Quadratic roots, wide range

Percentage Accurate: 17.7% → 97.7%

Time: 17.9s

Alternatives: 7

Speedup: 23.2×

Specification

\[\left(\left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < a \land a < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < b \land b < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < c \land c < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 17.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.7% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot \left(c \cdot \frac{a \cdot \left(\frac{-5 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b \cdot b} + -2\right)}{{b}^{5}} + \frac{-1}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right) - \frac{c}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (-
  (*
   a
   (*
    (* c c)
    (+
     (* c (/ (* a (+ (/ (* -5.0 (* a c)) (* b b)) -2.0)) (pow b 5.0)))
     (/ -1.0 (* b (* b b))))))
  (/ c b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (a * ((c * c) * ((c * ((a * (((-5.0 * (a * c)) / (b * b)) + -2.0)) / pow(b, 5.0))) + (-1.0 / (b * (b * b)))))) - (c / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (a * ((c * c) * ((c * ((a * ((((-5.0d0) * (a * c)) / (b * b)) + (-2.0d0))) / (b ** 5.0d0))) + ((-1.0d0) / (b * (b * b)))))) - (c / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (a * ((c * c) * ((c * ((a * (((-5.0 * (a * c)) / (b * b)) + -2.0)) / Math.pow(b, 5.0))) + (-1.0 / (b * (b * b)))))) - (c / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (a * ((c * c) * ((c * ((a * (((-5.0 * (a * c)) / (b * b)) + -2.0)) / math.pow(b, 5.0))) + (-1.0 / (b * (b * b)))))) - (c / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(a * Float64(Float64(c * c) * Float64(Float64(c * Float64(Float64(a * Float64(Float64(Float64(-5.0 * Float64(a * c)) / Float64(b * b)) + -2.0)) / (b ^ 5.0))) + Float64(-1.0 / Float64(b * Float64(b * b)))))) - Float64(c / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (a * ((c * c) * ((c * ((a * (((-5.0 * (a * c)) / (b * b)) + -2.0)) / (b ^ 5.0))) + (-1.0 / (b * (b * b)))))) - (c / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(a * N[(N[(c * c), $MachinePrecision] * N[(N[(c * N[(N[(a * N[(N[(N[(-5.0 * N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Power[b, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-1.0 / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.8%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(-1 \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} + a \cdot \left(-2 \cdot \frac{{c}^{3}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{4} \cdot \frac{a \cdot \left(4 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} + 16 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{b}\right)\right)} \]

7. Simplified 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(a \cdot \left(\frac{\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot -2}{{b}^{5}} + \frac{-0.25 \cdot \left(\frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} \cdot \left(20 \cdot a\right)\right)}{b}\right) - \frac{c \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{c}{b}} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left({c}^{2} \cdot \left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right) - \frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left({c}^{2}\right), \left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right) - \frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot c\right), \left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right) - \frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right) - \frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

10. Simplified 97.5%

    \[\leadsto a \cdot \color{blue}{\left(\left(c \cdot c\right) \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-5 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{{b}^{7}} + \frac{a \cdot -2}{{b}^{5}}\right) + \frac{-1}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)} - \frac{c}{b} \]

11. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} + -2 \cdot a}{{b}^{5}}\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} + -2 \cdot a\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-5 \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-5 \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2}\right), c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a\right), c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    12. pow-lowering-pow.f64 97.5%

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, a\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(b, 5\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

13. Simplified 97.5%

    \[\leadsto a \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot \left(c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-5 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot c\right)}{b \cdot b} + -2 \cdot a}{{b}^{5}}} + \frac{-1}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right) - \frac{c}{b} \]

14. Taylor expanded in a around 0

    \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(-5 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - 2\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(b, 5\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-5 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(b, 5\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    2. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-5 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(b, 5\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-5 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + -2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(b, 5\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(-5 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right), -2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(b, 5\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    5. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-5 \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right), -2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(b, 5\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-5 \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), -2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(b, 5\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), -2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(b, 5\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), -2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(b, 5\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), -2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(b, 5\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 97.5%

