Bearing on a great circle

Percentage Accurate: 78.5% → 99.7%

Time: 34.8s

Alternatives: 29

Speedup: 0.7×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (* (sin (- lambda1 lambda2)) (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (sin phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.sin((lambda1 - lambda2)) * Math.cos(phi2)), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.sin(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.sin((lambda1 - lambda2)) * math.cos(phi2)), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.sin(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(sin(Float64(lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(sin(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 78.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (* (sin (- lambda1 lambda2)) (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (sin phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.sin((lambda1 - lambda2)) * Math.cos(phi2)), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.sin(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.sin((lambda1 - lambda2)) * math.cos(phi2)), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.sin(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(sin(Float64(lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(sin(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (fma (sin lambda1) (cos lambda2) (* (cos lambda1) (- 0.0 (sin lambda2))))
   (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (+
    (* (sin lambda1) (* (sin lambda2) (* (cos phi2) (sin phi1))))
    (* (cos phi2) (* (cos lambda2) (* (cos lambda1) (sin phi1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (cos(lambda1) * (0.0 - sin(lambda2)))) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(lambda1) * (sin(lambda2) * (cos(phi2) * sin(phi1)))) + (cos(phi2) * (cos(lambda2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))))));
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(cos(lambda1) * Float64(0.0 - sin(lambda2)))) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(sin(lambda1) * Float64(sin(lambda2) * Float64(cos(phi2) * sin(phi1)))) + Float64(cos(phi2) * Float64(cos(lambda2) * Float64(cos(lambda1) * sin(phi1)))))))
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.1%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 89.0%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) + \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \color{blue}{\lambda_2}\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \sin \phi_1\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \sin \phi_1\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)}} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (cos phi2)
   (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (+
    (* (sin lambda1) (* (sin lambda2) (* (cos phi2) (sin phi1))))
    (* (cos phi2) (* (cos lambda2) (* (cos lambda1) (sin phi1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(lambda1) * (sin(lambda2) * (cos(phi2) * sin(phi1)))) + (cos(phi2) * (cos(lambda2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(lambda1) * (sin(lambda2) * (cos(phi2) * sin(phi1)))) + (cos(phi2) * (cos(lambda2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2)))), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.sin(lambda1) * (Math.sin(lambda2) * (Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)))) + (Math.cos(phi2) * (Math.cos(lambda2) * (Math.cos(lambda1) * Math.sin(phi1)))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2)))), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.sin(lambda1) * (math.sin(lambda2) * (math.cos(phi2) * math.sin(phi1)))) + (math.cos(phi2) * (math.cos(lambda2) * (math.cos(lambda1) * math.sin(phi1)))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2)))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(sin(lambda1) * Float64(sin(lambda2) * Float64(cos(phi2) * sin(phi1)))) + Float64(cos(phi2) * Float64(cos(lambda2) * Float64(cos(lambda1) * sin(phi1)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(lambda1) * (sin(lambda2) * (cos(phi2) * sin(phi1)))) + (cos(phi2) * (cos(lambda2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.1%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 89.0%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) + \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \color{blue}{\lambda_2}\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \sin \phi_1\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \sin \phi_1\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (fma (sin lambda1) (cos lambda2) (* (cos lambda1) (- 0.0 (sin lambda2))))
   (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (*
    (* (cos phi2) (sin phi1))
    (fma (sin lambda2) (sin lambda1) (* (cos lambda2) (cos lambda1)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (cos(lambda1) * (0.0 - sin(lambda2)))) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * fma(sin(lambda2), sin(lambda1), (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(cos(lambda1) * Float64(0.0 - sin(lambda2)))) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * fma(sin(lambda2), sin(lambda1), Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.1%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 89.0%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \color{blue}{\sin \lambda_1}, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \color{blue}{\sin \lambda_1}, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \color{blue}{\lambda_1}, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

7. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (fma (sin lambda1) (cos lambda2) (* (cos lambda1) (- 0.0 (sin lambda2))))
   (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (*
    (* (cos phi2) (sin phi1))
    (+ (* (cos lambda2) (cos lambda1)) (* (sin lambda1) (sin lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (cos(lambda1) * (0.0 - sin(lambda2)))) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((cos(lambda2) * cos(lambda1)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))))));
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(cos(lambda1) * Float64(0.0 - sin(lambda2)))) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * Float64(Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)) + Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2))))))
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.1%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 89.0%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

7. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 88.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{t\_0 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -4.2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 2.55 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1
         (atan2
          (*
           (cos phi2)
           (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
          (- t_0 (* (cos lambda1) (* (cos phi2) (sin phi1)))))))
   (if (<= lambda1 -4.2e-6)
     t_1
     (if (<= lambda1 2.55e-10)
       (atan2
        (/ (cos phi2) (/ 1.0 (sin (- lambda1 lambda2))))
        (- t_0 (* (cos phi2) (* (cos lambda2) (sin phi1)))))
       t_1))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), (t_0 - (cos(lambda1) * (cos(phi2) * sin(phi1)))));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -4.2e-6) {
		tmp = t_1;
	} else if (lambda1 <= 2.55e-10) {
		tmp = atan2((cos(phi2) / (1.0 / sin((lambda1 - lambda2)))), (t_0 - (cos(phi2) * (cos(lambda2) * sin(phi1)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), (t_0 - (cos(lambda1) * (cos(phi2) * sin(phi1)))))
    if (lambda1 <= (-4.2d-6)) then
        tmp = t_1
    else if (lambda1 <= 2.55d-10) then
        tmp = atan2((cos(phi2) / (1.0d0 / sin((lambda1 - lambda2)))), (t_0 - (cos(phi2) * (cos(lambda2) * sin(phi1)))))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2)))), (t_0 - (Math.cos(lambda1) * (Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)))));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -4.2e-6) {
		tmp = t_1;
	} else if (lambda1 <= 2.55e-10) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) / (1.0 / Math.sin((lambda1 - lambda2)))), (t_0 - (Math.cos(phi2) * (Math.cos(lambda2) * Math.sin(phi1)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2)))), (t_0 - (math.cos(lambda1) * (math.cos(phi2) * math.sin(phi1)))))
	tmp = 0
	if lambda1 <= -4.2e-6:
		tmp = t_1
	elif lambda1 <= 2.55e-10:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) / (1.0 / math.sin((lambda1 - lambda2)))), (t_0 - (math.cos(phi2) * (math.cos(lambda2) * math.sin(phi1)))))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2)))), Float64(t_0 - Float64(cos(lambda1) * Float64(cos(phi2) * sin(phi1)))))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -4.2e-6)
		tmp = t_1;
	elseif (lambda1 <= 2.55e-10)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) / Float64(1.0 / sin(Float64(lambda1 - lambda2)))), Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * Float64(cos(lambda2) * sin(phi1)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), (t_0 - (cos(lambda1) * (cos(phi2) * sin(phi1)))));
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -4.2e-6)
		tmp = t_1;
	elseif (lambda1 <= 2.55e-10)
		tmp = atan2((cos(phi2) / (1.0 / sin((lambda1 - lambda2)))), (t_0 - (cos(phi2) * (cos(lambda2) * sin(phi1)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -4.2e-6], t$95$1, If[LessEqual[lambda1, 2.55e-10], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < -4.1999999999999996e-6 or 2.54999999999999998e-10 < lambda1

