UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 98.9%

Time: 22.0s

Alternatives: 23

Speedup: N/A×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos t\_0 \cdot xi + \sin t\_0 \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (+
    (*
     (sqrt
      (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* ux (* maxCos (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
     (+ (* (cos t_0) xi) (* (sin t_0) yi)))
    (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (ux * (maxCos * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))) * ((cosf(t_0) * xi) + (sinf(t_0) * yi))) + ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) * Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(sin(t_0) * yi))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = uy * (single(2.0) * single(pi));
	tmp = (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (ux * (maxCos * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))) * ((cos(t_0) * xi) + (sin(t_0) * yi))) + ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot zi\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right)} \]

7. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \left(xi \cdot \cos t\_0 + yi \cdot \sin t\_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* uy 2.0))))
   (+
    (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux zi)))
    (+ (* xi (cos t_0)) (* yi (sin t_0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * zi))) + ((xi * cosf(t_0)) + (yi * sinf(t_0)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * zi))) + Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(yi * sin(t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * zi))) + ((xi * cos(t_0)) + (yi * sin(t_0)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot zi\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right)} \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right) \]

10. Final simplification 99.1%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \left(xi \cdot \cos t\_0 + yi \cdot \sin t\_0\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (+ (* xi (cos t_0)) (* yi (sin t_0)))
    (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return ((xi * cosf(t_0)) + (yi * sinf(t_0))) + ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(yi * sin(t_0))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = ((xi * cos(t_0)) + (yi * sin(t_0))) + ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 95.6% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \left(xi \cdot \cos t\_0 + yi \cdot \sin t\_0\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+ (+ (* xi (cos t_0)) (* yi (sin t_0))) (* maxCos (* ux zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return ((xi * cosf(t_0)) + (yi * sinf(t_0))) + (maxCos * (ux * zi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(yi * sin(t_0))) + Float32(maxCos * Float32(ux * zi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = ((xi * cos(t_0)) + (yi * sin(t_0))) + (maxCos * (ux * zi));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

7. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.4% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.01899999938905239:\\ \;\;\;\;\left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\left(xi + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(xi \cdot {\pi}^{4}\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(yi \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;xi \cdot \cos t\_0 + yi \cdot \sin t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= uy 0.01899999938905239)
     (+
      (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos)))
      (+
       (+
        xi
        (*
         (* uy uy)
         (+
          (* -2.0 (* xi (* PI PI)))
          (* (* (* uy uy) 0.6666666666666666) (* xi (pow PI 4.0))))))
       (*
        uy
        (+
         (* 2.0 (* PI yi))
         (* -1.3333333333333333 (* (* yi (* uy uy)) (* PI (* PI PI))))))))
     (+ (* xi (cos t_0)) (* yi (sin t_0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (uy <= 0.01899999938905239f) {
		tmp = ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((xi + ((uy * uy) * ((-2.0f * (xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + (((uy * uy) * 0.6666666666666666f) * (xi * powf(((float) M_PI), 4.0f)))))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (-1.3333333333333333f * ((yi * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))));
	} else {
		tmp = (xi * cosf(t_0)) + (yi * sinf(t_0));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.01899999938905239))
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(Float32(xi + Float32(Float32(uy * uy) * Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(Float32(uy * uy) * Float32(0.6666666666666666)) * Float32(xi * (Float32(pi) ^ Float32(4.0))))))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(yi * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(yi * sin(t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.01899999938905239))
		tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((xi + ((uy * uy) * ((single(-2.0) * (xi * (single(pi) * single(pi)))) + (((uy * uy) * single(0.6666666666666666)) * (xi * (single(pi) ^ single(4.0))))))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (single(-1.3333333333333333) * ((yi * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))))));
	else
		tmp = (xi * cos(t_0)) + (yi * sin(t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.0189999994

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(\left({uy}^{2} \cdot yi\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2} \cdot yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      14. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      17. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      20. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      21. PI-lowering-PI.f32 99.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 99.0%

       \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + {uy}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left({uy}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{2}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       18. pow-lowering-pow.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 99.1%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(xi + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(0.6666666666666666 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(xi \cdot {\pi}^{4}\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   if 0.0189999994 < uy

   1. Initial program 97.8%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 94.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 94.1%

