Henrywood and Agarwal, Equation (12)

Percentage Accurate: 66.8% → 79.5%

Time: 25.0s

Alternatives: 23

Speedup: 2.4×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (d h l M D)
 :precision binary64
 (*
  (* (pow (/ d h) (/ 1.0 2.0)) (pow (/ d l) (/ 1.0 2.0)))
  (- 1.0 (* (* (/ 1.0 2.0) (pow (/ (* M D) (* 2.0 d)) 2.0)) (/ h l)))))

C

double code(double d, double h, double l, double M, double D) {
	return (pow((d / h), (1.0 / 2.0)) * pow((d / l), (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * pow(((M * D) / (2.0 * d)), 2.0)) * (h / l)));
}

Fortran

real(8) function code(d, h, l, m, d_1)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: d_1
    code = (((d / h) ** (1.0d0 / 2.0d0)) * ((d / l) ** (1.0d0 / 2.0d0))) * (1.0d0 - (((1.0d0 / 2.0d0) * (((m * d_1) / (2.0d0 * d)) ** 2.0d0)) * (h / l)))
end function

Java

public static double code(double d, double h, double l, double M, double D) {
	return (Math.pow((d / h), (1.0 / 2.0)) * Math.pow((d / l), (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * Math.pow(((M * D) / (2.0 * d)), 2.0)) * (h / l)));
}

Python

def code(d, h, l, M, D):
	return (math.pow((d / h), (1.0 / 2.0)) * math.pow((d / l), (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * math.pow(((M * D) / (2.0 * d)), 2.0)) * (h / l)))

Julia

function code(d, h, l, M, D)
	return Float64(Float64((Float64(d / h) ^ Float64(1.0 / 2.0)) * (Float64(d / l) ^ Float64(1.0 / 2.0))) * Float64(1.0 - Float64(Float64(Float64(1.0 / 2.0) * (Float64(Float64(M * D) / Float64(2.0 * d)) ^ 2.0)) * Float64(h / l))))
end

MATLAB

function tmp = code(d, h, l, M, D)
	tmp = (((d / h) ^ (1.0 / 2.0)) * ((d / l) ^ (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * (((M * D) / (2.0 * d)) ^ 2.0)) * (h / l)));
end

Wolfram

code[d_, h_, l_, M_, D_] := N[(N[(N[Power[N[(d / h), $MachinePrecision], N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Power[N[(d / l), $MachinePrecision], N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(N[(M * D), $MachinePrecision] / N[(2.0 * d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(h / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 66.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (d h l M D)
 :precision binary64
 (*
  (* (pow (/ d h) (/ 1.0 2.0)) (pow (/ d l) (/ 1.0 2.0)))
  (- 1.0 (* (* (/ 1.0 2.0) (pow (/ (* M D) (* 2.0 d)) 2.0)) (/ h l)))))

C

double code(double d, double h, double l, double M, double D) {
	return (pow((d / h), (1.0 / 2.0)) * pow((d / l), (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * pow(((M * D) / (2.0 * d)), 2.0)) * (h / l)));
}

Fortran

real(8) function code(d, h, l, m, d_1)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: d_1
    code = (((d / h) ** (1.0d0 / 2.0d0)) * ((d / l) ** (1.0d0 / 2.0d0))) * (1.0d0 - (((1.0d0 / 2.0d0) * (((m * d_1) / (2.0d0 * d)) ** 2.0d0)) * (h / l)))
end function

Java

public static double code(double d, double h, double l, double M, double D) {
	return (Math.pow((d / h), (1.0 / 2.0)) * Math.pow((d / l), (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * Math.pow(((M * D) / (2.0 * d)), 2.0)) * (h / l)));
}

Python

def code(d, h, l, M, D):
	return (math.pow((d / h), (1.0 / 2.0)) * math.pow((d / l), (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * math.pow(((M * D) / (2.0 * d)), 2.0)) * (h / l)))

Julia

function code(d, h, l, M, D)
	return Float64(Float64((Float64(d / h) ^ Float64(1.0 / 2.0)) * (Float64(d / l) ^ Float64(1.0 / 2.0))) * Float64(1.0 - Float64(Float64(Float64(1.0 / 2.0) * (Float64(Float64(M * D) / Float64(2.0 * d)) ^ 2.0)) * Float64(h / l))))
end

MATLAB

function tmp = code(d, h, l, M, D)
	tmp = (((d / h) ^ (1.0 / 2.0)) * ((d / l) ^ (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * (((M * D) / (2.0 * d)) ^ 2.0)) * (h / l)));
end

Wolfram

code[d_, h_, l_, M_, D_] := N[(N[(N[Power[N[(d / h), $MachinePrecision], N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Power[N[(d / l), $MachinePrecision], N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(N[(M * D), $MachinePrecision] / N[(2.0 * d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(h / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 79.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -1.44 \cdot 10^{+197}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{{\left(0 - d\right)}^{0.5}}{\sqrt{0 - h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(\frac{h \cdot \left(\frac{D\_m \cdot \left(M\_m \cdot \left(M\_m \cdot \frac{\frac{D\_m}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell} + 1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq -4 \cdot 10^{-311}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{M\_m}{d \cdot 2} \cdot \left(D\_m \cdot \left(h \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \frac{\frac{D\_m}{\frac{d}{M\_m}}}{\ell} + 1}{{\left(0 - \ell\right)}^{0.5} \cdot \sqrt{\frac{-1}{d}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}}\\ \mathbf{elif}\;h \leq 1.82 \cdot 10^{-90}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell}}{d}} \cdot \left(\frac{\frac{h \cdot \left(D\_m \cdot -0.25\right)}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M\_m}}{\frac{D\_m}{\frac{2}{\frac{M\_m}{d}}}}} + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d \cdot \frac{\frac{\frac{h}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M\_m}}{0.25 \cdot \frac{D\_m}{\frac{-2}{\frac{D\_m \cdot M\_m}{d}}}}} + 1}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= h -1.44e+197)
   (*
    (* (/ (pow (- 0.0 d) 0.5) (sqrt (- 0.0 h))) (sqrt (/ d l)))
    (+
     (/ (* h (* (/ (* D_m (* M_m (* M_m (/ (/ D_m d) 2.0)))) d) -0.25)) l)
     1.0))
   (if (<= h -4e-311)
     (*
      (/
       (+
        (* (* (/ M_m (* d 2.0)) (* D_m (* h -0.25))) (/ (/ D_m (/ d M_m)) l))
        1.0)
       (* (pow (- 0.0 l) 0.5) (sqrt (/ -1.0 d))))
      (sqrt (/ d h)))
     (if (<= h 1.82e-90)
       (*
        (/ 1.0 (/ (sqrt (* h l)) d))
        (+
         (/ (/ (* h (* D_m -0.25)) l) (/ (/ d M_m) (/ D_m (/ 2.0 (/ M_m d)))))
         1.0))
       (/
        (*
         d
         (/
          (+
           (/
            (/ h l)
            (/ (/ d M_m) (* 0.25 (/ D_m (/ -2.0 (/ (* D_m M_m) d))))))
           1.0)
          (sqrt h)))
        (sqrt l))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (h <= -1.44e+197) {
		tmp = ((pow((0.0 - d), 0.5) / sqrt((0.0 - h))) * sqrt((d / l))) * (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0);
	} else if (h <= -4e-311) {
		tmp = (((((M_m / (d * 2.0)) * (D_m * (h * -0.25))) * ((D_m / (d / M_m)) / l)) + 1.0) / (pow((0.0 - l), 0.5) * sqrt((-1.0 / d)))) * sqrt((d / h));
	} else if (h <= 1.82e-90) {
		tmp = (1.0 / (sqrt((h * l)) / d)) * ((((h * (D_m * -0.25)) / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0);
	} else {
		tmp = (d * ((((h / l) / ((d / M_m) / (0.25 * (D_m / (-2.0 / ((D_m * M_m) / d)))))) + 1.0) / sqrt(h))) / sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (h <= (-1.44d+197)) then
        tmp = ((((0.0d0 - d) ** 0.5d0) / sqrt((0.0d0 - h))) * sqrt((d / l))) * (((h * (((d_m * (m_m * (m_m * ((d_m / d) / 2.0d0)))) / d) * (-0.25d0))) / l) + 1.0d0)
    else if (h <= (-4d-311)) then
        tmp = (((((m_m / (d * 2.0d0)) * (d_m * (h * (-0.25d0)))) * ((d_m / (d / m_m)) / l)) + 1.0d0) / (((0.0d0 - l) ** 0.5d0) * sqrt(((-1.0d0) / d)))) * sqrt((d / h))
    else if (h <= 1.82d-90) then
        tmp = (1.0d0 / (sqrt((h * l)) / d)) * ((((h * (d_m * (-0.25d0))) / l) / ((d / m_m) / (d_m / (2.0d0 / (m_m / d))))) + 1.0d0)
    else
        tmp = (d * ((((h / l) / ((d / m_m) / (0.25d0 * (d_m / ((-2.0d0) / ((d_m * m_m) / d)))))) + 1.0d0) / sqrt(h))) / sqrt(l)
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (h <= -1.44e+197) {
		tmp = ((Math.pow((0.0 - d), 0.5) / Math.sqrt((0.0 - h))) * Math.sqrt((d / l))) * (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0);
	} else if (h <= -4e-311) {
		tmp = (((((M_m / (d * 2.0)) * (D_m * (h * -0.25))) * ((D_m / (d / M_m)) / l)) + 1.0) / (Math.pow((0.0 - l), 0.5) * Math.sqrt((-1.0 / d)))) * Math.sqrt((d / h));
	} else if (h <= 1.82e-90) {
		tmp = (1.0 / (Math.sqrt((h * l)) / d)) * ((((h * (D_m * -0.25)) / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0);
	} else {
		tmp = (d * ((((h / l) / ((d / M_m) / (0.25 * (D_m / (-2.0 / ((D_m * M_m) / d)))))) + 1.0) / Math.sqrt(h))) / Math.sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if h <= -1.44e+197:
		tmp = ((math.pow((0.0 - d), 0.5) / math.sqrt((0.0 - h))) * math.sqrt((d / l))) * (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0)
	elif h <= -4e-311:
		tmp = (((((M_m / (d * 2.0)) * (D_m * (h * -0.25))) * ((D_m / (d / M_m)) / l)) + 1.0) / (math.pow((0.0 - l), 0.5) * math.sqrt((-1.0 / d)))) * math.sqrt((d / h))
	elif h <= 1.82e-90:
		tmp = (1.0 / (math.sqrt((h * l)) / d)) * ((((h * (D_m * -0.25)) / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0)
	else:
		tmp = (d * ((((h / l) / ((d / M_m) / (0.25 * (D_m / (-2.0 / ((D_m * M_m) / d)))))) + 1.0) / math.sqrt(h))) / math.sqrt(l)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (h <= -1.44e+197)
		tmp = Float64(Float64(Float64((Float64(0.0 - d) ^ 0.5) / sqrt(Float64(0.0 - h))) * sqrt(Float64(d / l))) * Float64(Float64(Float64(h * Float64(Float64(Float64(D_m * Float64(M_m * Float64(M_m * Float64(Float64(D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0));
	elseif (h <= -4e-311)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(M_m / Float64(d * 2.0)) * Float64(D_m * Float64(h * -0.25))) * Float64(Float64(D_m / Float64(d / M_m)) / l)) + 1.0) / Float64((Float64(0.0 - l) ^ 0.5) * sqrt(Float64(-1.0 / d)))) * sqrt(Float64(d / h)));
	elseif (h <= 1.82e-90)
		tmp = Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(h * l)) / d)) * Float64(Float64(Float64(Float64(h * Float64(D_m * -0.25)) / l) / Float64(Float64(d / M_m) / Float64(D_m / Float64(2.0 / Float64(M_m / d))))) + 1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(d * Float64(Float64(Float64(Float64(h / l) / Float64(Float64(d / M_m) / Float64(0.25 * Float64(D_m / Float64(-2.0 / Float64(Float64(D_m * M_m) / d)))))) + 1.0) / sqrt(h))) / sqrt(l));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (h <= -1.44e+197)
		tmp = ((((0.0 - d) ^ 0.5) / sqrt((0.0 - h))) * sqrt((d / l))) * (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0);
	elseif (h <= -4e-311)
		tmp = (((((M_m / (d * 2.0)) * (D_m * (h * -0.25))) * ((D_m / (d / M_m)) / l)) + 1.0) / (((0.0 - l) ^ 0.5) * sqrt((-1.0 / d)))) * sqrt((d / h));
	elseif (h <= 1.82e-90)
		tmp = (1.0 / (sqrt((h * l)) / d)) * ((((h * (D_m * -0.25)) / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0);
	else
		tmp = (d * ((((h / l) / ((d / M_m) / (0.25 * (D_m / (-2.0 / ((D_m * M_m) / d)))))) + 1.0) / sqrt(h))) / sqrt(l);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[h, -1.44e+197], N[(N[(N[(N[Power[N[(0.0 - d), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.0 - h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(d / l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(h * N[(N[(N[(D$95$m * N[(M$95$m * N[(M$95$m * N[(N[(D$95$m / d), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, -4e-311], N[(N[(N[(N[(N[(N[(M$95$m / N[(d * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(D$95$m * N[(h * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(D$95$m / N[(d / M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[(N[Power[N[(0.0 - l), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(-1.0 / d), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(d / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, 1.82e-90], N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(h * N[(D$95$m * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] / N[(N[(d / M$95$m), $MachinePrecision] / N[(D$95$m / N[(2.0 / N[(M$95$m / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(d * N[(N[(N[(N[(h / l), $MachinePrecision] / N[(N[(d / M$95$m), $MachinePrecision] / N[(0.25 * N[(D$95$m / N[(-2.0 / N[(N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if h < -1.44000000000000003e197

   1. Initial program 49.7%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 49.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{neg}\left(d\right)}{\mathsf{neg}\left(h\right)}}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{neg}\left(d\right)}}{\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(d\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right), \left(\frac{1}{2}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(0 - d\right), \left(\frac{1}{2}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \left(\frac{1}{2}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(h\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(0 - h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 74.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 74.9%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{{\left(0 - d\right)}^{0.5}}{\sqrt{0 - h}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right) \]

   if -1.44000000000000003e197 < h < -3.99999999999979e-311

   1. Initial program 67.8%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   6. Applied egg-rr 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\frac{\ell}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{D \cdot \frac{-1}{4}}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell} \cdot h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\frac{D \cdot \frac{-1}{4}}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      4. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\frac{d}{D \cdot M}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      6. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}{\ell} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      11. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\ell \cdot \frac{\frac{d}{M}}{D}} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)}{\ell \cdot \frac{\frac{d}{M}}{D}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 68.3%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{\left(\frac{M}{d \cdot 2} \cdot \left(D \cdot \left(-0.25 \cdot h\right)\right)\right) \cdot \frac{\frac{D}{\frac{d}{M}}}{\ell}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}{\mathsf{neg}\left(d\right)}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{neg}\left(d\right)}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\ell\right)} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(d\right)}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \color{blue}{h}\right)\right)\right) \]

      4. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \left(\sqrt{0 - \ell} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(d\right)}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      5. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \left({\left(0 - \ell\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(d\right)}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(0 - \ell\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(d\right)}}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \color{blue}{h}\right)\right)\right) \]

      7. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(d\right)}}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      8. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(d\right)}}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      9. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(0 - \ell\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(d\right)}}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(d\right)}}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{neg}\left(d\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      12. distribute-frac-neg2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{d}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      13. distribute-neg-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{d}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{-1}{d}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 76.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, d\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 76.3%

       \[\leadsto \frac{1 + \left(\frac{M}{d \cdot 2} \cdot \left(D \cdot \left(-0.25 \cdot h\right)\right)\right) \cdot \frac{\frac{D}{\frac{d}{M}}}{\ell}}{\color{blue}{{\left(0 - \ell\right)}^{0.5} \cdot \sqrt{\frac{-1}{d}}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}} \]

   if -3.99999999999979e-311 < h < 1.8199999999999999e-90

   1. Initial program 59.6%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 55.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{h}} \cdot \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{d}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}{d}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}{d}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 68.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 68.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell}}{d}}} \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\ell}}\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 74.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell}}{d}} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M}}{\frac{D}{\frac{2}{\frac{M}{d}}}}}}\right) \]

   if 1.8199999999999999e-90 < h

   1. Initial program 62.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 62.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 65.3%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]

   8. Applied egg-rr 66.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{0.25}}\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}}\right)}{\sqrt{h} \cdot \color{blue}{\sqrt{\ell}}} \]

      2. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}}\right)}{\sqrt{h}}}{\color{blue}{{\ell}^{\frac{1}{2}}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}}\right)}{\sqrt{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

