.5 - \frac{0.25}{x \cdot x}}{x}}} \cdot \left(0.5 + \frac{\frac{0.25}{x \cdot x} - 0.5}{x}\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.5 + \frac{-0.5}{x}}{1 + \sqrt{0.5 + \frac{0.5 - \frac{0.25}{x \cdot x}}{x}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ 0.5 (/ -0.5 x)) (+ 1.0 (sqrt (+ 0.5 (/ (- 0.5 (/ 0.25 (* x x))) x))))))

C

double code(double x) {
	return (0.5 + (-0.5 / x)) / (1.0 + sqrt((0.5 + ((0.5 - (0.25 / (x * x))) / x))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.5d0 + ((-0.5d0) / x)) / (1.0d0 + sqrt((0.5d0 + ((0.5d0 - (0.25d0 / (x * x))) / x))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (0.5 + (-0.5 / x)) / (1.0 + Math.sqrt((0.5 + ((0.5 - (0.25 / (x * x))) / x))));
}

Python

def code(x):
	return (0.5 + (-0.5 / x)) / (1.0 + math.sqrt((0.5 + ((0.5 - (0.25 / (x * x))) / x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.5 / x)) / Float64(1.0 + sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.5 - Float64(0.25 / Float64(x * x))) / x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (0.5 + (-0.5 / x)) / (1.0 + sqrt((0.5 + ((0.5 - (0.25 / (x * x))) / x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.5 + N[(-0.5 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(0.5 - N[(0.25 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[1 - \sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. hypot-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. hypot-lowering-hypot.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right) - \frac{\frac{1}{4}}{{x}^{3}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4}}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{x} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{1}{2}}{x} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   9. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.7%

   \[\leadsto 1 - \sqrt{\color{blue}{0.5 + \frac{0.5 - \frac{0.25}{x \cdot x}}{x}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}}}{\color{blue}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}}}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}}\right), \color{blue}{\left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}}\right)}\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}}\right), \left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}}\right)\right) \]

   4. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}\right)\right), \left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}}\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}\right)\right)\right), \left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}}\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}\right), x\right)\right)\right), \left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}}\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}\right)\right), x\right)\right)\right), \left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}}\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}}\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}}\right)}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \left(0.5 + \frac{0.5 - \frac{0.25}{x \cdot x}}{x}\right)}{1 + \sqrt{0.5 + \frac{0.5 - \frac{0.25}{x \cdot x}}{x}}}} \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{-1}{2}}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 98.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 98.0%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5 + \frac{-0.5}{x}}}{1 + \sqrt{0.5 + \frac{0.5 - \frac{0.25}{x \cdot x}}{x}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.6% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + \frac{0.5}{x}\\ \left(1 - t\_0\right) \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{t\_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (/ 0.5 x)))) (* (- 1.0 t_0) (/ 1.0 (+ 1.0 (sqrt t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (0.5 / x);
	return (1.0 - t_0) * (1.0 / (1.0 + sqrt(t_0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = 0.5d0 + (0.5d0 / x)
    code = (1.0d0 - t_0) * (1.0d0 / (1.0d0 + sqrt(t_0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (0.5 / x);
	return (1.0 - t_0) * (1.0 / (1.0 + Math.sqrt(t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + (0.5 / x)
	return (1.0 - t_0) * (1.0 / (1.0 + math.sqrt(t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(0.5 / x))
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) * Float64(1.0 / Float64(1.0 + sqrt(t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 0.5 + (0.5 / x);
	tmp = (1.0 - t_0) * (1.0 / (1.0 + sqrt(t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(0.5 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(1.0 + N[Sqrt[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[1 - \sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. hypot-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. hypot-lowering-hypot.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 96.5%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.5%

   \[\leadsto 1 - \sqrt{\color{blue}{0.5 + \frac{0.5}{x}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}}{\color{blue}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}}} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(1 \cdot 1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}}} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}}\right)}\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}\right), \left(\frac{1}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}}\right)\right) \]

   5. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - \left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right), \left(\frac{1}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}}\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}}\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}}\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}}\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}\right)}\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}\right)}\right)\right)\right) \]

   11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 98.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \left(0.5 + \frac{0.5}{x}\right)\right) \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{x}}}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.6% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + \frac{0.5}{x}\\ \frac{1 - t\_0}{1 + \sqrt{t\_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (/ 0.5 x)))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 (sqrt t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (0.5 / x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + sqrt(t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = 0.5d0 + (0.5d0 / x)
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + sqrt(t_0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (0.5 / x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + Math.sqrt(t_0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + (0.5 / x)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + math.sqrt(t_0))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(0.5 / x))
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + sqrt(t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 0.5 + (0.5 / x);
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + sqrt(t_0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(0.5 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[Sqrt[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[1 - \sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. hypot-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. hypot-lowering-hypot.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 96.5%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.5%

   \[\leadsto 1 - \sqrt{\color{blue}{0.5 + \frac{0.5}{x}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}}{\color{blue}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}\right), \color{blue}{\left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}\right)}\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}\right), \left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}\right)\right) \]