   1. Initial program 54.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 77.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 77.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) + \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \color{blue}{\lambda_2}\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \sin \phi_1\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \sin \phi_1\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 99.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right), \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \sin \phi_1\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right) \]

       4. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \sin \phi_1\right), \cos \lambda_1\right)\right)\right) \]

       5. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \cos \lambda_1\right)\right)\right) \]

       6. cos-lowering-cos.f64 77.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 77.2%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \lambda_1}} \]

   if -4.1999999999999996e-6 < lambda1 < 2.54999999999999998e-10

   1. Initial program 99.5%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\cos \phi_2}{1} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   7. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 99.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -4.2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 2.55 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 88.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\\ t_2 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{t\_0 - \cos \lambda_2 \cdot t\_1}\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -4.9 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 3.3 \cdot 10^{-31}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{1}{\cos \phi_2}}}{t\_0 - t\_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin phi1)))
        (t_2
         (atan2
          (*
           (cos phi2)
           (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
          (- t_0 (* (cos lambda2) t_1)))))
   (if (<= lambda2 -4.9e-5)
     t_2
     (if (<= lambda2 3.3e-31)
       (atan2
        (/ (sin (- lambda1 lambda2)) (/ 1.0 (cos phi2)))
        (- t_0 (* t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))))
       t_2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos(phi2) * sin(phi1);
	double t_2 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), (t_0 - (cos(lambda2) * t_1)));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -4.9e-5) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda2 <= 3.3e-31) {
		tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) / (1.0 / cos(phi2))), (t_0 - (t_1 * cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = cos(phi2) * sin(phi1)
    t_2 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), (t_0 - (cos(lambda2) * t_1)))
    if (lambda2 <= (-4.9d-5)) then
        tmp = t_2
    else if (lambda2 <= 3.3d-31) then
        tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) / (1.0d0 / cos(phi2))), (t_0 - (t_1 * cos((lambda1 - lambda2)))))
    else
        tmp = t_2
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1);
	double t_2 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2)))), (t_0 - (Math.cos(lambda2) * t_1)));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -4.9e-5) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda2 <= 3.3e-31) {
		tmp = Math.atan2((Math.sin((lambda1 - lambda2)) / (1.0 / Math.cos(phi2))), (t_0 - (t_1 * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.cos(phi2) * math.sin(phi1)
	t_2 = math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2)))), (t_0 - (math.cos(lambda2) * t_1)))
	tmp = 0
	if lambda2 <= -4.9e-5:
		tmp = t_2
	elif lambda2 <= 3.3e-31:
		tmp = math.atan2((math.sin((lambda1 - lambda2)) / (1.0 / math.cos(phi2))), (t_0 - (t_1 * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(phi1))
	t_2 = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2)))), Float64(t_0 - Float64(cos(lambda2) * t_1)))
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -4.9e-5)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda2 <= 3.3e-31)
		tmp = atan(Float64(sin(Float64(lambda1 - lambda2)) / Float64(1.0 / cos(phi2))), Float64(t_0 - Float64(t_1 * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = cos(phi2) * sin(phi1);
	t_2 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), (t_0 - (cos(lambda2) * t_1)));
	tmp = 0.0;
	if (lambda2 <= -4.9e-5)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda2 <= 3.3e-31)
		tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) / (1.0 / cos(phi2))), (t_0 - (t_1 * cos((lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -4.9e-5], t$95$2, If[LessEqual[lambda2, 3.3e-31], N[ArcTan[N[(N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(t$95$1 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$2]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda2 < -4.9e-5 or 3.2999999999999999e-31 < lambda2

   1. Initial program 59.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 79.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 79.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) + \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \color{blue}{\lambda_2}\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \sin \phi_1\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \sin \phi_1\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 99.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

       2. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

       4. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

       5. sin-lowering-sin.f64 79.5%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 79.5%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}} \]

   if -4.9e-5 < lambda2 < 3.2999999999999999e-31

   1. Initial program 99.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 99.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. remove-double-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{1 \cdot 1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \frac{1}{\cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\frac{1}{\cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{1}}{\frac{1}{\cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{1}{\cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\frac{1}{\cos \phi_2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\cos \phi_2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\cos \phi_2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{1}{\cos \phi_2}}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 88.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -4.9 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 3.3 \cdot 10^{-31}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{1}{\cos \phi_2}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 89.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (cos phi2)
   (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (cos phi2) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2)))), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.cos(phi2) * (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2)))), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.cos(phi2) * (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2)))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.1%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 89.0%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) + \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)} \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \color{blue}{\lambda_2}\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \sin \phi_1\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \sin \phi_1\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) + \color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \phi_2 + \left(\cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1 + \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1 + \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1 + \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-diff N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 89.0%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}} \]

11. Final simplification 89.0%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 89.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (cos phi2)
   (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2)))), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2)))), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2)))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.1%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 89.0%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