   10. Applied egg-rr 78.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{d \cdot \frac{1 + \frac{\frac{h}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M}}{0.25 \cdot \frac{D}{\frac{-2}{\frac{D \cdot M}{d}}}}}}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 76.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -1.44 \cdot 10^{+197}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{{\left(0 - d\right)}^{0.5}}{\sqrt{0 - h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(\frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell} + 1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq -4 \cdot 10^{-311}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{M}{d \cdot 2} \cdot \left(D \cdot \left(h \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \frac{\frac{D}{\frac{d}{M}}}{\ell} + 1}{{\left(0 - \ell\right)}^{0.5} \cdot \sqrt{\frac{-1}{d}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}}\\ \mathbf{elif}\;h \leq 1.82 \cdot 10^{-90}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell}}{d}} \cdot \left(\frac{\frac{h \cdot \left(D \cdot -0.25\right)}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M}}{\frac{D}{\frac{2}{\frac{M}{d}}}}} + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d \cdot \frac{\frac{\frac{h}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M}}{0.25 \cdot \frac{D}{\frac{-2}{\frac{D \cdot M}{d}}}}} + 1}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 80.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{M\_m}{d \cdot 2}\\ \mathbf{if}\;d \leq -4.7 \cdot 10^{-86}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{{\left(0 - d\right)}^{0.5}}{\sqrt{0 - h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(\frac{h \cdot \left(\frac{D\_m \cdot \left(M\_m \cdot \left(M\_m \cdot \frac{\frac{D\_m}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell} + 1\right)\\ \mathbf{elif}\;d \leq -2 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(-1 - \left(h \cdot \left(D\_m \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{\frac{t\_0}{\frac{d}{D\_m \cdot M\_m}}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;d \leq 1.45 \cdot 10^{-88}:\\ \;\;\;\;\frac{d \cdot \frac{\frac{\frac{h}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M\_m}}{0.25 \cdot \frac{D\_m}{\frac{-2}{\frac{D\_m \cdot M\_m}{d}}}}} + 1}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{d} \cdot \frac{\frac{\frac{\frac{D\_m \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M\_m}}{D\_m}}{t\_0}}}{\frac{\ell}{h}} + 1}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}}}{\sqrt{h}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ M_m (* d 2.0))))
   (if (<= d -4.7e-86)
     (*
      (* (/ (pow (- 0.0 d) 0.5) (sqrt (- 0.0 h))) (sqrt (/ d l)))
      (+
       (/ (* h (* (/ (* D_m (* M_m (* M_m (/ (/ D_m d) 2.0)))) d) -0.25)) l)
       1.0))
     (if (<= d -2e-310)
       (*
        (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l))))
        (- -1.0 (* (* h (* D_m -0.25)) (/ (/ t_0 (/ d (* D_m M_m))) l))))
       (if (<= d 1.45e-88)
         (/
          (*
           d
           (/
            (+
             (/
              (/ h l)
              (/ (/ d M_m) (* 0.25 (/ D_m (/ -2.0 (/ (* D_m M_m) d))))))
             1.0)
            (sqrt h)))
          (sqrt l))
         (*
          (sqrt d)
          (/
           (/
            (+ (/ (/ (* D_m -0.25) (/ (/ (/ d M_m) D_m) t_0)) (/ l h)) 1.0)
            (sqrt (/ l d)))
           (sqrt h))))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = M_m / (d * 2.0);
	double tmp;
	if (d <= -4.7e-86) {
		tmp = ((pow((0.0 - d), 0.5) / sqrt((0.0 - h))) * sqrt((d / l))) * (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0);
	} else if (d <= -2e-310) {
		tmp = (d * sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * ((t_0 / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	} else if (d <= 1.45e-88) {
		tmp = (d * ((((h / l) / ((d / M_m) / (0.25 * (D_m / (-2.0 / ((D_m * M_m) / d)))))) + 1.0) / sqrt(h))) / sqrt(l);
	} else {
		tmp = sqrt(d) * ((((((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / t_0)) / (l / h)) + 1.0) / sqrt((l / d))) / sqrt(h));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = m_m / (d * 2.0d0)
    if (d <= (-4.7d-86)) then
        tmp = ((((0.0d0 - d) ** 0.5d0) / sqrt((0.0d0 - h))) * sqrt((d / l))) * (((h * (((d_m * (m_m * (m_m * ((d_m / d) / 2.0d0)))) / d) * (-0.25d0))) / l) + 1.0d0)
    else if (d <= (-2d-310)) then
        tmp = (d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))) * ((-1.0d0) - ((h * (d_m * (-0.25d0))) * ((t_0 / (d / (d_m * m_m))) / l)))
    else if (d <= 1.45d-88) then
        tmp = (d * ((((h / l) / ((d / m_m) / (0.25d0 * (d_m / ((-2.0d0) / ((d_m * m_m) / d)))))) + 1.0d0) / sqrt(h))) / sqrt(l)
    else
        tmp = sqrt(d) * ((((((d_m * (-0.25d0)) / (((d / m_m) / d_m) / t_0)) / (l / h)) + 1.0d0) / sqrt((l / d))) / sqrt(h))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = M_m / (d * 2.0);
	double tmp;
	if (d <= -4.7e-86) {
		tmp = ((Math.pow((0.0 - d), 0.5) / Math.sqrt((0.0 - h))) * Math.sqrt((d / l))) * (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0);
	} else if (d <= -2e-310) {
		tmp = (d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * ((t_0 / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	} else if (d <= 1.45e-88) {
		tmp = (d * ((((h / l) / ((d / M_m) / (0.25 * (D_m / (-2.0 / ((D_m * M_m) / d)))))) + 1.0) / Math.sqrt(h))) / Math.sqrt(l);
	} else {
		tmp = Math.sqrt(d) * ((((((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / t_0)) / (l / h)) + 1.0) / Math.sqrt((l / d))) / Math.sqrt(h));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = M_m / (d * 2.0)
	tmp = 0
	if d <= -4.7e-86:
		tmp = ((math.pow((0.0 - d), 0.5) / math.sqrt((0.0 - h))) * math.sqrt((d / l))) * (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0)
	elif d <= -2e-310:
		tmp = (d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * ((t_0 / (d / (D_m * M_m))) / l)))
	elif d <= 1.45e-88:
		tmp = (d * ((((h / l) / ((d / M_m) / (0.25 * (D_m / (-2.0 / ((D_m * M_m) / d)))))) + 1.0) / math.sqrt(h))) / math.sqrt(l)
	else:
		tmp = math.sqrt(d) * ((((((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / t_0)) / (l / h)) + 1.0) / math.sqrt((l / d))) / math.sqrt(h))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(M_m / Float64(d * 2.0))
	tmp = 0.0
	if (d <= -4.7e-86)
		tmp = Float64(Float64(Float64((Float64(0.0 - d) ^ 0.5) / sqrt(Float64(0.0 - h))) * sqrt(Float64(d / l))) * Float64(Float64(Float64(h * Float64(Float64(Float64(D_m * Float64(M_m * Float64(M_m * Float64(Float64(D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0));
	elseif (d <= -2e-310)
		tmp = Float64(Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l)))) * Float64(-1.0 - Float64(Float64(h * Float64(D_m * -0.25)) * Float64(Float64(t_0 / Float64(d / Float64(D_m * M_m))) / l))));
	elseif (d <= 1.45e-88)
		tmp = Float64(Float64(d * Float64(Float64(Float64(Float64(h / l) / Float64(Float64(d / M_m) / Float64(0.25 * Float64(D_m / Float64(-2.0 / Float64(Float64(D_m * M_m) / d)))))) + 1.0) / sqrt(h))) / sqrt(l));
	else
		tmp = Float64(sqrt(d) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(D_m * -0.25) / Float64(Float64(Float64(d / M_m) / D_m) / t_0)) / Float64(l / h)) + 1.0) / sqrt(Float64(l / d))) / sqrt(h)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = M_m / (d * 2.0);
	tmp = 0.0;
	if (d <= -4.7e-86)
		tmp = ((((0.0 - d) ^ 0.5) / sqrt((0.0 - h))) * sqrt((d / l))) * (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0);
	elseif (d <= -2e-310)
		tmp = (d * sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * ((t_0 / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	elseif (d <= 1.45e-88)
		tmp = (d * ((((h / l) / ((d / M_m) / (0.25 * (D_m / (-2.0 / ((D_m * M_m) / d)))))) + 1.0) / sqrt(h))) / sqrt(l);
	else
		tmp = sqrt(d) * ((((((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / t_0)) / (l / h)) + 1.0) / sqrt((l / d))) / sqrt(h));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(M$95$m / N[(d * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[d, -4.7e-86], N[(N[(N[(N[Power[N[(0.0 - d), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.0 - h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(d / l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(h * N[(N[(N[(D$95$m * N[(M$95$m * N[(M$95$m * N[(N[(D$95$m / d), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, -2e-310], N[(N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - N[(N[(h * N[(D$95$m * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$0 / N[(d / N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, 1.45e-88], N[(N[(d * N[(N[(N[(N[(h / l), $MachinePrecision] / N[(N[(d / M$95$m), $MachinePrecision] / N[(0.25 * N[(D$95$m / N[(-2.0 / N[(N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[d], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(N[(D$95$m * -0.25), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(d / M$95$m), $MachinePrecision] / D$95$m), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(l / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(l / d), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if d < -4.7000000000000001e-86

   1. Initial program 74.1%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 72.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{neg}\left(d\right)}{\mathsf{neg}\left(h\right)}}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{neg}\left(d\right)}}{\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(d\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right), \left(\frac{1}{2}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(0 - d\right), \left(\frac{1}{2}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \left(\frac{1}{2}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(h\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(0 - h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 83.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 83.4%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{{\left(0 - d\right)}^{0.5}}{\sqrt{0 - h}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right) \]

   if -4.7000000000000001e-86 < d < -1.999999999999994e-310

   1. Initial program 51.8%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 42.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 43.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\color{blue}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\frac{\ell}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{M}{d \cdot 2}\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \left(d \cdot 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{d}{D \cdot M}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \left(D \cdot M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 46.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 46.4%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}}\right) \]

   9. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       3. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       9. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       10. neg-sub0 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       11. --lowering--.f64 65.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 65.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right) \]

   if -1.999999999999994e-310 < d < 1.4500000000000001e-88

   1. Initial program 38.6%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 37.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 37.0%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]

   8. Applied egg-rr 55.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{0.25}}\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}}\right)}{\sqrt{h} \cdot \color{blue}{\sqrt{\ell}}} \]

      2. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}}\right)}{\sqrt{h}}}{\color{blue}{{\ell}^{\frac{1}{2}}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}}\right)}{\sqrt{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

   10. Applied egg-rr 65.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{d \cdot \frac{1 + \frac{\frac{h}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M}}{0.25 \cdot \frac{D}{\frac{-2}{\frac{D \cdot M}{d}}}}}}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}} \]

   if 1.4500000000000001e-88 < d

   1. Initial program 75.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 73.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   6. Applied egg-rr 86.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{d} \cdot \frac{\frac{1 + \frac{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\frac{\ell}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}}}{\sqrt{h}}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 77.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -4.7 \cdot 10^{-86}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{{\left(0 - d\right)}^{0.5}}{\sqrt{0 - h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(\frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell} + 1\right)\\ \mathbf{elif}\;d \leq -2 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(-1 - \left(h \cdot \left(D \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;d \leq 1.45 \cdot 10^{-88}:\\ \;\;\;\;\frac{d \cdot \frac{\frac{\frac{h}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M}}{0.25 \cdot \frac{D}{\frac{-2}{\frac{D \cdot M}{d}}}}} + 1}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{d} \cdot \frac{\frac{\frac{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\frac{\ell}{h}} + 1}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}}}{\sqrt{h}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 72.2% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -2 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(-1 - \left(h \cdot \left(D\_m \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M\_m}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D\_m \cdot M\_m}}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;d \leq 2.8 \cdot 10^{-80}:\\ \;\;\;\;\frac{d \cdot \left(\frac{h}{\frac{\left(d \cdot \ell\right) \cdot \frac{\frac{-2}{\frac{D\_m \cdot M\_m}{d}}}{D\_m \cdot M\_m}}{0.25}} + 1\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq 7.6 \cdot 10^{+56}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \frac{\frac{\frac{D\_m}{\frac{d}{M\_m}}}{\ell} \cdot \frac{M\_m \cdot \left(\left(h \cdot D\_m\right) \cdot -0.125\right)}{d} + 1}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h}} \cdot {\ell}^{-0.5}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= d -2e-310)
   (*
    (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l))))
    (-
     -1.0
     (* (* h (* D_m -0.25)) (/ (/ (/ M_m (* d 2.0)) (/ d (* D_m M_m))) l))))
   (if (<= d 2.8e-80)
     (/
      (*
       d
       (+
        (/ h (/ (* (* d l) (/ (/ -2.0 (/ (* D_m M_m) d)) (* D_m M_m))) 0.25))
        1.0))
      (sqrt (* h l)))
     (if (<= d 7.6e+56)
       (*
        (sqrt (/ d h))
        (/
         (+ (* (/ (/ D_m (/ d M_m)) l) (/ (* M_m (* (* h D_m) -0.125)) d)) 1.0)
         (sqrt (/ l d))))
       (* (/ d (sqrt h)) (pow l -0.5))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -2e-310) {
		tmp = (d * sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	} else if (d <= 2.8e-80) {
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / sqrt((h * l));
	} else if (d <= 7.6e+56) {
		tmp = sqrt((d / h)) * (((((D_m / (d / M_m)) / l) * ((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / d)) + 1.0) / sqrt((l / d)));
	} else {
		tmp = (d / sqrt(h)) * pow(l, -0.5);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (d <= (-2d-310)) then
        tmp = (d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))) * ((-1.0d0) - ((h * (d_m * (-0.25d0))) * (((m_m / (d * 2.0d0)) / (d / (d_m * m_m))) / l)))
    else if (d <= 2.8d-80) then
        tmp = (d * ((h / (((d * l) * (((-2.0d0) / ((d_m * m_m) / d)) / (d_m * m_m))) / 0.25d0)) + 1.0d0)) / sqrt((h * l))
    else if (d <= 7.6d+56) then
        tmp = sqrt((d / h)) * (((((d_m / (d / m_m)) / l) * ((m_m * ((h * d_m) * (-0.125d0))) / d)) + 1.0d0) / sqrt((l / d)))
    else
        tmp = (d / sqrt(h)) * (l ** (-0.5d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -2e-310) {
		tmp = (d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	} else if (d <= 2.8e-80) {
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / Math.sqrt((h * l));
	} else if (d <= 7.6e+56) {
		tmp = Math.sqrt((d / h)) * (((((D_m / (d / M_m)) / l) * ((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / d)) + 1.0) / Math.sqrt((l / d)));
	} else {
		tmp = (d / Math.sqrt(h)) * Math.pow(l, -0.5);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if d <= -2e-310:
		tmp = (d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)))
	elif d <= 2.8e-80:
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / math.sqrt((h * l))
	elif d <= 7.6e+56:
		tmp = math.sqrt((d / h)) * (((((D_m / (d / M_m)) / l) * ((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / d)) + 1.0) / math.sqrt((l / d)))
	else:
		tmp = (d / math.sqrt(h)) * math.pow(l, -0.5)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (d <= -2e-310)
		tmp = Float64(Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l)))) * Float64(-1.0 - Float64(Float64(h * Float64(D_m * -0.25)) * Float64(Float64(Float64(M_m / Float64(d * 2.0)) / Float64(d / Float64(D_m * M_m))) / l))));
	elseif (d <= 2.8e-80)
		tmp = Float64(Float64(d * Float64(Float64(h / Float64(Float64(Float64(d * l) * Float64(Float64(-2.0 / Float64(Float64(D_m * M_m) / d)) / Float64(D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / sqrt(Float64(h * l)));
	elseif (d <= 7.6e+56)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(d / h)) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(D_m / Float64(d / M_m)) / l) * Float64(Float64(M_m * Float64(Float64(h * D_m) * -0.125)) / d)) + 1.0) / sqrt(Float64(l / d))));
	else
		tmp = Float64(Float64(d / sqrt(h)) * (l ^ -0.5));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (d <= -2e-310)
		tmp = (d * sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	elseif (d <= 2.8e-80)
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / sqrt((h * l));
	elseif (d <= 7.6e+56)
		tmp = sqrt((d / h)) * (((((D_m / (d / M_m)) / l) * ((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / d)) + 1.0) / sqrt((l / d)));
	else
		tmp = (d / sqrt(h)) * (l ^ -0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[d, -2e-310], N[(N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - N[(N[(h * N[(D$95$m * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(M$95$m / N[(d * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(d / N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, 2.8e-80], N[(N[(d * N[(N[(h / N[(N[(N[(d * l), $MachinePrecision] * N[(N[(-2.0 / N[(N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, 7.6e+56], N[(N[Sqrt[N[(d / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(D$95$m / N[(d / M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] * N[(N[(M$95$m * N[(N[(h * D$95$m), $MachinePrecision] * -0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(l / d), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(d / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Power[l, -0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if d < -1.999999999999994e-310

