Midpoint on a great circle

Percentage Accurate: 98.6% → 99.6%

Time: 23.0s

Alternatives: 22

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}} + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (*
    (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
    (cos phi2))
   (+
    (cos phi1)
    (*
     (cos phi2)
     (+
      (/ 1.0 (/ 1.0 (* (sin lambda1) (sin lambda2))))
      (* (cos lambda2) (cos lambda1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((1.0 / (1.0 / (sin(lambda1) * sin(lambda2)))) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((1.0d0 / (1.0d0 / (sin(lambda1) * sin(lambda2)))) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * ((1.0 / (1.0 / (Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)))) + (Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * ((1.0 / (1.0 / (math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)))) + (math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(1.0 / Float64(1.0 / Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)))) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((1.0 / (1.0 / (sin(lambda1) * sin(lambda2)))) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / N[(1.0 / N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 98.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]
7. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.5%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sin-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) - \cos \left(\lambda_2 + \lambda_1\right)}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) - \cos \left(\lambda_2 + \lambda_1\right)}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) - \cos \left(\lambda_2 + \lambda_1\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) - \cos \left(\lambda_2 + \lambda_1\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. sin-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. sin-lowering-sin.f64 99.5%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 99.5%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}}} + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2} \]

13. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\frac{1}{\frac{1}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}} + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (*
    (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
    (cos phi2))
   (+
    (cos phi1)
    (*
     (cos phi2)
     (+ (* (sin lambda1) (sin lambda2)) (* (cos lambda2) (cos lambda1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)) + (Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)) + (math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 98.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]
7. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2} \]

9. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (*
    (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
    (cos phi2))
   (+
    (cos phi1)
    (*
     (cos phi2)
     (+ (* (cos lambda2) (cos lambda1)) (* lambda1 (sin lambda2))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((cos(lambda2) * cos(lambda1)) + (lambda1 * sin(lambda2))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((cos(lambda2) * cos(lambda1)) + (lambda1 * sin(lambda2))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * ((Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1)) + (lambda1 * Math.sin(lambda2))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * ((math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1)) + (lambda1 * math.sin(lambda2))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)) + Float64(lambda1 * sin(lambda2)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((cos(lambda2) * cos(lambda1)) + (lambda1 * sin(lambda2))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(lambda1 * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 98.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]
7. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1, \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.5%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2} \]

11. Taylor expanded in lambda1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \color{blue}{\lambda_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

13. Simplified 98.3%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \left(\sin \lambda_2 \cdot \color{blue}{\lambda_1} + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2} \]

14. Final simplification 98.3%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.7% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (*
    (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
    (cos phi2))
   (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2))) * Math.cos(phi2)), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2))) * math.cos(phi2)), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 98.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

7. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.7% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (+
    (cos phi1)
    (*
     (cos phi2)
     (+ (* (sin lambda1) (sin lambda2)) (* (cos lambda2) (cos lambda1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)) + (Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)) + (math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 98.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2} \]

7. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 88.2% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot t\_0\\ t_2 := \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq -0.15:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\cos \phi_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\cos \phi_2 \leq 0.9986:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{1 + t\_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 + t\_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (* (cos phi2) t_0))
        (t_2 (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= (cos phi2) -0.15)
     (+ lambda1 (atan2 t_1 (+ (cos phi1) (* (cos lambda1) (cos phi2)))))
     (if (<= (cos phi2) 0.9986)
       (+ lambda1 (atan2 t_1 (+ 1.0 t_2)))
       (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ (cos phi1) t_2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = cos(phi2) * t_0;
	double t_2 = cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= -0.15) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + (cos(lambda1) * cos(phi2))));
	} else if (cos(phi2) <= 0.9986) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (1.0 + t_2));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + t_2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    t_1 = cos(phi2) * t_0
    t_2 = cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2))
    if (cos(phi2) <= (-0.15d0)) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + (cos(lambda1) * cos(phi2))))
    else if (cos(phi2) <= 0.9986d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_1, (1.0d0 + t_2))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + t_2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.cos(phi2) * t_0;
	double t_2 = Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= -0.15) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_1, (Math.cos(phi1) + (Math.cos(lambda1) * Math.cos(phi2))));
	} else if (Math.cos(phi2) <= 0.9986) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_1, (1.0 + t_2));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi1) + t_2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.cos(phi2) * t_0
	t_2 = math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= -0.15:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_1, (math.cos(phi1) + (math.cos(lambda1) * math.cos(phi2))))
	elif math.cos(phi2) <= 0.9986:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_1, (1.0 + t_2))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(phi1) + t_2))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * t_0)
	t_2 = Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= -0.15)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_1, Float64(cos(phi1) + Float64(cos(lambda1) * cos(phi2)))));
	elseif (cos(phi2) <= 0.9986)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_1, Float64(1.0 + t_2)));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(phi1) + t_2)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	t_1 = cos(phi2) * t_0;
	t_2 = cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= -0.15)
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + (cos(lambda1) * cos(phi2))));
	elseif (cos(phi2) <= 0.9986)
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (1.0 + t_2));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + t_2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], -0.15], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.9986], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$1 / N[(1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < -0.149999999999999994