5. Final simplification 89.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 9: 78.5% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq 4200:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{t\_0 + \frac{1}{\frac{\frac{-1}{\sin \phi_1 \cdot t\_1}}{\cos \phi_2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \left(1 + \lambda_2 \cdot \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)\right) - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{t\_0 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot t\_1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2))) (t_1 (cos (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= lambda1 4200.0)
     (atan2
      (/ (cos phi2) (/ 1.0 (sin (- lambda1 lambda2))))
      (+ t_0 (/ 1.0 (/ (/ -1.0 (* (sin phi1) t_1)) (cos phi2)))))
     (atan2
      (*
       (cos phi2)
       (-
        (* (sin lambda1) (+ 1.0 (* lambda2 (* lambda2 -0.5))))
        (* lambda2 (cos lambda1))))
      (- t_0 (* (* (cos phi2) (sin phi1)) t_1))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (lambda1 <= 4200.0) {
		tmp = atan2((cos(phi2) / (1.0 / sin((lambda1 - lambda2)))), (t_0 + (1.0 / ((-1.0 / (sin(phi1) * t_1)) / cos(phi2)))));
	} else {
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * (1.0 + (lambda2 * (lambda2 * -0.5)))) - (lambda2 * cos(lambda1)))), (t_0 - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = cos((lambda1 - lambda2))
    if (lambda1 <= 4200.0d0) then
        tmp = atan2((cos(phi2) / (1.0d0 / sin((lambda1 - lambda2)))), (t_0 + (1.0d0 / (((-1.0d0) / (sin(phi1) * t_1)) / cos(phi2)))))
    else
        tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * (1.0d0 + (lambda2 * (lambda2 * (-0.5d0))))) - (lambda2 * cos(lambda1)))), (t_0 - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (lambda1 <= 4200.0) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) / (1.0 / Math.sin((lambda1 - lambda2)))), (t_0 + (1.0 / ((-1.0 / (Math.sin(phi1) * t_1)) / Math.cos(phi2)))));
	} else {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * (1.0 + (lambda2 * (lambda2 * -0.5)))) - (lambda2 * Math.cos(lambda1)))), (t_0 - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * t_1)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if lambda1 <= 4200.0:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) / (1.0 / math.sin((lambda1 - lambda2)))), (t_0 + (1.0 / ((-1.0 / (math.sin(phi1) * t_1)) / math.cos(phi2)))))
	else:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * (1.0 + (lambda2 * (lambda2 * -0.5)))) - (lambda2 * math.cos(lambda1)))), (t_0 - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * t_1)))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= 4200.0)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) / Float64(1.0 / sin(Float64(lambda1 - lambda2)))), Float64(t_0 + Float64(1.0 / Float64(Float64(-1.0 / Float64(sin(phi1) * t_1)) / cos(phi2)))));
	else
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * Float64(1.0 + Float64(lambda2 * Float64(lambda2 * -0.5)))) - Float64(lambda2 * cos(lambda1)))), Float64(t_0 - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= 4200.0)
		tmp = atan2((cos(phi2) / (1.0 / sin((lambda1 - lambda2)))), (t_0 + (1.0 / ((-1.0 / (sin(phi1) * t_1)) / cos(phi2)))));
	else
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * (1.0 + (lambda2 * (lambda2 * -0.5)))) - (lambda2 * cos(lambda1)))), (t_0 - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, 4200.0], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 + N[(1.0 / N[(N[(-1.0 / N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(lambda2 * N[(lambda2 * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(lambda2 * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < 4200

   1. Initial program 87.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. sin-cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \frac{\sin \left(\phi_1 - \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \sin \left(\phi_1 + \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{2}{\sin \left(\phi_1 - \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \sin \left(\phi_1 + \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\cos \phi_2}{\color{blue}{\frac{2}{\sin \left(\phi_1 - \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \sin \left(\phi_1 + \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{2}{\sin \left(\phi_1 - \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \sin \left(\phi_1 + \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}{\cos \phi_2}}}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{2}{\sin \left(\phi_1 - \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \sin \left(\phi_1 + \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}{\cos \phi_2}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\sin \left(\phi_1 - \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \sin \left(\phi_1 + \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\phi_1 - \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \sin \left(\phi_1 + \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}\right), \cos \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-cos-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 87.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_2}}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. /-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\cos \phi_2}{1} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 87.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 87.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_2}}} \]

   if 4200 < lambda1

   1. Initial program 47.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 + \lambda_2 \cdot \left(-1 \cdot \cos \lambda_1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\lambda_2 \cdot \left(-1 \cdot \cos \lambda_1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) + \sin \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\left(-1 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \lambda_2 + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) \cdot \lambda_2\right) + \sin \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \lambda_2 + \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) \cdot \lambda_2 + \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \lambda_2 + \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) + \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \lambda_2\right), \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) + \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \lambda_2\right), \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) + \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \lambda_2\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) + \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) + \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(0 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) + \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) + \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) + \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right) + \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \lambda_1\right) + \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \left(\left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \lambda_1 + \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \left(\left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \lambda_1 + 1 \cdot \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) + 1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) + 1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 58.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\left(0 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) + \sin \lambda_1 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right) + 1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 80.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq 4200:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{\cos \phi_2}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \frac{1}{\frac{\frac{-1}{\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \left(1 + \lambda_2 \cdot \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)\right) - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 78.5% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq 6.8 \cdot 10^{+50}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{1}{\cos \phi_2}}}{t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (-
          (* (cos phi1) (sin phi2))
          (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2))))))
   (if (<= lambda1 6.8e+50)
     (atan2 (/ (sin (- lambda1 lambda2)) (/ 1.0 (cos phi2))) t_0)
     (atan2 (* (cos phi2) (- (sin lambda1) (* lambda2 (cos lambda1)))) t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)));
	double tmp;
	if (lambda1 <= 6.8e+50) {
		tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) / (1.0 / cos(phi2))), t_0);
	} else {
		tmp = atan2((cos(phi2) * (sin(lambda1) - (lambda2 * cos(lambda1)))), t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))
    if (lambda1 <= 6.8d+50) then
        tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) / (1.0d0 / cos(phi2))), t_0)
    else
        tmp = atan2((cos(phi2) * (sin(lambda1) - (lambda2 * cos(lambda1)))), t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = (Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)));
	double tmp;
	if (lambda1 <= 6.8e+50) {
		tmp = Math.atan2((Math.sin((lambda1 - lambda2)) / (1.0 / Math.cos(phi2))), t_0);
	} else {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * (Math.sin(lambda1) - (lambda2 * Math.cos(lambda1)))), t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = (math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0
	if lambda1 <= 6.8e+50:
		tmp = math.atan2((math.sin((lambda1 - lambda2)) / (1.0 / math.cos(phi2))), t_0)
	else:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * (math.sin(lambda1) - (lambda2 * math.cos(lambda1)))), t_0)
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= 6.8e+50)
		tmp = atan(Float64(sin(Float64(lambda1 - lambda2)) / Float64(1.0 / cos(phi2))), t_0);
	else
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(sin(lambda1) - Float64(lambda2 * cos(lambda1)))), t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = (cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)));
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= 6.8e+50)
		tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) / (1.0 / cos(phi2))), t_0);
	else
		tmp = atan2((cos(phi2) * (sin(lambda1) - (lambda2 * cos(lambda1)))), t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, 6.8e+50], N[ArcTan[N[(N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$0], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] - N[(lambda2 * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < 6.7999999999999997e50