   1. Initial program 65.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 61.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 63.4%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\color{blue}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\frac{\ell}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{M}{d \cdot 2}\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \left(d \cdot 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{d}{D \cdot M}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \left(D \cdot M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 60.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 60.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}}\right) \]

   9. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       3. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       9. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       10. neg-sub0 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       11. --lowering--.f64 70.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 70.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right) \]

   if -1.999999999999994e-310 < d < 2.79999999999999989e-80

   1. Initial program 43.2%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 40.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 41.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]

   8. Applied egg-rr 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{0.25}}\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(h, \left(\frac{\ell \cdot \frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 63.7%

       \[\leadsto \frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\color{blue}{\frac{\left(\ell \cdot d\right) \cdot \frac{\frac{-2}{\frac{D \cdot M}{d}}}{D \cdot M}}{0.25}}}\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}} \]

   if 2.79999999999999989e-80 < d < 7.59999999999999991e56

   1. Initial program 88.0%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 83.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   6. Applied egg-rr 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\frac{\ell}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{D \cdot \frac{-1}{4}}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell} \cdot h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\frac{D \cdot \frac{-1}{4}}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      4. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\frac{d}{D \cdot M}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      6. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}{\ell} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      11. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\ell \cdot \frac{\frac{d}{M}}{D}} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)}{\ell \cdot \frac{\frac{d}{M}}{D}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 95.0%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{\left(\frac{M}{d \cdot 2} \cdot \left(D \cdot \left(-0.25 \cdot h\right)\right)\right) \cdot \frac{\frac{D}{\frac{d}{M}}}{\ell}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{M \cdot \left(D \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot h\right)\right)}{d \cdot 2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{M \cdot \left(D \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot h\right)\right)}{2}}{d}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{M \cdot \left(D \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot h\right)\right)}{2}\right), d\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      4. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(M \cdot \frac{D \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot h\right)}{2}\right), d\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, \left(\frac{D \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot h\right)}{2}\right)\right), d\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, \left(\frac{D \cdot \left(h \cdot \frac{-1}{4}\right)}{2}\right)\right), d\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, \left(\frac{\left(D \cdot h\right) \cdot \frac{-1}{4}}{2}\right)\right), d\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      8. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, \left(\left(D \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{-1}{4}}{2}\right)\right), d\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\left(D \cdot h\right), \left(\frac{\frac{-1}{4}}{2}\right)\right)\right), d\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, h\right), \left(\frac{\frac{-1}{4}}{2}\right)\right)\right), d\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval 92.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, h\right), \frac{-1}{8}\right)\right), d\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, \mathsf{/.f64}\left(d, M\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 92.8%

       \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{\frac{M \cdot \left(\left(D \cdot h\right) \cdot -0.125\right)}{d}} \cdot \frac{\frac{D}{\frac{d}{M}}}{\ell}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}} \]

   if 7.59999999999999991e56 < d

   1. Initial program 62.2%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 64.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 65.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 65.2%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      5. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      6. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}} \]

      7. frac-times N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}} \]

      8. pow1/2 N/A

         \[\leadsto {\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

      9. div-inv N/A

         \[\leadsto {\left(\frac{d}{h} \cdot \left(d \cdot \frac{1}{\ell}\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {\left(\left(\frac{d}{h} \cdot d\right) \cdot \frac{1}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}} \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto {\left(\left(d \cdot \frac{d}{h}\right) \cdot \frac{1}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}} \]

      12. unpow-prod-down N/A

          \[\leadsto {\left(d \cdot \frac{d}{h}\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}} \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(d \cdot \frac{d}{h}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\frac{1}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

      14. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot \frac{d}{h}}\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{1}{\ell}\right)}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      15. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h}}\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      16. sqrt-div N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h}}\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{1}{\ell}\right)}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      17. sqrt-unprod N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{h}}\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      18. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{d}{\sqrt{h}}\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\sqrt{h}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{1}{\ell}\right)}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      20. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(h\right)\right), \left({\left(\frac{1}{\color{blue}{\ell}}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      21. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(h\right)\right), \left({\left({\ell}^{-1}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      22. pow-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(h\right)\right), \left({\ell}^{\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

      23. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(h\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

      24. metadata-eval 82.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(h\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\ell, \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 82.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h}} \cdot {\ell}^{-0.5}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 74.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -2 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(-1 - \left(h \cdot \left(D \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;d \leq 2.8 \cdot 10^{-80}:\\ \;\;\;\;\frac{d \cdot \left(\frac{h}{\frac{\left(d \cdot \ell\right) \cdot \frac{\frac{-2}{\frac{D \cdot M}{d}}}{D \cdot M}}{0.25}} + 1\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq 7.6 \cdot 10^{+56}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \frac{\frac{\frac{D}{\frac{d}{M}}}{\ell} \cdot \frac{M \cdot \left(\left(h \cdot D\right) \cdot -0.125\right)}{d} + 1}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h}} \cdot {\ell}^{-0.5}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 77.2% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := h \cdot \left(D\_m \cdot -0.25\right)\\ \mathbf{if}\;h \leq -4 \cdot 10^{-311}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(-1 - t\_0 \cdot \frac{\frac{\frac{M\_m}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D\_m \cdot M\_m}}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 1.32 \cdot 10^{-92}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell}}{d}} \cdot \left(\frac{\frac{t\_0}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M\_m}}{\frac{D\_m}{\frac{2}{\frac{M\_m}{d}}}}} + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d \cdot \frac{\frac{\frac{h}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M\_m}}{0.25 \cdot \frac{D\_m}{\frac{-2}{\frac{D\_m \cdot M\_m}{d}}}}} + 1}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* h (* D_m -0.25))))
   (if (<= h -4e-311)
     (*
      (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l))))
      (- -1.0 (* t_0 (/ (/ (/ M_m (* d 2.0)) (/ d (* D_m M_m))) l))))
     (if (<= h 1.32e-92)
       (*
        (/ 1.0 (/ (sqrt (* h l)) d))
        (+ (/ (/ t_0 l) (/ (/ d M_m) (/ D_m (/ 2.0 (/ M_m d))))) 1.0))
       (/
        (*
         d
         (/
          (+
           (/
            (/ h l)
            (/ (/ d M_m) (* 0.25 (/ D_m (/ -2.0 (/ (* D_m M_m) d))))))
           1.0)
          (sqrt h)))
        (sqrt l))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = h * (D_m * -0.25);
	double tmp;
	if (h <= -4e-311) {
		tmp = (d * sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - (t_0 * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	} else if (h <= 1.32e-92) {
		tmp = (1.0 / (sqrt((h * l)) / d)) * (((t_0 / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0);
	} else {
		tmp = (d * ((((h / l) / ((d / M_m) / (0.25 * (D_m / (-2.0 / ((D_m * M_m) / d)))))) + 1.0) / sqrt(h))) / sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = h * (d_m * (-0.25d0))
    if (h <= (-4d-311)) then
        tmp = (d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))) * ((-1.0d0) - (t_0 * (((m_m / (d * 2.0d0)) / (d / (d_m * m_m))) / l)))
    else if (h <= 1.32d-92) then
        tmp = (1.0d0 / (sqrt((h * l)) / d)) * (((t_0 / l) / ((d / m_m) / (d_m / (2.0d0 / (m_m / d))))) + 1.0d0)
    else
        tmp = (d * ((((h / l) / ((d / m_m) / (0.25d0 * (d_m / ((-2.0d0) / ((d_m * m_m) / d)))))) + 1.0d0) / sqrt(h))) / sqrt(l)
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = h * (D_m * -0.25);
	double tmp;
	if (h <= -4e-311) {
		tmp = (d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - (t_0 * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	} else if (h <= 1.32e-92) {
		tmp = (1.0 / (Math.sqrt((h * l)) / d)) * (((t_0 / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0);
	} else {
		tmp = (d * ((((h / l) / ((d / M_m) / (0.25 * (D_m / (-2.0 / ((D_m * M_m) / d)))))) + 1.0) / Math.sqrt(h))) / Math.sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = h * (D_m * -0.25)
	tmp = 0
	if h <= -4e-311:
		tmp = (d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - (t_0 * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)))
	elif h <= 1.32e-92:
		tmp = (1.0 / (math.sqrt((h * l)) / d)) * (((t_0 / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0)
	else:
		tmp = (d * ((((h / l) / ((d / M_m) / (0.25 * (D_m / (-2.0 / ((D_m * M_m) / d)))))) + 1.0) / math.sqrt(h))) / math.sqrt(l)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(h * Float64(D_m * -0.25))
	tmp = 0.0
	if (h <= -4e-311)
		tmp = Float64(Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l)))) * Float64(-1.0 - Float64(t_0 * Float64(Float64(Float64(M_m / Float64(d * 2.0)) / Float64(d / Float64(D_m * M_m))) / l))));
	elseif (h <= 1.32e-92)
		tmp = Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(h * l)) / d)) * Float64(Float64(Float64(t_0 / l) / Float64(Float64(d / M_m) / Float64(D_m / Float64(2.0 / Float64(M_m / d))))) + 1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(d * Float64(Float64(Float64(Float64(h / l) / Float64(Float64(d / M_m) / Float64(0.25 * Float64(D_m / Float64(-2.0 / Float64(Float64(D_m * M_m) / d)))))) + 1.0) / sqrt(h))) / sqrt(l));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = h * (D_m * -0.25);
	tmp = 0.0;
	if (h <= -4e-311)
		tmp = (d * sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - (t_0 * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	elseif (h <= 1.32e-92)
		tmp = (1.0 / (sqrt((h * l)) / d)) * (((t_0 / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0);
	else
		tmp = (d * ((((h / l) / ((d / M_m) / (0.25 * (D_m / (-2.0 / ((D_m * M_m) / d)))))) + 1.0) / sqrt(h))) / sqrt(l);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(h * N[(D$95$m * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[h, -4e-311], N[(N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - N[(t$95$0 * N[(N[(N[(M$95$m / N[(d * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(d / N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, 1.32e-92], N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 / l), $MachinePrecision] / N[(N[(d / M$95$m), $MachinePrecision] / N[(D$95$m / N[(2.0 / N[(M$95$m / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(d * N[(N[(N[(N[(h / l), $MachinePrecision] / N[(N[(d / M$95$m), $MachinePrecision] / N[(0.25 * N[(D$95$m / N[(-2.0 / N[(N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if h < -3.99999999999979e-311

   1. Initial program 65.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 61.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 63.4%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\color{blue}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\frac{\ell}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{M}{d \cdot 2}\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \left(d \cdot 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{d}{D \cdot M}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \left(D \cdot M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 60.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 60.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}}\right) \]

   9. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       3. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       9. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       10. neg-sub0 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       11. --lowering--.f64 70.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 70.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right) \]

   if -3.99999999999979e-311 < h < 1.3200000000000001e-92

   1. Initial program 59.6%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 55.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{h}} \cdot \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{d}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}{d}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}{d}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 68.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 68.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell}}{d}}} \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\ell}}\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 74.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell}}{d}} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M}}{\frac{D}{\frac{2}{\frac{M}{d}}}}}}\right) \]

   if 1.3200000000000001e-92 < h

   1. Initial program 62.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 62.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 65.3%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]

   8. Applied egg-rr 66.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{0.25}}\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}}\right)}{\sqrt{h} \cdot \color{blue}{\sqrt{\ell}}} \]

      2. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}}\right)}{\sqrt{h}}}{\color{blue}{{\ell}^{\frac{1}{2}}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}}\right)}{\sqrt{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

   10. Applied egg-rr 78.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{d \cdot \frac{1 + \frac{\frac{h}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M}}{0.25 \cdot \frac{D}{\frac{-2}{\frac{D \cdot M}{d}}}}}}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 74.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -4 \cdot 10^{-311}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(-1 - \left(h \cdot \left(D \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 1.32 \cdot 10^{-92}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell}}{d}} \cdot \left(\frac{\frac{h \cdot \left(D \cdot -0.25\right)}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M}}{\frac{D}{\frac{2}{\frac{M}{d}}}}} + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d \cdot \frac{\frac{\frac{h}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M}}{0.25 \cdot \frac{D}{\frac{-2}{\frac{D \cdot M}{d}}}}} + 1}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 76.9% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := h \cdot \left(D\_m \cdot -0.25\right)\\ \mathbf{if}\;h \leq -4 \cdot 10^{-311}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(-1 - t\_0 \cdot \frac{\frac{\frac{M\_m}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D\_m \cdot M\_m}}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 4 \cdot 10^{-82}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell}}{d}} \cdot \left(\frac{\frac{t\_0}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M\_m}}{\frac{D\_m}{\frac{2}{\frac{M\_m}{d}}}}} + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{h \cdot \left(\frac{D\_m \cdot \left(M\_m \cdot \left(M\_m \cdot \frac{\frac{D\_m}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell} + 1\right) \cdot \frac{\frac{d}{\sqrt{\ell}}}{\sqrt{h}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* h (* D_m -0.25))))
   (if (<= h -4e-311)
     (*
      (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l))))
      (- -1.0 (* t_0 (/ (/ (/ M_m (* d 2.0)) (/ d (* D_m M_m))) l))))
     (if (<= h 4e-82)
       (*
        (/ 1.0 (/ (sqrt (* h l)) d))
        (+ (/ (/ t_0 l) (/ (/ d M_m) (/ D_m (/ 2.0 (/ M_m d))))) 1.0))
       (*
        (+
         (/ (* h (* (/ (* D_m (* M_m (* M_m (/ (/ D_m d) 2.0)))) d) -0.25)) l)
         1.0)
        (/ (/ d (sqrt l)) (sqrt h)))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = h * (D_m * -0.25);
	double tmp;
	if (h <= -4e-311) {
		tmp = (d * sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - (t_0 * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	} else if (h <= 4e-82) {
		tmp = (1.0 / (sqrt((h * l)) / d)) * (((t_0 / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0);
	} else {
		tmp = (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0) * ((d / sqrt(l)) / sqrt(h));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = h * (d_m * (-0.25d0))
    if (h <= (-4d-311)) then
        tmp = (d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))) * ((-1.0d0) - (t_0 * (((m_m / (d * 2.0d0)) / (d / (d_m * m_m))) / l)))
    else if (h <= 4d-82) then
        tmp = (1.0d0 / (sqrt((h * l)) / d)) * (((t_0 / l) / ((d / m_m) / (d_m / (2.0d0 / (m_m / d))))) + 1.0d0)
    else
        tmp = (((h * (((d_m * (m_m * (m_m * ((d_m / d) / 2.0d0)))) / d) * (-0.25d0))) / l) + 1.0d0) * ((d / sqrt(l)) / sqrt(h))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = h * (D_m * -0.25);
	double tmp;
	if (h <= -4e-311) {
		tmp = (d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - (t_0 * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	} else if (h <= 4e-82) {
		tmp = (1.0 / (Math.sqrt((h * l)) / d)) * (((t_0 / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0);
	} else {
		tmp = (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0) * ((d / Math.sqrt(l)) / Math.sqrt(h));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = h * (D_m * -0.25)
	tmp = 0
	if h <= -4e-311:
		tmp = (d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - (t_0 * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)))
	elif h <= 4e-82:
		tmp = (1.0 / (math.sqrt((h * l)) / d)) * (((t_0 / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0)
	else:
		tmp = (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0) * ((d / math.sqrt(l)) / math.sqrt(h))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(h * Float64(D_m * -0.25))
	tmp = 0.0
	if (h <= -4e-311)
		tmp = Float64(Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l)))) * Float64(-1.0 - Float64(t_0 * Float64(Float64(Float64(M_m / Float64(d * 2.0)) / Float64(d / Float64(D_m * M_m))) / l))));
	elseif (h <= 4e-82)
		tmp = Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(h * l)) / d)) * Float64(Float64(Float64(t_0 / l) / Float64(Float64(d / M_m) / Float64(D_m / Float64(2.0 / Float64(M_m / d))))) + 1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(h * Float64(Float64(Float64(D_m * Float64(M_m * Float64(M_m * Float64(Float64(D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0) * Float64(Float64(d / sqrt(l)) / sqrt(h)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = h * (D_m * -0.25);
	tmp = 0.0;
	if (h <= -4e-311)
		tmp = (d * sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - (t_0 * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	elseif (h <= 4e-82)
		tmp = (1.0 / (sqrt((h * l)) / d)) * (((t_0 / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0);
	else
		tmp = (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0) * ((d / sqrt(l)) / sqrt(h));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(h * N[(D$95$m * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[h, -4e-311], N[(N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - N[(t$95$0 * N[(N[(N[(M$95$m / N[(d * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(d / N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, 4e-82], N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 / l), $MachinePrecision] / N[(N[(d / M$95$m), $MachinePrecision] / N[(D$95$m / N[(2.0 / N[(M$95$m / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(h * N[(N[(N[(D$95$m * N[(M$95$m * N[(M$95$m * N[(N[(D$95$m / d), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(d / N[Sqrt[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if h < -3.99999999999979e-311

   1. Initial program 65.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 61.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 63.4%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\color{blue}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\frac{\ell}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{M}{d \cdot 2}\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \left(d \cdot 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{d}{D \cdot M}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \left(D \cdot M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 60.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 60.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}}\right) \]