   1. Initial program 97.1%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 97.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 88.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 88.0%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_1}} \]

   if -0.149999999999999994 < (cos.f64 phi2) < 0.998600000000000043

   1. Initial program 96.1%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 96.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 80.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.8%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1}} \]

   if 0.998600000000000043 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 99.3%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 98.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq -0.15:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\cos \phi_2 \leq 0.9986:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 88.1% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \cos \phi_2 \cdot t\_1\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq -0.15:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_2}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{elif}\;\cos \phi_2 \leq 0.9986:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_2}{1 + t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\cos \phi_1 + t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2))))
        (t_1 (sin (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (* (cos phi2) t_1)))
   (if (<= (cos phi2) -0.15)
     (+ lambda1 (atan2 t_2 (+ (cos phi2) (cos phi1))))
     (if (<= (cos phi2) 0.9986)
       (+ lambda1 (atan2 t_2 (+ 1.0 t_0)))
       (+ lambda1 (atan2 t_1 (+ (cos phi1) t_0)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = sin((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = cos(phi2) * t_1;
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= -0.15) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_2, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	} else if (cos(phi2) <= 0.9986) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_2, (1.0 + t_0));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + t_0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = sin((lambda1 - lambda2))
    t_2 = cos(phi2) * t_1
    if (cos(phi2) <= (-0.15d0)) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_2, (cos(phi2) + cos(phi1)))
    else if (cos(phi2) <= 0.9986d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_2, (1.0d0 + t_0))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + t_0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = Math.cos(phi2) * t_1;
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= -0.15) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_2, (Math.cos(phi2) + Math.cos(phi1)));
	} else if (Math.cos(phi2) <= 0.9986) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_2, (1.0 + t_0));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_1, (Math.cos(phi1) + t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	t_2 = math.cos(phi2) * t_1
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= -0.15:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_2, (math.cos(phi2) + math.cos(phi1)))
	elif math.cos(phi2) <= 0.9986:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_2, (1.0 + t_0))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_1, (math.cos(phi1) + t_0))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))
	t_1 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(cos(phi2) * t_1)
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= -0.15)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_2, Float64(cos(phi2) + cos(phi1))));
	elseif (cos(phi2) <= 0.9986)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_2, Float64(1.0 + t_0)));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_1, Float64(cos(phi1) + t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = sin((lambda1 - lambda2));
	t_2 = cos(phi2) * t_1;
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= -0.15)
		tmp = lambda1 + atan2(t_2, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	elseif (cos(phi2) <= 0.9986)
		tmp = lambda1 + atan2(t_2, (1.0 + t_0));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], -0.15], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$2 / N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.9986], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$2 / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < -0.149999999999999994

   1. Initial program 97.1%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 97.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + -1 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \lambda_2, \left(-1 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(-1 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 97.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.2%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\left(\cos \lambda_2 + \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 88.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 88.0%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}} \]

   if -0.149999999999999994 < (cos.f64 phi2) < 0.998600000000000043

   1. Initial program 96.1%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 96.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 80.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.8%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1}} \]

   if 0.998600000000000043 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 99.3%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 98.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq -0.15:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{elif}\;\cos \phi_2 \leq 0.9986:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.6% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2, \cos \phi_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (fma (cos (- lambda1 lambda2)) (cos phi2) (cos phi1)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), fma(cos((lambda1 - lambda2)), cos(phi2), cos(phi1)));
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), fma(cos(Float64(lambda1 - lambda2)), cos(phi2), cos(phi1))))
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\cos \phi_2}, \cos \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\cos \phi_2}, \cos \phi_1\right)\right)\right) \]

