normal distribution

Percentage Accurate: 99.4% → 99.4%

Time: 10.8s

Alternatives: 4

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(0 \leq u1 \land u1 \leq 1\right) \land \left(0 \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * pow((-2.0 * log(u1)), 0.5)) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * Math.pow((-2.0 * Math.log(u1)), 0.5)) * Math.cos(((2.0 * Math.PI) * u2))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return (((1.0 / 6.0) * math.pow((-2.0 * math.log(u1)), 0.5)) * math.cos(((2.0 * math.pi) * u2))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / 6.0) * (Float64(-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (((1.0 / 6.0) * ((-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(((2.0 * pi) * u2))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / 6.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Initial Program: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * pow((-2.0 * log(u1)), 0.5)) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * Math.pow((-2.0 * Math.log(u1)), 0.5)) * Math.cos(((2.0 * Math.PI) * u2))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return (((1.0 / 6.0) * math.pow((-2.0 * math.log(u1)), 0.5)) * math.cos(((2.0 * math.pi) * u2))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / 6.0) * (Float64(-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (((1.0 / 6.0) * ((-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(((2.0 * pi) * u2))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / 6.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  0.5
  (*
   (* (sqrt (log (/ 1.0 u1))) (sqrt 2.0))
   (* 0.16666666666666666 (cos (* 2.0 (* PI u2)))))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + ((sqrt(log((1.0 / u1))) * sqrt(2.0)) * (0.16666666666666666 * cos((2.0 * (((double) M_PI) * u2)))));
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + ((Math.sqrt(Math.log((1.0 / u1))) * Math.sqrt(2.0)) * (0.16666666666666666 * Math.cos((2.0 * (Math.PI * u2)))));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + ((math.sqrt(math.log((1.0 / u1))) * math.sqrt(2.0)) * (0.16666666666666666 * math.cos((2.0 * (math.pi * u2)))))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + Float64(Float64(sqrt(log(Float64(1.0 / u1))) * sqrt(2.0)) * Float64(0.16666666666666666 * cos(Float64(2.0 * Float64(pi * u2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + ((sqrt(log((1.0 / u1))) * sqrt(2.0)) * (0.16666666666666666 * cos((2.0 * (pi * u2)))));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[(N[(N[Sqrt[N[Log[N[(1.0 / u1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sqrt[2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 * N[Cos[N[(2.0 * N[(Pi * u2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.4%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

   7. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   10. log-lowering-log.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \left(\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{6}}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow-to-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \frac{1}{2}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{6}}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\log \left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{6}}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \log \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \log \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. log-lowering-log.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{e^{0.5 \cdot \log \left(-2 \cdot \log u1\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) \]

7. Taylor expanded in u1 around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right), \left(\sqrt{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{6}}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log \left(\frac{1}{u1}\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{u1}\right)\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.5%

   \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  0.5
  (*
   (* 0.16666666666666666 (cos (* 2.0 (* PI u2))))
   (sqrt (* -2.0 (log u1))))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + ((0.16666666666666666 * cos((2.0 * (((double) M_PI) * u2)))) * sqrt((-2.0 * log(u1))));
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + ((0.16666666666666666 * Math.cos((2.0 * (Math.PI * u2)))) * Math.sqrt((-2.0 * Math.log(u1))));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + ((0.16666666666666666 * math.cos((2.0 * (math.pi * u2)))) * math.sqrt((-2.0 * math.log(u1))))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + Float64(Float64(0.16666666666666666 * cos(Float64(2.0 * Float64(pi * u2)))) * sqrt(Float64(-2.0 * log(u1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + ((0.16666666666666666 * cos((2.0 * (pi * u2)))) * sqrt((-2.0 * log(u1))));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[(N[(0.16666666666666666 * N[Cos[N[(2.0 * N[(Pi * u2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.4%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

   7. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   10. log-lowering-log.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \left(\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto 0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + \sqrt{0 - \log u1} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+ 0.5 (* (sqrt (- 0.0 (log u1))) (* (sqrt 2.0) 0.16666666666666666))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (sqrt((0.0 - log(u1))) * (sqrt(2.0) * 0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(u1, u2)
    real(8), intent (in) :: u1
    real(8), intent (in) :: u2
    code = 0.5d0 + (sqrt((0.0d0 - log(u1))) * (sqrt(2.0d0) * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (Math.sqrt((0.0 - Math.log(u1))) * (Math.sqrt(2.0) * 0.16666666666666666));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + (math.sqrt((0.0 - math.log(u1))) * (math.sqrt(2.0) * 0.16666666666666666))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + Float64(sqrt(Float64(0.0 - log(u1))) * Float64(sqrt(2.0) * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + (sqrt((0.0 - log(u1))) * (sqrt(2.0) * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[(N[Sqrt[N[(0.0 - N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.4%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

   7. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   10. log-lowering-log.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \left(\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{6}}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow-to-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \frac{1}{2}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{6}}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\log \left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{6}}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \log \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \log \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. log-lowering-log.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{e^{0.5 \cdot \log \left(-2 \cdot \log u1\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) \]

7. Taylor expanded in u1 around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right), \left(\sqrt{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{6}}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log \left(\frac{1}{u1}\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{u1}\right)\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.5%

   \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) \]

10. Taylor expanded in u2 around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)\right)}\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

    5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log \left(\frac{1}{u1}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

    6. log-lowering-log.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{u1}\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{2}} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \left(\sqrt{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right) \]

    9. sqrt-lowering-sqrt.f64 98.7%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(2\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

12. Simplified 98.7%

    \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. log-rec N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

    2. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\log u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

    3. log-lowering-log.f64 98.7%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(2\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

14. Applied egg-rr 98.7%

    \[\leadsto 0.5 + \sqrt{\color{blue}{-\log u1}} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \]

15. Final simplification 98.7%

    \[\leadsto 0.5 + \sqrt{0 - \log u1} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \]
16. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.3% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+ 0.5 (* 0.16666666666666666 (sqrt (* -2.0 (log u1))))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (0.16666666666666666 * sqrt((-2.0 * log(u1))));
}

Fortran

real(8) function code(u1, u2)
    real(8), intent (in) :: u1
    real(8), intent (in) :: u2
    code = 0.5d0 + (0.16666666666666666d0 * sqrt(((-2.0d0) * log(u1))))
end function

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (0.16666666666666666 * Math.sqrt((-2.0 * Math.log(u1))));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + (0.16666666666666666 * math.sqrt((-2.0 * math.log(u1))))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + Float64(0.16666666666666666 * sqrt(Float64(-2.0 * log(u1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + (0.16666666666666666 * sqrt((-2.0 * log(u1))));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[(0.16666666666666666 * N[Sqrt[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.4%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

   7. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   10. log-lowering-log.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \left(\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{\log u1}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{-2}}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\sqrt{\log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{-2}}\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\log u1} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log u1\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)\right) \]

   7. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\sqrt{-2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 0.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(-2\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 0.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \sqrt{\log u1} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log u1} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) + \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot \sqrt{\log u1}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{-2} \cdot \sqrt{\log u1}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   5. sqrt-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 98.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

9. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} + 0.5} \]

10. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto 0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024170 
(FPCore (u1 u2)
  :name "normal distribution"
  :precision binary64
  :pre (and (and (<= 0.0 u1) (<= u1 1.0)) (and (<= 0.0 u2) (<= u2 1.0)))
  (+ (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2))) 0.5))