   9. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       3. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       9. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       10. neg-sub0 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       11. --lowering--.f64 70.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 70.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right) \]

   if -3.99999999999979e-311 < h < 4e-82

   1. Initial program 60.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 55.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{h}} \cdot \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{d}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}{d}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}{d}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 68.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 68.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell}}{d}}} \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\ell}}\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 75.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell}}{d}} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M}}{\frac{D}{\frac{2}{\frac{M}{d}}}}}}\right) \]

   if 4e-82 < h

   1. Initial program 61.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 62.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{\ell}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{\ell}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{\ell}} \cdot \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{h}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{\ell} \cdot \sqrt{h}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{d}{\sqrt{\ell} \cdot \sqrt{h}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\sqrt{\ell}}}{\sqrt{h}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{\sqrt{\ell}}\right), \left(\sqrt{h}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\sqrt{\ell}\right)\right), \left(\sqrt{h}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\ell\right)\right), \left(\sqrt{h}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 73.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\ell\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 73.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{d}{\sqrt{\ell}}}{\sqrt{h}}} \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 72.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -4 \cdot 10^{-311}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(-1 - \left(h \cdot \left(D \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 4 \cdot 10^{-82}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell}}{d}} \cdot \left(\frac{\frac{h \cdot \left(D \cdot -0.25\right)}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M}}{\frac{D}{\frac{2}{\frac{M}{d}}}}} + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell} + 1\right) \cdot \frac{\frac{d}{\sqrt{\ell}}}{\sqrt{h}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 72.8% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 7.5 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(-1 - \left(h \cdot \left(D\_m \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M\_m}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D\_m \cdot M\_m}}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;\ell \leq 3.1 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;\frac{d \cdot \left(\frac{h}{\frac{\left(d \cdot \ell\right) \cdot \frac{\frac{-2}{\frac{D\_m \cdot M\_m}{d}}}{D\_m \cdot M\_m}}{0.25}} + 1\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h}} \cdot {\ell}^{-0.5}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= l 7.5e-308)
   (*
    (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l))))
    (-
     -1.0
     (* (* h (* D_m -0.25)) (/ (/ (/ M_m (* d 2.0)) (/ d (* D_m M_m))) l))))
   (if (<= l 3.1e+53)
     (/
      (*
       d
       (+
        (/ h (/ (* (* d l) (/ (/ -2.0 (/ (* D_m M_m) d)) (* D_m M_m))) 0.25))
        1.0))
      (sqrt (* h l)))
     (* (/ d (sqrt h)) (pow l -0.5)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 7.5e-308) {
		tmp = (d * sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	} else if (l <= 3.1e+53) {
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / sqrt((h * l));
	} else {
		tmp = (d / sqrt(h)) * pow(l, -0.5);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (l <= 7.5d-308) then
        tmp = (d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))) * ((-1.0d0) - ((h * (d_m * (-0.25d0))) * (((m_m / (d * 2.0d0)) / (d / (d_m * m_m))) / l)))
    else if (l <= 3.1d+53) then
        tmp = (d * ((h / (((d * l) * (((-2.0d0) / ((d_m * m_m) / d)) / (d_m * m_m))) / 0.25d0)) + 1.0d0)) / sqrt((h * l))
    else
        tmp = (d / sqrt(h)) * (l ** (-0.5d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 7.5e-308) {
		tmp = (d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	} else if (l <= 3.1e+53) {
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / Math.sqrt((h * l));
	} else {
		tmp = (d / Math.sqrt(h)) * Math.pow(l, -0.5);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if l <= 7.5e-308:
		tmp = (d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)))
	elif l <= 3.1e+53:
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / math.sqrt((h * l))
	else:
		tmp = (d / math.sqrt(h)) * math.pow(l, -0.5)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (l <= 7.5e-308)
		tmp = Float64(Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l)))) * Float64(-1.0 - Float64(Float64(h * Float64(D_m * -0.25)) * Float64(Float64(Float64(M_m / Float64(d * 2.0)) / Float64(d / Float64(D_m * M_m))) / l))));
	elseif (l <= 3.1e+53)
		tmp = Float64(Float64(d * Float64(Float64(h / Float64(Float64(Float64(d * l) * Float64(Float64(-2.0 / Float64(Float64(D_m * M_m) / d)) / Float64(D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / sqrt(Float64(h * l)));
	else
		tmp = Float64(Float64(d / sqrt(h)) * (l ^ -0.5));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (l <= 7.5e-308)
		tmp = (d * sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	elseif (l <= 3.1e+53)
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / sqrt((h * l));
	else
		tmp = (d / sqrt(h)) * (l ^ -0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[l, 7.5e-308], N[(N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - N[(N[(h * N[(D$95$m * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(M$95$m / N[(d * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(d / N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[l, 3.1e+53], N[(N[(d * N[(N[(h / N[(N[(N[(d * l), $MachinePrecision] * N[(N[(-2.0 / N[(N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(d / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Power[l, -0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if l < 7.4999999999999998e-308

   1. Initial program 65.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 61.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 63.8%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\color{blue}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\frac{\ell}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{M}{d \cdot 2}\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \left(d \cdot 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{d}{D \cdot M}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \left(D \cdot M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 61.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 61.1%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}}\right) \]

   9. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       3. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       9. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       10. neg-sub0 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       11. --lowering--.f64 69.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 69.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right) \]

   if 7.4999999999999998e-308 < l < 3.10000000000000019e53

   1. Initial program 69.1%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 70.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 71.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]

   8. Applied egg-rr 85.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{0.25}}\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(h, \left(\frac{\ell \cdot \frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 86.6%

       \[\leadsto \frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\color{blue}{\frac{\left(\ell \cdot d\right) \cdot \frac{\frac{-2}{\frac{D \cdot M}{d}}}{D \cdot M}}{0.25}}}\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}} \]

   if 3.10000000000000019e53 < l

   1. Initial program 52.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 47.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 51.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 51.6%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      5. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      6. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}} \]

      7. frac-times N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}} \]

      8. pow1/2 N/A

         \[\leadsto {\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

      9. div-inv N/A

         \[\leadsto {\left(\frac{d}{h} \cdot \left(d \cdot \frac{1}{\ell}\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {\left(\left(\frac{d}{h} \cdot d\right) \cdot \frac{1}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}} \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto {\left(\left(d \cdot \frac{d}{h}\right) \cdot \frac{1}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}} \]

      12. unpow-prod-down N/A

          \[\leadsto {\left(d \cdot \frac{d}{h}\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}} \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(d \cdot \frac{d}{h}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\frac{1}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

      14. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot \frac{d}{h}}\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{1}{\ell}\right)}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      15. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h}}\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      16. sqrt-div N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h}}\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{1}{\ell}\right)}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      17. sqrt-unprod N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{h}}\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      18. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{d}{\sqrt{h}}\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\sqrt{h}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{1}{\ell}\right)}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      20. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(h\right)\right), \left({\left(\frac{1}{\color{blue}{\ell}}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      21. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(h\right)\right), \left({\left({\ell}^{-1}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      22. pow-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(h\right)\right), \left({\ell}^{\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

      23. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(h\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

      24. metadata-eval 62.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(h\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\ell, \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h}} \cdot {\ell}^{-0.5}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 73.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 7.5 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(-1 - \left(h \cdot \left(D \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;\ell \leq 3.1 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;\frac{d \cdot \left(\frac{h}{\frac{\left(d \cdot \ell\right) \cdot \frac{\frac{-2}{\frac{D \cdot M}{d}}}{D \cdot M}}{0.25}} + 1\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h}} \cdot {\ell}^{-0.5}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 72.8% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 7.5 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(-1 - \left(h \cdot \left(D\_m \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M\_m}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D\_m \cdot M\_m}}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;\ell \leq 3.1 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;\frac{d \cdot \left(\frac{h}{\frac{\left(d \cdot \ell\right) \cdot \frac{\frac{-2}{\frac{D\_m \cdot M\_m}{d}}}{D\_m \cdot M\_m}}{0.25}} + 1\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= l 7.5e-308)
   (*
    (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l))))
    (-
     -1.0
     (* (* h (* D_m -0.25)) (/ (/ (/ M_m (* d 2.0)) (/ d (* D_m M_m))) l))))
   (if (<= l 3.1e+53)
     (/
      (*
       d
       (+
        (/ h (/ (* (* d l) (/ (/ -2.0 (/ (* D_m M_m) d)) (* D_m M_m))) 0.25))
        1.0))
      (sqrt (* h l)))
     (/ (/ d (sqrt h)) (sqrt l)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 7.5e-308) {
		tmp = (d * sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	} else if (l <= 3.1e+53) {
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / sqrt((h * l));
	} else {
		tmp = (d / sqrt(h)) / sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (l <= 7.5d-308) then
        tmp = (d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))) * ((-1.0d0) - ((h * (d_m * (-0.25d0))) * (((m_m / (d * 2.0d0)) / (d / (d_m * m_m))) / l)))
    else if (l <= 3.1d+53) then
        tmp = (d * ((h / (((d * l) * (((-2.0d0) / ((d_m * m_m) / d)) / (d_m * m_m))) / 0.25d0)) + 1.0d0)) / sqrt((h * l))
    else
        tmp = (d / sqrt(h)) / sqrt(l)
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 7.5e-308) {
		tmp = (d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	} else if (l <= 3.1e+53) {
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / Math.sqrt((h * l));
	} else {
		tmp = (d / Math.sqrt(h)) / Math.sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if l <= 7.5e-308:
		tmp = (d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)))
	elif l <= 3.1e+53:
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / math.sqrt((h * l))
	else:
		tmp = (d / math.sqrt(h)) / math.sqrt(l)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (l <= 7.5e-308)
		tmp = Float64(Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l)))) * Float64(-1.0 - Float64(Float64(h * Float64(D_m * -0.25)) * Float64(Float64(Float64(M_m / Float64(d * 2.0)) / Float64(d / Float64(D_m * M_m))) / l))));
	elseif (l <= 3.1e+53)
		tmp = Float64(Float64(d * Float64(Float64(h / Float64(Float64(Float64(d * l) * Float64(Float64(-2.0 / Float64(Float64(D_m * M_m) / d)) / Float64(D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / sqrt(Float64(h * l)));
	else
		tmp = Float64(Float64(d / sqrt(h)) / sqrt(l));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (l <= 7.5e-308)
		tmp = (d * sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - ((h * (D_m * -0.25)) * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	elseif (l <= 3.1e+53)
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / sqrt((h * l));
	else
		tmp = (d / sqrt(h)) / sqrt(l);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[l, 7.5e-308], N[(N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - N[(N[(h * N[(D$95$m * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(M$95$m / N[(d * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(d / N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[l, 3.1e+53], N[(N[(d * N[(N[(h / N[(N[(N[(d * l), $MachinePrecision] * N[(N[(-2.0 / N[(N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(d / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if l < 7.4999999999999998e-308

   1. Initial program 65.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 61.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 63.8%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\color{blue}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\frac{\ell}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{M}{d \cdot 2}\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \left(d \cdot 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{d}{D \cdot M}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \left(D \cdot M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 61.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 61.1%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}}\right) \]

   9. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       3. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       9. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       10. neg-sub0 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       11. --lowering--.f64 69.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 69.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right) \]

   if 7.4999999999999998e-308 < l < 3.10000000000000019e53

   1. Initial program 69.1%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 70.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 71.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]

   8. Applied egg-rr 85.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{0.25}}\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(h, \left(\frac{\ell \cdot \frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 86.6%

       \[\leadsto \frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\color{blue}{\frac{\left(\ell \cdot d\right) \cdot \frac{\frac{-2}{\frac{D \cdot M}{d}}}{D \cdot M}}{0.25}}}\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}} \]

   if 3.10000000000000019e53 < l

   1. Initial program 52.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 47.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 51.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 51.6%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      4. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\sqrt{h} \cdot \color{blue}{\sqrt{\ell}}} \]

      5. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}} \]

      6. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{d}{\sqrt{h}}}{\color{blue}{{\ell}^{\frac{1}{2}}}} \]

      7. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{h}}}{{\ell}^{\frac{1}{2}}} \]

      8. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h}}}{{\ell}^{\frac{1}{2}}} \]

      9. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{d \cdot d}{h}}}{{\color{blue}{\ell}}^{\frac{1}{2}}} \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot \frac{d}{h}}}{{\ell}^{\frac{1}{2}}} \]

      11. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(d \cdot \frac{d}{h}\right)}^{\frac{1}{2}}}{{\color{blue}{\ell}}^{\frac{1}{2}}} \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(d \cdot \frac{d}{h}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{\frac{1}{2}}\right)}\right) \]

      13. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot \frac{d}{h}}\right), \left({\color{blue}{\ell}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      14. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h}}\right), \left({\ell}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      15. sqrt-div N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h}}\right), \left({\color{blue}{\ell}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      16. sqrt-unprod N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{h}}\right), \left({\ell}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      17. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{\sqrt{h}}\right), \left({\ell}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      18. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\sqrt{h}\right)\right), \left({\color{blue}{\ell}}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      19. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(h\right)\right), \left({\ell}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      20. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(h\right)\right), \left(\sqrt{\ell}\right)\right) \]

      21. sqrt-lowering-sqrt.f64 62.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\ell\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 62.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{d}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 73.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 7.5 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(-1 - \left(h \cdot \left(D \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;\ell \leq 3.1 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;\frac{d \cdot \left(\frac{h}{\frac{\left(d \cdot \ell\right) \cdot \frac{\frac{-2}{\frac{D \cdot M}{d}}}{D \cdot M}}{0.25}} + 1\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 74.3% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := h \cdot \left(D\_m \cdot -0.25\right)\\ t_1 := \sqrt{h \cdot \ell}\\ \mathbf{if}\;h \leq -4 \cdot 10^{-311}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(-1 - t\_0 \cdot \frac{\frac{\frac{M\_m}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D\_m \cdot M\_m}}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 10^{-120}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{t\_1}{d}} \cdot \left(\frac{\frac{t\_0}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M\_m}}{\frac{D\_m}{\frac{2}{\frac{M\_m}{d}}}}} + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d \cdot \left(\frac{h}{\frac{\left(d \cdot \ell\right) \cdot \frac{\frac{-2}{\frac{D\_m \cdot M\_m}{d}}}{D\_m \cdot M\_m}}{0.25}} + 1\right)}{t\_1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* h (* D_m -0.25))) (t_1 (sqrt (* h l))))
   (if (<= h -4e-311)
     (*
      (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l))))
      (- -1.0 (* t_0 (/ (/ (/ M_m (* d 2.0)) (/ d (* D_m M_m))) l))))
     (if (<= h 1e-120)
       (*
        (/ 1.0 (/ t_1 d))
        (+ (/ (/ t_0 l) (/ (/ d M_m) (/ D_m (/ 2.0 (/ M_m d))))) 1.0))
       (/
        (*
         d
         (+
          (/ h (/ (* (* d l) (/ (/ -2.0 (/ (* D_m M_m) d)) (* D_m M_m))) 0.25))
          1.0))
        t_1)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = h * (D_m * -0.25);
	double t_1 = sqrt((h * l));
	double tmp;
	if (h <= -4e-311) {
		tmp = (d * sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - (t_0 * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	} else if (h <= 1e-120) {
		tmp = (1.0 / (t_1 / d)) * (((t_0 / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0);
	} else {
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = h * (d_m * (-0.25d0))
    t_1 = sqrt((h * l))
    if (h <= (-4d-311)) then
        tmp = (d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))) * ((-1.0d0) - (t_0 * (((m_m / (d * 2.0d0)) / (d / (d_m * m_m))) / l)))
    else if (h <= 1d-120) then
        tmp = (1.0d0 / (t_1 / d)) * (((t_0 / l) / ((d / m_m) / (d_m / (2.0d0 / (m_m / d))))) + 1.0d0)
    else
        tmp = (d * ((h / (((d * l) * (((-2.0d0) / ((d_m * m_m) / d)) / (d_m * m_m))) / 0.25d0)) + 1.0d0)) / t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = h * (D_m * -0.25);
	double t_1 = Math.sqrt((h * l));
	double tmp;
	if (h <= -4e-311) {
		tmp = (d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - (t_0 * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	} else if (h <= 1e-120) {
		tmp = (1.0 / (t_1 / d)) * (((t_0 / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0);
	} else {
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = h * (D_m * -0.25)
	t_1 = math.sqrt((h * l))
	tmp = 0
	if h <= -4e-311:
		tmp = (d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - (t_0 * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)))
	elif h <= 1e-120:
		tmp = (1.0 / (t_1 / d)) * (((t_0 / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0)
	else:
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / t_1
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(h * Float64(D_m * -0.25))
	t_1 = sqrt(Float64(h * l))
	tmp = 0.0
	if (h <= -4e-311)
		tmp = Float64(Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l)))) * Float64(-1.0 - Float64(t_0 * Float64(Float64(Float64(M_m / Float64(d * 2.0)) / Float64(d / Float64(D_m * M_m))) / l))));
	elseif (h <= 1e-120)
		tmp = Float64(Float64(1.0 / Float64(t_1 / d)) * Float64(Float64(Float64(t_0 / l) / Float64(Float64(d / M_m) / Float64(D_m / Float64(2.0 / Float64(M_m / d))))) + 1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(d * Float64(Float64(h / Float64(Float64(Float64(d * l) * Float64(Float64(-2.0 / Float64(Float64(D_m * M_m) / d)) / Float64(D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / t_1);
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = h * (D_m * -0.25);
	t_1 = sqrt((h * l));
	tmp = 0.0;
	if (h <= -4e-311)
		tmp = (d * sqrt((1.0 / (h * l)))) * (-1.0 - (t_0 * (((M_m / (d * 2.0)) / (d / (D_m * M_m))) / l)));
	elseif (h <= 1e-120)
		tmp = (1.0 / (t_1 / d)) * (((t_0 / l) / ((d / M_m) / (D_m / (2.0 / (M_m / d))))) + 1.0);
	else
		tmp = (d * ((h / (((d * l) * ((-2.0 / ((D_m * M_m) / d)) / (D_m * M_m))) / 0.25)) + 1.0)) / t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(h * N[(D$95$m * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[h, -4e-311], N[(N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - N[(t$95$0 * N[(N[(N[(M$95$m / N[(d * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(d / N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, 1e-120], N[(N[(1.0 / N[(t$95$1 / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 / l), $MachinePrecision] / N[(N[(d / M$95$m), $MachinePrecision] / N[(D$95$m / N[(2.0 / N[(M$95$m / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(d * N[(N[(h / N[(N[(N[(d * l), $MachinePrecision] * N[(N[(-2.0 / N[(N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if h < -3.99999999999979e-311