   1. Initial program 86.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 92.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 92.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. remove-double-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{1 \cdot 1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \frac{1}{\cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\frac{1}{\cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{1}}{\frac{1}{\cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{1}{\cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\frac{1}{\cos \phi_2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\cos \phi_2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\cos \phi_2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 86.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 86.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{1}{\cos \phi_2}}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if 6.7999999999999997e50 < lambda1

   1. Initial program 45.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 + -1 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\sin \lambda_1, \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 53.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 53.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 79.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq 6.8 \cdot 10^{+50}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{1}{\cos \phi_2}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 78.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -0.000156:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 2.55 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= lambda1 -0.000156)
     (atan2 t_1 (- t_0 (* (cos phi2) (* (cos lambda1) (sin phi1)))))
     (if (<= lambda1 2.55e-10)
       (atan2 t_1 (- t_0 (* (cos phi2) (* (cos lambda2) (sin phi1)))))
       (atan2
        (* (sin lambda1) (cos phi2))
        (- t_0 (* (cos phi2) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -0.000156) {
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))));
	} else if (lambda1 <= 2.55e-10) {
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (cos(phi2) * (cos(lambda2) * sin(phi1)))));
	} else {
		tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))
    if (lambda1 <= (-0.000156d0)) then
        tmp = atan2(t_1, (t_0 - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))))
    else if (lambda1 <= 2.55d-10) then
        tmp = atan2(t_1, (t_0 - (cos(phi2) * (cos(lambda2) * sin(phi1)))))
    else
        tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -0.000156) {
		tmp = Math.atan2(t_1, (t_0 - (Math.cos(phi2) * (Math.cos(lambda1) * Math.sin(phi1)))));
	} else if (lambda1 <= 2.55e-10) {
		tmp = Math.atan2(t_1, (t_0 - (Math.cos(phi2) * (Math.cos(lambda2) * Math.sin(phi1)))));
	} else {
		tmp = Math.atan2((Math.sin(lambda1) * Math.cos(phi2)), (t_0 - (Math.cos(phi2) * (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if lambda1 <= -0.000156:
		tmp = math.atan2(t_1, (t_0 - (math.cos(phi2) * (math.cos(lambda1) * math.sin(phi1)))))
	elif lambda1 <= 2.55e-10:
		tmp = math.atan2(t_1, (t_0 - (math.cos(phi2) * (math.cos(lambda2) * math.sin(phi1)))))
	else:
		tmp = math.atan2((math.sin(lambda1) * math.cos(phi2)), (t_0 - (math.cos(phi2) * (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2))))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -0.000156)
		tmp = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * Float64(cos(lambda1) * sin(phi1)))));
	elseif (lambda1 <= 2.55e-10)
		tmp = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * Float64(cos(lambda2) * sin(phi1)))));
	else
		tmp = atan(Float64(sin(lambda1) * cos(phi2)), Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -0.000156)
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))));
	elseif (lambda1 <= 2.55e-10)
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (cos(phi2) * (cos(lambda2) * sin(phi1)))));
	else
		tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -0.000156], N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda1, 2.55e-10], N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda1 < -1.56e-4

   1. Initial program 59.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 59.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 59.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 59.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)} \]

   if -1.56e-4 < lambda1 < 2.54999999999999998e-10

   1. Initial program 99.5%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 99.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}\right)} \]

   if 2.54999999999999998e-10 < lambda1

   1. Initial program 49.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 49.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 49.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 52.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 78.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -0.000156:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 2.55 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 73.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -3.6 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.1 \cdot 10^{-68}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right) - \frac{t\_0 + \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{-2}}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2)))
        (t_1
         (atan2
          (* (cos phi2) t_0)
          (-
           (* (cos phi1) (sin phi2))
           (* (cos phi2) (* (cos lambda1) (sin phi1)))))))
   (if (<= phi2 -3.6e-19)
     t_1
     (if (<= phi2 3.1e-68)
       (atan2
        (-
         (* (cos lambda1) (- 0.0 (sin lambda2)))
         (/ (+ t_0 (sin (+ lambda1 lambda2))) -2.0))
        (* (cos (- lambda1 lambda2)) (- 0.0 (sin phi1))))
       t_1))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = atan2((cos(phi2) * t_0), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))));
	double tmp;
	if (phi2 <= -3.6e-19) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 3.1e-68) {
		tmp = atan2(((cos(lambda1) * (0.0 - sin(lambda2))) - ((t_0 + sin((lambda1 + lambda2))) / -2.0)), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - sin(phi1))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    t_1 = atan2((cos(phi2) * t_0), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))))
    if (phi2 <= (-3.6d-19)) then
        tmp = t_1
    else if (phi2 <= 3.1d-68) then
        tmp = atan2(((cos(lambda1) * (0.0d0 - sin(lambda2))) - ((t_0 + sin((lambda1 + lambda2))) / (-2.0d0))), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0d0 - sin(phi1))))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_0), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.cos(phi2) * (Math.cos(lambda1) * Math.sin(phi1)))));
	double tmp;
	if (phi2 <= -3.6e-19) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 3.1e-68) {
		tmp = Math.atan2(((Math.cos(lambda1) * (0.0 - Math.sin(lambda2))) - ((t_0 + Math.sin((lambda1 + lambda2))) / -2.0)), (Math.cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - Math.sin(phi1))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.atan2((math.cos(phi2) * t_0), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.cos(phi2) * (math.cos(lambda1) * math.sin(phi1)))))
	tmp = 0
	if phi2 <= -3.6e-19:
		tmp = t_1
	elif phi2 <= 3.1e-68:
		tmp = math.atan2(((math.cos(lambda1) * (0.0 - math.sin(lambda2))) - ((t_0 + math.sin((lambda1 + lambda2))) / -2.0)), (math.cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - math.sin(phi1))))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = atan(Float64(cos(phi2) * t_0), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(cos(phi2) * Float64(cos(lambda1) * sin(phi1)))))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -3.6e-19)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 3.1e-68)
		tmp = atan(Float64(Float64(cos(lambda1) * Float64(0.0 - sin(lambda2))) - Float64(Float64(t_0 + sin(Float64(lambda1 + lambda2))) / -2.0)), Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) * Float64(0.0 - sin(phi1))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	t_1 = atan2((cos(phi2) * t_0), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * sin(phi1)))));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -3.6e-19)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 3.1e-68)
		tmp = atan2(((cos(lambda1) * (0.0 - sin(lambda2))) - ((t_0 + sin((lambda1 + lambda2))) / -2.0)), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - sin(phi1))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -3.6e-19], t$95$1, If[LessEqual[phi2, 3.1e-68], N[ArcTan[N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(t$95$0 + N[Sin[N[(lambda1 + lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -3.6000000000000001e-19 or 3.0999999999999999e-68 < phi2

