UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 99.0% → 98.8%

Time: 17.4s

Alternatives: 16

Speedup: N/A×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.8% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(xi, \cos t\_0, yi \cdot \sin t\_0\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (+
    (fma xi (cos t_0) (* yi (sin t_0)))
    (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return fmaf(xi, cosf(t_0), (yi * sinf(t_0))) + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return Float32(fma(xi, cos(t_0), Float32(yi * sin(t_0))) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-define 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \cos t\_0 + yi \cdot \sin t\_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi)
    (+ (* xi (cos t_0)) (* yi (sin t_0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi * cosf(t_0)) + (yi * sinf(t_0)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(yi * sin(t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi * cos(t_0)) + (yi * sin(t_0)));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.1% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \left(xi \cdot \cos t\_0 + yi \cdot \sin t\_0\right) + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+ (+ (* xi (cos t_0)) (* yi (sin t_0))) (* zi (* ux maxCos)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return ((xi * cosf(t_0)) + (yi * sinf(t_0))) + (zi * (ux * maxCos));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(yi * sin(t_0))) + Float32(zi * Float32(ux * maxCos)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = ((xi * cos(t_0)) + (yi * sin(t_0))) + (zi * (ux * maxCos));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0 95.9%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot zi \]

7. Final simplification 95.9%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 92.0% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;yi \leq -2.9999999047965676 \cdot 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi + yi \cdot \sin t\_0\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(xi \cdot \cos t\_0 + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= yi -2.9999999047965676e-20)
     (+ (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi) (+ xi (* yi (sin t_0))))
     (+
      (* 2.0 (* uy (* PI yi)))
      (+ (* xi (cos t_0)) (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (yi <= -2.9999999047965676e-20f) {
		tmp = ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + (xi + (yi * sinf(t_0)));
	} else {
		tmp = (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))) + ((xi * cosf(t_0)) + (maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (yi <= Float32(-2.9999999047965676e-20))
		tmp = Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(xi + Float32(yi * sin(t_0))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))) + Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (yi <= single(-2.9999999047965676e-20))
		tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + (xi + (yi * sin(t_0)));
	else
		tmp = (single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi))) + ((xi * cos(t_0)) + (maxCos * (ux * ((single(1.0) - ux) * zi))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if yi < -2.9999999e-20

   1. Initial program 99.0%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 99.0%

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in uy around 0 94.4%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{1} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   if -2.9999999e-20 < yi

   1. Initial program 99.0%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0 92.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 92.9%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. associate-*r* 92.9%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. *-commutative 92.9%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. *-commutative 92.9%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. associate-*r* 92.9%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. *-commutative 92.9%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. unpow2 92.9%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. unpow2 92.9%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. swap-sqr 92.9%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. unpow2 92.9%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. swap-sqr 92.9%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. *-commutative 92.9%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. *-commutative 92.9%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      14. unpow2 92.9%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      15. associate-*r* 92.9%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right)}}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      16. *-commutative 92.9%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot maxCos\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      17. *-commutative 92.9%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Simplified 92.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0 92.9%

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;yi \leq -2.9999999047965676 \cdot 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 90.9% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;xi \leq 2.5000001145342624 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi + yi \cdot \sin t\_0\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(xi \cdot \cos t\_0 + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= xi 2.5000001145342624e-19)
     (+ (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi) (+ xi (* yi (sin t_0))))
     (+ (* 2.0 (* uy (* PI yi))) (+ (* xi (cos t_0)) (* maxCos (* ux zi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (xi <= 2.5000001145342624e-19f) {
		tmp = ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + (xi + (yi * sinf(t_0)));
	} else {
		tmp = (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))) + ((xi * cosf(t_0)) + (maxCos * (ux * zi)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (xi <= Float32(2.5000001145342624e-19))
		tmp = Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(xi + Float32(yi * sin(t_0))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))) + Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(maxCos * Float32(ux * zi))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (xi <= single(2.5000001145342624e-19))
		tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + (xi + (yi * sin(t_0)));
	else
		tmp = (single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi))) + ((xi * cos(t_0)) + (maxCos * (ux * zi)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if xi < 2.50000011e-19