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.01899999938905239:\\ \;\;\;\;\left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\left(xi + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(xi \cdot {\pi}^{4}\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(yi \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 93.8% accurate, 3.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(yi \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos)))
  (+
   (* xi (cos (* 2.0 (* uy PI))))
   (*
    uy
    (+
     (* 2.0 (* PI yi))
     (* -1.3333333333333333 (* (* yi (* uy uy)) (* PI (* PI PI)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((xi * cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI))))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (-1.3333333333333333f * ((yi * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(yi * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((xi * cos((single(2.0) * (uy * single(pi))))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (single(-1.3333333333333333) * ((yi * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(\left({uy}^{2} \cdot yi\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2} \cdot yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   17. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   18. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   20. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   21. PI-lowering-PI.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 93.7%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Final simplification 93.7%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(yi \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 92.6% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \left(yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) + \left(xi + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot -2\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux zi)))
  (+
   (* yi (sin (* PI (* uy 2.0))))
   (+ xi (* (* xi (* PI PI)) (* (* uy uy) -2.0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * zi))) + ((yi * sinf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f)))) + (xi + ((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * ((uy * uy) * -2.0f))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * zi))) + Float32(Float32(yi * sin(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0))))) + Float32(xi + Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(Float32(uy * uy) * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * zi))) + ((yi * sin((single(pi) * (uy * single(2.0))))) + (xi + ((xi * (single(pi) * single(pi))) * ((uy * uy) * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot zi\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right)} \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right) \]

10. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    11. PI-lowering-PI.f32 93.4%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

12. Simplified 93.4%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(xi + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right) \]

13. Final simplification 93.4%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \left(yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) + \left(xi + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot -2\right)\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 8: 92.6% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(xi + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot -2\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos)))
  (+
   (* yi (sin (* 2.0 (* uy PI))))
   (+ xi (* (* xi (* PI PI)) (* (* uy uy) -2.0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((yi * sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI))))) + (xi + ((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * ((uy * uy) * -2.0f))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))) + Float32(xi + Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(Float32(uy * uy) * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((yi * sin((single(2.0) * (uy * single(pi))))) + (xi + ((xi * (single(pi) * single(pi))) * ((uy * uy) * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 93.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 93.3%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(xi + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Final simplification 93.3%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(xi + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot -2\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 90.3% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux zi)))
  (+ (* xi (cos (* PI (* uy 2.0)))) (* (* uy 2.0) (* PI yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * zi))) + ((xi * cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f)))) + ((uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * zi))) + Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0))))) + Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * zi))) + ((xi * cos((single(pi) * (uy * single(2.0))))) + ((uy * single(2.0)) * (single(pi) * yi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot zi\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right)} \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right) \]

10. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    5. PI-lowering-PI.f32 90.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

12. Simplified 90.0%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right) \]

13. Final simplification 90.0%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 10: 90.3% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos)))
  (+ (* xi (cos (* 2.0 (* uy PI)))) (* (* uy 2.0) (* PI yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((xi * cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI))))) + ((uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))) + Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((xi * cos((single(2.0) * (uy * single(pi))))) + ((uy * single(2.0)) * (single(pi) * yi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 90.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 90.0%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Final simplification 90.0%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 88.9% accurate, 10.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\left(xi + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot -2\right)\right) + \left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos)))
  (+
   (+ xi (* (* xi (* PI PI)) (* (* uy uy) -2.0)))
   (*
    (* uy yi)
    (+ (* 2.0 PI) (* (* PI (* PI PI)) (* (* uy uy) -1.3333333333333333)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((xi + ((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * ((uy * uy) * -2.0f))) + ((uy * yi) * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * ((uy * uy) * -1.3333333333333333f)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(Float32(xi + Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(Float32(uy * uy) * Float32(-2.0)))) + Float32(Float32(uy * yi) * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(Float32(uy * uy) * Float32(-1.3333333333333333)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((xi + ((xi * (single(pi) * single(pi))) * ((uy * uy) * single(-2.0)))) + ((uy * yi) * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * ((uy * uy) * single(-1.3333333333333333))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(\left({uy}^{2} \cdot yi\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2} \cdot yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   17. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   18. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   20. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   21. PI-lowering-PI.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 93.7%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    11. PI-lowering-PI.f32 89.6%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 89.6%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(xi + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

14. Taylor expanded in yi around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) + uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    12. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    14. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 89.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(xi + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(yi \cdot uy\right) \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

17. Final simplification 89.6%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\left(xi + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot -2\right)\right) + \left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) \]
18. Add Preprocessing