   1. Initial program 65.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 61.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 63.4%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\color{blue}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\frac{\ell}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{M}{d \cdot 2}\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \left(d \cdot 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{d}{D \cdot M}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \left(D \cdot M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 60.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 60.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}}\right) \]

   9. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       3. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       9. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       10. neg-sub0 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

       11. --lowering--.f64 70.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 70.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right) \]

   if -3.99999999999979e-311 < h < 9.99999999999999979e-121

   1. Initial program 58.1%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 56.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{h}} \cdot \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{d}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}{d}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}{d}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 71.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 71.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell}}{d}}} \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), d\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\ell}}\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 74.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell}}{d}} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M}}{\frac{D}{\frac{2}{\frac{M}{d}}}}}}\right) \]

   if 9.99999999999999979e-121 < h

   1. Initial program 62.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 61.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 65.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]

   8. Applied egg-rr 65.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{0.25}}\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(h, \left(\frac{\ell \cdot \frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 69.3%

       \[\leadsto \frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\color{blue}{\frac{\left(\ell \cdot d\right) \cdot \frac{\frac{-2}{\frac{D \cdot M}{d}}}{D \cdot M}}{0.25}}}\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 71.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -4 \cdot 10^{-311}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(-1 - \left(h \cdot \left(D \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 10^{-120}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell}}{d}} \cdot \left(\frac{\frac{h \cdot \left(D \cdot -0.25\right)}{\ell}}{\frac{\frac{d}{M}}{\frac{D}{\frac{2}{\frac{M}{d}}}}} + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d \cdot \left(\frac{h}{\frac{\left(d \cdot \ell\right) \cdot \frac{\frac{-2}{\frac{D \cdot M}{d}}}{D \cdot M}}{0.25}} + 1\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 63.9% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{M\_m}{d \cdot 2}\\ \mathbf{if}\;d \leq -8 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}{\frac{\ell}{d}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -2 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\left(\left(h \cdot \left(D\_m \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{\frac{t\_0}{\frac{d}{D\_m \cdot M\_m}}}{\ell} + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{\frac{h}{\frac{d}{\ell}}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(\frac{h \cdot \frac{D\_m \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M\_m}}{D\_m}}{t\_0}}}{\ell} + 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ M_m (* d 2.0))))
   (if (<= d -8e+102)
     (/ (sqrt (/ l h)) (/ l d))
     (if (<= d -2e-310)
       (*
        (+ (* (* h (* D_m -0.25)) (/ (/ t_0 (/ d (* D_m M_m))) l)) 1.0)
        (sqrt (/ d (/ h (/ d l)))))
       (*
        (/ d (sqrt (* h l)))
        (+ (/ (* h (/ (* D_m -0.25) (/ (/ (/ d M_m) D_m) t_0))) l) 1.0))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = M_m / (d * 2.0);
	double tmp;
	if (d <= -8e+102) {
		tmp = sqrt((l / h)) / (l / d);
	} else if (d <= -2e-310) {
		tmp = (((h * (D_m * -0.25)) * ((t_0 / (d / (D_m * M_m))) / l)) + 1.0) * sqrt((d / (h / (d / l))));
	} else {
		tmp = (d / sqrt((h * l))) * (((h * ((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / t_0))) / l) + 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = m_m / (d * 2.0d0)
    if (d <= (-8d+102)) then
        tmp = sqrt((l / h)) / (l / d)
    else if (d <= (-2d-310)) then
        tmp = (((h * (d_m * (-0.25d0))) * ((t_0 / (d / (d_m * m_m))) / l)) + 1.0d0) * sqrt((d / (h / (d / l))))
    else
        tmp = (d / sqrt((h * l))) * (((h * ((d_m * (-0.25d0)) / (((d / m_m) / d_m) / t_0))) / l) + 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = M_m / (d * 2.0);
	double tmp;
	if (d <= -8e+102) {
		tmp = Math.sqrt((l / h)) / (l / d);
	} else if (d <= -2e-310) {
		tmp = (((h * (D_m * -0.25)) * ((t_0 / (d / (D_m * M_m))) / l)) + 1.0) * Math.sqrt((d / (h / (d / l))));
	} else {
		tmp = (d / Math.sqrt((h * l))) * (((h * ((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / t_0))) / l) + 1.0);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = M_m / (d * 2.0)
	tmp = 0
	if d <= -8e+102:
		tmp = math.sqrt((l / h)) / (l / d)
	elif d <= -2e-310:
		tmp = (((h * (D_m * -0.25)) * ((t_0 / (d / (D_m * M_m))) / l)) + 1.0) * math.sqrt((d / (h / (d / l))))
	else:
		tmp = (d / math.sqrt((h * l))) * (((h * ((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / t_0))) / l) + 1.0)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(M_m / Float64(d * 2.0))
	tmp = 0.0
	if (d <= -8e+102)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(l / h)) / Float64(l / d));
	elseif (d <= -2e-310)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(h * Float64(D_m * -0.25)) * Float64(Float64(t_0 / Float64(d / Float64(D_m * M_m))) / l)) + 1.0) * sqrt(Float64(d / Float64(h / Float64(d / l)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(d / sqrt(Float64(h * l))) * Float64(Float64(Float64(h * Float64(Float64(D_m * -0.25) / Float64(Float64(Float64(d / M_m) / D_m) / t_0))) / l) + 1.0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = M_m / (d * 2.0);
	tmp = 0.0;
	if (d <= -8e+102)
		tmp = sqrt((l / h)) / (l / d);
	elseif (d <= -2e-310)
		tmp = (((h * (D_m * -0.25)) * ((t_0 / (d / (D_m * M_m))) / l)) + 1.0) * sqrt((d / (h / (d / l))));
	else
		tmp = (d / sqrt((h * l))) * (((h * ((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / t_0))) / l) + 1.0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(M$95$m / N[(d * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[d, -8e+102], N[(N[Sqrt[N[(l / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(l / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, -2e-310], N[(N[(N[(N[(h * N[(D$95$m * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$0 / N[(d / N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(d / N[(h / N[(d / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(h * N[(N[(D$95$m * -0.25), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(d / M$95$m), $MachinePrecision] / D$95$m), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if d < -7.99999999999999982e102

   1. Initial program 69.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 67.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in l around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{h \cdot \ell}\right) + d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}}{{\ell}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{h \cdot \ell}\right) + d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{2}\right)}\right) \]

   7. Simplified 0.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell} \cdot \left(\left(D \cdot D\right) \cdot \frac{-0.125 \cdot \left(M \cdot M\right)}{d}\right) + d \cdot \sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell \cdot \ell}} \]

   8. Taylor expanded in h around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\ell}, \ell\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\ell}^{3}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      3. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot {\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      5. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{{\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 0.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

   10. Simplified 0.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{d \cdot \sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}}{\ell \cdot \ell} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}} \cdot d}{\color{blue}{\ell} \cdot \ell} \]

       2. times-frac N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{d}{\ell}} \]

       3. clear-num N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{d}}} \]

       4. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell}}{\color{blue}{\frac{\ell}{d}}} \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\ell}{d}\right)}\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{\ell}}{d}\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       8. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{1}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       9. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(\frac{h}{\ell \cdot \ell}\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 0.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \color{blue}{d}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 0.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{\frac{\ell}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}}}{\ell}}{\frac{\ell}{d}}} \]

   13. Taylor expanded in l around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\ell}{h}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{h}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\ell}, d\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 65.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, h\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right) \]

   15. Simplified 65.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}}{\frac{\ell}{d}} \]

   if -7.99999999999999982e102 < d < -1.999999999999994e-310

   1. Initial program 63.4%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 58.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 59.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)}{\color{blue}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\ell \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{1}{\frac{\ell}{\color{blue}{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{M}{d \cdot 2}\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \left(d \cdot 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \left(\frac{d}{D \cdot M}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \left(D \cdot M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 58.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{\ell}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{h}{d}}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{\ell \cdot \frac{h}{d}}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell \cdot \frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\ell \cdot \frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\frac{\ell \cdot h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\frac{h \cdot \ell}{d}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(h \cdot \frac{\ell}{d}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      11. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(h \cdot \frac{1}{\frac{d}{\ell}}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      12. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\frac{h}{\frac{d}{\ell}}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{/.f64}\left(h, \left(\frac{d}{\ell}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 48.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), h\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(D, M\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 48.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{d}{\frac{h}{\frac{d}{\ell}}}}} \cdot \left(1 + \left(\left(D \cdot -0.25\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right) \]

   if -1.999999999999994e-310 < d

   1. Initial program 61.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 59.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 63.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 69.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 69.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 64.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -8 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}{\frac{\ell}{d}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -2 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\left(\left(h \cdot \left(D \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell} + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{\frac{h}{\frac{d}{\ell}}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(\frac{h \cdot \frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell} + 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 64.4% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{h \cdot \frac{D\_m \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M\_m}}{D\_m}}{\frac{M\_m}{d \cdot 2}}}}{\ell} + 1\\ \mathbf{if}\;\ell \leq 7.5 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          (/ (* h (/ (* D_m -0.25) (/ (/ (/ d M_m) D_m) (/ M_m (* d 2.0))))) l)
          1.0)))
   (if (<= l 7.5e-308)
     (* t_0 (sqrt (* (/ d l) (/ d h))))
     (* (/ d (sqrt (* h l))) t_0))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = ((h * ((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / (M_m / (d * 2.0))))) / l) + 1.0;
	double tmp;
	if (l <= 7.5e-308) {
		tmp = t_0 * sqrt(((d / l) * (d / h)));
	} else {
		tmp = (d / sqrt((h * l))) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = ((h * ((d_m * (-0.25d0)) / (((d / m_m) / d_m) / (m_m / (d * 2.0d0))))) / l) + 1.0d0
    if (l <= 7.5d-308) then
        tmp = t_0 * sqrt(((d / l) * (d / h)))
    else
        tmp = (d / sqrt((h * l))) * t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = ((h * ((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / (M_m / (d * 2.0))))) / l) + 1.0;
	double tmp;
	if (l <= 7.5e-308) {
		tmp = t_0 * Math.sqrt(((d / l) * (d / h)));
	} else {
		tmp = (d / Math.sqrt((h * l))) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = ((h * ((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / (M_m / (d * 2.0))))) / l) + 1.0
	tmp = 0
	if l <= 7.5e-308:
		tmp = t_0 * math.sqrt(((d / l) * (d / h)))
	else:
		tmp = (d / math.sqrt((h * l))) * t_0
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(Float64(Float64(h * Float64(Float64(D_m * -0.25) / Float64(Float64(Float64(d / M_m) / D_m) / Float64(M_m / Float64(d * 2.0))))) / l) + 1.0)
	tmp = 0.0
	if (l <= 7.5e-308)
		tmp = Float64(t_0 * sqrt(Float64(Float64(d / l) * Float64(d / h))));
	else
		tmp = Float64(Float64(d / sqrt(Float64(h * l))) * t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = ((h * ((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / (M_m / (d * 2.0))))) / l) + 1.0;
	tmp = 0.0;
	if (l <= 7.5e-308)
		tmp = t_0 * sqrt(((d / l) * (d / h)));
	else
		tmp = (d / sqrt((h * l))) * t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(h * N[(N[(D$95$m * -0.25), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(d / M$95$m), $MachinePrecision] / D$95$m), $MachinePrecision] / N[(M$95$m / N[(d * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[l, 7.5e-308], N[(t$95$0 * N[Sqrt[N[(N[(d / l), $MachinePrecision] * N[(d / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if l < 7.4999999999999998e-308

   1. Initial program 65.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 61.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 63.8%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{h}{d}} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot d}{\frac{h}{d} \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{\frac{h}{d} \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\frac{h}{d} \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\ell \cdot \frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 49.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 49.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{d}{\ell \cdot \frac{h}{d}}}} \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell}\right), \left(\frac{d}{h}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \left(\frac{d}{h}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 52.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 52.2%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}}} \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right) \]

   if 7.4999999999999998e-308 < l

   1. Initial program 61.0%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 59.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 63.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 70.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 70.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 63.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 7.5 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{h \cdot \frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell} + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(\frac{h \cdot \frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell} + 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 63.4% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 7.5 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{M\_m \cdot \left(\left(h \cdot D\_m\right) \cdot -0.125\right)}{d \cdot \frac{\ell}{\frac{D\_m \cdot M\_m}{d}}} + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(\frac{h \cdot \frac{D\_m \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M\_m}}{D\_m}}{\frac{M\_m}{d \cdot 2}}}}{\ell} + 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= l 7.5e-308)
   (*
    (+ (/ (* M_m (* (* h D_m) -0.125)) (* d (/ l (/ (* D_m M_m) d)))) 1.0)
    (sqrt (* (/ d l) (/ d h))))
   (*
    (/ d (sqrt (* h l)))
    (+
     (/ (* h (/ (* D_m -0.25) (/ (/ (/ d M_m) D_m) (/ M_m (* d 2.0))))) l)
     1.0))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 7.5e-308) {
		tmp = (((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / (d * (l / ((D_m * M_m) / d)))) + 1.0) * sqrt(((d / l) * (d / h)));
	} else {
		tmp = (d / sqrt((h * l))) * (((h * ((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / (M_m / (d * 2.0))))) / l) + 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (l <= 7.5d-308) then
        tmp = (((m_m * ((h * d_m) * (-0.125d0))) / (d * (l / ((d_m * m_m) / d)))) + 1.0d0) * sqrt(((d / l) * (d / h)))
    else
        tmp = (d / sqrt((h * l))) * (((h * ((d_m * (-0.25d0)) / (((d / m_m) / d_m) / (m_m / (d * 2.0d0))))) / l) + 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 7.5e-308) {
		tmp = (((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / (d * (l / ((D_m * M_m) / d)))) + 1.0) * Math.sqrt(((d / l) * (d / h)));
	} else {
		tmp = (d / Math.sqrt((h * l))) * (((h * ((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / (M_m / (d * 2.0))))) / l) + 1.0);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if l <= 7.5e-308:
		tmp = (((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / (d * (l / ((D_m * M_m) / d)))) + 1.0) * math.sqrt(((d / l) * (d / h)))
	else:
		tmp = (d / math.sqrt((h * l))) * (((h * ((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / (M_m / (d * 2.0))))) / l) + 1.0)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (l <= 7.5e-308)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(M_m * Float64(Float64(h * D_m) * -0.125)) / Float64(d * Float64(l / Float64(Float64(D_m * M_m) / d)))) + 1.0) * sqrt(Float64(Float64(d / l) * Float64(d / h))));
	else
		tmp = Float64(Float64(d / sqrt(Float64(h * l))) * Float64(Float64(Float64(h * Float64(Float64(D_m * -0.25) / Float64(Float64(Float64(d / M_m) / D_m) / Float64(M_m / Float64(d * 2.0))))) / l) + 1.0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (l <= 7.5e-308)
		tmp = (((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / (d * (l / ((D_m * M_m) / d)))) + 1.0) * sqrt(((d / l) * (d / h)));
	else
		tmp = (d / sqrt((h * l))) * (((h * ((D_m * -0.25) / (((d / M_m) / D_m) / (M_m / (d * 2.0))))) / l) + 1.0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[l, 7.5e-308], N[(N[(N[(N[(M$95$m * N[(N[(h * D$95$m), $MachinePrecision] * -0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(d * N[(l / N[(N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(N[(d / l), $MachinePrecision] * N[(d / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(h * N[(N[(D$95$m * -0.25), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(d / M$95$m), $MachinePrecision] / D$95$m), $MachinePrecision] / N[(M$95$m / N[(d * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if l < 7.4999999999999998e-308