   1. Initial program 98.8%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 98.7%

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. Applied egg-rr 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Taylor expanded in ux around 0 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in uy around 0 91.6%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{1} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   if 2.50000011e-19 < xi

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0 96.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. associate-*r* 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. *-commutative 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. *-commutative 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. associate-*r* 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. *-commutative 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. unpow2 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. unpow2 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. swap-sqr 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. unpow2 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. swap-sqr 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. *-commutative 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. *-commutative 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      14. unpow2 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      15. associate-*r* 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right)}}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      16. *-commutative 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot maxCos\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      17. *-commutative 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Simplified 96.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in ux around 0 96.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;xi \leq 2.5000001145342624 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 90.7% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;xi \leq 2.5000001145342624 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + yi \cdot \left(\sin t\_0 + \frac{xi}{yi}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(xi \cdot \cos t\_0 + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= xi 2.5000001145342624e-19)
     (+ (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi) (* yi (+ (sin t_0) (/ xi yi))))
     (+ (* 2.0 (* uy (* PI yi))) (+ (* xi (cos t_0)) (* maxCos (* ux zi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (xi <= 2.5000001145342624e-19f) {
		tmp = ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + (yi * (sinf(t_0) + (xi / yi)));
	} else {
		tmp = (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))) + ((xi * cosf(t_0)) + (maxCos * (ux * zi)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (xi <= Float32(2.5000001145342624e-19))
		tmp = Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(yi * Float32(sin(t_0) + Float32(xi / yi))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))) + Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(maxCos * Float32(ux * zi))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (xi <= single(2.5000001145342624e-19))
		tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + (yi * (sin(t_0) + (xi / yi)));
	else
		tmp = (single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi))) + ((xi * cos(t_0)) + (maxCos * (ux * zi)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if xi < 2.50000011e-19

   1. Initial program 98.8%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 98.7%

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. Applied egg-rr 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Taylor expanded in ux around 0 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. fma-define 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. associate-*r* 98.9%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. *-commutative 98.9%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. associate-*r* 98.9%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. associate-*r* 98.9%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. *-commutative 98.9%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. associate-*r* 98.9%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in yi around inf 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{yi}\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 97.6%

         \[\leadsto yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{xi \cdot \frac{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{yi}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   10. Simplified 97.6%

       \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + xi \cdot \frac{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{yi}\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   11. Taylor expanded in uy around 0 91.4%

       \[\leadsto yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\frac{xi}{yi}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   if 2.50000011e-19 < xi

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0 96.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. associate-*r* 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. *-commutative 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. *-commutative 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. associate-*r* 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. *-commutative 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. unpow2 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. unpow2 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. swap-sqr 96.0%

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. unpow2 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. swap-sqr 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. *-commutative 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. *-commutative 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      14. unpow2 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      15. associate-*r* 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right)}}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      16. *-commutative 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot maxCos\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      17. *-commutative 96.0%

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Simplified 96.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in ux around 0 96.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;xi \leq 2.5000001145342624 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{xi}{yi}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 84.6% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.030500000342726707:\\ \;\;\;\;xi + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.030500000342726707)
   (+ xi (+ (* 2.0 (* uy (* PI yi))) (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi)))))
   (+ (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi) (* yi (sin (* 2.0 (* uy PI)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.030500000342726707f) {
		tmp = xi + ((2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))) + (maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi))));
	} else {
		tmp = ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + (yi * sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.030500000342726707))
		tmp = Float32(xi + Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))) + Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi)))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.030500000342726707))
		tmp = xi + ((single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi))) + (maxCos * (ux * ((single(1.0) - ux) * zi))));
	else
		tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + (yi * sin((single(2.0) * (uy * single(pi)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.0305000003

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 99.0%

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Taylor expanded in ux around 0 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.3%

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot uy\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. associate-*r* 99.3%

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. *-commutative 99.3%

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. add-cbrt-cube 99.3%

         \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. pow1/3 99.3%

         \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{{\left(\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)}^{0.3333333333333333}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. pow3 99.3%

         \[\leadsto \left(xi \cdot {\color{blue}{\left({\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. Applied egg-rr 99.3%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{{\left({\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in uy around 0 91.4%