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(b, 5\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

16. Simplified 97.5%

    \[\leadsto a \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot \left(c \cdot \frac{\color{blue}{a \cdot \left(\frac{-5 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b \cdot b} + -2\right)}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right) - \frac{c}{b} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.0% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(\frac{c \cdot \left(-2 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{{b}^{4}} - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}\right) - c}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (-
   (-
    (/ (* c (* -2.0 (* c (* c (* a a))))) (pow b 4.0))
    (/ (* a (* c c)) (* b b)))
   c)
  b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((((c * (-2.0 * (c * (c * (a * a))))) / pow(b, 4.0)) - ((a * (c * c)) / (b * b))) - c) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((((c * ((-2.0d0) * (c * (c * (a * a))))) / (b ** 4.0d0)) - ((a * (c * c)) / (b * b))) - c) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((((c * (-2.0 * (c * (c * (a * a))))) / Math.pow(b, 4.0)) - ((a * (c * c)) / (b * b))) - c) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((((c * (-2.0 * (c * (c * (a * a))))) / math.pow(b, 4.0)) - ((a * (c * c)) / (b * b))) - c) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(c * Float64(-2.0 * Float64(c * Float64(c * Float64(a * a))))) / (b ^ 4.0)) - Float64(Float64(a * Float64(c * c)) / Float64(b * b))) - c) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((((c * (-2.0 * (c * (c * (a * a))))) / (b ^ 4.0)) - ((a * (c * c)) / (b * b))) - c) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(N[(N[(c * N[(-2.0 * N[(c * N[(c * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Power[b, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - c), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.8%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(-1 \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} + a \cdot \left(-2 \cdot \frac{{c}^{3}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{4} \cdot \frac{a \cdot \left(4 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} + 16 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{b}\right)\right)} \]

7. Simplified 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(a \cdot \left(\frac{\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot -2}{{b}^{5}} + \frac{-0.25 \cdot \left(\frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} \cdot \left(20 \cdot a\right)\right)}{b}\right) - \frac{c \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{c}{b}} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left({c}^{2} \cdot \left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right) - \frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left({c}^{2}\right), \left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right) - \frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot c\right), \left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right) - \frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right) - \frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

10. Simplified 97.5%

    \[\leadsto a \cdot \color{blue}{\left(\left(c \cdot c\right) \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-5 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{{b}^{7}} + \frac{a \cdot -2}{{b}^{5}}\right) + \frac{-1}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)} - \frac{c}{b} \]

11. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right) - c}{b}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right) - c\right), \color{blue}{b}\right) \]

13. Simplified 96.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{\left(-2 \cdot \left(\left(\left(a \cdot a\right) \cdot c\right) \cdot c\right)\right) \cdot c}{{b}^{4}} - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}\right) - c}{b}} \]

14. Final simplification 96.6%

    \[\leadsto \frac{\left(\frac{c \cdot \left(-2 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{{b}^{4}} - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}\right) - c}{b} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.0% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a \cdot \frac{\frac{a \cdot -2}{b} \cdot \frac{c \cdot \left(c \cdot c\right)}{b} - c \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{c}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (-
  (* a (/ (- (* (/ (* a -2.0) b) (/ (* c (* c c)) b)) (* c c)) (* b (* b b))))
  (/ c b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (a * (((((a * -2.0) / b) * ((c * (c * c)) / b)) - (c * c)) / (b * (b * b)))) - (c / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (a * (((((a * (-2.0d0)) / b) * ((c * (c * c)) / b)) - (c * c)) / (b * (b * b)))) - (c / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (a * (((((a * -2.0) / b) * ((c * (c * c)) / b)) - (c * c)) / (b * (b * b)))) - (c / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (a * (((((a * -2.0) / b) * ((c * (c * c)) / b)) - (c * c)) / (b * (b * b)))) - (c / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(a * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(a * -2.0) / b) * Float64(Float64(c * Float64(c * c)) / b)) - Float64(c * c)) / Float64(b * Float64(b * b)))) - Float64(c / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (a * (((((a * -2.0) / b) * ((c * (c * c)) / b)) - (c * c)) / (b * (b * b)))) - (c / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(a * N[(N[(N[(N[(N[(a * -2.0), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] * N[(N[(c * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.8%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(-1 \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} + a \cdot \left(-2 \cdot \frac{{c}^{3}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{4} \cdot \frac{a \cdot \left(4 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} + 16 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{b}\right)\right)} \]