   1. Initial program 72.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 72.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 72.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 65.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)} \]

   if -3.6000000000000001e-19 < phi2 < 3.0999999999999999e-68

   1. Initial program 86.5%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 86.5%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 86.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 86.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 86.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right) + \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_1, 0 - \sin \lambda_2, \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_1, 0 - \sin \lambda_2, \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_1, 0 - \sin \lambda_2, \frac{\mathsf{neg}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_1, 0 - \sin \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. fmm-undef N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right) - \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right), \left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 92.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right) - \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{-2}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   10. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), -2\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), -2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

       2. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), -2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), -2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

       5. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

       6. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-1, \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

       8. sin-lowering-sin.f64 91.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 91.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right) - \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{-2}}{\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -3.6 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3.1 \cdot 10^{-68}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right) - \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{-2}}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 67.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq 2.55 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{t\_0 - t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot t\_1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= lambda1 2.55e-10)
     (atan2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2))) (- t_0 t_1))
     (atan2 (* (sin lambda1) (cos phi2)) (- t_0 (* (cos phi2) t_1))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (lambda1 <= 2.55e-10) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - t_1));
	} else {
		tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), (t_0 - (cos(phi2) * t_1)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))
    if (lambda1 <= 2.55d-10) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - t_1))
    else
        tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), (t_0 - (cos(phi2) * t_1)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (lambda1 <= 2.55e-10) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - t_1));
	} else {
		tmp = Math.atan2((Math.sin(lambda1) * Math.cos(phi2)), (t_0 - (Math.cos(phi2) * t_1)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if lambda1 <= 2.55e-10:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - t_1))
	else:
		tmp = math.atan2((math.sin(lambda1) * math.cos(phi2)), (t_0 - (math.cos(phi2) * t_1)))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= 2.55e-10)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(t_0 - t_1));
	else
		tmp = atan(Float64(sin(lambda1) * cos(phi2)), Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * t_1)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= 2.55e-10)
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - t_1));
	else
		tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), (t_0 - (cos(phi2) * t_1)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, 2.55e-10], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < 2.54999999999999998e-10

   1. Initial program 88.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 77.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 77.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   if 2.54999999999999998e-10 < lambda1

   1. Initial program 49.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 49.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 49.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 52.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 71.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq 2.55 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 78.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{1}{\cos \phi_2}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (/ (sin (- lambda1 lambda2)) (/ 1.0 (cos phi2)))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((sin((lambda1 - lambda2)) / (1.0 / cos(phi2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) / (1.0d0 / cos(phi2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.sin((lambda1 - lambda2)) / (1.0 / Math.cos(phi2))), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.sin((lambda1 - lambda2)) / (1.0 / math.cos(phi2))), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(sin(Float64(lambda1 - lambda2)) / Float64(1.0 / cos(phi2))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) / (1.0 / cos(phi2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.1%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 89.0%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. remove-double-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{1 \cdot 1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \frac{1}{\cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\frac{1}{\cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{1}}{\frac{1}{\cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{1}{\cos \phi_2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\frac{1}{\cos \phi_2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\cos \phi_2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\cos \phi_2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 78.1%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 78.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{1}{\cos \phi_2}}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

7. Final simplification 78.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\frac{1}{\cos \phi_2}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 15: 78.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (cos phi2) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.cos(phi2) * (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.cos(phi2) * (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.1%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. --lowering--.f64 78.1%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 78.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 78.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 16: 48.2% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq 0.00012:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= lambda1 0.00012)
   (atan2
    (sin (- lambda1 lambda2))
    (-
     (* (cos phi1) (sin phi2))
     (* (cos phi2) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))))
   (atan2
    (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
    (sin phi2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= 0.00012) {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	} else {
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (lambda1 <= 0.00012d0) then
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))))
    else
        tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= 0.00012) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.cos(phi2) * (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2))))));
	} else {
		tmp = Math.atan2(((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))), Math.sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if lambda1 <= 0.00012:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.cos(phi2) * (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2))))))
	else:
		tmp = math.atan2(((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))), math.sin(phi2))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= 0.00012)
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))));
	else
		tmp = atan(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= 0.00012)
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	else
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[lambda1, 0.00012], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < 1.20000000000000003e-4

   1. Initial program 88.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 88.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 88.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   if 1.20000000000000003e-4 < lambda1

   1. Initial program 48.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 48.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 48.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 26.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 26.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 17.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 17.6%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sin-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       2. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       4. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       5. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       8. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 33.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 33.0%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 50.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq 0.00012:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 65.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
  (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.1%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 67.9%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 67.9%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

6. Final simplification 67.9%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 18: 49.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -4 \cdot 10^{-72}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0 \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot t\_1}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 5.2 \cdot 10^{-92}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot t\_1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))) (t_1 (cos (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi1 -4e-72)
     (atan2
      (* t_0 (+ 1.0 (* -0.5 (* phi2 phi2))))
      (- (* phi2 (cos phi1)) (* (* (cos phi2) (sin phi1)) t_1)))
     (if (<= phi1 5.2e-92)
       (atan2
        (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
        (sin phi2))
       (atan2 t_0 (- (sin phi2) (* (cos phi2) (* (sin phi1) t_1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -4e-72) {
		tmp = atan2((t_0 * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2)))), ((phi2 * cos(phi1)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)));
	} else if (phi1 <= 5.2e-92) {
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2(t_0, (sin(phi2) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    t_1 = cos((lambda1 - lambda2))
    if (phi1 <= (-4d-72)) then
        tmp = atan2((t_0 * (1.0d0 + ((-0.5d0) * (phi2 * phi2)))), ((phi2 * cos(phi1)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)))
    else if (phi1 <= 5.2d-92) then
        tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2))
    else
        tmp = atan2(t_0, (sin(phi2) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -4e-72) {
		tmp = Math.atan2((t_0 * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2)))), ((phi2 * Math.cos(phi1)) - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * t_1)));
	} else if (phi1 <= 5.2e-92) {
		tmp = Math.atan2(((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))), Math.sin(phi2));
	} else {
		tmp = Math.atan2(t_0, (Math.sin(phi2) - (Math.cos(phi2) * (Math.sin(phi1) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi1 <= -4e-72:
		tmp = math.atan2((t_0 * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2)))), ((phi2 * math.cos(phi1)) - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * t_1)))
	elif phi1 <= 5.2e-92:
		tmp = math.atan2(((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))), math.sin(phi2))
	else:
		tmp = math.atan2(t_0, (math.sin(phi2) - (math.cos(phi2) * (math.sin(phi1) * t_1))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -4e-72)
		tmp = atan(Float64(t_0 * Float64(1.0 + Float64(-0.5 * Float64(phi2 * phi2)))), Float64(Float64(phi2 * cos(phi1)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)));
	elseif (phi1 <= 5.2e-92)
		tmp = atan(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(t_0, Float64(sin(phi2) - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * t_1))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -4e-72)
		tmp = atan2((t_0 * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2)))), ((phi2 * cos(phi1)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)));
	elseif (phi1 <= 5.2e-92)
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2));
	else
		tmp = atan2(t_0, (sin(phi2) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -4e-72], N[ArcTan[N[(t$95$0 * N[(1.0 + N[(-0.5 * N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(phi2 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 5.2e-92], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -3.9999999999999999e-72