   4. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \color{blue}{\phi_2}, \cos \phi_1\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2, \cos \phi_1\right)\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \phi_1\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2, \cos \phi_1\right)}} \]

7. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2, \cos \phi_1\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 9: 88.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.997:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= (cos phi2) 0.997)
     (+ lambda1 (atan2 (* (cos phi2) t_0) (+ (cos phi2) (cos phi1))))
     (+
      lambda1
      (atan2 t_0 (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= 0.997) {
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), (cos(phi2) + cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (cos(phi2) <= 0.997d0) then
        tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), (cos(phi2) + cos(phi1)))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= 0.997) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_0), (Math.cos(phi2) + Math.cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= 0.997:
		tmp = lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * t_0), (math.cos(phi2) + math.cos(phi1)))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= 0.997)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * t_0), Float64(cos(phi2) + cos(phi1))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= 0.997)
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), (cos(phi2) + cos(phi1)));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.997], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < 0.996999999999999997

   1. Initial program 96.6%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 96.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 96.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + -1 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \lambda_2, \left(-1 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(-1 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 95.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.8%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\left(\cos \lambda_2 + \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 79.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 79.6%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}} \]

   if 0.996999999999999997 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 99.3%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 97.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 88.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.997:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 69.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.998:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right) - \lambda_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= (cos phi2) 0.998)
   (+
    lambda1
    (atan2 (* lambda1 (cos phi2)) (+ (cos phi1) (* (cos lambda1) (cos phi2)))))
   (+
    lambda1
    (atan2
     (- (* lambda1 (+ 1.0 (* -0.5 (* lambda2 lambda2)))) lambda2)
     (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= 0.998) {
		tmp = lambda1 + atan2((lambda1 * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(lambda1) * cos(phi2))));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(((lambda1 * (1.0 + (-0.5 * (lambda2 * lambda2)))) - lambda2), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (cos(phi2) <= 0.998d0) then
        tmp = lambda1 + atan2((lambda1 * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(lambda1) * cos(phi2))))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(((lambda1 * (1.0d0 + ((-0.5d0) * (lambda2 * lambda2)))) - lambda2), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= 0.998) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2((lambda1 * Math.cos(phi2)), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(lambda1) * Math.cos(phi2))));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(((lambda1 * (1.0 + (-0.5 * (lambda2 * lambda2)))) - lambda2), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= 0.998:
		tmp = lambda1 + math.atan2((lambda1 * math.cos(phi2)), (math.cos(phi1) + (math.cos(lambda1) * math.cos(phi2))))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(((lambda1 * (1.0 + (-0.5 * (lambda2 * lambda2)))) - lambda2), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= 0.998)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(Float64(lambda1 * cos(phi2)), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(lambda1) * cos(phi2)))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(Float64(Float64(lambda1 * Float64(1.0 + Float64(-0.5 * Float64(lambda2 * lambda2)))) - lambda2), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= 0.998)
		tmp = lambda1 + atan2((lambda1 * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(lambda1) * cos(phi2))));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(((lambda1 * (1.0 + (-0.5 * (lambda2 * lambda2)))) - lambda2), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.998], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(lambda1 * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[(lambda1 * N[(1.0 + N[(-0.5 * N[(lambda2 * lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - lambda2), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < 0.998

   1. Initial program 96.6%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 96.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 96.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 65.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 65.1%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 63.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 63.7%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \lambda_1}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   11. Taylor expanded in lambda2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

       2. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

       5. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]

