Lanczos kernel

Percentage Accurate: 97.9% → 97.9%

Time: 14.3s

Alternatives: 16

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(10^{-5} \leq x \land x \leq 1\right) \land \left(1 \leq tau \land tau \leq 5\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Initial Program: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Alternative 1: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\pi \cdot tau} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (* (/ (sin (* x (* PI tau))) x) (/ (/ (sin (* x PI)) (* x PI)) (* PI tau))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (sinf((x * (((float) M_PI) * tau))) / x) * ((sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI))) / (((float) M_PI) * tau));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(sin(Float32(x * Float32(Float32(pi) * tau))) / x) * Float32(Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))) / Float32(Float32(pi) * tau)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (sin((x * (single(pi) * tau))) / x) * ((sin((x * single(pi))) / (x * single(pi))) / (single(pi) * tau));
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 97.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x}}{\pi}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}} \]

   3. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}} \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), x\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)\right), x\right), \left(\frac{\frac{\color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{\frac{\frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{\frac{\frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), tau\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\pi \cdot tau}} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 3: 84.7% accurate, 4.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.16666666666666666 + tau \cdot \left(tau \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.008333333333333333\right) + \left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right) + 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  (*
   (* x x)
   (+
    (* PI (* PI (+ -0.16666666666666666 (* tau (* tau -0.16666666666666666)))))
    (*
     (* (* x x) (* PI (* PI (* PI PI))))
     (+
      (* (* tau tau) (* (* tau tau) 0.008333333333333333))
      (+ 0.008333333333333333 (* tau (* tau 0.027777777777777776)))))))
  1.0))

C

float code(float x, float tau) {
	return ((x * x) * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (-0.16666666666666666f + (tau * (tau * -0.16666666666666666f))))) + (((x * x) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))) * (((tau * tau) * ((tau * tau) * 0.008333333333333333f)) + (0.008333333333333333f + (tau * (tau * 0.027777777777777776f))))))) + 1.0f;
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(tau * Float32(tau * Float32(-0.16666666666666666)))))) + Float32(Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))) * Float32(Float32(Float32(tau * tau) * Float32(Float32(tau * tau) * Float32(0.008333333333333333))) + Float32(Float32(0.008333333333333333) + Float32(tau * Float32(tau * Float32(0.027777777777777776)))))))) + Float32(1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = ((x * x) * ((single(pi) * (single(pi) * (single(-0.16666666666666666) + (tau * (tau * single(-0.16666666666666666)))))) + (((x * x) * (single(pi) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))) * (((tau * tau) * ((tau * tau) * single(0.008333333333333333))) + (single(0.008333333333333333) + (tau * (tau * single(0.027777777777777776)))))))) + single(1.0);
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

5. Simplified 85.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\pi}^{4} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 85.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right) + 0.008333333333333333 \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

9. Applied egg-rr 85.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.16666666666666666 + tau \cdot \left(tau \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.008333333333333333\right) + \left(0.008333333333333333 + tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right) + 1} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 84.7% accurate, 4.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* x x)
   (+
    (* (* PI PI) (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))
    (*
     (* x x)
     (*
      (* PI (* PI (* PI PI)))
      (+
       (* 0.008333333333333333 (* (* tau tau) (* tau tau)))
       (+ 0.008333333333333333 (* (* tau tau) 0.027777777777777776)))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))) + ((x * x) * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * ((0.008333333333333333f * ((tau * tau) * (tau * tau))) + (0.008333333333333333f + ((tau * tau) * 0.027777777777777776f)))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(Float32(tau * tau) * Float32(tau * tau))) + Float32(Float32(0.008333333333333333) + Float32(Float32(tau * tau) * Float32(0.027777777777777776)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * (((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))) + ((x * x) * ((single(pi) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) * ((single(0.008333333333333333) * ((tau * tau) * (tau * tau))) + (single(0.008333333333333333) + ((tau * tau) * single(0.027777777777777776))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

5. Simplified 85.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\pi}^{4} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(3 + 1\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow-plus N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\frac{1}{120}}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\frac{1}{120}}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 85.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 85.2%

   \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \pi\right)} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right) \]

8. Final simplification 85.2%

   \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 80.1% accurate, 5.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  (+
   1.0
   (*
    (* x x)
    (*
     (* PI PI)
     (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))))
  (*
   (* x x)
   (*
    (* x x)
    (*
     (* PI PI)
     (*
      (* PI PI)
      (+ 0.008333333333333333 (* (* tau tau) 0.027777777777777776))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (1.0f + ((x * x) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))))) + ((x * x) * ((x * x) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (0.008333333333333333f + ((tau * tau) * 0.027777777777777776f))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))))) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(0.008333333333333333) + Float32(Float32(tau * tau) * Float32(0.027777777777777776))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (single(1.0) + ((x * x) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))))) + ((x * x) * ((x * x) * ((single(pi) * single(pi)) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(0.008333333333333333) + ((tau * tau) * single(0.027777777777777776)))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left({tau}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

5. Simplified 85.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left({\pi}^{4} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 85.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right) + 0.008333333333333333 \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{36} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \left({tau}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 80.7%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 80.7%

    \[\leadsto \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \color{blue}{\left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776}\right)\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 79.9% accurate, 6.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   -0.16666666666666666
   (+
    (* (* x x) (* PI PI))
    (*
     (* (* x x) (* tau (* tau (* PI PI))))
     (+ 1.0 (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI PI))))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (-0.16666666666666666f * (((x * x) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + (((x * x) * (tau * (tau * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))) * (1.0f + (x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(Float32(x * x) * Float32(tau * Float32(tau * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (single(-0.16666666666666666) * (((x * x) * (single(pi) * single(pi))) + (((x * x) * (tau * (tau * (single(pi) * single(pi))))) * (single(1.0) + (x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}\right)}\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot tau\right)}}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{tau}\right)}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right), \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(x \cdot tau\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(x \cdot \left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right), \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot tau\right)}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), tau\right)\right), \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot tau\right)}\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\color{blue}{x} \cdot tau\right)\right)\right)\right) \]