   1. Initial program 65.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 61.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   6. Applied egg-rr 62.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\frac{\ell}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{D \cdot \frac{-1}{4}}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell} \cdot h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\frac{D \cdot \frac{-1}{4}}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      4. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\frac{d}{D \cdot M}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      6. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}{\ell} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      11. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\ell \cdot \frac{\frac{d}{M}}{D}} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)}{\ell \cdot \frac{\frac{d}{M}}{D}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 65.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{\left(\frac{M}{d \cdot 2} \cdot \left(D \cdot \left(-0.25 \cdot h\right)\right)\right) \cdot \frac{\frac{D}{\frac{d}{M}}}{\ell}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}} \]

   10. Applied egg-rr 50.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \frac{M \cdot \left(\left(D \cdot h\right) \cdot -0.125\right)}{\frac{\ell}{\frac{D \cdot M}{d}} \cdot d}\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}} \]

   if 7.4999999999999998e-308 < l

   1. Initial program 61.0%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 59.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 63.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 70.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(d, 2\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 70.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 7.5 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{M \cdot \left(\left(h \cdot D\right) \cdot -0.125\right)}{d \cdot \frac{\ell}{\frac{D \cdot M}{d}}} + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(\frac{h \cdot \frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell} + 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 62.5% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 1.12 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{M\_m \cdot \left(\left(h \cdot D\_m\right) \cdot -0.125\right)}{d \cdot \frac{\ell}{\frac{D\_m \cdot M\_m}{d}}} + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{h \cdot \left(\frac{D\_m \cdot \left(M\_m \cdot \left(M\_m \cdot \frac{\frac{D\_m}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell} + 1\right) \cdot \frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= l 1.12e-305)
   (*
    (+ (/ (* M_m (* (* h D_m) -0.125)) (* d (/ l (/ (* D_m M_m) d)))) 1.0)
    (sqrt (* (/ d l) (/ d h))))
   (*
    (+
     (/ (* h (* (/ (* D_m (* M_m (* M_m (/ (/ D_m d) 2.0)))) d) -0.25)) l)
     1.0)
    (/ d (sqrt (* h l))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 1.12e-305) {
		tmp = (((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / (d * (l / ((D_m * M_m) / d)))) + 1.0) * sqrt(((d / l) * (d / h)));
	} else {
		tmp = (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0) * (d / sqrt((h * l)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (l <= 1.12d-305) then
        tmp = (((m_m * ((h * d_m) * (-0.125d0))) / (d * (l / ((d_m * m_m) / d)))) + 1.0d0) * sqrt(((d / l) * (d / h)))
    else
        tmp = (((h * (((d_m * (m_m * (m_m * ((d_m / d) / 2.0d0)))) / d) * (-0.25d0))) / l) + 1.0d0) * (d / sqrt((h * l)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 1.12e-305) {
		tmp = (((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / (d * (l / ((D_m * M_m) / d)))) + 1.0) * Math.sqrt(((d / l) * (d / h)));
	} else {
		tmp = (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0) * (d / Math.sqrt((h * l)));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if l <= 1.12e-305:
		tmp = (((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / (d * (l / ((D_m * M_m) / d)))) + 1.0) * math.sqrt(((d / l) * (d / h)))
	else:
		tmp = (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0) * (d / math.sqrt((h * l)))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (l <= 1.12e-305)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(M_m * Float64(Float64(h * D_m) * -0.125)) / Float64(d * Float64(l / Float64(Float64(D_m * M_m) / d)))) + 1.0) * sqrt(Float64(Float64(d / l) * Float64(d / h))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(h * Float64(Float64(Float64(D_m * Float64(M_m * Float64(M_m * Float64(Float64(D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0) * Float64(d / sqrt(Float64(h * l))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (l <= 1.12e-305)
		tmp = (((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / (d * (l / ((D_m * M_m) / d)))) + 1.0) * sqrt(((d / l) * (d / h)));
	else
		tmp = (((h * (((D_m * (M_m * (M_m * ((D_m / d) / 2.0)))) / d) * -0.25)) / l) + 1.0) * (d / sqrt((h * l)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[l, 1.12e-305], N[(N[(N[(N[(M$95$m * N[(N[(h * D$95$m), $MachinePrecision] * -0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(d * N[(l / N[(N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(N[(d / l), $MachinePrecision] * N[(d / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(h * N[(N[(N[(D$95$m * N[(M$95$m * N[(M$95$m * N[(N[(D$95$m / d), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if l < 1.1200000000000001e-305

   1. Initial program 65.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 61.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   6. Applied egg-rr 62.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\frac{\ell}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{D \cdot \frac{-1}{4}}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell} \cdot h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\frac{D \cdot \frac{-1}{4}}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      4. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\frac{d}{D \cdot M}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      6. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}{\ell} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      11. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\ell \cdot \frac{\frac{d}{M}}{D}} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)}{\ell \cdot \frac{\frac{d}{M}}{D}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 65.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{\left(\frac{M}{d \cdot 2} \cdot \left(D \cdot \left(-0.25 \cdot h\right)\right)\right) \cdot \frac{\frac{D}{\frac{d}{M}}}{\ell}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}} \]

   10. Applied egg-rr 50.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \frac{M \cdot \left(\left(D \cdot h\right) \cdot -0.125\right)}{\frac{\ell}{\frac{D \cdot M}{d}} \cdot d}\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}} \]

   if 1.1200000000000001e-305 < l

   1. Initial program 61.0%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 59.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{h}} \cdot \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{d}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\sqrt{h} \cdot \sqrt{\ell}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 65.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(D, d\right), 2\right)\right)\right)\right), d\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 65.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 1.12 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{M \cdot \left(\left(h \cdot D\right) \cdot -0.125\right)}{d \cdot \frac{\ell}{\frac{D \cdot M}{d}}} + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell} + 1\right) \cdot \frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 61.0% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 3.6 \cdot 10^{-272}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{M\_m \cdot \left(\left(h \cdot D\_m\right) \cdot -0.125\right)}{d \cdot \frac{\ell}{\frac{D\_m \cdot M\_m}{d}}} + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d + \frac{-0.125 \cdot \frac{h \cdot \left(D\_m \cdot \left(D\_m \cdot \left(M\_m \cdot M\_m\right)\right)\right)}{\ell}}{d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= l 3.6e-272)
   (*
    (+ (/ (* M_m (* (* h D_m) -0.125)) (* d (/ l (/ (* D_m M_m) d)))) 1.0)
    (sqrt (* (/ d l) (/ d h))))
   (/
    (+ d (/ (* -0.125 (/ (* h (* D_m (* D_m (* M_m M_m)))) l)) d))
    (sqrt (* h l)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 3.6e-272) {
		tmp = (((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / (d * (l / ((D_m * M_m) / d)))) + 1.0) * sqrt(((d / l) * (d / h)));
	} else {
		tmp = (d + ((-0.125 * ((h * (D_m * (D_m * (M_m * M_m)))) / l)) / d)) / sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (l <= 3.6d-272) then
        tmp = (((m_m * ((h * d_m) * (-0.125d0))) / (d * (l / ((d_m * m_m) / d)))) + 1.0d0) * sqrt(((d / l) * (d / h)))
    else
        tmp = (d + (((-0.125d0) * ((h * (d_m * (d_m * (m_m * m_m)))) / l)) / d)) / sqrt((h * l))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 3.6e-272) {
		tmp = (((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / (d * (l / ((D_m * M_m) / d)))) + 1.0) * Math.sqrt(((d / l) * (d / h)));
	} else {
		tmp = (d + ((-0.125 * ((h * (D_m * (D_m * (M_m * M_m)))) / l)) / d)) / Math.sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if l <= 3.6e-272:
		tmp = (((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / (d * (l / ((D_m * M_m) / d)))) + 1.0) * math.sqrt(((d / l) * (d / h)))
	else:
		tmp = (d + ((-0.125 * ((h * (D_m * (D_m * (M_m * M_m)))) / l)) / d)) / math.sqrt((h * l))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (l <= 3.6e-272)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(M_m * Float64(Float64(h * D_m) * -0.125)) / Float64(d * Float64(l / Float64(Float64(D_m * M_m) / d)))) + 1.0) * sqrt(Float64(Float64(d / l) * Float64(d / h))));
	else
		tmp = Float64(Float64(d + Float64(Float64(-0.125 * Float64(Float64(h * Float64(D_m * Float64(D_m * Float64(M_m * M_m)))) / l)) / d)) / sqrt(Float64(h * l)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (l <= 3.6e-272)
		tmp = (((M_m * ((h * D_m) * -0.125)) / (d * (l / ((D_m * M_m) / d)))) + 1.0) * sqrt(((d / l) * (d / h)));
	else
		tmp = (d + ((-0.125 * ((h * (D_m * (D_m * (M_m * M_m)))) / l)) / d)) / sqrt((h * l));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[l, 3.6e-272], N[(N[(N[(N[(M$95$m * N[(N[(h * D$95$m), $MachinePrecision] * -0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(d * N[(l / N[(N[(D$95$m * M$95$m), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(N[(d / l), $MachinePrecision] * N[(d / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(d + N[(N[(-0.125 * N[(N[(h * N[(D$95$m * N[(D$95$m * N[(M$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if l < 3.59999999999999968e-272

   1. Initial program 66.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   6. Applied egg-rr 63.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\frac{\ell}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{D \cdot \frac{-1}{4}}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell} \cdot h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\frac{D \cdot \frac{-1}{4}}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      4. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\frac{d}{D \cdot M}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \frac{\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      6. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(h \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(h \cdot \left(D \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right) \cdot \frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{d}{D \cdot M}}}{\ell} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\frac{\frac{d}{M}}{D}}}{\ell} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      11. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2}}{\ell \cdot \frac{\frac{d}{M}}{D}} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{M}{d \cdot 2} \cdot \left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot h\right)}{\ell \cdot \frac{\frac{d}{M}}{D}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 66.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{\left(\frac{M}{d \cdot 2} \cdot \left(D \cdot \left(-0.25 \cdot h\right)\right)\right) \cdot \frac{\frac{D}{\frac{d}{M}}}{\ell}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \sqrt{\frac{d}{h}} \]

   10. Applied egg-rr 52.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \frac{M \cdot \left(\left(D \cdot h\right) \cdot -0.125\right)}{\frac{\ell}{\frac{D \cdot M}{d}} \cdot d}\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}} \]

   if 3.59999999999999968e-272 < l

   1. Initial program 60.2%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 58.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 62.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]

   8. Applied egg-rr 67.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{0.25}}\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

   9. Taylor expanded in h around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(d + \frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{d \cdot \ell}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(d + \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{d \cdot \ell} \cdot \frac{-1}{8}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(d + \left({D}^{2} \cdot \frac{{M}^{2} \cdot h}{d \cdot \ell}\right) \cdot \frac{-1}{8}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(d + {D}^{2} \cdot \left(\frac{{M}^{2} \cdot h}{d \cdot \ell} \cdot \frac{-1}{8}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(d + {D}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2} \cdot h}{d \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left({D}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2} \cdot h}{d \cdot \ell}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)}\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2} \cdot h}{d \cdot \ell}\right) \cdot {D}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{M}^{2} \cdot h}{d \cdot \ell} \cdot {D}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left(\frac{-1}{8} \cdot \left({D}^{2} \cdot \frac{{M}^{2} \cdot h}{d \cdot \ell}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       9. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{d \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       10. associate-*r/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left({D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)\right)}{d \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

       11. associate-/l/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left(\frac{\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left({D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)\right)}{\ell}}{d}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

       12. associate-*r/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{\ell}}{d}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{\ell}\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 58.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{d + \frac{-0.125 \cdot \frac{h \cdot \left(D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot M\right)\right)\right)}{\ell}}{d}}}{\sqrt{h \cdot \ell}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 56.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 3.6 \cdot 10^{-272}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{M \cdot \left(\left(h \cdot D\right) \cdot -0.125\right)}{d \cdot \frac{\ell}{\frac{D \cdot M}{d}}} + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d + \frac{-0.125 \cdot \frac{h \cdot \left(D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot M\right)\right)\right)}{\ell}}{d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 41.4% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{h \cdot \ell}\\ \mathbf{if}\;\ell \leq 6 \cdot 10^{-304}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}{\frac{\ell}{d}}\\ \mathbf{elif}\;\ell \leq 5.5 \cdot 10^{-193}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125 \cdot \frac{h \cdot \left(D\_m \cdot \left(D\_m \cdot \left(M\_m \cdot M\_m\right)\right)\right)}{\ell}}{d}}{t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (* h l))))
   (if (<= l 6e-304)
     (/ (sqrt (/ l h)) (/ l d))
     (if (<= l 5.5e-193)
       (/ (/ (* -0.125 (/ (* h (* D_m (* D_m (* M_m M_m)))) l)) d) t_0)
       (/ d t_0)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = sqrt((h * l));
	double tmp;
	if (l <= 6e-304) {
		tmp = sqrt((l / h)) / (l / d);
	} else if (l <= 5.5e-193) {
		tmp = ((-0.125 * ((h * (D_m * (D_m * (M_m * M_m)))) / l)) / d) / t_0;
	} else {
		tmp = d / t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sqrt((h * l))
    if (l <= 6d-304) then
        tmp = sqrt((l / h)) / (l / d)
    else if (l <= 5.5d-193) then
        tmp = (((-0.125d0) * ((h * (d_m * (d_m * (m_m * m_m)))) / l)) / d) / t_0
    else
        tmp = d / t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = Math.sqrt((h * l));
	double tmp;
	if (l <= 6e-304) {
		tmp = Math.sqrt((l / h)) / (l / d);
	} else if (l <= 5.5e-193) {
		tmp = ((-0.125 * ((h * (D_m * (D_m * (M_m * M_m)))) / l)) / d) / t_0;
	} else {
		tmp = d / t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = math.sqrt((h * l))
	tmp = 0
	if l <= 6e-304:
		tmp = math.sqrt((l / h)) / (l / d)
	elif l <= 5.5e-193:
		tmp = ((-0.125 * ((h * (D_m * (D_m * (M_m * M_m)))) / l)) / d) / t_0
	else:
		tmp = d / t_0
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = sqrt(Float64(h * l))
	tmp = 0.0
	if (l <= 6e-304)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(l / h)) / Float64(l / d));
	elseif (l <= 5.5e-193)
		tmp = Float64(Float64(Float64(-0.125 * Float64(Float64(h * Float64(D_m * Float64(D_m * Float64(M_m * M_m)))) / l)) / d) / t_0);
	else
		tmp = Float64(d / t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = sqrt((h * l));
	tmp = 0.0;
	if (l <= 6e-304)
		tmp = sqrt((l / h)) / (l / d);
	elseif (l <= 5.5e-193)
		tmp = ((-0.125 * ((h * (D_m * (D_m * (M_m * M_m)))) / l)) / d) / t_0;
	else
		tmp = d / t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[l, 6e-304], N[(N[Sqrt[N[(l / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(l / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[l, 5.5e-193], N[(N[(N[(-0.125 * N[(N[(h * N[(D$95$m * N[(D$95$m * N[(M$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision], N[(d / t$95$0), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if l < 6.0000000000000002e-304

   1. Initial program 66.2%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 62.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in l around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{h \cdot \ell}\right) + d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}}{{\ell}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{h \cdot \ell}\right) + d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{2}\right)}\right) \]

   7. Simplified 0.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell} \cdot \left(\left(D \cdot D\right) \cdot \frac{-0.125 \cdot \left(M \cdot M\right)}{d}\right) + d \cdot \sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell \cdot \ell}} \]

   8. Taylor expanded in h around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\ell}, \ell\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\ell}^{3}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      3. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot {\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      5. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{{\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 1.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

   10. Simplified 1.5%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{d \cdot \sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}}{\ell \cdot \ell} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}} \cdot d}{\color{blue}{\ell} \cdot \ell} \]

       2. times-frac N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{d}{\ell}} \]

       3. clear-num N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{d}}} \]

       4. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell}}{\color{blue}{\frac{\ell}{d}}} \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\ell}{d}\right)}\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{\ell}}{d}\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       8. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{1}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       9. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(\frac{h}{\ell \cdot \ell}\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 1.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \color{blue}{d}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 1.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{\frac{\ell}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}}}{\ell}}{\frac{\ell}{d}}} \]

   13. Taylor expanded in l around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\ell}{h}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{h}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\ell}, d\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 44.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, h\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right) \]