       6. cos-lowering-cos.f64 63.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 63.7%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \lambda_1}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_1}} \]

   if 0.998 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 99.3%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\lambda_2 \cdot \left(-1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\lambda_2 \cdot \left(-1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right) + \lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right) + \lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right) + \lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right) + \lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right) + \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right) \cdot \lambda_2 + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right) \cdot \lambda_2 + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right) + -1 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right) \cdot \lambda_2 + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 76.9%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\lambda_2 \cdot \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right) + 1\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right) - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right) - \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right) \cdot \lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right) \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right) \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right) \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right), \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot {\lambda_2}^{2}\right), \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - \frac{1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right), \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right), \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\lambda_2}^{2}\right)\right)\right), \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right)\right), \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right)\right), \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right)\right), \lambda_1\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right)\right), \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 76.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right)\right), \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 76.7%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \left(\left(1 - 0.5 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right) \cdot \lambda_1\right) - \cos \phi_2 \cdot \lambda_2}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\lambda_1 \cdot \left(1 - \frac{1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right) - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \left(1 - \frac{1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(1 - \frac{1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right)\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right)\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({\lambda_2}^{2}\right)\right)\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 76.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 76.7%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\lambda_1 \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right) - \lambda_2}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 70.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.998:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right) - \lambda_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 98.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 12: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (+ (cos phi1) (* (cos lambda2) (cos phi2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(lambda2) * cos(phi2))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(lambda2) * cos(phi2))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(lambda2) * Math.cos(phi2))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(lambda2) * math.cos(phi2))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(lambda2) * cos(phi2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(lambda2) * cos(phi2))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 97.2%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

8. Final simplification 97.2%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 13: 66.3% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq -0.138:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right) - \lambda_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= (cos phi2) -0.138)
   (+
    lambda1
    (atan2
     (* lambda1 (cos phi2))
     (+ 1.0 (* (cos phi2) (cos (- lambda2 lambda1))))))
   (+
    lambda1
    (atan2
     (- (* lambda1 (+ 1.0 (* -0.5 (* lambda2 lambda2)))) lambda2)
     (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= -0.138) {
		tmp = lambda1 + atan2((lambda1 * cos(phi2)), (1.0 + (cos(phi2) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(((lambda1 * (1.0 + (-0.5 * (lambda2 * lambda2)))) - lambda2), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (cos(phi2) <= (-0.138d0)) then
        tmp = lambda1 + atan2((lambda1 * cos(phi2)), (1.0d0 + (cos(phi2) * cos((lambda2 - lambda1)))))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(((lambda1 * (1.0d0 + ((-0.5d0) * (lambda2 * lambda2)))) - lambda2), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= -0.138) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2((lambda1 * Math.cos(phi2)), (1.0 + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(((lambda1 * (1.0 + (-0.5 * (lambda2 * lambda2)))) - lambda2), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= -0.138:
		tmp = lambda1 + math.atan2((lambda1 * math.cos(phi2)), (1.0 + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda2 - lambda1)))))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(((lambda1 * (1.0 + (-0.5 * (lambda2 * lambda2)))) - lambda2), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= -0.138)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(Float64(lambda1 * cos(phi2)), Float64(1.0 + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda2 - lambda1))))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(Float64(Float64(lambda1 * Float64(1.0 + Float64(-0.5 * Float64(lambda2 * lambda2)))) - lambda2), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= -0.138)
		tmp = lambda1 + atan2((lambda1 * cos(phi2)), (1.0 + (cos(phi2) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(((lambda1 * (1.0 + (-0.5 * (lambda2 * lambda2)))) - lambda2), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], -0.138], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(lambda1 * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[(lambda1 * N[(1.0 + N[(-0.5 * N[(lambda2 * lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - lambda2), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < -0.13800000000000001

   1. Initial program 97.1%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 97.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 72.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 72.8%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 72.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 72.8%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \lambda_1}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   11. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \color{blue}{\left(1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       3. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       4. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. distribute-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right) + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. neg-mul-1 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. --lowering--.f64 58.4%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 58.4%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \lambda_1}{\color{blue}{1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}} \]