7. Simplified 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(a \cdot \left(\frac{\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot -2}{{b}^{5}} + \frac{-0.25 \cdot \left(\frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} \cdot \left(20 \cdot a\right)\right)}{b}\right) - \frac{c \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{c}{b}} \]

8. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\frac{-2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{3}}{{b}^{2}} - {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{3}}{{b}^{2}} - {c}^{2}\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

10. Simplified 96.6%

    \[\leadsto a \cdot \color{blue}{\frac{\frac{a \cdot -2}{b} \cdot \frac{c \cdot \left(c \cdot c\right)}{b} - c \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} - \frac{c}{b} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.6% accurate, 4.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \left(c \cdot \frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{-1}{b}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (*
  c
  (+
   (* c (/ (- (/ (* -2.0 (* c (* a a))) (* b b)) a) (* b (* b b))))
   (/ -1.0 b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((c * ((((-2.0 * (c * (a * a))) / (b * b)) - a) / (b * (b * b)))) + (-1.0 / b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * ((c * (((((-2.0d0) * (c * (a * a))) / (b * b)) - a) / (b * (b * b)))) + ((-1.0d0) / b))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((c * ((((-2.0 * (c * (a * a))) / (b * b)) - a) / (b * (b * b)))) + (-1.0 / b));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * ((c * ((((-2.0 * (c * (a * a))) / (b * b)) - a) / (b * (b * b)))) + (-1.0 / b))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(Float64(c * Float64(Float64(Float64(Float64(-2.0 * Float64(c * Float64(a * a))) / Float64(b * b)) - a) / Float64(b * Float64(b * b)))) + Float64(-1.0 / b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * ((c * ((((-2.0 * (c * (a * a))) / (b * b)) - a) / (b * (b * b)))) + (-1.0 / b));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(N[(c * N[(N[(N[(N[(-2.0 * N[(c * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - a), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-1.0 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.8%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{b}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{b}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{{b}^{5}} - \frac{a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) + \frac{-1}{b}\right)} \]

8. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} - a}{{b}^{3}}\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} - a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{-2 \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2}\right), c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a\right), c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   11. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 96.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

10. Simplified 96.3%

    \[\leadsto c \cdot \left(c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-2 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot c\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} + \frac{-1}{b}\right) \]

11. Final simplification 96.3%

    \[\leadsto c \cdot \left(c \cdot \frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{-1}{b}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 95.4% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{0 - b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ c (/ (* a (* c c)) (* b b))) (- 0.0 b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c + ((a * (c * c)) / (b * b))) / (0.0 - b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c + ((a * (c * c)) / (b * b))) / (0.0d0 - b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c + ((a * (c * c)) / (b * b))) / (0.0 - b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c + ((a * (c * c)) / (b * b))) / (0.0 - b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c + Float64(Float64(a * Float64(c * c)) / Float64(b * b))) / Float64(0.0 - b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c + ((a * (c * c)) / (b * b))) / (0.0 - b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c + N[(N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.0 - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.8%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(-1 \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} + a \cdot \left(-2 \cdot \frac{{c}^{3}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{4} \cdot \frac{a \cdot \left(4 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} + 16 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{b}\right)\right)} \]

7. Simplified 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(a \cdot \left(\frac{\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot -2}{{b}^{5}} + \frac{-0.25 \cdot \left(\frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} \cdot \left(20 \cdot a\right)\right)}{b}\right) - \frac{c \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{c}{b}} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left({c}^{2} \cdot \left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right) - \frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left({c}^{2}\right), \left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right) - \frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot c\right), \left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right) - \frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right) - \frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{7}} + -2 \cdot \frac{a}{{b}^{5}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

