Trigonometry B

Percentage Accurate: 99.5% → 99.5%

Time: 10.2s

Alternatives: 6

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan x \cdot \tan x\\ \frac{1 - t\_0}{1 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (tan x) (tan x)))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = tan(x) * tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) * tan(x)
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.tan(x) * Math.tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.tan(x) * math.tan(x)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(tan(x) * tan(x))
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = tan(x) * tan(x);
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan x \cdot \tan x\\ \frac{1 - t\_0}{1 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (tan x) (tan x)))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = tan(x) * tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) * tan(x)
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.tan(x) * Math.tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.tan(x) * math.tan(x)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(tan(x) * tan(x))
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = tan(x) * tan(x);
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(x \cdot 2\right)\\ t_1 := t\_0 + -1\\ \frac{1 + \frac{t\_1}{1 + t\_0}}{1 + \frac{t\_1}{-1 - t\_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (* x 2.0))) (t_1 (+ t_0 -1.0)))
   (/ (+ 1.0 (/ t_1 (+ 1.0 t_0))) (+ 1.0 (/ t_1 (- -1.0 t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cos((x * 2.0));
	double t_1 = t_0 + -1.0;
	return (1.0 + (t_1 / (1.0 + t_0))) / (1.0 + (t_1 / (-1.0 - t_0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = cos((x * 2.0d0))
    t_1 = t_0 + (-1.0d0)
    code = (1.0d0 + (t_1 / (1.0d0 + t_0))) / (1.0d0 + (t_1 / ((-1.0d0) - t_0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cos((x * 2.0));
	double t_1 = t_0 + -1.0;
	return (1.0 + (t_1 / (1.0 + t_0))) / (1.0 + (t_1 / (-1.0 - t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.cos((x * 2.0))
	t_1 = t_0 + -1.0
	return (1.0 + (t_1 / (1.0 + t_0))) / (1.0 + (t_1 / (-1.0 - t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = cos(Float64(x * 2.0))
	t_1 = Float64(t_0 + -1.0)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(t_1 / Float64(1.0 + t_0))) / Float64(1.0 + Float64(t_1 / Float64(-1.0 - t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = cos((x * 2.0));
	t_1 = t_0 + -1.0;
	tmp = (1.0 + (t_1 / (1.0 + t_0))) / (1.0 + (t_1 / (-1.0 - t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 + -1.0), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 + N[(t$95$1 / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(t$95$1 / N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 99.6%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\left(\frac{1}{\frac{\cos x}{\sin x}}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\left({\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)}^{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)}^{\left(-1 \cdot 2\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)}^{-2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right), -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   8. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}\right), -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   9. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{\tan x}\right), -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \tan x\right), -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   11. tan-lowering-tan.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{{\left(\frac{1}{\tan x}\right)}^{-2}}}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\left({\tan x}^{-1}\right)}^{-2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{\left(-1 \cdot -2\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   5. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   6. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   7. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{{\sin x}^{2}}{\cos x \cdot \cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   10. pow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sin x \cdot \sin x\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   11. sqr-sin-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   13. cos-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   14. cos-sum N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(x + x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(x + x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   16. cos-sum N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   17. cos-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   20. sqr-cos-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   21. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   22. cos-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   23. cos-sum N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(x + x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   24. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(x + x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{\frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
7. Step-by-step derivation

   1. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \frac{\sin x}{\color{blue}{\cos x}}\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\color{blue}{\sin x}}{\cos x}\right)\right)\right) \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\color{blue}{\cos x \cdot \cos x}}\right)\right)\right) \]

   4. sin-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{2}}{\color{blue}{\cos x} \cdot \cos x}\right)\right)\right) \]

   5. sqr-cos-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{2}}{\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}\right)\right)\right) \]

   6. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right) \cdot 2}}\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{2}}}}\right)\right)\right) \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2}}}}\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \frac{1 - \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}{1 + \color{blue}{\frac{1 - \cos \left(x \cdot 2\right)}{\frac{1 + \cos \left(x \cdot 2\right)}{1}}}} \]

9. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}{\left(1 + \frac{1}{1 + \cos \left(2 \cdot x\right)}\right) - \frac{\cos \left(2 \cdot x\right)}{1 + \cos \left(2 \cdot x\right)}}} \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 99.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{\cos \left(x \cdot 2\right) + -1}{1 + \cos \left(x \cdot 2\right)}}{1 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right) + -1}{1 + \cos \left(x \cdot 2\right)}}} \]

12. Final simplification 99.6%

    \[\leadsto \frac{1 + \frac{\cos \left(x \cdot 2\right) + -1}{1 + \cos \left(x \cdot 2\right)}}{1 + \frac{\cos \left(x \cdot 2\right) + -1}{-1 - \cos \left(x \cdot 2\right)}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ \frac{1 - t\_0}{1 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 99.6%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{\left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)}\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   5. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\tan x \cdot \tan x\right)}\right)\right) \]

   7. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\tan x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 + {\tan x}^{2}}} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 60.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(x \cdot 2\right)\\ t_1 := t\_0 \cdot 0.5\\ \frac{1 + \frac{t\_1 - 0.5}{0.5 + t\_1}}{1 + \frac{1 - t\_0}{2}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (* x 2.0))) (t_1 (* t_0 0.5)))
   (/ (+ 1.0 (/ (- t_1 0.5) (+ 0.5 t_1))) (+ 1.0 (/ (- 1.0 t_0) 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cos((x * 2.0));
	double t_1 = t_0 * 0.5;
	return (1.0 + ((t_1 - 0.5) / (0.5 + t_1))) / (1.0 + ((1.0 - t_0) / 2.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = cos((x * 2.0d0))
    t_1 = t_0 * 0.5d0
    code = (1.0d0 + ((t_1 - 0.5d0) / (0.5d0 + t_1))) / (1.0d0 + ((1.0d0 - t_0) / 2.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cos((x * 2.0));
	double t_1 = t_0 * 0.5;
	return (1.0 + ((t_1 - 0.5) / (0.5 + t_1))) / (1.0 + ((1.0 - t_0) / 2.0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.cos((x * 2.0))
	t_1 = t_0 * 0.5
	return (1.0 + ((t_1 - 0.5) / (0.5 + t_1))) / (1.0 + ((1.0 - t_0) / 2.0))

Julia

function code(x)
	t_0 = cos(Float64(x * 2.0))
	t_1 = Float64(t_0 * 0.5)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_1 - 0.5) / Float64(0.5 + t_1))) / Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 - t_0) / 2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = cos((x * 2.0));
	t_1 = t_0 * 0.5;
	tmp = (1.0 + ((t_1 - 0.5) / (0.5 + t_1))) / (1.0 + ((1.0 - t_0) / 2.0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 * 0.5), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 + N[(N[(t$95$1 - 0.5), $MachinePrecision] / N[(0.5 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 99.6%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\left(\frac{1}{\frac{\cos x}{\sin x}}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\left({\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)}^{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)}^{\left(-1 \cdot 2\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)}^{-2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right), -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   8. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}\right), -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   9. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{\tan x}\right), -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \tan x\right), -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   11. tan-lowering-tan.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{{\left(\frac{1}{\tan x}\right)}^{-2}}}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\left({\tan x}^{-1}\right)}^{-2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{\left(-1 \cdot -2\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   5. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   6. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   7. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{{\sin x}^{2}}{\cos x \cdot \cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   10. pow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sin x \cdot \sin x\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   11. sqr-sin-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   13. cos-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   14. cos-sum N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(x + x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(x + x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   16. cos-sum N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   17. cos-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   20. sqr-cos-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   21. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   22. cos-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   23. cos-sum N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(x + x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   24. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(x + x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{\frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
7. Step-by-step derivation

   1. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \frac{\sin x}{\color{blue}{\cos x}}\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\color{blue}{\sin x}}{\cos x}\right)\right)\right) \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\color{blue}{\cos x \cdot \cos x}}\right)\right)\right) \]

