2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 6.9% → 98.2%

Time: 8.8s

Alternatives: 6

Speedup: 2.0×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.2% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, 0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{-2}} \cdot -0.1111111111111111\right)}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (fma (cbrt x) 0.3333333333333333 (* (cbrt (pow x -2.0)) -0.1111111111111111))
  x))

C

double code(double x) {
	return fma(cbrt(x), 0.3333333333333333, (cbrt(pow(x, -2.0)) * -0.1111111111111111)) / x;
}

Julia

function code(x)
	return Float64(fma(cbrt(x), 0.3333333333333333, Float64(cbrt((x ^ -2.0)) * -0.1111111111111111)) / x)
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333 + N[(N[Power[N[Power[x, -2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.2%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 7.2%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 7.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 7.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 7.2%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 7.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{x}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}}{x} \]

   2. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1388888888888889} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   3. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1388888888888889 + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot 0.027777777777777776}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   4. distribute-lft-out 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   5. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   6. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}}{x} \]

7. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   2. pow-flip 98.6%

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left({x}^{\left(-2\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   3. pow-pow 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{\left(\left(-2\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   4. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \frac{{x}^{\left(\color{blue}{-2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   5. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \frac{{x}^{\color{blue}{-0.6666666666666666}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

9. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-commutative 98.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333 + {x}^{-0.6666666666666666} \cdot -0.1111111111111111}}{x} \]

    2. fma-define 98.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, 0.3333333333333333, {x}^{-0.6666666666666666} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x} \]

11. Applied egg-rr 98.6%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, 0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{-2}} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-0.1111111111111111 \cdot {x}^{-0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   (* -0.1111111111111111 (pow x -0.6666666666666666))
   (* (cbrt x) 0.3333333333333333))
  x))

C

double code(double x) {
	return ((-0.1111111111111111 * pow(x, -0.6666666666666666)) + (cbrt(x) * 0.3333333333333333)) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((-0.1111111111111111 * Math.pow(x, -0.6666666666666666)) + (Math.cbrt(x) * 0.3333333333333333)) / x;
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(-0.1111111111111111 * (x ^ -0.6666666666666666)) + Float64(cbrt(x) * 0.3333333333333333)) / x)
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[x, -0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.2%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 7.2%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 7.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 7.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 7.2%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 7.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{x}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}}{x} \]

   2. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1388888888888889} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   3. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1388888888888889 + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot 0.027777777777777776}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   4. distribute-lft-out 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   5. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   6. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}}{x} \]

7. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   2. pow-flip 98.6%

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left({x}^{\left(-2\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   3. pow-pow 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{\left(\left(-2\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   4. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \frac{{x}^{\left(\color{blue}{-2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   5. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \frac{{x}^{\color{blue}{-0.6666666666666666}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

9. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

10. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot {x}^{-0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-0.1111111111111111 \cdot {x}^{-0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x \cdot 0.037037037037037035}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   (* -0.1111111111111111 (pow x -0.6666666666666666))
   (cbrt (* x 0.037037037037037035)))
  x))

C

double code(double x) {
	return ((-0.1111111111111111 * pow(x, -0.6666666666666666)) + cbrt((x * 0.037037037037037035))) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((-0.1111111111111111 * Math.pow(x, -0.6666666666666666)) + Math.cbrt((x * 0.037037037037037035))) / x;
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(-0.1111111111111111 * (x ^ -0.6666666666666666)) + cbrt(Float64(x * 0.037037037037037035))) / x)
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[x, -0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(x * 0.037037037037037035), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.2%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 7.2%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 7.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 7.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 7.2%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 7.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{x}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}}{x} \]

   2. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1388888888888889} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   3. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1388888888888889 + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot 0.027777777777777776}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   4. distribute-lft-out 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   5. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   6. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}}{x} \]

7. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   2. pow-flip 98.6%

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left({x}^{\left(-2\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   3. pow-pow 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{\left(\left(-2\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   4. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \frac{{x}^{\left(\color{blue}{-2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   5. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \frac{{x}^{\color{blue}{-0.6666666666666666}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

9. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]
10. Step-by-step derivation

    1. add-cbrt-cube 98.5%

       \[\leadsto \frac{{x}^{-0.6666666666666666} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right)}}}{x} \]

    2. pow1/3 91.8%

       \[\leadsto \frac{{x}^{-0.6666666666666666} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{{\left(\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{0.3333333333333333}}}{x} \]

    3. pow3 91.8%

       \[\leadsto \frac{{x}^{-0.6666666666666666} \cdot -0.1111111111111111 + {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333}}{x} \]