Alternative 12: 88.9% accurate, 10.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+ xi (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) zi)))
  (*
   uy
   (+
    (* 2.0 (* PI yi))
    (*
     uy
     (+
      (* -2.0 (* xi (* PI PI)))
      (* 2.0 (* (* uy yi) (* (* PI (* PI PI)) -0.6666666666666666)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (xi + ((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * zi))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * ((-2.0f * (xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + (2.0f * ((uy * yi) * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * -0.6666666666666666f)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(xi + Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(uy * yi) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(-0.6666666666666666)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (xi + ((ux * maxCos) * ((single(1.0) - ux) * zi))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * ((single(-2.0) * (xi * (single(pi) * single(pi)))) + (single(2.0) * ((uy * yi) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * single(-0.6666666666666666))))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot zi\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right)} \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    2. sin-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \left(2 \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    5. sin-lowering-sin.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    8. cos-lowering-cos.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 99.1%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.1%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + yi \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)}\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right) \]

12. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    3. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + xi\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), xi\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), xi\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), xi\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), xi\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \left(1 - ux\right)\right)\right), xi\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), xi\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

14. Simplified 89.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) + xi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(\left(yi \cdot uy\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

15. Final simplification 89.6%

    \[\leadsto \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)\right)\right) \]
16. Add Preprocessing

Alternative 13: 88.9% accurate, 11.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+ xi (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) zi)))
  (*
   uy
   (+
    (* 2.0 (* PI yi))
    (*
     uy
     (+
      (* -2.0 (* xi (* PI PI)))
      (* -1.3333333333333333 (* uy (* yi (* PI (* PI PI)))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (xi + ((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * zi))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * ((-2.0f * (xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + (-1.3333333333333333f * (uy * (yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(xi + Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (xi + ((ux * maxCos) * ((single(1.0) - ux) * zi))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * ((single(-2.0) * (xi * (single(pi) * single(pi)))) + (single(-1.3333333333333333) * (uy * (yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot zi\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right)} \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), maxCos\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos\right) \]

10. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    3. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + xi\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), xi\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), xi\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), xi\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), xi\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \left(1 - ux\right)\right)\right), xi\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), xi\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

12. Simplified 89.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) + xi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

13. Final simplification 89.6%

    \[\leadsto \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 14: 88.9% accurate, 11.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(xi \cdot -2\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+ xi (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) zi)))
  (*
   uy
   (+
    (* 2.0 (* PI yi))
    (*
     uy
     (+
      (* (* PI PI) (* xi -2.0))
      (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* uy yi)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (xi + ((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * zi))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (xi * -2.0f)) + (-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * yi)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(xi + Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(xi * Float32(-2.0))) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * yi))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (xi + ((ux * maxCos) * ((single(1.0) - ux) * zi))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * (((single(pi) * single(pi)) * (xi * single(-2.0))) + (single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * yi)))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

10. Simplified 89.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 89.6%

    \[\leadsto \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(xi \cdot -2\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 15: 85.6% accurate, 14.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\left(xi + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot -2\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos)))
  (+ (+ xi (* (* xi (* PI PI)) (* (* uy uy) -2.0))) (* uy (* 2.0 (* PI yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((xi + ((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * ((uy * uy) * -2.0f))) + (uy * (2.0f * (((float) M_PI) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(Float32(xi + Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(Float32(uy * uy) * Float32(-2.0)))) + Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((xi + ((xi * (single(pi) * single(pi))) * ((uy * uy) * single(-2.0)))) + (uy * (single(2.0) * (single(pi) * yi))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(\left({uy}^{2} \cdot yi\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2} \cdot yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   17. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   18. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   20. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   21. PI-lowering-PI.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 93.7%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    11. PI-lowering-PI.f32 89.6%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 89.6%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(xi + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

14. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    3. PI-lowering-PI.f32 86.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 86.0%

    \[\leadsto \left(\left(xi + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + uy \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

17. Final simplification 86.0%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\left(xi + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot -2\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]
18. Add Preprocessing

Alternative 16: 85.6% accurate, 15.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+ xi (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) zi)))
  (* uy (+ (* 2.0 (* PI yi)) (* (* xi (* PI PI)) (* uy -2.0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (xi + ((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * zi))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + ((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * -2.0f))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(xi + Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (xi + ((ux * maxCos) * ((single(1.0) - ux) * zi))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + ((xi * (single(pi) * single(pi))) * (uy * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