   4. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right), \left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right)\right), \left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right), \left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}}\right)}\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 98.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \left(0.5 + \frac{0.5}{x}\right)}{1 + \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{x}}}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 8: 96.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - \sqrt{\frac{0.5}{x} + \left(0.5 - \frac{\frac{0.25}{x \cdot x}}{x}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- 1.0 (sqrt (+ (/ 0.5 x) (- 0.5 (/ (/ 0.25 (* x x)) x))))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - sqrt(((0.5 / x) + (0.5 - ((0.25 / (x * x)) / x))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 - sqrt(((0.5d0 / x) + (0.5d0 - ((0.25d0 / (x * x)) / x))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.sqrt(((0.5 / x) + (0.5 - ((0.25 / (x * x)) / x))));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - math.sqrt(((0.5 / x) + (0.5 - ((0.25 / (x * x)) / x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - sqrt(Float64(Float64(0.5 / x) + Float64(0.5 - Float64(Float64(0.25 / Float64(x * x)) / x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - sqrt(((0.5 / x) + (0.5 - ((0.25 / (x * x)) / x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Sqrt[N[(N[(0.5 / x), $MachinePrecision] + N[(0.5 - N[(N[(0.25 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[1 - \sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. hypot-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. hypot-lowering-hypot.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right) - \frac{\frac{1}{4}}{{x}^{3}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4}}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{x} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{1}{2}}{x} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   9. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.7%

   \[\leadsto 1 - \sqrt{\color{blue}{0.5 + \frac{0.5 - \frac{0.25}{x \cdot x}}{x}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x} + \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   2. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{x} - \frac{\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}\right) + \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l- N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{x} - \left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}\right), x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right), x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 96.7%

   \[\leadsto 1 - \sqrt{\color{blue}{\frac{0.5}{x} - \left(\frac{\frac{0.25}{x \cdot x}}{x} - 0.5\right)}} \]

10. Final simplification 96.7%

    \[\leadsto 1 - \sqrt{\frac{0.5}{x} + \left(0.5 - \frac{\frac{0.25}{x \cdot x}}{x}\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 96.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - \sqrt{0.5 + \frac{0.5 - \frac{0.25}{x \cdot x}}{x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- 1.0 (sqrt (+ 0.5 (/ (- 0.5 (/ 0.25 (* x x))) x)))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - sqrt((0.5 + ((0.5 - (0.25 / (x * x))) / x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 - sqrt((0.5d0 + ((0.5d0 - (0.25d0 / (x * x))) / x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.sqrt((0.5 + ((0.5 - (0.25 / (x * x))) / x)));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - math.sqrt((0.5 + ((0.5 - (0.25 / (x * x))) / x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.5 - Float64(0.25 / Float64(x * x))) / x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - sqrt((0.5 + ((0.5 - (0.25 / (x * x))) / x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(0.5 - N[(0.25 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[1 - \sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. hypot-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. hypot-lowering-hypot.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right) - \frac{\frac{1}{4}}{{x}^{3}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4}}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{x} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{\frac{1}{2}}{x} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   9. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.7%

   \[\leadsto 1 - \sqrt{\color{blue}{0.5 + \frac{0.5 - \frac{0.25}{x \cdot x}}{x}}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 10: 97.1% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.5}{1 + \sqrt{0.5}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 0.5 (+ 1.0 (sqrt 0.5))))

C

double code(double x) {
	return 0.5 / (1.0 + sqrt(0.5));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.5d0 / (1.0d0 + sqrt(0.5d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.5 / (1.0 + Math.sqrt(0.5));
}

Python

def code(x):
	return 0.5 / (1.0 + math.sqrt(0.5))

Julia

function code(x)
	return Float64(0.5 / Float64(1.0 + sqrt(0.5)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.5 / (1.0 + sqrt(0.5));
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.5 / N[(1.0 + N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[1 - \sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. hypot-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. hypot-lowering-hypot.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{\frac{1}{2}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 96.3%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{0.5}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}{\color{blue}{1 + \sqrt{\frac{1}{2}}}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{\frac{1}{2}}} \]

   3. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + \sqrt{\frac{1}{2}}} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{1} + \sqrt{\frac{1}{2}}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(1 + \sqrt{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 97.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{1 + \sqrt{0.5}}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 95.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - \sqrt{0.5} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (sqrt 0.5)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - sqrt(0.5);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 - sqrt(0.5d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.sqrt(0.5);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - math.sqrt(0.5)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - sqrt(0.5))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - sqrt(0.5);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[1 - \sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. hypot-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. hypot-lowering-hypot.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{\frac{1}{2}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 96.3%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{0.5}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 12: 22.6% accurate, 210.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.25 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.25)

C

double code(double x) {
	return 0.25;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.25d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.25;
}

Python

def code(x):
	return 0.25

Julia

function code(x)
	return 0.25
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.25;
end

Wolfram

code[x_] := 0.25

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[1 - \sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. hypot-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. hypot-lowering-hypot.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}}{\color{blue}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}} \]

   3. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{1 - \left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}} \]

   4. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(1 - \frac{1}{2}\right) - \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}{\color{blue}{1} + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}{1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right), \color{blue}{\left(1 + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 + \frac{-0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}{1 + \sqrt{0.5 - \frac{-0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot x\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{8}}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{8}}{{x}^{2} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{\left(3 + 1\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. pow-plus N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{3} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{3}\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   25. *-lowering-*.f64 98.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \frac{0.5 + \frac{-0.5}{\color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(\frac{0.5}{x \cdot x} + \frac{-0.125}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}\right)\right)}}}{1 + \sqrt{0.5 - \frac{-0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{4}} \]
11. Step-by-step derivation

12. Simplified 22.7%

    \[\leadsto \color{blue}{0.25} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 13: 3.1% accurate, 210.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[1 - \sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{1 \cdot 1 + x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. hypot-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. hypot-lowering-hypot.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\mathsf{hypot}\left(1, x\right)}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 3.1%

   \[\leadsto 1 - \color{blue}{1} \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 3.1%

      \[\leadsto 0 \]

9. Applied egg-rr 3.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
10. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024170 
(FPCore (x)
  :name "Given's Rotation SVD example, simplified"
  :precision binary64
  (- 1.0 (sqrt (* 0.5 (+ 1.0 (/ 1.0 (hypot 1.0 x)))))))