2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 100.0%

Time: 14.8s

Alternatives: 6

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.3333333333333333 \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\\ \sin \left(t\_0 + {\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}^{0.16666666666666666} \cdot -0.6666666666666666\right) + \frac{\cos \left(t\_0 + \pi \cdot -0.6666666666666666\right)}{\sqrt{0.3333333333333333}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* -0.3333333333333333 (asin (/ g h)))))
   (+
    (sin
     (+
      t_0
      (*
       (pow (* (* PI PI) (* PI (* PI (* PI PI)))) 0.16666666666666666)
       -0.6666666666666666)))
    (/ (cos (+ t_0 (* PI -0.6666666666666666))) (sqrt 0.3333333333333333)))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = -0.3333333333333333 * asin((g / h));
	return sin((t_0 + (pow(((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) * (((double) M_PI) * (((double) M_PI) * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))))), 0.16666666666666666) * -0.6666666666666666))) + (cos((t_0 + (((double) M_PI) * -0.6666666666666666))) / sqrt(0.3333333333333333));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	double t_0 = -0.3333333333333333 * Math.asin((g / h));
	return Math.sin((t_0 + (Math.pow(((Math.PI * Math.PI) * (Math.PI * (Math.PI * (Math.PI * Math.PI)))), 0.16666666666666666) * -0.6666666666666666))) + (Math.cos((t_0 + (Math.PI * -0.6666666666666666))) / Math.sqrt(0.3333333333333333));
}

Python

def code(g, h):
	t_0 = -0.3333333333333333 * math.asin((g / h))
	return math.sin((t_0 + (math.pow(((math.pi * math.pi) * (math.pi * (math.pi * (math.pi * math.pi)))), 0.16666666666666666) * -0.6666666666666666))) + (math.cos((t_0 + (math.pi * -0.6666666666666666))) / math.sqrt(0.3333333333333333))

Julia

function code(g, h)
	t_0 = Float64(-0.3333333333333333 * asin(Float64(g / h)))
	return Float64(sin(Float64(t_0 + Float64((Float64(Float64(pi * pi) * Float64(pi * Float64(pi * Float64(pi * pi)))) ^ 0.16666666666666666) * -0.6666666666666666))) + Float64(cos(Float64(t_0 + Float64(pi * -0.6666666666666666))) / sqrt(0.3333333333333333)))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	t_0 = -0.3333333333333333 * asin((g / h));
	tmp = sin((t_0 + ((((pi * pi) * (pi * (pi * (pi * pi)))) ^ 0.16666666666666666) * -0.6666666666666666))) + (cos((t_0 + (pi * -0.6666666666666666))) / sqrt(0.3333333333333333));
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.3333333333333333 * N[ArcSin[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[Sin[N[(t$95$0 + N[(N[Power[N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * N[(Pi * N[(Pi * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.16666666666666666], $MachinePrecision] * -0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[N[(t$95$0 + N[(Pi * -0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   10. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   13. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{-1 \cdot h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{g}{-1}\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   16. /-lowering-/.f64 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, -1\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \pi \cdot 0.6666666666666666\right) + 0.5 \cdot \sin \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({2}^{-1} \cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right), -1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{{3}^{\frac{1}{2}}}\right), -1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-flip N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left({3}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right), -1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left({3}^{\frac{-1}{2}}\right), -1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left({3}^{\left(\frac{1}{-2}\right)}\right), -1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(3, \left(\frac{1}{-2}\right)\right), -1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(3, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 \cdot {\left({3}^{-0.5}\right)}^{-1}\right)} \cdot \cos \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \pi \cdot 0.6666666666666666\right) + 0.5 \cdot \sin \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \]

9. Taylor expanded in g around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\sqrt{\frac{1}{3}}}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\sqrt{\frac{1}{3}}}\right)}\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\sqrt{\frac{1}{3}}}\right)} \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 1 \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + \frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\sqrt{\frac{1}{3}}}\right) \]

    4. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\sqrt{\frac{1}{3}}}} \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\sqrt{\frac{1}{3}}}\right)}\right) \]

11. Simplified 98.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(-0.3333333333333333 \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \pi \cdot -0.6666666666666666\right) + \frac{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \pi \cdot -0.6666666666666666\right)}{\sqrt{0.3333333333333333}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. add-cbrt-cube N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right) \]

    3. pow1/3 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\frac{1}{3}}\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\right)}\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2} + \frac{1}{6}\right)}\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2} + \frac{\frac{1}{3}}{2}\right)}\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right) \]

    7. pow-prod-up N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)}\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right) \]

    8. pow-prod-down N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)}\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right) \]

    9. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right) \]