10. Simplified 97.5%

    \[\leadsto a \cdot \color{blue}{\left(\left(c \cdot c\right) \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-5 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{{b}^{7}} + \frac{a \cdot -2}{{b}^{5}}\right) + \frac{-1}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)} - \frac{c}{b} \]

11. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} + -2 \cdot a}{{b}^{5}}\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} + -2 \cdot a\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(-5 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-5 \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-5 \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2}\right), c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a\right), c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(-2 \cdot a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, a\right)\right), \left({b}^{5}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    12. pow-lowering-pow.f64 97.5%

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-5, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, a\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(b, 5\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

13. Simplified 97.5%

    \[\leadsto a \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot \left(c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-5 \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot c\right)}{b \cdot b} + -2 \cdot a}{{b}^{5}}} + \frac{-1}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right) - \frac{c}{b} \]

14. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} - c}{b}} \]
15. Step-by-step derivation

    1. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{-1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right)}{b} \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right)}{b} \]

    3. distribute-neg-out N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + c\right)\right)}{b} \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\left(c + \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right)}{b} \]

    5. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c + \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}}{b}\right) \]

    6. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \frac{c + \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(b\right)}} \]

    7. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \frac{c + \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}}{-1 \cdot \color{blue}{b}} \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c + \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot b\right)}\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot b\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(-1 \cdot b\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(-1 \cdot b\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(-1 \cdot b\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(-1 \cdot b\right)\right) \]

    14. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(-1 \cdot b\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(-1 \cdot b\right)\right) \]

    16. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right) \]

    17. neg-lowering-neg.f64 94.6%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(b\right)\right) \]

16. Simplified 94.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{-b}} \]

17. Final simplification 94.6%

    \[\leadsto \frac{c + \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{0 - b} \]
18. Add Preprocessing

Alternative 6: 90.6% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c}{0 - b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ c (- 0.0 b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c / (0.0 - b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c / (0.0d0 - b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c / (0.0 - b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c / (0.0 - b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c / Float64(0.0 - b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c / (0.0 - b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c / N[(0.0 - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.8%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{\frac{c}{b}} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{c}{b}\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 89.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{b}\right)\right) \]

7. Simplified 89.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - \frac{c}{b}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 89.9%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 89.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-\frac{c}{b}} \]

10. Final simplification 89.9%

    \[\leadsto \frac{c}{0 - b} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 3.3% accurate, 116.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 0.0)

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0;
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.0

Julia

function code(a, b, c)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 18.8%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 18.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2}} \]

   4. distribute-neg-frac2 N/A

      \[\leadsto \frac{b}{\mathsf{neg}\left(a \cdot 2\right)} + \frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}}{a \cdot 2} \]

   5. frac-add N/A

      \[\leadsto \frac{b \cdot \left(a \cdot 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 2\right)\right) \cdot \left(a \cdot 2\right)}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \left(a \cdot 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 2\right)\right) \cdot \left(a \cdot 2\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b}{\frac{0.5}{a}} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \left(a \cdot -2\right)}{a \cdot \left(a \cdot -4\right)}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \frac{-2 \cdot b + 2 \cdot b}{a}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(-2 \cdot b + 2 \cdot b\right)}{\color{blue}{a}} \]

   2. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(b \cdot \left(-2 + 2\right)\right)}{a} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(b \cdot 0\right)}{a} \]

   4. mul0-rgt N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{4} \cdot 0}{a} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{0}{a} \]

   6. /-lowering-/.f64 3.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(0, \color{blue}{a}\right) \]

9. Simplified 3.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0}{a}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. div0 3.3%

       \[\leadsto 0 \]

11. Applied egg-rr 3.3%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
12. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, wide range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 4.930380657631324e-32 a) (< a 2.028240960365167e+31)) (and (< 4.930380657631324e-32 b) (< b 2.028240960365167e+31))) (and (< 4.930380657631324e-32 c) (< c 2.028240960365167e+31)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))