10. Simplified 86.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)} \]

11. Final simplification 86.0%

    \[\leadsto \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 17: 81.4% accurate, 22.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + ux \cdot \left(maxCos \cdot zi - maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+ xi (* (* uy 2.0) (* PI yi)))
  (* ux (- (* maxCos zi) (* maxCos (* ux zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (xi + ((uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi))) + (ux * ((maxCos * zi) - (maxCos * (ux * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(xi + Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi))) + Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * zi) - Float32(maxCos * Float32(ux * zi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (xi + ((uy * single(2.0)) * (single(pi) * yi))) + (ux * ((maxCos * zi) - (maxCos * (ux * zi))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 82.3%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 82.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + maxCos \cdot zi\right)}\right)\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot zi + \color{blue}{-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot zi + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot zi - \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)}\right)\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot zi\right), \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), \left(\color{blue}{maxCos} \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 82.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{zi}\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 82.4%

    \[\leadsto \left(xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \color{blue}{ux \cdot \left(maxCos \cdot zi - maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]

14. Final simplification 82.4%

    \[\leadsto \left(xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + ux \cdot \left(maxCos \cdot zi - maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 18: 81.4% accurate, 24.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ (+ xi (* (* uy 2.0) (* PI yi))) (* (- 1.0 ux) (* ux (* maxCos zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (xi + ((uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi))) + ((1.0f - ux) * (ux * (maxCos * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(xi + Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * Float32(maxCos * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (xi + ((uy * single(2.0)) * (single(pi) * yi))) + ((single(1.0) - ux) * (ux * (maxCos * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 82.3%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 82.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{ux}\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(zi \cdot maxCos\right), \color{blue}{ux}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 82.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(zi, maxCos\right), ux\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 82.4%

    \[\leadsto \left(xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(zi \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

13. Final simplification 82.4%

    \[\leadsto \left(xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 19: 81.4% accurate, 24.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos))) (+ xi (* (* uy 2.0) (* PI yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + (xi + ((uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(xi + Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + (xi + ((uy * single(2.0)) * (single(pi) * yi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 82.3%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 82.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Final simplification 82.3%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 20: 54.9% accurate, 27.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\\ \mathbf{if}\;yi \leq -4.999999858590343 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;yi \leq 2.00000009162741 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;xi\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* uy 2.0) (* PI yi))))
   (if (<= yi -4.999999858590343e-10)
     t_0
     (if (<= yi 2.00000009162741e-18) xi t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi);
	float tmp;
	if (yi <= -4.999999858590343e-10f) {
		tmp = t_0;
	} else if (yi <= 2.00000009162741e-18f) {
		tmp = xi;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi))
	tmp = Float32(0.0)
	if (yi <= Float32(-4.999999858590343e-10))
		tmp = t_0;
	elseif (yi <= Float32(2.00000009162741e-18))
		tmp = xi;
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = (uy * single(2.0)) * (single(pi) * yi);
	tmp = single(0.0);
	if (yi <= single(-4.999999858590343e-10))
		tmp = t_0;
	elseif (yi <= single(2.00000009162741e-18))
		tmp = xi;
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if yi < -4.99999986e-10 or 2.00000009e-18 < yi

   1. Initial program 98.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 81.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 81.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in uy around inf

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(2 \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(\color{blue}{yi} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

       5. PI-lowering-PI.f32 54.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 54.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)} \]

   if -4.99999986e-10 < yi < 2.00000009e-18

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 83.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 83.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in xi around inf

       \[\leadsto \color{blue}{xi} \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 62.2%

       \[\leadsto \color{blue}{xi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;yi \leq -4.999999858590343 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\\ \mathbf{elif}\;yi \leq 2.00000009162741 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;xi\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 78.8% accurate, 30.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ (* maxCos (* ux zi)) (+ xi (* (* uy 2.0) (* PI yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (maxCos * (ux * zi)) + (xi + ((uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * zi)) + Float32(xi + Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (maxCos * (ux * zi)) + (xi + ((uy * single(2.0)) * (single(pi) * yi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 82.3%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 82.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 79.7%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{zi}\right)\right)\right) \]

13. Simplified 79.7%

    \[\leadsto \left(xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

14. Final simplification 79.7%

    \[\leadsto maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 22: 73.8% accurate, 51.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ xi (* (* uy 2.0) (* PI yi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + ((uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + ((uy * single(2.0)) * (single(pi) * yi));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 82.3%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 82.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(\color{blue}{yi} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f32 76.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 76.1%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)} \]

14. Final simplification 76.1%

    \[\leadsto xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 23: 45.2% accurate, 461.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos) :precision binary32 xi)

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi;
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = xi
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return xi
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi;
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 82.3%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 82.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Taylor expanded in xi around inf

    \[\leadsto \color{blue}{xi} \]
12. Step-by-step derivation

13. Simplified 46.5%

    \[\leadsto \color{blue}{xi} \]
14. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024170 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))