   15. Simplified 44.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}}{\frac{\ell}{d}} \]

   if 6.0000000000000002e-304 < l < 5.50000000000000014e-193

   1. Initial program 77.7%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 77.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 77.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]

   8. Applied egg-rr 95.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{0.25}}\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

   9. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{d \cdot \ell}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left({D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)\right)}{d \cdot \ell}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)}\right)\right) \]

       2. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{8}}{d} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{\ell}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)}\right)\right) \]

       3. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{\ell}}{d}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)}\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{\ell}\right), d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{\ell}\right)\right), d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{h}, \ell\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f64}\left(\left({D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)\right), \ell\right)\right), d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       7. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left({D}^{2} \cdot {M}^{2}\right) \cdot h\right), \ell\right)\right), d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f64}\left(\left(h \cdot \left({D}^{2} \cdot {M}^{2}\right)\right), \ell\right)\right), d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left({D}^{2} \cdot {M}^{2}\right)\right), \ell\right)\right), d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(D \cdot D\right) \cdot {M}^{2}\right)\right), \ell\right)\right), d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       11. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(D \cdot \left(D \cdot {M}^{2}\right)\right)\right), \ell\right)\right), d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(D, \left(D \cdot {M}^{2}\right)\right)\right), \ell\right)\right), d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \left({M}^{2}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right), d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \left(M \cdot M\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right), d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 68.5%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right), d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 68.5%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-0.125 \cdot \frac{h \cdot \left(D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot M\right)\right)\right)}{\ell}}{d}}}{\sqrt{h \cdot \ell}} \]

   if 5.50000000000000014e-193 < l

   1. Initial program 58.1%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 48.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 48.7%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)}\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 49.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 49.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right)\right) \]

       3. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\left(0 - \sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot h\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 51.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 51.2%

       \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{-\left(0 - \sqrt{\ell \cdot h}\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 49.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 6 \cdot 10^{-304}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}{\frac{\ell}{d}}\\ \mathbf{elif}\;\ell \leq 5.5 \cdot 10^{-193}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125 \cdot \frac{h \cdot \left(D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot M\right)\right)\right)}{\ell}}{d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 41.2% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 6.8 \cdot 10^{-304}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}{\frac{\ell}{d}}\\ \mathbf{elif}\;\ell \leq 1.25 \cdot 10^{-192}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(D\_m \cdot \left(D\_m \cdot \left(M\_m \cdot M\_m\right)\right)\right) \cdot \left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}}\right)}{d}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= l 6.8e-304)
   (/ (sqrt (/ l h)) (/ l d))
   (if (<= l 1.25e-192)
     (/
      (* (* D_m (* D_m (* M_m M_m))) (* -0.125 (sqrt (/ h (* l (* l l))))))
      d)
     (/ d (sqrt (* h l))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 6.8e-304) {
		tmp = sqrt((l / h)) / (l / d);
	} else if (l <= 1.25e-192) {
		tmp = ((D_m * (D_m * (M_m * M_m))) * (-0.125 * sqrt((h / (l * (l * l)))))) / d;
	} else {
		tmp = d / sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (l <= 6.8d-304) then
        tmp = sqrt((l / h)) / (l / d)
    else if (l <= 1.25d-192) then
        tmp = ((d_m * (d_m * (m_m * m_m))) * ((-0.125d0) * sqrt((h / (l * (l * l)))))) / d
    else
        tmp = d / sqrt((h * l))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 6.8e-304) {
		tmp = Math.sqrt((l / h)) / (l / d);
	} else if (l <= 1.25e-192) {
		tmp = ((D_m * (D_m * (M_m * M_m))) * (-0.125 * Math.sqrt((h / (l * (l * l)))))) / d;
	} else {
		tmp = d / Math.sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if l <= 6.8e-304:
		tmp = math.sqrt((l / h)) / (l / d)
	elif l <= 1.25e-192:
		tmp = ((D_m * (D_m * (M_m * M_m))) * (-0.125 * math.sqrt((h / (l * (l * l)))))) / d
	else:
		tmp = d / math.sqrt((h * l))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (l <= 6.8e-304)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(l / h)) / Float64(l / d));
	elseif (l <= 1.25e-192)
		tmp = Float64(Float64(Float64(D_m * Float64(D_m * Float64(M_m * M_m))) * Float64(-0.125 * sqrt(Float64(h / Float64(l * Float64(l * l)))))) / d);
	else
		tmp = Float64(d / sqrt(Float64(h * l)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (l <= 6.8e-304)
		tmp = sqrt((l / h)) / (l / d);
	elseif (l <= 1.25e-192)
		tmp = ((D_m * (D_m * (M_m * M_m))) * (-0.125 * sqrt((h / (l * (l * l)))))) / d;
	else
		tmp = d / sqrt((h * l));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[l, 6.8e-304], N[(N[Sqrt[N[(l / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(l / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[l, 1.25e-192], N[(N[(N[(D$95$m * N[(D$95$m * N[(M$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(h / N[(l * N[(l * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision], N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if l < 6.7999999999999997e-304

   1. Initial program 66.2%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 62.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in l around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{h \cdot \ell}\right) + d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}}{{\ell}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{h \cdot \ell}\right) + d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{2}\right)}\right) \]

   7. Simplified 0.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell} \cdot \left(\left(D \cdot D\right) \cdot \frac{-0.125 \cdot \left(M \cdot M\right)}{d}\right) + d \cdot \sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell \cdot \ell}} \]

   8. Taylor expanded in h around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\ell}, \ell\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\ell}^{3}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      3. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot {\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      5. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{{\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 1.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

   10. Simplified 1.5%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{d \cdot \sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}}{\ell \cdot \ell} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}} \cdot d}{\color{blue}{\ell} \cdot \ell} \]

       2. times-frac N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{d}{\ell}} \]

       3. clear-num N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{d}}} \]

       4. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell}}{\color{blue}{\frac{\ell}{d}}} \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\ell}{d}\right)}\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{\ell}}{d}\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       8. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{1}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       9. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(\frac{h}{\ell \cdot \ell}\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 1.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \color{blue}{d}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 1.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{\frac{\ell}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}}}{\ell}}{\frac{\ell}{d}}} \]

   13. Taylor expanded in l around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\ell}{h}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{h}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\ell}, d\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 44.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, h\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right) \]

   15. Simplified 44.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}}{\frac{\ell}{d}} \]

   if 6.7999999999999997e-304 < l < 1.25e-192

   1. Initial program 77.7%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 77.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 77.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]

   7. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{8} \cdot \frac{\left({D}^{2} \cdot {M}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}}{\color{blue}{d}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{-1}{8} \cdot \left(\left({D}^{2} \cdot {M}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)}{\color{blue}{d}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\left({D}^{2} \cdot {M}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)\right), \color{blue}{d}\right) \]

   9. Simplified 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot M\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot -0.125\right)}{d}} \]

   if 1.25e-192 < l

   1. Initial program 58.1%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 48.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 48.7%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)}\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 49.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 49.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right)\right) \]

       3. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\left(0 - \sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot h\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 51.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 51.2%

       \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{-\left(0 - \sqrt{\ell \cdot h}\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 49.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 6.8 \cdot 10^{-304}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}{\frac{\ell}{d}}\\ \mathbf{elif}\;\ell \leq 1.25 \cdot 10^{-192}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot M\right)\right)\right) \cdot \left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}}\right)}{d}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 41.2% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 6 \cdot 10^{-304}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}{\frac{\ell}{d}}\\ \mathbf{elif}\;\ell \leq 1.32 \cdot 10^{-192}:\\ \;\;\;\;\left(M\_m \cdot M\_m\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}{\ell}} \cdot \frac{-0.125 \cdot \left(D\_m \cdot D\_m\right)}{d}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= l 6e-304)
   (/ (sqrt (/ l h)) (/ l d))
   (if (<= l 1.32e-192)
     (*
      (* M_m M_m)
      (* (sqrt (/ (/ h (* l l)) l)) (/ (* -0.125 (* D_m D_m)) d)))
     (/ d (sqrt (* h l))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 6e-304) {
		tmp = sqrt((l / h)) / (l / d);
	} else if (l <= 1.32e-192) {
		tmp = (M_m * M_m) * (sqrt(((h / (l * l)) / l)) * ((-0.125 * (D_m * D_m)) / d));
	} else {
		tmp = d / sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (l <= 6d-304) then
        tmp = sqrt((l / h)) / (l / d)
    else if (l <= 1.32d-192) then
        tmp = (m_m * m_m) * (sqrt(((h / (l * l)) / l)) * (((-0.125d0) * (d_m * d_m)) / d))
    else
        tmp = d / sqrt((h * l))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 6e-304) {
		tmp = Math.sqrt((l / h)) / (l / d);
	} else if (l <= 1.32e-192) {
		tmp = (M_m * M_m) * (Math.sqrt(((h / (l * l)) / l)) * ((-0.125 * (D_m * D_m)) / d));
	} else {
		tmp = d / Math.sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if l <= 6e-304:
		tmp = math.sqrt((l / h)) / (l / d)
	elif l <= 1.32e-192:
		tmp = (M_m * M_m) * (math.sqrt(((h / (l * l)) / l)) * ((-0.125 * (D_m * D_m)) / d))
	else:
		tmp = d / math.sqrt((h * l))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (l <= 6e-304)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(l / h)) / Float64(l / d));
	elseif (l <= 1.32e-192)
		tmp = Float64(Float64(M_m * M_m) * Float64(sqrt(Float64(Float64(h / Float64(l * l)) / l)) * Float64(Float64(-0.125 * Float64(D_m * D_m)) / d)));
	else
		tmp = Float64(d / sqrt(Float64(h * l)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (l <= 6e-304)
		tmp = sqrt((l / h)) / (l / d);
	elseif (l <= 1.32e-192)
		tmp = (M_m * M_m) * (sqrt(((h / (l * l)) / l)) * ((-0.125 * (D_m * D_m)) / d));
	else
		tmp = d / sqrt((h * l));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[l, 6e-304], N[(N[Sqrt[N[(l / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(l / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[l, 1.32e-192], N[(N[(M$95$m * M$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[N[(N[(h / N[(l * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.125 * N[(D$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if l < 6.0000000000000002e-304

   1. Initial program 66.2%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 62.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in l around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{h \cdot \ell}\right) + d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}}{{\ell}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{h \cdot \ell}\right) + d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{2}\right)}\right) \]

   7. Simplified 0.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell} \cdot \left(\left(D \cdot D\right) \cdot \frac{-0.125 \cdot \left(M \cdot M\right)}{d}\right) + d \cdot \sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell \cdot \ell}} \]

   8. Taylor expanded in h around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\ell}, \ell\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\ell}^{3}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      3. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot {\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      5. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{{\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 1.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

   10. Simplified 1.5%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{d \cdot \sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}}{\ell \cdot \ell} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}} \cdot d}{\color{blue}{\ell} \cdot \ell} \]

       2. times-frac N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{d}{\ell}} \]

       3. clear-num N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{d}}} \]

       4. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell}}{\color{blue}{\frac{\ell}{d}}} \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\ell}{d}\right)}\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{\ell}}{d}\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       8. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{1}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       9. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(\frac{h}{\ell \cdot \ell}\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 1.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \color{blue}{d}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 1.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{\frac{\ell}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}}}{\ell}}{\frac{\ell}{d}}} \]

   13. Taylor expanded in l around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\ell}{h}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{h}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\ell}, d\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 44.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, h\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right) \]

   15. Simplified 44.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}}{\frac{\ell}{d}} \]

   if 6.0000000000000002e-304 < l < 1.32e-192

   1. Initial program 77.7%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 77.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{8} \cdot \frac{\left({D}^{2} \cdot {M}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}}{\color{blue}{d}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{8} \cdot \frac{\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}} \cdot \left({D}^{2} \cdot {M}^{2}\right)}{d} \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{8} \cdot \frac{\left(\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}} \cdot {D}^{2}\right) \cdot {M}^{2}}{d} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}} \cdot {D}^{2}}{d} \cdot \color{blue}{{M}^{2}}\right) \]

      5. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{8} \cdot \left(\left(\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}} \cdot \frac{{D}^{2}}{d}\right) \cdot {\color{blue}{M}}^{2}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{-1}{8} \cdot \left(\left(\frac{{D}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right) \cdot {\color{blue}{M}}^{2}\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)\right) \cdot \color{blue}{{M}^{2}} \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto {M}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)\right)} \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({M}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)\right)}\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(M \cdot M\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \left(\frac{{D}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, M\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \left(\frac{{D}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, M\right), \left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2}}{d}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}}\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, M\right), \left(\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2}}{d}\right)}\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, M\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2}}{d}\right)}\right)\right) \]

   7. Simplified 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(M \cdot M\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}{\ell}} \cdot \frac{-0.125 \cdot \left(D \cdot D\right)}{d}\right)} \]

   if 1.32e-192 < l

   1. Initial program 58.1%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 48.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 48.7%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)}\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 49.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 49.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right)\right) \]

       3. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\left(0 - \sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot h\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 51.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 51.2%

       \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{-\left(0 - \sqrt{\ell \cdot h}\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 49.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 6 \cdot 10^{-304}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}{\frac{\ell}{d}}\\ \mathbf{elif}\;\ell \leq 1.32 \cdot 10^{-192}:\\ \;\;\;\;\left(M \cdot M\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}{\ell}} \cdot \frac{-0.125 \cdot \left(D \cdot D\right)}{d}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 52.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 7.5 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}{\frac{\ell}{d}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d + \frac{-0.125 \cdot \frac{h \cdot \left(D\_m \cdot \left(D\_m \cdot \left(M\_m \cdot M\_m\right)\right)\right)}{\ell}}{d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= l 7.5e-308)
   (/ (sqrt (/ l h)) (/ l d))
   (/
    (+ d (/ (* -0.125 (/ (* h (* D_m (* D_m (* M_m M_m)))) l)) d))
    (sqrt (* h l)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 7.5e-308) {
		tmp = sqrt((l / h)) / (l / d);
	} else {
		tmp = (d + ((-0.125 * ((h * (D_m * (D_m * (M_m * M_m)))) / l)) / d)) / sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (l <= 7.5d-308) then
        tmp = sqrt((l / h)) / (l / d)
    else
        tmp = (d + (((-0.125d0) * ((h * (d_m * (d_m * (m_m * m_m)))) / l)) / d)) / sqrt((h * l))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 7.5e-308) {
		tmp = Math.sqrt((l / h)) / (l / d);
	} else {
		tmp = (d + ((-0.125 * ((h * (D_m * (D_m * (M_m * M_m)))) / l)) / d)) / Math.sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if l <= 7.5e-308:
		tmp = math.sqrt((l / h)) / (l / d)
	else:
		tmp = (d + ((-0.125 * ((h * (D_m * (D_m * (M_m * M_m)))) / l)) / d)) / math.sqrt((h * l))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (l <= 7.5e-308)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(l / h)) / Float64(l / d));
	else
		tmp = Float64(Float64(d + Float64(Float64(-0.125 * Float64(Float64(h * Float64(D_m * Float64(D_m * Float64(M_m * M_m)))) / l)) / d)) / sqrt(Float64(h * l)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (l <= 7.5e-308)
		tmp = sqrt((l / h)) / (l / d);
	else
		tmp = (d + ((-0.125 * ((h * (D_m * (D_m * (M_m * M_m)))) / l)) / d)) / sqrt((h * l));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[l, 7.5e-308], N[(N[Sqrt[N[(l / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(l / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(d + N[(N[(-0.125 * N[(N[(h * N[(D$95$m * N[(D$95$m * N[(M$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if l < 7.4999999999999998e-308

   1. Initial program 65.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 61.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in l around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{h \cdot \ell}\right) + d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}}{{\ell}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{h \cdot \ell}\right) + d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{2}\right)}\right) \]

   7. Simplified 0.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell} \cdot \left(\left(D \cdot D\right) \cdot \frac{-0.125 \cdot \left(M \cdot M\right)}{d}\right) + d \cdot \sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell \cdot \ell}} \]

   8. Taylor expanded in h around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\ell}, \ell\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\ell}^{3}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      3. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot {\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      5. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{{\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 1.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

   10. Simplified 1.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{d \cdot \sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}}{\ell \cdot \ell} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}} \cdot d}{\color{blue}{\ell} \cdot \ell} \]

       2. times-frac N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{d}{\ell}} \]

       3. clear-num N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{d}}} \]

       4. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell}}{\color{blue}{\frac{\ell}{d}}} \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\ell}{d}\right)}\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{\ell}}{d}\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       8. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{1}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       9. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(\frac{h}{\ell \cdot \ell}\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 1.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \color{blue}{d}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 1.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{\frac{\ell}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}}}{\ell}}{\frac{\ell}{d}}} \]

   13. Taylor expanded in l around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\ell}{h}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{h}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\ell}, d\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 44.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, h\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right) \]