   1. Initial program 75.5%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 42.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(\phi_2 \cdot \cos \phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \cos \phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 42.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 42.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}{\color{blue}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   9. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. distribute-rgt1-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right), \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right), \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({\phi_2}^{2}\right)\right)\right), \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)\right), \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. --lowering--.f64 47.1%

           \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 47.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if -3.9999999999999999e-72 < phi1 < 5.2e-92

   1. Initial program 78.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 78.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 78.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 43.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 43.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 43.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 43.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sin-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       2. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       4. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       5. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       8. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 52.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 52.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}}{\sin \phi_2} \]

   if 5.2e-92 < phi1

   1. Initial program 80.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 80.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 80.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 56.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 56.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 56.3%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2} - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 51.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -4 \cdot 10^{-72}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 5.2 \cdot 10^{-92}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 49.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -4.2 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.06 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (sin (- lambda1 lambda2))
          (* (cos (- lambda1 lambda2)) (- 0.0 (sin phi1))))))
   (if (<= phi1 -4.2e-14)
     t_0
     (if (<= phi1 1.06e-16)
       (atan2
        (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
        (sin phi2))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - sin(phi1))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -4.2e-14) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 1.06e-16) {
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0d0 - sin(phi1))))
    if (phi1 <= (-4.2d-14)) then
        tmp = t_0
    else if (phi1 <= 1.06d-16) then
        tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (Math.cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - Math.sin(phi1))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -4.2e-14) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 1.06e-16) {
		tmp = Math.atan2(((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))), Math.sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (math.cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - math.sin(phi1))))
	tmp = 0
	if phi1 <= -4.2e-14:
		tmp = t_0
	elif phi1 <= 1.06e-16:
		tmp = math.atan2(((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))), math.sin(phi2))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) * Float64(0.0 - sin(phi1))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -4.2e-14)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 1.06e-16)
		tmp = atan(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - sin(phi1))));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -4.2e-14)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 1.06e-16)
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -4.2e-14], t$95$0, If[LessEqual[phi1, 1.06e-16], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -4.1999999999999998e-14 or 1.06e-16 < phi1

   1. Initial program 75.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 75.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 75.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 50.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 50.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-1, \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 49.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 49.6%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)}} \]

   if -4.1999999999999998e-14 < phi1 < 1.06e-16

   1. Initial program 81.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 81.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 81.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 46.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 46.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 45.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 45.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sin-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       2. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       4. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       5. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       8. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 52.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 52.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 51.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -4.2 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.06 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 47.4% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq 0.00012:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= lambda1 0.00012)
   (atan2
    (sin (- lambda1 lambda2))
    (- (sin phi2) (* (cos phi2) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))))
   (atan2
    (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
    (sin phi2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= 0.00012) {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (sin(phi2) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	} else {
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (lambda1 <= 0.00012d0) then
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (sin(phi2) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))))
    else
        tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= 0.00012) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (Math.sin(phi2) - (Math.cos(phi2) * (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2))))));
	} else {
		tmp = Math.atan2(((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))), Math.sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if lambda1 <= 0.00012:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (math.sin(phi2) - (math.cos(phi2) * (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2))))))
	else:
		tmp = math.atan2(((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))), math.sin(phi2))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= 0.00012)
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(sin(phi2) - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))));
	else
		tmp = atan(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= 0.00012)
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (sin(phi2) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	else
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))), sin(phi2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[lambda1, 0.00012], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < 1.20000000000000003e-4

   1. Initial program 88.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 88.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 88.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 55.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 55.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2} - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   if 1.20000000000000003e-4 < lambda1

   1. Initial program 48.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 48.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 48.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 26.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 26.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 17.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 17.6%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sin-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       2. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       4. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       5. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       8. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 33.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 33.0%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 49.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq 0.00012:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 47.8% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -5.2 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 2.2 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (sin (- lambda1 lambda2))
          (* (cos (- lambda1 lambda2)) (- 0.0 (sin phi1))))))
   (if (<= phi1 -5.2e-16)
     t_0
     (if (<= phi1 2.2e-16)
       (atan2
        (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
        phi2)
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - sin(phi1))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -5.2e-16) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 2.2e-16) {
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))), phi2);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0d0 - sin(phi1))))
    if (phi1 <= (-5.2d-16)) then
        tmp = t_0
    else if (phi1 <= 2.2d-16) then
        tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))), phi2)
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (Math.cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - Math.sin(phi1))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -5.2e-16) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 2.2e-16) {
		tmp = Math.atan2(((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))), phi2);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (math.cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - math.sin(phi1))))
	tmp = 0
	if phi1 <= -5.2e-16:
		tmp = t_0
	elif phi1 <= 2.2e-16:
		tmp = math.atan2(((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))), phi2)
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) * Float64(0.0 - sin(phi1))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -5.2e-16)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 2.2e-16)
		tmp = atan(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))), phi2);
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - sin(phi1))));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -5.2e-16)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 2.2e-16)
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))), phi2);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -5.2e-16], t$95$0, If[LessEqual[phi1, 2.2e-16], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -5.1999999999999997e-16 or 2.2e-16 < phi1