      \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.0305000003 < uy

   1. Initial program 97.5%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 97.5%

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. Applied egg-rr 97.5%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Taylor expanded in ux around 0 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. fma-define 97.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. associate-*r* 97.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. *-commutative 97.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. associate-*r* 97.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. associate-*r* 97.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. *-commutative 97.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. associate-*r* 97.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in xi around 0 59.9%

      \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.030500000342726707:\\ \;\;\;\;xi + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 87.6% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* 2.0 (* uy (* PI yi)))
  (+ (* xi (cos (* 2.0 (* uy PI)))) (* maxCos (* ux zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))) + ((xi * cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI))))) + (maxCos * (ux * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))) + Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))) + Float32(maxCos * Float32(ux * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi))) + ((xi * cos((single(2.0) * (uy * single(pi))))) + (maxCos * (ux * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0 90.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. associate-*r* 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. *-commutative 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. associate-*r* 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. *-commutative 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. unpow2 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. unpow2 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   9. swap-sqr 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   10. unpow2 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   11. swap-sqr 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   12. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   13. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   14. unpow2 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   15. associate-*r* 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right)}}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   16. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot maxCos\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   17. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 90.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0 87.2%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 87.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 9: 60.5% accurate, 17.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;yi \leq -2.0000000072549875 \cdot 10^{-15} \lor \neg \left(yi \leq 1.000000045813705 \cdot 10^{-18}\right):\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (or (<= yi -2.0000000072549875e-15) (not (<= yi 1.000000045813705e-18)))
   (+ (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi) (* 2.0 (* uy (* PI yi))))
   (+ xi (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((yi <= -2.0000000072549875e-15f) || !(yi <= 1.000000045813705e-18f)) {
		tmp = ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi)));
	} else {
		tmp = xi + (maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if ((yi <= Float32(-2.0000000072549875e-15)) || !(yi <= Float32(1.000000045813705e-18)))
		tmp = Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))));
	else
		tmp = Float32(xi + Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((yi <= single(-2.0000000072549875e-15)) || ~((yi <= single(1.000000045813705e-18))))
		tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + (single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi)));
	else
		tmp = xi + (maxCos * (ux * ((single(1.0) - ux) * zi)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if yi < -2.00000001e-15 or 1.00000005e-18 < yi

   1. Initial program 98.6%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 98.6%

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. fma-define 98.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. associate-*r* 98.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. *-commutative 98.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. associate-*r* 98.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. associate-*r* 98.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. *-commutative 98.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. associate-*r* 98.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in uy around 0 78.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 78.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + xi\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. fma-define 78.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right), xi\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. *-commutative 78.1%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, \color{blue}{\left(yi \cdot \pi\right) \cdot uy}, xi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. associate-*l* 78.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, \color{blue}{yi \cdot \left(\pi \cdot uy\right)}, xi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. *-commutative 78.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, yi \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \pi\right)}, xi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   10. Simplified 78.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right), xi\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   11. Taylor expanded in yi around inf 55.7%

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   if -2.00000001e-15 < yi < 1.00000005e-18

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 98.9%

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Taylor expanded in ux around 0 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.3%

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot uy\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. associate-*r* 99.3%

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. *-commutative 99.3%

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. add-cbrt-cube 99.3%

         \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. pow1/3 97.9%

         \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{{\left(\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)}^{0.3333333333333333}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. pow3 97.9%

         \[\leadsto \left(xi \cdot {\color{blue}{\left({\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. Applied egg-rr 97.9%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{{\left({\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in uy around 0 74.7%