13. Applied egg-rr 100.0%

    \[\leadsto \sin \left(-0.3333333333333333 \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \color{blue}{{\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}^{0.16666666666666666}} \cdot -0.6666666666666666\right) + \frac{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \pi \cdot -0.6666666666666666\right)}{\sqrt{0.3333333333333333}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\\ \sin \left(-0.3333333333333333 \cdot t\_0 + \pi \cdot -0.6666666666666666\right) + {0.3333333333333333}^{-0.5} \cdot \cos \left(\pi \cdot -0.6666666666666666 + \frac{t\_0}{-3}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (/ g h))))
   (+
    (sin (+ (* -0.3333333333333333 t_0) (* PI -0.6666666666666666)))
    (*
     (pow 0.3333333333333333 -0.5)
     (cos (+ (* PI -0.6666666666666666) (/ t_0 -3.0)))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = asin((g / h));
	return sin(((-0.3333333333333333 * t_0) + (((double) M_PI) * -0.6666666666666666))) + (pow(0.3333333333333333, -0.5) * cos(((((double) M_PI) * -0.6666666666666666) + (t_0 / -3.0))));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	double t_0 = Math.asin((g / h));
	return Math.sin(((-0.3333333333333333 * t_0) + (Math.PI * -0.6666666666666666))) + (Math.pow(0.3333333333333333, -0.5) * Math.cos(((Math.PI * -0.6666666666666666) + (t_0 / -3.0))));
}

Python

def code(g, h):
	t_0 = math.asin((g / h))
	return math.sin(((-0.3333333333333333 * t_0) + (math.pi * -0.6666666666666666))) + (math.pow(0.3333333333333333, -0.5) * math.cos(((math.pi * -0.6666666666666666) + (t_0 / -3.0))))

Julia

function code(g, h)
	t_0 = asin(Float64(g / h))
	return Float64(sin(Float64(Float64(-0.3333333333333333 * t_0) + Float64(pi * -0.6666666666666666))) + Float64((0.3333333333333333 ^ -0.5) * cos(Float64(Float64(pi * -0.6666666666666666) + Float64(t_0 / -3.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	t_0 = asin((g / h));
	tmp = sin(((-0.3333333333333333 * t_0) + (pi * -0.6666666666666666))) + ((0.3333333333333333 ^ -0.5) * cos(((pi * -0.6666666666666666) + (t_0 / -3.0))));
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcSin[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[Sin[N[(N[(-0.3333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(Pi * -0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Power[0.3333333333333333, -0.5], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(Pi * -0.6666666666666666), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 / -3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   10. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   13. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{-1 \cdot h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{g}{-1}\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   16. /-lowering-/.f64 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, -1\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \pi \cdot 0.6666666666666666\right) + 0.5 \cdot \sin \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({2}^{-1} \cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right), -1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{{3}^{\frac{1}{2}}}\right), -1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-flip N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left({3}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right), -1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left({3}^{\frac{-1}{2}}\right), -1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left({3}^{\left(\frac{1}{-2}\right)}\right), -1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(3, \left(\frac{1}{-2}\right)\right), -1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(3, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 \cdot {\left({3}^{-0.5}\right)}^{-1}\right)} \cdot \cos \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \pi \cdot 0.6666666666666666\right) + 0.5 \cdot \sin \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \]

9. Taylor expanded in g around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\sqrt{\frac{1}{3}}}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\sqrt{\frac{1}{3}}}\right)}\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\sqrt{\frac{1}{3}}}\right)} \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 1 \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + \frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\sqrt{\frac{1}{3}}}\right) \]

    4. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\sqrt{\frac{1}{3}}}} \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\sqrt{\frac{1}{3}}}\right)}\right) \]

11. Simplified 98.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(-0.3333333333333333 \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \pi \cdot -0.6666666666666666\right) + \frac{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \pi \cdot -0.6666666666666666\right)}{\sqrt{0.3333333333333333}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{3}}}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)}}}\right)\right) \]

    2. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}}} \cdot \color{blue}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)}\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}}} \cdot \cos \left(\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \frac{-1}{3} + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}}} \cdot \cos \left(\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \frac{1}{-3} + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)\right) \]

    5. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}}} \cdot \cos \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}}} \cdot \cos \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} + \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}}} \cdot \cos \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{3}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    8. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}}} \cdot \cos \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}}} \cdot \cos \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}}}\right), \color{blue}{\cos \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)}\right)\right) \]

    11. pow1/2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}}\right), \cos \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}}\right)\right)\right) \]

    12. pow-flip N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\frac{1}{3}}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right), \cos \color{blue}{\left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)}\right)\right) \]