   if -0.13800000000000001 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 98.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\lambda_2 \cdot \left(-1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\lambda_2 \cdot \left(-1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right) + \lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right) + \lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right) + \lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right) + \lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right) + \left(\lambda_2 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right) + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right) \cdot \lambda_2 + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right) \cdot \lambda_2 + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right) + -1 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right) \cdot \lambda_2 + \cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 74.1%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\lambda_2 \cdot \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right) + 1\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \lambda_1\right) - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right) - \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right) \cdot \lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right) \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right) \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right) \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right), \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot {\lambda_2}^{2}\right), \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - \frac{1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right), \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right), \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\lambda_2}^{2}\right)\right)\right), \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right)\right), \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right)\right), \lambda_1\right)\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right)\right), \lambda_1\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right)\right), \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 73.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right)\right), \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 73.1%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \left(\left(1 - 0.5 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right) \cdot \lambda_1\right) - \cos \phi_2 \cdot \lambda_2}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\lambda_1 \cdot \left(1 - \frac{1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right) - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \left(1 - \frac{1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(1 - \frac{1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right)\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right)\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {\lambda_2}^{2}\right)\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({\lambda_2}^{2}\right)\right)\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 69.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \lambda_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 69.1%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\lambda_1 \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right) - \lambda_2}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 66.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq -0.138:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right) - \lambda_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 61.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\\ t_1 := \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_1 \leq 0.9985:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\cos \phi_1 + t\_0 \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{1 + \cos \phi_2 \cdot t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda2 lambda1))) (t_1 (* lambda1 (cos phi2))))
   (if (<= (cos phi1) 0.9985)
     (+
      lambda1
      (atan2 t_1 (+ (cos phi1) (* t_0 (+ 1.0 (* -0.5 (* phi2 phi2)))))))
     (+ lambda1 (atan2 t_1 (+ 1.0 (* (cos phi2) t_0)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda2 - lambda1));
	double t_1 = lambda1 * cos(phi2);
	double tmp;
	if (cos(phi1) <= 0.9985) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + (t_0 * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2))))));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (1.0 + (cos(phi2) * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda2 - lambda1))
    t_1 = lambda1 * cos(phi2)
    if (cos(phi1) <= 0.9985d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + (t_0 * (1.0d0 + ((-0.5d0) * (phi2 * phi2))))))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_1, (1.0d0 + (cos(phi2) * t_0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda2 - lambda1));
	double t_1 = lambda1 * Math.cos(phi2);
	double tmp;
	if (Math.cos(phi1) <= 0.9985) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_1, (Math.cos(phi1) + (t_0 * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2))))));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_1, (1.0 + (Math.cos(phi2) * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda2 - lambda1))
	t_1 = lambda1 * math.cos(phi2)
	tmp = 0
	if math.cos(phi1) <= 0.9985:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_1, (math.cos(phi1) + (t_0 * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2))))))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_1, (1.0 + (math.cos(phi2) * t_0)))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda2 - lambda1))
	t_1 = Float64(lambda1 * cos(phi2))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi1) <= 0.9985)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_1, Float64(cos(phi1) + Float64(t_0 * Float64(1.0 + Float64(-0.5 * Float64(phi2 * phi2)))))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_1, Float64(1.0 + Float64(cos(phi2) * t_0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda2 - lambda1));
	t_1 = lambda1 * cos(phi2);
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi1) <= 0.9985)
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + (t_0 * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2))))));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (1.0 + (cos(phi2) * t_0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(lambda1 * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi1], $MachinePrecision], 0.9985], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(1.0 + N[(-0.5 * N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$1 / N[(1.0 + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f64 phi1) < 0.998500000000000054

   1. Initial program 97.5%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 97.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 66.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 66.1%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 64.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 64.7%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \lambda_1}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{{\phi_2}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{{\phi_2}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot {\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       4. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot {\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. distribute-rgt1-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right), \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({\phi_2}^{2}\right)\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \color{blue}{\lambda_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. remove-double-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. distribute-neg-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right) + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 59.4%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \lambda_1}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}} \]

   if 0.998500000000000054 < (cos.f64 phi1)