      \[\leadsto \color{blue}{xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 65.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;yi \leq -2.0000000072549875 \cdot 10^{-15} \lor \neg \left(yi \leq 1.000000045813705 \cdot 10^{-18}\right):\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 60.6% accurate, 17.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi\\ \mathbf{if}\;yi \leq -2.0000000072549875 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;t\_0 + \pi \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;yi \leq 1.000000045813705 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi)))
   (if (<= yi -2.0000000072549875e-15)
     (+ t_0 (* PI (* 2.0 (* uy yi))))
     (if (<= yi 1.000000045813705e-18)
       (+ xi (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi))))
       (+ t_0 (* 2.0 (* uy (* PI yi))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi;
	float tmp;
	if (yi <= -2.0000000072549875e-15f) {
		tmp = t_0 + (((float) M_PI) * (2.0f * (uy * yi)));
	} else if (yi <= 1.000000045813705e-18f) {
		tmp = xi + (maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi)));
	} else {
		tmp = t_0 + (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi)
	tmp = Float32(0.0)
	if (yi <= Float32(-2.0000000072549875e-15))
		tmp = Float32(t_0 + Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * yi))));
	elseif (yi <= Float32(1.000000045813705e-18))
		tmp = Float32(xi + Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))));
	else
		tmp = Float32(t_0 + Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi;
	tmp = single(0.0);
	if (yi <= single(-2.0000000072549875e-15))
		tmp = t_0 + (single(pi) * (single(2.0) * (uy * yi)));
	elseif (yi <= single(1.000000045813705e-18))
		tmp = xi + (maxCos * (ux * ((single(1.0) - ux) * zi)));
	else
		tmp = t_0 + (single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if yi < -2.00000001e-15

   1. Initial program 99.0%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 99.1%

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. fma-define 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. associate-*r* 99.1%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. associate-*r* 99.1%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. associate-*r* 99.1%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. associate-*r* 99.1%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in uy around 0 79.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 79.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + xi\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. fma-define 79.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right), xi\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. *-commutative 79.1%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, \color{blue}{\left(yi \cdot \pi\right) \cdot uy}, xi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. associate-*l* 79.2%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, \color{blue}{yi \cdot \left(\pi \cdot uy\right)}, xi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. *-commutative 79.2%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, yi \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \pi\right)}, xi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   10. Simplified 79.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right), xi\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   11. Taylor expanded in yi around inf 60.3%

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* 60.3%

          \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

       2. associate-*r* 60.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right) \cdot \pi} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

       3. *-commutative 60.3%

          \[\leadsto \left(2 \cdot \color{blue}{\left(yi \cdot uy\right)}\right) \cdot \pi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   13. Simplified 60.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot uy\right)\right) \cdot \pi} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   if -2.00000001e-15 < yi < 1.00000005e-18

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 98.9%

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Taylor expanded in ux around 0 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.3%

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot uy\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. associate-*r* 99.3%

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. *-commutative 99.3%

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. add-cbrt-cube 99.3%

         \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. pow1/3 97.9%

         \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{{\left(\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)}^{0.3333333333333333}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. pow3 97.9%

         \[\leadsto \left(xi \cdot {\color{blue}{\left({\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. Applied egg-rr 97.9%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{{\left({\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in uy around 0 74.7%

      \[\leadsto \color{blue}{xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]

   if 1.00000005e-18 < yi

   1. Initial program 98.2%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 98.2%

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. Applied egg-rr 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Taylor expanded in ux around 0 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. fma-define 98.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. associate-*r* 98.4%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. *-commutative 98.4%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. associate-*r* 98.4%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. associate-*r* 98.4%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. *-commutative 98.4%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. associate-*r* 98.4%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in uy around 0 77.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 77.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + xi\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. fma-define 77.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right), xi\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. *-commutative 77.3%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, \color{blue}{\left(yi \cdot \pi\right) \cdot uy}, xi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. associate-*l* 77.1%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, \color{blue}{yi \cdot \left(\pi \cdot uy\right)}, xi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. *-commutative 77.1%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, yi \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \pi\right)}, xi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   10. Simplified 77.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right), xi\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   11. Taylor expanded in yi around inf 51.9%

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 65.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;yi \leq -2.0000000072549875 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \pi \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;yi \leq 1.000000045813705 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 81.5% accurate, 24.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ xi (+ (* 2.0 (* uy (* PI yi))) (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + ((2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))) + (maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))) + Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + ((single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi))) + (maxCos * (ux * ((single(1.0) - ux) * zi))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot uy\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. add-cbrt-cube 99.0%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. pow1/3 95.3%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{{\left(\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)}^{0.3333333333333333}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. pow3 95.3%

      \[\leadsto \left(xi \cdot {\color{blue}{\left({\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Applied egg-rr 95.3%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{{\left({\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0 81.8%