   4. sin-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{2}}{\color{blue}{\cos x} \cdot \cos x}\right)\right)\right) \]

   5. sqr-cos-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{2}}{\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}\right)\right)\right) \]

   6. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right) \cdot 2}}\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{2}}}}\right)\right)\right) \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2}}}}\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \frac{1 - \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}{1 + \color{blue}{\frac{1 - \cos \left(x \cdot 2\right)}{\frac{1 + \cos \left(x \cdot 2\right)}{1}}}} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 59.4%

    \[\leadsto \frac{1 - \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}{1 + \frac{1 - \cos \left(x \cdot 2\right)}{\color{blue}{2}}} \]

12. Final simplification 59.4%

    \[\leadsto \frac{1 + \frac{\cos \left(x \cdot 2\right) \cdot 0.5 - 0.5}{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot 0.5}}{1 + \frac{1 - \cos \left(x \cdot 2\right)}{2}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 4: 54.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{{\tan x}^{2} - -1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (- (pow (tan x) 2.0) -1.0)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / (pow(tan(x), 2.0) - -1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 / ((tan(x) ** 2.0d0) - (-1.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / (Math.pow(Math.tan(x), 2.0) - -1.0);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / (math.pow(math.tan(x), 2.0) - -1.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64((tan(x) ^ 2.0) - -1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / ((tan(x) ^ 2.0) - -1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] - -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.6%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\tan x \cdot \tan x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) + 1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right) \cdot \tan x + 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right), \tan x, 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   5. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right), \tan x, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(0 - \tan x\right), \tan x, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \tan x\right), \tan x, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   8. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \tan x, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0 - \tan x, \tan x, 1\right)}}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \left(\mathsf{fma}\left(\tan x, \color{blue}{\tan x}, 1\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \left(\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, \mathsf{neg}\left(-1\right)\right)\right)\right) \]

   4. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x - \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   6. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left({\tan x}^{2}\right), -1\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right), -1\right)\right) \]

   8. tan-lowering-tan.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), -1\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0 - \tan x, \tan x, 1\right)}{\color{blue}{{\tan x}^{2} - -1}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), -1\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

9. Simplified 53.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{{\tan x}^{2} - -1} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 58.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - {\tan x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (pow (tan x) 2.0)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - pow(tan(x), 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 - (tan(x) ** 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - math.pow(math.tan(x), 2.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - (tan(x) ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - (tan(x) ^ 2.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.6%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\tan x \cdot \tan x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) + 1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right) \cdot \tan x + 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right), \tan x, 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   5. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right), \tan x, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(0 - \tan x\right), \tan x, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \tan x\right), \tan x, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   8. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \tan x, 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0 - \tan x, \tan x, 1\right)}}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \left(\mathsf{fma}\left(\tan x, \color{blue}{\tan x}, 1\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \left(\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, \mathsf{neg}\left(-1\right)\right)\right)\right) \]

   4. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x - \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   6. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left({\tan x}^{2}\right), -1\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right), -1\right)\right) \]

   8. tan-lowering-tan.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), -1\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0 - \tan x, \tan x, 1\right)}{\color{blue}{{\tan x}^{2} - -1}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + \left(0 - \tan x\right) \cdot \tan x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)}, -1\right)\right) \]

   2. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right) \cdot \tan x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), -1\right)\right) \]

   3. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)}, -1\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)}, -1\right)\right) \]

   5. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \color{blue}{2}\right), -1\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \color{blue}{2}\right), -1\right)\right) \]

   7. tan-lowering-tan.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), -1\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 - {\tan x}^{2}}}{{\tan x}^{2} - -1} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 57.6%

    \[\leadsto \frac{1 - {\tan x}^{2}}{\color{blue}{1}} \]

12. Final simplification 57.6%

    \[\leadsto 1 - {\tan x}^{2} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 6: 54.4% accurate, 411.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 99.6%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (x)
  :name "Trigonometry B"
  :precision binary64
  (/ (- 1.0 (* (tan x) (tan x))) (+ 1.0 (* (tan x) (tan x)))))