    13. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\frac{1}{3}}^{\frac{-1}{2}}\right), \cos \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}}\right)\right)\right) \]

    14. pow-lowering-pow.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\frac{1}{3}, \frac{-1}{2}\right), \cos \color{blue}{\left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)}\right)\right) \]

    15. cos-lowering-cos.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\frac{1}{3}, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right) \]

    16. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-2}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\frac{1}{3}, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Applied egg-rr 100.0%

    \[\leadsto \sin \left(-0.3333333333333333 \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \pi \cdot -0.6666666666666666\right) + \color{blue}{{0.3333333333333333}^{-0.5} \cdot \cos \left(\frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3} + \pi \cdot -0.6666666666666666\right)} \]

14. Final simplification 100.0%

    \[\leadsto \sin \left(-0.3333333333333333 \cdot \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \pi \cdot -0.6666666666666666\right) + {0.3333333333333333}^{-0.5} \cdot \cos \left(\pi \cdot -0.6666666666666666 + \frac{\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos
   (fma
    (cbrt (* PI (* PI PI)))
    0.6666666666666666
    (/ (acos (- 0.0 (/ g h))) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma(cbrt((((double) M_PI) * (((double) M_PI) * ((double) M_PI)))), 0.6666666666666666, (acos((0.0 - (g / h))) / 3.0)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(cbrt(Float64(pi * Float64(pi * pi))), 0.6666666666666666, Float64(acos(Float64(0.0 - Float64(g / h))) / 3.0))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[Power[N[(Pi * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * 0.6666666666666666 + N[(N[ArcCos[N[(0.0 - N[(g / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   10. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   13. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{-1 \cdot h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{g}{-1}\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   16. /-lowering-/.f64 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, -1\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   2. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-1}{\frac{h}{g}}\right)}{3}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{1}{\frac{h}{g}}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{g}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   3. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f64 98.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 98.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

11. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos (fma PI 0.6666666666666666 (/ 1.0 (/ 3.0 (acos (- 0.0 (/ g h)))))))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (1.0 / (3.0 / acos((0.0 - (g / h)))))));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(pi, 0.6666666666666666, Float64(1.0 / Float64(3.0 / acos(Float64(0.0 - Float64(g / h))))))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666 + N[(1.0 / N[(3.0 / N[ArcCos[N[(0.0 - N[(g / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   10. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   13. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{-1 \cdot h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{g}{-1}\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   16. /-lowering-/.f64 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, -1\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   2. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-1}{\frac{h}{g}}\right)}{3}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \left(\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{-1}{\frac{h}{g}}\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{-1}{\frac{h}{g}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(3, \cos^{-1} \left(\frac{-1}{\frac{h}{g}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. acos-lowering-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(3, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{-1}{\frac{h}{g}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(3, \mathsf{acos.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{1}{\frac{h}{g}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(3, \mathsf{acos.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(3, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(3, \mathsf{acos.f64}\left(\left(0 - \frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(3, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(3, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}}}\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\pi}{3}\right) - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos (- (+ (* PI 0.6666666666666666) (/ PI 3.0)) (/ (acos (/ g h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((((double) M_PI) * 0.6666666666666666) + (((double) M_PI) / 3.0)) - (acos((g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((Math.PI * 0.6666666666666666) + (Math.PI / 3.0)) - (Math.acos((g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((math.pi * 0.6666666666666666) + (math.pi / 3.0)) - (math.acos((g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(pi * 0.6666666666666666) + Float64(pi / 3.0)) - Float64(acos(Float64(g / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((pi * 0.6666666666666666) + (pi / 3.0)) - (acos((g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + N[(Pi / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   10. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   13. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{-1 \cdot h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{g}{-1}\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   16. /-lowering-/.f64 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, -1\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   2. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-1}{\frac{h}{g}}\right)}{3}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{1}{\frac{h}{g}}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{g}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. acos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   2. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3} + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{3} - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right) - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 3\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 3\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 3\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 3\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 3\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 98.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\pi}{3}\right) - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{3}\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (* PI 0.6666666666666666) (/ (acos (/ (/ g -1.0) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((((double) M_PI) * 0.6666666666666666) + (acos(((g / -1.0) / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((Math.PI * 0.6666666666666666) + (Math.acos(((g / -1.0) / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((math.pi * 0.6666666666666666) + (math.acos(((g / -1.0) / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(pi * 0.6666666666666666) + Float64(acos(Float64(Float64(g / -1.0) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((pi * 0.6666666666666666) + (acos(((g / -1.0) / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[(N[(g / -1.0), $MachinePrecision] / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   10. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   13. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{-1 \cdot h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{g}{-1}\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   16. /-lowering-/.f64 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, -1\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))