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 81.8%

   \[\leadsto xi + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 12: 50.9% accurate, 41.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ xi (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + (maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi)));
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = xi + (maxcos * (ux * ((1.0e0 - ux) * zi)))
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + (maxCos * (ux * ((single(1.0) - ux) * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot uy\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. add-cbrt-cube 99.0%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. pow1/3 95.3%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{{\left(\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)}^{0.3333333333333333}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. pow3 95.3%

      \[\leadsto \left(xi \cdot {\color{blue}{\left({\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Applied egg-rr 95.3%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{{\left({\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0 51.4%

   \[\leadsto \color{blue}{xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 51.4%

   \[\leadsto xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 13.1% accurate, 51.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* maxCos (* (- 1.0 ux) (* ux zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return maxCos * ((1.0f - ux) * (ux * zi));
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = maxcos * ((1.0e0 - ux) * (ux * zi))
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * zi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = maxCos * ((single(1.0) - ux) * (ux * zi));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot uy\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. add-cbrt-cube 99.0%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. pow1/3 95.3%

      \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{{\left(\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)}^{0.3333333333333333}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. pow3 95.3%

      \[\leadsto \left(xi \cdot {\color{blue}{\left({\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Applied egg-rr 95.3%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \color{blue}{{\left({\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in maxCos around inf 13.1%

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 13.1%

      \[\leadsto maxCos \cdot \color{blue}{\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \]

   2. *-commutative 13.1%

      \[\leadsto maxCos \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]

10. Simplified 13.1%

    \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 14: 13.1% accurate, 51.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi));
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = maxcos * (ux * ((1.0e0 - ux) * zi))
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = maxCos * (ux * ((single(1.0) - ux) * zi));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0 90.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. associate-*r* 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. *-commutative 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. associate-*r* 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. *-commutative 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. unpow2 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. unpow2 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   9. swap-sqr 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   10. unpow2 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   11. swap-sqr 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   12. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   13. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   14. unpow2 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   15. associate-*r* 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right)}}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   16. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot maxCos\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   17. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 90.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in zi around inf 13.1%

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 13.1%

   \[\leadsto maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 15: 11.8% accurate, 92.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos) :precision binary32 (* zi (* ux maxCos)))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return zi * (ux * maxCos);
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = zi * (ux * maxcos)
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(zi * Float32(ux * maxCos))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = zi * (ux * maxCos);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0 90.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. associate-*r* 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. *-commutative 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. associate-*r* 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. *-commutative 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. unpow2 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. unpow2 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   9. swap-sqr 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   10. unpow2 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   11. swap-sqr 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   12. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   13. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   14. unpow2 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   15. associate-*r* 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right)}}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   16. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot maxCos\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   17. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 90.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in zi around inf 13.1%

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]

7. Taylor expanded in ux around 0 11.3%

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. pow1 11.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}^{1}} \]

   2. associate-*r* 11.3%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)}}^{1} \]

9. Applied egg-rr 11.3%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)}^{1}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. unpow1 11.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi} \]

    2. *-commutative 11.3%

       \[\leadsto \color{blue}{zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \]

11. Simplified 11.3%

    \[\leadsto \color{blue}{zi \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)} \]

12. Final simplification 11.3%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 16: 11.8% accurate, 92.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos) :precision binary32 (* maxCos (* ux zi)))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return maxCos * (ux * zi);
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = maxcos * (ux * zi)
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(maxCos * Float32(ux * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = maxCos * (ux * zi);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0 90.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. associate-*r* 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. *-commutative 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. associate-*r* 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. *-commutative 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. unpow2 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. unpow2 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   9. swap-sqr 90.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   10. unpow2 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   11. swap-sqr 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   12. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   13. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   14. unpow2 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   15. associate-*r* 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right)}}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   16. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot maxCos\right)}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   17. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}}^{2}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 90.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}^{2}}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in zi around inf 13.1%

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]

7. Taylor expanded in ux around 0 11.3%

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024165 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))