   15. Simplified 44.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}}{\frac{\ell}{d}} \]

   if 7.4999999999999998e-308 < l

   1. Initial program 61.0%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 59.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(D \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}{d}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot D}{\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}}\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot D\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\left(D \cdot \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \left(M \cdot \frac{D}{2 \cdot d}\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{M \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(\left(M \cdot D\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot d}\right) \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{d}{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M\right)}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{1}{2 \cdot d} \cdot M}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{M \cdot \frac{1}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \left(\frac{\frac{d}{M \cdot D}}{\frac{M}{2 \cdot d}}\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M \cdot D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      18. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{M}}{D}\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      19. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{M}\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      20. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \left(\frac{M}{2 \cdot d}\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \frac{-1}{4}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, M\right), D\right), \mathsf{/.f64}\left(M, \left(2 \cdot d\right)\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 63.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \color{blue}{\frac{D \cdot -0.25}{\frac{\frac{\frac{d}{M}}{D}}{\frac{M}{d \cdot 2}}}}}{\ell}\right) \]

   8. Applied egg-rr 68.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d \cdot \left(1 + \frac{h}{\ell \cdot \frac{\frac{\frac{d}{M \cdot \frac{M}{\frac{-2}{\frac{D}{d}}}}}{D}}{0.25}}\right)}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

   9. Taylor expanded in h around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(d + \frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{d \cdot \ell}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(d + \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{d \cdot \ell} \cdot \frac{-1}{8}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(d + \left({D}^{2} \cdot \frac{{M}^{2} \cdot h}{d \cdot \ell}\right) \cdot \frac{-1}{8}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(d + {D}^{2} \cdot \left(\frac{{M}^{2} \cdot h}{d \cdot \ell} \cdot \frac{-1}{8}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(d + {D}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2} \cdot h}{d \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left({D}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2} \cdot h}{d \cdot \ell}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)}\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2} \cdot h}{d \cdot \ell}\right) \cdot {D}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{M}^{2} \cdot h}{d \cdot \ell} \cdot {D}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left(\frac{-1}{8} \cdot \left({D}^{2} \cdot \frac{{M}^{2} \cdot h}{d \cdot \ell}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       9. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{d \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       10. associate-*r/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left({D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)\right)}{d \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

       11. associate-/l/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left(\frac{\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left({D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)\right)}{\ell}}{d}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

       12. associate-*r/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{\ell}}{d}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(d, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{\ell}\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 58.3%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{d + \frac{-0.125 \cdot \frac{h \cdot \left(D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot M\right)\right)\right)}{\ell}}{d}}}{\sqrt{h \cdot \ell}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 18: 39.4% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 7.5 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}{\frac{\ell}{d}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= l 7.5e-308) (/ (sqrt (/ l h)) (/ l d)) (/ d (sqrt (* h l)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 7.5e-308) {
		tmp = sqrt((l / h)) / (l / d);
	} else {
		tmp = d / sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (l <= 7.5d-308) then
        tmp = sqrt((l / h)) / (l / d)
    else
        tmp = d / sqrt((h * l))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 7.5e-308) {
		tmp = Math.sqrt((l / h)) / (l / d);
	} else {
		tmp = d / Math.sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if l <= 7.5e-308:
		tmp = math.sqrt((l / h)) / (l / d)
	else:
		tmp = d / math.sqrt((h * l))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (l <= 7.5e-308)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(l / h)) / Float64(l / d));
	else
		tmp = Float64(d / sqrt(Float64(h * l)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (l <= 7.5e-308)
		tmp = sqrt((l / h)) / (l / d);
	else
		tmp = d / sqrt((h * l));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[l, 7.5e-308], N[(N[Sqrt[N[(l / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(l / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if l < 7.4999999999999998e-308

   1. Initial program 65.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 61.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in l around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{h \cdot \ell}\right) + d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}}{{\ell}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{h \cdot \ell}\right) + d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{2}\right)}\right) \]

   7. Simplified 0.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell} \cdot \left(\left(D \cdot D\right) \cdot \frac{-0.125 \cdot \left(M \cdot M\right)}{d}\right) + d \cdot \sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell \cdot \ell}} \]

   8. Taylor expanded in h around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\ell}, \ell\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\ell}^{3}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      3. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot {\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      5. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{{\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 1.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

   10. Simplified 1.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{d \cdot \sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}}{\ell \cdot \ell} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}} \cdot d}{\color{blue}{\ell} \cdot \ell} \]

       2. times-frac N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{d}{\ell}} \]

       3. clear-num N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{d}}} \]

       4. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell}}{\color{blue}{\frac{\ell}{d}}} \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\ell}{d}\right)}\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{\ell}}{d}\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       8. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{1}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       9. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(\frac{h}{\ell \cdot \ell}\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 1.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \color{blue}{d}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 1.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{\frac{\ell}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}}}{\ell}}{\frac{\ell}{d}}} \]

   13. Taylor expanded in l around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\ell}{h}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{h}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\ell}, d\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 44.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, h\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right) \]

   15. Simplified 44.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}}{\frac{\ell}{d}} \]

   if 7.4999999999999998e-308 < l

   1. Initial program 61.0%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 59.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 44.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 44.2%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)}\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 45.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 45.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right)\right) \]

       3. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\left(0 - \sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot h\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 50.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 50.2%

       \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{-\left(0 - \sqrt{\ell \cdot h}\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 44.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 7.5 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}{\frac{\ell}{d}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 39.3% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 1.3 \cdot 10^{-257}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}{\frac{\ell}{d}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= l 1.3e-257) (/ (sqrt (/ l h)) (/ l d)) (/ d (sqrt (* h l)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 1.3e-257) {
		tmp = sqrt((l / h)) / (l / d);
	} else {
		tmp = d / sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (l <= 1.3d-257) then
        tmp = sqrt((l / h)) / (l / d)
    else
        tmp = d / sqrt((h * l))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= 1.3e-257) {
		tmp = Math.sqrt((l / h)) / (l / d);
	} else {
		tmp = d / Math.sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if l <= 1.3e-257:
		tmp = math.sqrt((l / h)) / (l / d)
	else:
		tmp = d / math.sqrt((h * l))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (l <= 1.3e-257)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(l / h)) / Float64(l / d));
	else
		tmp = Float64(d / sqrt(Float64(h * l)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (l <= 1.3e-257)
		tmp = sqrt((l / h)) / (l / d);
	else
		tmp = d / sqrt((h * l));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[l, 1.3e-257], N[(N[Sqrt[N[(l / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(l / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if l < 1.3e-257

   1. Initial program 66.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 62.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in l around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{h \cdot \ell}\right) + d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}}{{\ell}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{h \cdot \ell}\right) + d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{2}\right)}\right) \]

   7. Simplified 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{h \cdot \ell} \cdot \left(\left(D \cdot D\right) \cdot \frac{-0.125 \cdot \left(M \cdot M\right)}{d}\right) + d \cdot \sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell \cdot \ell}} \]

   8. Taylor expanded in h around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{{\ell}^{3}}{h}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\ell}, \ell\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\ell}^{3}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      3. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot {\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      5. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{{\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\ell}^{2}}{h}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 1.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), h\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right) \]

   10. Simplified 1.4%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{d \cdot \sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}}{\ell \cdot \ell} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}} \cdot d}{\color{blue}{\ell} \cdot \ell} \]

       2. times-frac N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{d}{\ell}} \]

       3. clear-num N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{d}}} \]

       4. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell}}{\color{blue}{\frac{\ell}{d}}} \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\ell}{d}\right)}\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{\ell}}{d}\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{h}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       8. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{1}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       9. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(\frac{h}{\ell \cdot \ell}\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 1.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \color{blue}{d}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 1.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{\frac{\ell}{\frac{h}{\ell \cdot \ell}}}}{\ell}}{\frac{\ell}{d}}} \]

   13. Taylor expanded in l around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\ell}{h}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{h}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\ell}, d\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 41.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, h\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right) \]

   15. Simplified 41.5%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\frac{\ell}{h}}}}{\frac{\ell}{d}} \]

   if 1.3e-257 < l

   1. Initial program 60.4%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 46.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 46.5%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)}\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 47.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 47.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 20: 37.1% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -9.5 \cdot 10^{-259}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\frac{d}{h}}{\frac{\ell}{d}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= d -9.5e-259) (sqrt (/ (/ d h) (/ l d))) (/ d (sqrt (* h l)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -9.5e-259) {
		tmp = sqrt(((d / h) / (l / d)));
	} else {
		tmp = d / sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (d <= (-9.5d-259)) then
        tmp = sqrt(((d / h) / (l / d)))
    else
        tmp = d / sqrt((h * l))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -9.5e-259) {
		tmp = Math.sqrt(((d / h) / (l / d)));
	} else {
		tmp = d / Math.sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if d <= -9.5e-259:
		tmp = math.sqrt(((d / h) / (l / d)))
	else:
		tmp = d / math.sqrt((h * l))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (d <= -9.5e-259)
		tmp = sqrt(Float64(Float64(d / h) / Float64(l / d)));
	else
		tmp = Float64(d / sqrt(Float64(h * l)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (d <= -9.5e-259)
		tmp = sqrt(((d / h) / (l / d)));
	else
		tmp = d / sqrt((h * l));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[d, -9.5e-259], N[Sqrt[N[(N[(d / h), $MachinePrecision] / N[(l / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if d < -9.4999999999999995e-259

   1. Initial program 65.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 61.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 2.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 2.9%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)}\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 2.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 2.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

       2. sqrt-unprod N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

       3. sqrt-div N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}} \]

       4. frac-times N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}} \]

       5. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{\mathsf{neg}\left(d\right)}{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}} \]

       6. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{\frac{d}{h} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}} \]

       7. sqrt-div N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}} \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}\right)}\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{d}{h}\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\ell}\right)}\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}\right)\right) \]

       12. neg-sub0 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \left(0 - d\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}\right)\right) \]

       13. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}\right)\right) \]

       14. pow1/2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right)\right), \left({\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right) \]

       15. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

       16. neg-sub0 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(0 - \ell\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       17. --lowering--.f64 36.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 36.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \left(0 - d\right)}}{{\left(0 - \ell\right)}^{0.5}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}}{{\left(0 - \ell\right)}^{\frac{1}{2}}} \]

       2. sqrt-prod N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\mathsf{neg}\left(d\right)}}{{\color{blue}{\left(0 - \ell\right)}}^{\frac{1}{2}}} \]

       3. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot {\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}^{\frac{1}{2}}}{{\left(0 - \color{blue}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}} \]

       4. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}^{\frac{1}{2}}}{{\left(0 - \ell\right)}^{\frac{1}{2}}}} \]

       5. clear-num N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(0 - \ell\right)}^{\frac{1}{2}}}{{\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}^{\frac{1}{2}}}}} \]

       6. unpow1/2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{0 - \ell}}{{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}}^{\frac{1}{2}}}} \]

       7. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}{{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{d}\right)\right)}^{\frac{1}{2}}}} \]

       8. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}{\sqrt{\mathsf{neg}\left(d\right)}}} \]

       9. sqrt-div N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}{\mathsf{neg}\left(d\right)}}} \]

       10. frac-2neg N/A

           \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \]

       11. div-inv N/A

           \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{d}{h}}}{\color{blue}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}}} \]

       12. sqrt-undiv N/A

           \[\leadsto \sqrt{\frac{\frac{d}{h}}{\frac{\ell}{d}}} \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{h}}{\frac{\ell}{d}}\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{h}\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right)\right) \]

       15. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \left(\frac{\ell}{d}\right)\right)\right) \]

       16. /-lowering-/.f64 34.9%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 34.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{d}{h}}{\frac{\ell}{d}}}} \]

   if -9.4999999999999995e-259 < d

   1. Initial program 61.2%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 59.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 43.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 43.3%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)}\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 44.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 44.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 21: 37.0% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -9.5 \cdot 10^{-259}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{d}{\frac{h}{\frac{d}{\ell}}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= d -9.5e-259) (sqrt (/ d (/ h (/ d l)))) (/ d (sqrt (* h l)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -9.5e-259) {
		tmp = sqrt((d / (h / (d / l))));
	} else {
		tmp = d / sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (d <= (-9.5d-259)) then
        tmp = sqrt((d / (h / (d / l))))
    else
        tmp = d / sqrt((h * l))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -9.5e-259) {
		tmp = Math.sqrt((d / (h / (d / l))));
	} else {
		tmp = d / Math.sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if d <= -9.5e-259:
		tmp = math.sqrt((d / (h / (d / l))))
	else:
		tmp = d / math.sqrt((h * l))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (d <= -9.5e-259)
		tmp = sqrt(Float64(d / Float64(h / Float64(d / l))));
	else
		tmp = Float64(d / sqrt(Float64(h * l)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (d <= -9.5e-259)
		tmp = sqrt((d / (h / (d / l))));
	else
		tmp = d / sqrt((h * l));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[d, -9.5e-259], N[Sqrt[N[(d / N[(h / N[(d / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if d < -9.4999999999999995e-259

   1. Initial program 65.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 61.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 2.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 2.9%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)}\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 2.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 2.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

       2. sqrt-unprod N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

       3. sqrt-div N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}} \]

       4. frac-times N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}} \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}} \]

       6. clear-num N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{h}{d}}} \]

       7. div-inv N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}} \]

       8. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{\ell \cdot \frac{h}{d}}} \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell \cdot \frac{h}{d}}\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\ell \cdot \frac{h}{d}\right)\right)\right) \]

       11. associate-*r/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\frac{\ell \cdot h}{d}\right)\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\frac{h \cdot \ell}{d}\right)\right)\right) \]

       13. associate-/l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(h \cdot \frac{\ell}{d}\right)\right)\right) \]

       14. clear-num N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(h \cdot \frac{1}{\frac{d}{\ell}}\right)\right)\right) \]

       15. un-div-inv N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\frac{h}{\frac{d}{\ell}}\right)\right)\right) \]

       16. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{/.f64}\left(h, \left(\frac{d}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f64 31.8%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 31.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{d}{\frac{h}{\frac{d}{\ell}}}}} \]

   if -9.4999999999999995e-259 < d

   1. Initial program 61.2%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 59.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 43.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 43.3%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)}\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 44.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 44.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 22: 37.1% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -7.8 \cdot 10^{-259}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{d}{\ell \cdot \frac{h}{d}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= d -7.8e-259) (sqrt (/ d (* l (/ h d)))) (/ d (sqrt (* h l)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -7.8e-259) {
		tmp = sqrt((d / (l * (h / d))));
	} else {
		tmp = d / sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (d <= (-7.8d-259)) then
        tmp = sqrt((d / (l * (h / d))))
    else
        tmp = d / sqrt((h * l))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -7.8e-259) {
		tmp = Math.sqrt((d / (l * (h / d))));
	} else {
		tmp = d / Math.sqrt((h * l));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if d <= -7.8e-259:
		tmp = math.sqrt((d / (l * (h / d))))
	else:
		tmp = d / math.sqrt((h * l))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (d <= -7.8e-259)
		tmp = sqrt(Float64(d / Float64(l * Float64(h / d))));
	else
		tmp = Float64(d / sqrt(Float64(h * l)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (d <= -7.8e-259)
		tmp = sqrt((d / (l * (h / d))));
	else
		tmp = d / sqrt((h * l));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[d, -7.8e-259], N[Sqrt[N[(d / N[(l * N[(h / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if d < -7.80000000000000031e-259

   1. Initial program 65.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 61.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 2.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 2.9%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      5. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      6. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}} \]

      7. frac-times N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}} \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{h}{d}} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right) \]

      10. frac-times N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot d}{\frac{h}{d} \cdot \ell}\right)\right) \]

      11. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{\frac{h}{d} \cdot \ell}\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\frac{h}{d} \cdot \ell\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \left(\ell \cdot \frac{h}{d}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 31.7%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 31.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{d}{\ell \cdot \frac{h}{d}}}} \]

   if -7.80000000000000031e-259 < d

   1. Initial program 61.2%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

   3. Simplified 59.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 43.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 43.3%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)}\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 44.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 44.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 23: 25.5% accurate, 3.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m) :precision binary64 (/ d (sqrt (* h l))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	return d / sqrt((h * l));
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    code = d / sqrt((h * l))
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	return d / Math.sqrt((h * l));
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	return d / math.sqrt((h * l))

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	return Float64(d / sqrt(Float64(h * l)))
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = d / sqrt((h * l));
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]

3. Simplified 60.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\right) \cdot \left(1 + \frac{h \cdot \left(\frac{D \cdot \left(M \cdot \left(M \cdot \frac{\frac{D}{d}}{2}\right)\right)}{d} \cdot -0.25\right)}{\ell}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in d around inf

   \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 29.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 29.0%

   \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. sqrt-div N/A

      \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)}\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 29.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 29.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]
10. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (d h l M D)
  :name "Henrywood and Agarwal, Equation (12)"
  :precision binary64
  (* (* (pow (/ d h) (/ 1.0 2.0)) (pow (/ d l) (/ 1.0 2.0))) (- 1.0 (* (* (/ 1.0 2.0) (pow (/ (* M D) (* 2.0 d)) 2.0)) (/ h l)))))