   15. sin-lowering-sin.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(x \cdot tau\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. PI-lowering-PI.f32 98.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)}{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)}, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \color{blue}{tau}\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \color{blue}{tau}\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 84.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 84.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)}}{\frac{x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)}{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in tau around 0

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]

12. Simplified 80.2%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 7: 78.8% accurate, 7.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \frac{\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)}{-0.16666666666666666 - -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (/
   (*
    (* PI (* PI (* x x)))
    (-
     0.027777777777777776
     (* (* tau tau) (* tau (* tau 0.027777777777777776)))))
   (- -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (x * x))) * (0.027777777777777776f - ((tau * tau) * (tau * (tau * 0.027777777777777776f))))) / (-0.16666666666666666f - (-0.16666666666666666f * (tau * tau))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(x * x))) * Float32(Float32(0.027777777777777776) - Float32(Float32(tau * tau) * Float32(tau * Float32(tau * Float32(0.027777777777777776)))))) / Float32(Float32(-0.16666666666666666) - Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (((single(pi) * (single(pi) * (x * x))) * (single(0.027777777777777776) - ((tau * tau) * (tau * (tau * single(0.027777777777777776)))))) / (single(-0.16666666666666666) - (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau))));
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 79.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 79.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)}\right)\right)\right) \]

   3. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{\frac{-1}{6} \cdot \frac{-1}{6} - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)}{\color{blue}{\frac{-1}{6} - \frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)}}\right)\right) \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \frac{-1}{6} - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{-1}{6} - \frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)}}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \frac{-1}{6} - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} - \frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 79.1%

   \[\leadsto 1 + \color{blue}{\frac{\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \pi\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)}{-0.16666666666666666 - -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)}} \]

10. Final simplification 79.1%

    \[\leadsto 1 + \frac{\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)}{-0.16666666666666666 - -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 8: 78.8% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(\pi \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* PI (* x x))
   (* PI (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((((float) M_PI) * (x * x)) * (((float) M_PI) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(x * x)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((single(pi) * (x * x)) * (single(pi) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 79.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 79.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(tau \cdot tau\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 79.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{tau}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 79.1%

   \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)} \]

10. Final simplification 79.1%

    \[\leadsto 1 + \left(\pi \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 78.8% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* x x)
   (*
    (* PI PI)
    (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot \color{blue}{tau}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 79.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{tau}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 79.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 10: 69.9% accurate, 14.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* (* tau tau) (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI PI)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((tau * tau) * (x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(tau * tau) * Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((tau * tau) * (x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 79.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 79.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({tau}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({tau}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 69.7%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 69.7%

    \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 11: 64.7% accurate, 14.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi + 1\right) + -1\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI (+ (+ PI 1.0) -1.0)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((((float) M_PI) + 1.0f) + -1.0f)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(Float32(pi) + Float32(1.0)) + Float32(-1.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * ((single(pi) + single(1.0)) + single(-1.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 79.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 79.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 64.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 64.3%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. expm1-log1p-u N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. expm1-undefine N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)} - 1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), 1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. log1p-undefine N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(e^{\log \left(1 + \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), 1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + \mathsf{PI}\left(\right)\right), 1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right), 1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 64.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 64.3%

    \[\leadsto 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \pi\right) - 1\right)} \cdot \pi\right)\right)\right) \]

13. Final simplification 64.3%

    \[\leadsto 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi + 1\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 12: 64.7% accurate, 19.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \pi \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* PI (* (* x x) (* PI -0.16666666666666666)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (((float) M_PI) * ((x * x) * (((float) M_PI) * -0.16666666666666666f)));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(pi) * Float32(-0.16666666666666666)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (single(pi) * ((x * x) * (single(pi) * single(-0.16666666666666666))));
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 79.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 79.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 64.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 64.3%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 64.3%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 64.3%

    \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \pi} \]

13. Final simplification 64.3%

    \[\leadsto 1 + \pi \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 13: 64.7% accurate, 19.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* x (* x (* PI PI))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (-0.16666666666666666f * (x * (x * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (single(-0.16666666666666666) * (x * (x * (single(pi) * single(pi)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 79.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 79.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 64.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 64.3%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

    5. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 64.3%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 64.3%

    \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot -0.16666666666666666} \]

13. Final simplification 64.3%

    \[\leadsto 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 14: 64.7% accurate, 19.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* (* x x) (* -0.16666666666666666 (* PI PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 79.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 79.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 64.3%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 64.3%

    \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 15: 64.7% accurate, 19.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI PI))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 79.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 79.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 64.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 64.3%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 16: 63.8% accurate, 219.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau) :precision binary32 1.0)

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f;
}

Fortran

real(4) function code(x, tau)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: tau
    code = 1.0e0
end function

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0);
end

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 63.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024170 
(FPCore (x tau)
  :name "Lanczos kernel"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 1e-5 x) (<= x 1.0)) (and (<= 1.0 tau) (<= tau 5.0)))
  (* (/ (sin (* (* x PI) tau)) (* (* x PI) tau)) (/ (sin (* x PI)) (* x PI))))