   1. Initial program 75.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 75.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 75.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 50.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 50.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-1, \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 49.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 49.6%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)}} \]

   if -5.1999999999999997e-16 < phi1 < 2.2e-16

   1. Initial program 81.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 81.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 81.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 46.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 46.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 45.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 45.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 42.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. sin-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \phi_2\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \phi_2\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \phi_2\right) \]

       5. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \phi_2\right) \]

       6. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \phi_2\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \phi_2\right) \]

       8. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \phi_2\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 49.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \phi_2\right) \]

   15. Applied egg-rr 49.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}}{\phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 49.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -5.2 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 2.2 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 44.9% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -5.5 \cdot 10^{-79}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.6 \cdot 10^{-203}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (sin (- lambda1 lambda2))
          (* (cos (- lambda1 lambda2)) (- 0.0 (sin phi1))))))
   (if (<= phi1 -5.5e-79)
     t_0
     (if (<= phi1 1.6e-203)
       (atan2 (- (* lambda1 (cos lambda2)) (sin lambda2)) (sin phi2))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - sin(phi1))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -5.5e-79) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 1.6e-203) {
		tmp = atan2(((lambda1 * cos(lambda2)) - sin(lambda2)), sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0d0 - sin(phi1))))
    if (phi1 <= (-5.5d-79)) then
        tmp = t_0
    else if (phi1 <= 1.6d-203) then
        tmp = atan2(((lambda1 * cos(lambda2)) - sin(lambda2)), sin(phi2))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (Math.cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - Math.sin(phi1))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -5.5e-79) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 1.6e-203) {
		tmp = Math.atan2(((lambda1 * Math.cos(lambda2)) - Math.sin(lambda2)), Math.sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (math.cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - math.sin(phi1))))
	tmp = 0
	if phi1 <= -5.5e-79:
		tmp = t_0
	elif phi1 <= 1.6e-203:
		tmp = math.atan2(((lambda1 * math.cos(lambda2)) - math.sin(lambda2)), math.sin(phi2))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) * Float64(0.0 - sin(phi1))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -5.5e-79)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 1.6e-203)
		tmp = atan(Float64(Float64(lambda1 * cos(lambda2)) - sin(lambda2)), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - sin(phi1))));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -5.5e-79)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 1.6e-203)
		tmp = atan2(((lambda1 * cos(lambda2)) - sin(lambda2)), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -5.5e-79], t$95$0, If[LessEqual[phi1, 1.6e-203], N[ArcTan[N[(N[(lambda1 * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -5.4999999999999997e-79 or 1.6e-203 < phi1

   1. Initial program 78.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 79.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 79.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 51.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 51.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-1, \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 48.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 48.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)}} \]

   if -5.4999999999999997e-79 < phi1 < 1.6e-203

   1. Initial program 75.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 75.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 75.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 40.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 40.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 40.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 40.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   11. Taylor expanded in lambda1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \lambda_1 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       2. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       3. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) - \sin \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       6. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \cos \lambda_2\right), \sin \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       7. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \sin \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       8. sin-lowering-sin.f64 44.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   13. Simplified 44.6%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2}}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 47.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -5.5 \cdot 10^{-79}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.6 \cdot 10^{-203}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 45.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4.5 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 - -0.5 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right) - \sin \lambda_2}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= phi2 -4.5e-16)
   (atan2
    (-
     (* lambda1 (- (cos lambda2) (* -0.5 (* lambda1 (sin lambda2)))))
     (sin lambda2))
    phi2)
   (atan2
    (sin (- lambda1 lambda2))
    (* (cos (- lambda1 lambda2)) (- 0.0 (sin phi1))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= -4.5e-16) {
		tmp = atan2(((lambda1 * (cos(lambda2) - (-0.5 * (lambda1 * sin(lambda2))))) - sin(lambda2)), phi2);
	} else {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - sin(phi1))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (phi2 <= (-4.5d-16)) then
        tmp = atan2(((lambda1 * (cos(lambda2) - ((-0.5d0) * (lambda1 * sin(lambda2))))) - sin(lambda2)), phi2)
    else
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0d0 - sin(phi1))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= -4.5e-16) {
		tmp = Math.atan2(((lambda1 * (Math.cos(lambda2) - (-0.5 * (lambda1 * Math.sin(lambda2))))) - Math.sin(lambda2)), phi2);
	} else {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (Math.cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - Math.sin(phi1))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if phi2 <= -4.5e-16:
		tmp = math.atan2(((lambda1 * (math.cos(lambda2) - (-0.5 * (lambda1 * math.sin(lambda2))))) - math.sin(lambda2)), phi2)
	else:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (math.cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - math.sin(phi1))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -4.5e-16)
		tmp = atan(Float64(Float64(lambda1 * Float64(cos(lambda2) - Float64(-0.5 * Float64(lambda1 * sin(lambda2))))) - sin(lambda2)), phi2);
	else
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) * Float64(0.0 - sin(phi1))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -4.5e-16)
		tmp = atan2(((lambda1 * (cos(lambda2) - (-0.5 * (lambda1 * sin(lambda2))))) - sin(lambda2)), phi2);
	else
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - sin(phi1))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[phi2, -4.5e-16], N[ArcTan[N[(N[(lambda1 * N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] - N[(-0.5 * N[(lambda1 * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -4.5000000000000002e-16

   1. Initial program 73.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 73.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 73.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 21.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 21.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 19.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 19.5%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 19.0%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

   14. Taylor expanded in lambda1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \lambda_1 \cdot \left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)}, \phi_2\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) + \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \phi_2\right) \]

       2. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \phi_2\right) \]

       3. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) - \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       4. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       6. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(\cos \lambda_2 + \frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(\cos \lambda_2, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       8. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       11. sin-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       12. neg-sub0 N/A

           \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       13. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       14. sin-lowering-sin.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       15. sin-lowering-sin.f64 21.7%

           \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \phi_2\right) \]