    4. unpow-prod-down 91.8%

       \[\leadsto \frac{{x}^{-0.6666666666666666} \cdot -0.1111111111111111 + {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3} \cdot {0.3333333333333333}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333}}{x} \]

    5. rem-cube-cbrt 91.7%

       \[\leadsto \frac{{x}^{-0.6666666666666666} \cdot -0.1111111111111111 + {\left(\color{blue}{x} \cdot {0.3333333333333333}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}}{x} \]

    6. metadata-eval 91.8%

       \[\leadsto \frac{{x}^{-0.6666666666666666} \cdot -0.1111111111111111 + {\left(x \cdot \color{blue}{0.037037037037037035}\right)}^{0.3333333333333333}}{x} \]

11. Applied egg-rr 91.8%

    \[\leadsto \frac{{x}^{-0.6666666666666666} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{{\left(x \cdot 0.037037037037037035\right)}^{0.3333333333333333}}}{x} \]
12. Step-by-step derivation

    1. unpow1/3 98.6%

       \[\leadsto \frac{{x}^{-0.6666666666666666} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\sqrt[3]{x \cdot 0.037037037037037035}}}{x} \]

13. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \frac{{x}^{-0.6666666666666666} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\sqrt[3]{x \cdot 0.037037037037037035}}}{x} \]

14. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot {x}^{-0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x \cdot 0.037037037037037035}}{x} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* (cbrt x) 0.3333333333333333) x))

C

double code(double x) {
	return (cbrt(x) * 0.3333333333333333) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.cbrt(x) * 0.3333333333333333) / x;
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(cbrt(x) * 0.3333333333333333) / x)
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.2%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 7.2%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 7.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 7.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 7.2%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.8%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 7.2%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 7.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 7.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{x}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}}{x} \]

   2. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1388888888888889} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   3. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1388888888888889 + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot 0.027777777777777776}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   4. distribute-lft-out 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   5. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   6. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}}{x} \]

7. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   2. pow-flip 98.6%

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left({x}^{\left(-2\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   3. pow-pow 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{\left(\left(-2\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   4. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \frac{{x}^{\left(\color{blue}{-2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   5. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \frac{{x}^{\color{blue}{-0.6666666666666666}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

9. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

10. Taylor expanded in x around inf 97.0%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}}{x} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 97.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}}{x} \]

12. Simplified 97.0%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}}{x} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 5: 88.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 0.3333333333333333 (pow x -0.6666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * pow(x, -0.6666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.3333333333333333d0 * (x ** (-0.6666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * Math.pow(x, -0.6666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return 0.3333333333333333 * math.pow(x, -0.6666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 * (x ^ -0.6666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.3333333333333333 * (x ^ -0.6666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, -0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.2%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 51.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   2. pow-flip 98.6%

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left({x}^{\left(-2\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   3. pow-pow 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{\left(\left(-2\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   4. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \frac{{x}^{\left(\color{blue}{-2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   5. metadata-eval 98.6%

      \[\leadsto \frac{{x}^{\color{blue}{-0.6666666666666666}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

5. Applied egg-rr 88.8%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 6: 5.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (cbrt x))

C

double code(double x) {
	return cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return cbrt(x)
end

Wolfram

code[x_] := N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.2%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 1.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt[3]{x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 1.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-\sqrt[3]{x}\right)} \]

   2. rem-square-sqrt 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}} \]

   3. fabs-sqr 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}\right|} \]

   4. rem-square-sqrt 5.4%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{-\sqrt[3]{x}}\right| \]

   5. fabs-neg 5.4%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt[3]{x}\right|} \]

   6. unpow1/3 5.4%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}\right| \]

   7. metadata-eval 5.4%

      \[\leadsto 1 + \left|{x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right| \]

   8. pow-sqr 5.4%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}}\right| \]

   9. fabs-sqr 5.4%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}} \]

   10. pow-sqr 5.4%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   11. metadata-eval 5.4%

       \[\leadsto 1 + {x}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \]

   12. unpow1/3 5.4%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

5. Simplified 5.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \sqrt[3]{x}} \]

6. Taylor expanded in x around inf 5.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]
7. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\left(t\_0 \cdot t\_0 + \sqrt[3]{x} \cdot t\_0\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (+ (* t_0 t_0) (* (cbrt x) t_0)) (* (cbrt x) (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (cbrt(x) * t_0)) + (cbrt(x) * cbrt(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (Math.cbrt(x) * t_0)) + (Math.cbrt(x) * Math.cbrt(x)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(cbrt(x) * t_0)) + Float64(cbrt(x) * cbrt(x))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024169 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ 1 (+ (* (cbrt (+ x 1)) (cbrt (+ x 1))) (* (cbrt x) (cbrt (+ x 1))) (* (cbrt x) (cbrt x)))))

  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))