   1. Initial program 98.3%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 60.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 60.8%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 60.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 60.5%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \lambda_1}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   11. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \color{blue}{\left(1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       3. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       4. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. distribute-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right) + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. neg-mul-1 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. --lowering--.f64 60.0%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 60.0%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \lambda_1}{\color{blue}{1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 59.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_1 \leq 0.9985:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 61.1% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_1 \leq 0.9985:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= (cos phi1) 0.9985)
   (+
    lambda1
    (atan2 lambda1 (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2))))))
   (+
    lambda1
    (atan2
     (* lambda1 (cos phi2))
     (+ 1.0 (* (cos phi2) (cos (- lambda2 lambda1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (cos(phi1) <= 0.9985) {
		tmp = lambda1 + atan2(lambda1, (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2((lambda1 * cos(phi2)), (1.0 + (cos(phi2) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (cos(phi1) <= 0.9985d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(lambda1, (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    else
        tmp = lambda1 + atan2((lambda1 * cos(phi2)), (1.0d0 + (cos(phi2) * cos((lambda2 - lambda1)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (Math.cos(phi1) <= 0.9985) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(lambda1, (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2((lambda1 * Math.cos(phi2)), (1.0 + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda2 - lambda1)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if math.cos(phi1) <= 0.9985:
		tmp = lambda1 + math.atan2(lambda1, (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2((lambda1 * math.cos(phi2)), (1.0 + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda2 - lambda1)))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (cos(phi1) <= 0.9985)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(lambda1, Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(Float64(lambda1 * cos(phi2)), Float64(1.0 + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda2 - lambda1))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi1) <= 0.9985)
		tmp = lambda1 + atan2(lambda1, (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = lambda1 + atan2((lambda1 * cos(phi2)), (1.0 + (cos(phi2) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[N[Cos[phi1], $MachinePrecision], 0.9985], N[(lambda1 + N[ArcTan[lambda1 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(lambda1 * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f64 phi1) < 0.998500000000000054

   1. Initial program 97.5%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 97.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 66.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 66.1%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 57.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 57.4%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   11. Taylor expanded in lambda1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 57.3%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\lambda_1}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   if 0.998500000000000054 < (cos.f64 phi1)

   1. Initial program 98.3%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 60.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 60.8%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 60.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 60.5%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \lambda_1}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

   11. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \color{blue}{\left(1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       3. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       4. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. distribute-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right) + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. neg-mul-1 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. --lowering--.f64 60.0%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 60.0%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \lambda_1}{\color{blue}{1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_1 \leq 0.9985:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 78.4% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2))) (+ (cos phi2) (cos phi1)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi2) + cos(phi1)));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi2) + cos(phi1)))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi2) + Math.cos(phi1)));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi2) + math.cos(phi1)))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi2) + cos(phi1))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi2) + cos(phi1)));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) + -1 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \lambda_2, \left(-1 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(-1 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 97.2%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\left(\cos \lambda_2 + \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2} \]

8. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

   4. cos-lowering-cos.f64 79.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 79.0%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}} \]

11. Final simplification 79.0%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 17: 58.7% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2 lambda1 (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2(lambda1, (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2(lambda1, (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2(lambda1, (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2(lambda1, (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(lambda1, Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2(lambda1, (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[lambda1 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 63.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 63.5%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 55.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 55.5%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

11. Taylor expanded in lambda1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

13. Simplified 55.3%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\lambda_1}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

14. Final simplification 55.3%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 18: 58.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+ lambda1 (atan2 (sin lambda1) (+ (cos phi1) (cos (- lambda2 lambda1))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2(sin(lambda1), (cos(phi1) + cos((lambda2 - lambda1))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2(sin(lambda1), (cos(phi1) + cos((lambda2 - lambda1))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2(Math.sin(lambda1), (Math.cos(phi1) + Math.cos((lambda2 - lambda1))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2(math.sin(lambda1), (math.cos(phi1) + math.cos((lambda2 - lambda1))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(sin(lambda1), Float64(cos(phi1) + cos(Float64(lambda2 - lambda1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2(sin(lambda1), (cos(phi1) + cos((lambda2 - lambda1))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 63.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 63.5%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 55.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 55.5%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

11. Taylor expanded in phi2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

    2. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

    3. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. cos-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