   16. Simplified 21.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\lambda_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 + -0.5 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right) - \sin \lambda_2}}{\phi_2} \]

   if -4.5000000000000002e-16 < phi2

   1. Initial program 79.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 79.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 79.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 58.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-1, \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 55.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 55.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(-1 \cdot \sin \phi_1\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 46.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4.5 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 - -0.5 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right) - \sin \lambda_2}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 24: 31.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq 3.4 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= lambda1 3.4e+53)
   (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) (sin phi2))
   (atan2 (- (sin lambda1) (* lambda2 (cos lambda1))) (sin phi2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= 3.4e+53) {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2((sin(lambda1) - (lambda2 * cos(lambda1))), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (lambda1 <= 3.4d+53) then
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2))
    else
        tmp = atan2((sin(lambda1) - (lambda2 * cos(lambda1))), sin(phi2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= 3.4e+53) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), Math.sin(phi2));
	} else {
		tmp = Math.atan2((Math.sin(lambda1) - (lambda2 * Math.cos(lambda1))), Math.sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if lambda1 <= 3.4e+53:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), math.sin(phi2))
	else:
		tmp = math.atan2((math.sin(lambda1) - (lambda2 * math.cos(lambda1))), math.sin(phi2))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= 3.4e+53)
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(Float64(sin(lambda1) - Float64(lambda2 * cos(lambda1))), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= 3.4e+53)
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	else
		tmp = atan2((sin(lambda1) - (lambda2 * cos(lambda1))), sin(phi2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[lambda1, 3.4e+53], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] - N[(lambda2 * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < 3.39999999999999998e53

   1. Initial program 86.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 86.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 86.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 53.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 53.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 32.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 32.6%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if 3.39999999999999998e53 < lambda1

   1. Initial program 45.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 45.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 45.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 27.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 27.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 16.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 16.5%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   11. Taylor expanded in lambda2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 + -1 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       2. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\sin \lambda_1, \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       4. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

       6. cos-lowering-cos.f64 26.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   13. Simplified 26.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 25: 30.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq 2.7 \cdot 10^{+52}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}{\phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= lambda1 2.7e+52)
   (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) (sin phi2))
   (atan2 (- (sin lambda1) (* lambda2 (cos lambda1))) phi2)))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= 2.7e+52) {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2((sin(lambda1) - (lambda2 * cos(lambda1))), phi2);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (lambda1 <= 2.7d+52) then
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2))
    else
        tmp = atan2((sin(lambda1) - (lambda2 * cos(lambda1))), phi2)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= 2.7e+52) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), Math.sin(phi2));
	} else {
		tmp = Math.atan2((Math.sin(lambda1) - (lambda2 * Math.cos(lambda1))), phi2);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if lambda1 <= 2.7e+52:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), math.sin(phi2))
	else:
		tmp = math.atan2((math.sin(lambda1) - (lambda2 * math.cos(lambda1))), phi2)
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= 2.7e+52)
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(Float64(sin(lambda1) - Float64(lambda2 * cos(lambda1))), phi2);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= 2.7e+52)
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	else
		tmp = atan2((sin(lambda1) - (lambda2 * cos(lambda1))), phi2);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[lambda1, 2.7e+52], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] - N[(lambda2 * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < 2.7e52

   1. Initial program 86.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 86.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 86.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 53.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 53.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 32.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 32.6%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if 2.7e52 < lambda1

   1. Initial program 45.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 45.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 45.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 27.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 27.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 16.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 16.5%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 14.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

   14. Taylor expanded in lambda2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 + -1 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}, \phi_2\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \phi_2\right) \]

       2. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \phi_2\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\sin \lambda_1, \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \phi_2\right) \]

       4. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \phi_2\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \phi_2\right) \]

       6. cos-lowering-cos.f64 24.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \phi_2\right) \]

   16. Simplified 24.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}}{\phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 26: 31.2% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) (sin phi2)))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), Math.sin(phi2));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), math.sin(phi2))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), sin(phi2))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.1%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. --lowering--.f64 78.1%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 78.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 48.6%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 48.6%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 29.3%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

10. Simplified 29.3%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 27: 31.0% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -5.6 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \left(1 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot -0.16666666666666666\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= phi2 -5.6e+20)
   (atan2 (sin lambda1) phi2)
   (atan2
    (sin (- lambda1 lambda2))
    (* phi2 (+ 1.0 (* (* phi2 phi2) -0.16666666666666666))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= -5.6e+20) {
		tmp = atan2(sin(lambda1), phi2);
	} else {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * -0.16666666666666666))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (phi2 <= (-5.6d+20)) then
        tmp = atan2(sin(lambda1), phi2)
    else
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0d0 + ((phi2 * phi2) * (-0.16666666666666666d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= -5.6e+20) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin(lambda1), phi2);
	} else {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * -0.16666666666666666))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if phi2 <= -5.6e+20:
		tmp = math.atan2(math.sin(lambda1), phi2)
	else:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * -0.16666666666666666))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -5.6e+20)
		tmp = atan(sin(lambda1), phi2);
	else
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(phi2 * Float64(1.0 + Float64(Float64(phi2 * phi2) * -0.16666666666666666))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -5.6e+20)
		tmp = atan2(sin(lambda1), phi2);
	else
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * -0.16666666666666666))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[phi2, -5.6e+20], N[ArcTan[N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(phi2 * N[(1.0 + N[(N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -5.6e20

   1. Initial program 73.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 73.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 73.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 18.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 18.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 16.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 16.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 16.2%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

   14. Taylor expanded in lambda2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \phi_2\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. sin-lowering-sin.f64 18.3%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \phi_2\right) \]

   16. Simplified 18.3%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\phi_2} \]

   if -5.6e20 < phi2

   1. Initial program 79.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 79.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 79.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 58.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 58.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 33.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 33.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\phi_2 \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2}\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\phi_2 \cdot \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 33.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 33.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 29.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -5.6 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \left(1 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot -0.16666666666666666\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 28: 28.5% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) phi2))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2)
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), phi2)

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), phi2)
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.1%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. --lowering--.f64 78.1%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 78.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 48.6%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 48.6%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 29.3%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

10. Simplified 29.3%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

11. Taylor expanded in phi2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
12. Step-by-step derivation

13. Simplified 27.1%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 29: 21.5% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2 (sin lambda1) phi2))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin(lambda1), phi2);
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin(lambda1), phi2)
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin(lambda1), phi2);
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin(lambda1), phi2)

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(lambda1), phi2)
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin(lambda1), phi2);
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.1%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. --lowering--.f64 78.1%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 78.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 48.6%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 48.6%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 29.3%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

10. Simplified 29.3%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

11. Taylor expanded in phi2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
12. Step-by-step derivation

13. Simplified 27.1%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

14. Taylor expanded in lambda2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \phi_2\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. sin-lowering-sin.f64 20.0%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \phi_2\right) \]

16. Simplified 20.0%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\phi_2} \]
17. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
  :name "Bearing on a great circle"
  :precision binary64
  (atan2 (* (sin (- lambda1 lambda2)) (cos phi2)) (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (* (sin phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))