    9. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. unsub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. --lowering--.f64 55.0%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 55.0%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 19: 57.6% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\cos \lambda_2 + \cos \phi_1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+ lambda1 (atan2 (sin lambda1) (+ (cos lambda2) (cos phi1)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2(sin(lambda1), (cos(lambda2) + cos(phi1)));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2(sin(lambda1), (cos(lambda2) + cos(phi1)))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2(Math.sin(lambda1), (Math.cos(lambda2) + Math.cos(phi1)));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2(math.sin(lambda1), (math.cos(lambda2) + math.cos(phi1)))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(sin(lambda1), Float64(cos(lambda2) + cos(phi1))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2(sin(lambda1), (cos(lambda2) + cos(phi1)));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 63.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 63.5%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 55.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 55.5%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

11. Taylor expanded in phi2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

    2. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

    3. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. cos-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

    9. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. unsub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. --lowering--.f64 55.0%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 55.0%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}} \]

14. Taylor expanded in lambda1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\cos \lambda_2}\right)\right)\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. cos-lowering-cos.f64 54.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 54.9%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\cos \lambda_2}} \]

17. Final simplification 54.9%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\cos \lambda_2 + \cos \phi_1} \]
18. Add Preprocessing

Alternative 20: 57.7% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1 \cdot \left(1 + \lambda_1 \cdot \left(\lambda_1 \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* lambda1 (+ 1.0 (* lambda1 (* lambda1 -0.16666666666666666))))
   (+ (cos phi1) (cos (- lambda2 lambda1))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((lambda1 * (1.0 + (lambda1 * (lambda1 * -0.16666666666666666)))), (cos(phi1) + cos((lambda2 - lambda1))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((lambda1 * (1.0d0 + (lambda1 * (lambda1 * (-0.16666666666666666d0))))), (cos(phi1) + cos((lambda2 - lambda1))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((lambda1 * (1.0 + (lambda1 * (lambda1 * -0.16666666666666666)))), (Math.cos(phi1) + Math.cos((lambda2 - lambda1))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((lambda1 * (1.0 + (lambda1 * (lambda1 * -0.16666666666666666)))), (math.cos(phi1) + math.cos((lambda2 - lambda1))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(lambda1 * Float64(1.0 + Float64(lambda1 * Float64(lambda1 * -0.16666666666666666)))), Float64(cos(phi1) + cos(Float64(lambda2 - lambda1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((lambda1 * (1.0 + (lambda1 * (lambda1 * -0.16666666666666666)))), (cos(phi1) + cos((lambda2 - lambda1))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(lambda1 * N[(1.0 + N[(lambda1 * N[(lambda1 * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 63.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 63.5%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 55.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 55.5%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

11. Taylor expanded in phi2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

    2. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

    3. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. cos-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

    9. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. unsub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. --lowering--.f64 55.0%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 55.0%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}} \]

14. Taylor expanded in lambda1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\lambda_1 \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {\lambda_1}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {\lambda_1}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {\lambda_1}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\lambda_1}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\lambda_1 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\lambda_1 \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \left(\lambda_1 \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 54.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 54.8%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\lambda_1 \cdot \left(1 + \lambda_1 \cdot \left(\lambda_1 \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 21: 57.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\lambda_1}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+ lambda1 (atan2 lambda1 (+ (cos phi1) (cos (- lambda2 lambda1))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2(lambda1, (cos(phi1) + cos((lambda2 - lambda1))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2(lambda1, (cos(phi1) + cos((lambda2 - lambda1))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2(lambda1, (Math.cos(phi1) + Math.cos((lambda2 - lambda1))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2(lambda1, (math.cos(phi1) + math.cos((lambda2 - lambda1))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(lambda1, Float64(cos(phi1) + cos(Float64(lambda2 - lambda1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2(lambda1, (cos(phi1) + cos((lambda2 - lambda1))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[lambda1 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 63.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 63.5%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 55.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 55.5%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]

11. Taylor expanded in phi2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

    2. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

    3. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. cos-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

    9. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. unsub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. --lowering--.f64 55.0%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 55.0%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}} \]

14. Taylor expanded in lambda1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right) \]
15. Step-by-step derivation

16. Simplified 54.8%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\lambda_1}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 22: 52.2% accurate, 614.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2) :precision binary64 lambda1)

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return lambda1
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := lambda1

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda1 around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1} \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 48.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
  :name "Midpoint on a great circle"
  :precision binary64
  (+ lambda1 (atan2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2))) (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))